8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°的值为 (　　) A.-1 B.- C. D.1 解析:选C　sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°=sin 70°cos 25°-cos 70°sin 25°=sin=sin 45°=. 2.已知sin α=,α∈,则sin= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　因为sin α=,α∈,所以cos α==.所以sin=sin αcos -cos αsin=×-×=. 3.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.sin 15°-cos 15°= B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= C.sin-cos=- D.sin 105°= 解析:选BCD　sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15°=sin(15°-60°)=sin(-45°)=-,A错误; sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,B正确; sin-cos=2=2sin=2sin=-,C正确; sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,D正确. 4.已知函数f=sin ax+cos ax的最小正周期是3,则实数a的值为 (　　) A. B. C.- D.± 解析:选D　因为f=sin ax+cos ax=2=2sin, 所以最小正周期T==3,解得a=±. 5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边逆时针旋转90°得到角β,则下列结论正确的是 (　　) A.tan α= B.cos β=- C.sin(α-β)=-1 D.sin=- 解析:选AC　由题意知sin α=-,cos α=-,β=α+90°,则tan α==,故A正确; cos β=cos(α+90°)=-sin α=,故B错误; α-β=-90°,则sin(α-β)=sin(-90°)=-1,故C正确; sin β=cos α=-,则sin=(sin β+cos β)=×=×=,故D错误.故选AC. 6.设α∈,β∈,且tan α=,则 (　　) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= 解析:选C　∵tan α==, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin, 又α-β∈,-α∈. ∴α-β=-α,即2α-β=. 7.(2025·北京高考)设函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.3 解析:选C　函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)=sin(ω>0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N+), 所以T==(k∈N+),即ω=2k(k∈N+). 又函数f(x)在上存在零点,且当x∈时,ωx+∈, 所以+≥π,即ω≥3.综上,ω的最小值为4. 8.(5分)化简cos 15°-cos 75°=　　　　.  解析:cos 15°-cos 75°=sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°=sin(60°-15°)=sin 45°=. 答案: 9.(5分)已知a=(2,1),b=(cos θ,sin θ),则a·b的最大值为　　　　.  解析:因为a=(2,1),b=(cos θ,sin θ),所以a·b=2cos θ+sin θ=sin(θ+φ),其中tan φ=2.所以a·b的最大值为. 答案: 10.(5分)函数f(x)=sin 2x+cos+3的最小值是　　　　.  解析:f(x)=sin 2x+cos+3 =sin 2x+cos 2x-sin 2x+3 =sin 2x+cos 2x+3=sin+3, ∵sin∈[-1,1],∴f(x)min=2. 答案:2 11.(5分)若点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称,写出一个符合题意的θ=　　　　　.  解析:因为点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称, 所以由cos=-cos θ, 可得cos θcos-sin θsin=-cos θ,则cos θ=sin θ, 所以tan θ=.由sin=sin θ,可得sin θcos+cos θsin=sin θ,则cos θ=sin θ,所以tan θ=. 因此θ=+kπ,k∈Z,取θ=. 答案: 12.(10分)证明:=tan(α+β). 证明: = == =tan(α+β), 所以原式得证. 13.(10分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象经过点和. (1)求实数a和b的值,并判断f(x)的周期性;(6分) (2)当x为何值时,f(x)取得最大值?(4分) 解:(1)依题意,有⇒故f(x)=sin x-cos x=2sin. ∴f(x)的最小正周期为2π. (2)由(1)知f(x)=2sin. 因此,当x-=2kπ+(k∈Z), 即x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2. 14.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4). (1)求sin的值;(5分) (2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值.(5分) 解:(1)因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4), 所以sin α=,cos α=, 所以sin=sincos α+cossin α =×=. (2)因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π). 因为cos(α+β)=-<0, 所以α+β∈,所以sin(α+β)=. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=. 15.(15分)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=. (1)求sin(α+β)的值;(8分) (2)求cos(α-β)的值.(7分) 解:(1)∵<α<,<+α<π,∴sin= =.∵0<β<,<+β<π, ∴cos=-=-, ∴sin(α+β)=-sin(π+α+β) =-sin =-=-=. (2)由(1)可知,sin=,cos=-, ∴sin =sincos-cossin =×-×=-. 又sin=sin =-cos(α-β),从而cos(α-β)=. 学科网（北京）股份有限公司 $