7.2.2 单位圆与三角函数线 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.2.2 单位圆与三角函数线 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列判断正确的是 (　　) A.α一定时,单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 解析:选ACD　A正确;B错误,如与有相同正弦线;C正确,因为α与α+π的终边互为反向延长线;D正确. 2.如果,分别是角α=的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是 (　　) A.||<||<0 B.||<0<|| C.||>||>0 D.||>||>0 解析:选D　角β=的余弦线与正弦线的长度相等,结合图象可知角α=的余弦线和正弦线满足||>||>0. 3.若a=sin 2,b=cos 2,则a,b的大小关系为 (　　) A.a<b B.b<a C.a=b D.不能确定 解析: 选B　因为<2<π,作出2的正弦线、余弦线如图所示.显然sin 2>cos 2. 4.在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　画出单位圆(图略),结合正弦线得出sin x≥的取值范围是. 5.若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是 (　　) A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α<1 D.不能确定 解析:选A　作出α的正弦线和余弦线(图略),由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α+cos α>1. 6.角和角有相同的 (　　) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 解析:选C　∵=π+,∴角和角的终边互为反向延长线,即两个角的终边在同一条直线上,设为直线l. 因此,过点A(1,0)作单位圆的切线,与直线l有且只有一个交点T(如图), 可得tan=tan,都等于有向线段AT的长,即两角有相同的正切线. 7.若0≤θ<2π,且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立,则角θ的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由三角函数线知,在[0,2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈,使tan θ<sin θ的角θ∈∪,故θ的取值范围是.故选B. 8.若-<α<-,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小是 (　　) A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α 解析:选C　如图,作出角α的正弦线,余弦线,正切线,观察可知sin α<cos α<tan α. 9.(5分)若角α的正弦线的长度为,且方向与y轴的正方向相反,则sin α的值为　　　　.  解析:由题意知|sin α|=,且正弦线方向与y轴正方向相反,∴sin α=-. 答案:- 10.(5分)若α∈,且sin α<,cos α>,利用三角函数线,得到α的取值范围是　　　　.  解析:如图所示单位圆,由于sin=,cos=,若终边为OA(不可取),所以满足α∈,且sin α=CB<DA=,cos α=OC>OD=.所以α的取值范围是. 答案: 11.(5分)函数y=的定义域为　　　　.  解析:利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示,含边界). 所以定义域为. 答案: 12.(10分)比较下列各组数的大小: (1)sin和sin;(5分) (2)sin和tan.(5分) 解:(1)如图①,在单位圆中作出和的正弦线和. 因为||>||,且和的正弦均为正数,所以sin>sin. (2)如图②,分别作出的正弦线和正切线, 由图知,角的正弦线和正切线分别为,,因为||<||,且的正弦和正切均为正数,所以tan>sin. 13.(10分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥;(5分) (2)cos α≤-.(5分) 解:(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则角α的终边在如图(1)所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为. (2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则角α的终边在如图(2)所示的阴影区域内(含边界),角α的取值集合为. 14.(10分)求不等式组的解集. 解:由得 在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合,如图所示, 由三角函数线可得 解集恰好为图中阴影重叠的部分,故原不等式组的解集为. 15.(15分)利用三角函数线说明: (1)当α∈时,求证:sin α<α<tan α;(7分) (2)若0<β<α<,则α-β>sin α-sin β.(8分) 解:(1)证明:在直角坐标系中作出单位圆,α的终边与单位圆交于P,α的正弦线、正切线为有向线段MP,AT,如图所示,则MP=sin α,AT=tan α. 因为S△AOP=OA·MP=sin α,S扇形AOP=αOA2=α,S△AOT=OA·AT=tan α,又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT, 所以sin α<α<tan α,即sin α<α<tan α. (2)如图所示,设单位圆与角α,β的终边分别交于P1,P2, 作P1M1⊥x轴于M1,作P2M2⊥x轴于M2,作P2C⊥P1M1于C, 连接P1P2,则sin α=M1P1,sin β=M2P2,α-β=.所以α-β=>P1P2>CP1=M1P1-M1C=M1P1-M2P2=sin α-sin β,即α-β>sin α-sin β. 学科网（北京）股份有限公司 $