7.4 数学建模活动：周期现象的描述 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.4 数学建模活动:周期现象的描述 [课时跟踪检测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A.5 B.6 C.8 D.10 解析:选C　根据题图得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,所以水深的最大值为3+k=8. 2.已知初速度为v0,发射角为θ,则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为 (　　) A.y=v0t B.y=v0tsin θ C.y=v0tsin θ-gt2 D.y=v0tcos θ 解析:选C　由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ,故炮弹上升的高度y=v0tsin θ-gt2. 3.(多选)如图,弹簧挂着的小球上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin,t∈,下列说法正确的是 (　　) A.小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 解析:选ABC　令t=0,得h=,即小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处,A正确;由h=2sin,知h的最大值为2,最小值为-2,则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm,B正确;函数的周期T=2π,即往复振动一次需2π s,C正确;当t=π时,h=2sin=2×=-≠-2,D错误.故选ABC. 4.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如右栏图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为 (　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 解析:选D　由题图可得,ω>0,T=4×=,即=,则ω=400π. 5.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的 (　　) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 解析:选C　当10≤t≤15时,有<5≤≤<,此时F(t)是增函数,即车流量在增加.故选C. 6.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+) C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) 解析:选A　令x=3,可排除D;令x=7,可排除B;由A==2,可排除C. 7.(5分)已知一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是　　　　.  解析:因为函数y=-sinx的周期T=4,且x=3时y=1,取得最大值,所以t≥7.所以正整数t的最小值是7. 答案:7 8.(5分)如图是电流强度I(单位:安)随时间t(单位:秒)变化的函数I=Asin(A>0,ω>0)的图象,则当t=秒时,电流强度是　　　　安.  解析:由题图可知,A=10,周期T=2×=,所以ω==100π.所以I=10sin.当t=秒时,I=10sin=5(安). 答案:5 9.(5分)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为　　　　 ℃.  解析:由题意得即所以y=23+5cos.令x=10,得y=20.5. 答案:20.5 10.(5分)如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为　　　　　　　.  解析:设h=Asin(ωt+φ),由题图知A=6,T=12,∴=12,即ω==.点(6,0)为五点法作图中的第一点,故×6+φ=0,得φ=-π,∴h=6sin=-6sint(0≤t≤24). 答案:h=-6sint(0≤t≤24) 11.(5分)如图,圆O的半径为2,l为圆O外一条直线,圆心O到直线l的距离|OA|=3,P0为圆周上一点,且∠AOP0=,点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后,点P的横坐标为　　　　;  (2)t秒钟后,点P到直线l的距离用t可以表示为　　　　.  解析:(1)1秒钟后,点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周,此时点P与P0关于原点对称,从而点P的横坐标为-. (2)由题意得,周期为2,则t秒钟后,旋转角为πt,则此时点P的横坐标为2cos,所以点P到直线l的距离为3-2cos,t≥0. 答案:(1)-　(2)3-2cos(t≥0) 12.(10分)弹簧振子以O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次到达C点,求: (1)振动的振幅、周期和频率;(5分) (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.(5分) 解:(1)设振幅为A,则2A=20 cm,所以A=10 cm.设周期为T,则=0.5 s,所以T=1,f=1 Hz. (2)振子在1 s内通过的距离为4A,故在5 s内通过的路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm).5 s末物体处在B点,所以它的位移为0 cm. 13.(10分)已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16]. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差;(4分) (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?(6分) 解:(1)当x=14时,函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时,函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30-10=20(℃). (2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.当x∈时,x-∈,所以函数y在上单调递增.故该细菌能存活的最长时间为-=小时. 14.(15分)已知某港口落潮时水的深度为8.4 m,涨潮时水的深度为16 m,相邻两次涨潮发生的时间间隔为12 h.若水的深度d(m)随时间t(h)的变化曲线近似满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+h,且10月10日4:00该港口发生一次涨潮. (1)从10月10日0:00开始计算时间,求该港口的水深d(m)关于时间t(h)的函数关系式;(6分) (2)10月10日17:00该港口的水深约为多少(保留一位小数)?(3分) (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10.3 m?(6分) 解:(1)依题意,知T==12,故ω=.又h==12.2,A=16-12.2=3.8,所以d=3.8sin+12.2.又t=4时,d=16,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-.所以该港口的水深d关于时间t的函数关系式为d=3.8sin+12.2. (2)当t=17时,d=3.8sin+12.2=3.8sin+12.2=3.8×+12.2≈15.5.所以10月10日17:00该港口的水深约为15.5 m. (3)令3.8sin+12.2≤10.3,有sin≤-,因此2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z.所以12k+8≤t≤12k+12,k∈Z.因为t∈[0,24],所以k可以取0,1.令k=0,得t∈[8,12];令k=1,得t∈[20,24].故10月10日这一天该港口共有8小时水深不超过10.3 m. 15.(15分)某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位:米)是随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:小时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如表: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ),②y=Acos(ωt+φ)+b,③y=-Asin ωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式;(10分) (2)为保证队员安全,规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.(5分) 解:(1)根据题表中近似数据画出散点图,如图所示. 依题意,选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型,∴A==0.9,b==1.5.∵T==12,∴ω=. ∴y=0.9cos+1.5.又函数图象过点(3,2.4),∴2.4=0.9×cos+1.5,∴cos=1, ∴sin φ=-1.又∵-π<φ<0,∴φ=-. ∴y=0.9cos+1.5=0.9sint+1.5. (2)由(1)知y=0.9sint+1.5,令y≥1.05, 即0.9sint+1.5≥1.05,∴sint≥-. ∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z). ∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z). 又∵5≤t≤18,∴5≤t≤7或11≤t≤18. ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练,才能确保集训队员的安全. 学科网（北京）股份有限公司 $