7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 [课时跟踪检测] 1.已知tan α=2,则的值为 (　　) A.-4 B. C.- D.± 解析:选B　由tan α=2,得===. 2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 (　　) A. B. C.1 D. 解析:选C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 3.化简 的结果是 (　　) A.sin 2+cos 2 B.sin 2-cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2 解析:选B　==|sin 2-cos 2|.∵<2<π,∴sin 2>0,cos 2<0.∴原式=sin 2-cos 2. 4.若tan α=,则sin αcos α= (　　) A.1 B. C. D. 解析:选D　∵sin αcos α==,又tan α=,∴sin αcos α==. 5.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则这个三角形的形状是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选B　由α∈(0,π),将sin α+cos α=两边平方,得2sin αcos α=-1<0.而sin α>0, ∴cos α<0,故α为钝角.故选B. 6.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3),则cos α等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　由三角函数定义,得tan α=.即=,得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α),解得cos α=或cos α=-2(舍去). 7.(多选)已知-<θ<,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan θ的值,在以下四个选项中,可能正确的是 (　　) A.-3 B. C.- D.- 解析:选CD　∵sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),∴两边平方得1+2sin θcos θ=a2,∴sin θcos θ=<0. ∵-<θ<,∴cos θ>0,sin θ<0,∴tan θ=<0.又sin θ+cos θ=a>0, ∴cos θ>-sin θ,tan θ=>-1.∴-1<tan θ<0,故结合选项,tan θ的值可能是-,-. 8.(5分)化简(1+tan 215°)cos215°=　　　　.  解析:(1+tan 215°)cos215°=cos215°=·cos215°=1. 答案:1 9.(5分)若tan α+=3,则sin αcos α=　　　　,tan 2α+=　　　　.  解析:∵tan α+==3,∴sin αcos α=,tan 2α+=-2=9-2=7. 答案:　7 10.(5分)若<α<π,sin αcos α=-,则tan α=　　　　.  解析:由sin αcos α===-,整理,得(2tan α+1)(tan α+2)=0, 解得tan α=-或tan α=-2.因为<α<π, 所以tan α∈(-1,0).故tan α=-. 答案:- 11.(5分)若实数α,β满足方程组则β的一个值可以是　　　　.  解析:由可得9sin2x+9cos2x=(2cos β)2+(2sin β+1)2, 即9=4+4sin β+1,所以sin β=1.所以β=+2kπ,k∈Z.所以当k=0时,β=. 答案: 12.(10分)求证:=. 证明:∵左边== = == ==右边,∴原等式成立. 13.(10分)化简下列各式. (1);(5分) (2)cos6α+sin6α+3sin2αcos2α.(5分) 解:(1)= ===1. (2)cos6α+sin6α+3sin2αcos2α =(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)+3sin2αcos2α=cos4α+2sin2αcos2α+sin4α =(cos2α+sin2α)2=1. 14.(10分)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:sin,tan ,sec(正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:cos ,cot,csc(余割),但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来,其中sec θ=,csc θ=.若α∈(0,π),且+=2,求tan α的值. 解:由+=2,得3sin α+2cos α=2.又sin2α+cos 2α=1, 联立解得或因为α∈(0,π),所以所以tan α==-. 15.(15分)已知A,B,C是△ABC的内角,sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根. (1)求角A;(7分) (2)若=-3,求tan B.(8分) 解:(1)因为sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根,所以sin A-cos A=1,又sin2A+cos2A=1, 所以sin2A+=1,解得sin A=0(舍去)或sin A=.因为0<A<π, 所以A=或A=.将A=或A=代入sin A-cos A=1中,易知当A=时不成立,故A=. (2)由题意,得===-3, 则tan 2B-tan B-2=0,解得tan B=2或tan B=-1, 因为cos2B-sin2B≠0,所以tan B≠-1,故tan B=2. 学科网（北京）股份有限公司 $