课时测评2 弧度制及其与角度制的换算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评2　弧度制及其与角度制的换算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．下列命题中不正确的是(　　) A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径的大小有关 答案：D 解析：A正确，需要注意：1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位；B正确，用角度制时，周角是360°，因此1°的角是周角的，根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为＝2π，因此1 rad的角是周角的；C正确，180°角即平角，弧度数为＝π；D不正确，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的大小无关，弧度制下角的大小只与弧长与半径的比值有关．因此，在半径不同的圆中，1°的角都是相等的，1弧度的角也是相等的．故选D． 2．36°化为弧度是(　　) A． B． C．5 D．5π 答案：A 解析：36°＝36×＝.故选A． 3．若α＝－3，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为＜3＜π，所以－π＜－3＜－，故角α的终边在第三象限．故选C． 4．已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：D 解析：根据题意知扇形的面积S＝4，扇形圆心角的弧度数θ＝2，因为S＝θR2，所以4＝×2×R2 ，解得R＝2，因为l＝θR＝2×2＝4，所以扇形的周长为l＋2R＝4＋2×2＝8.故选D． 5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A．－π B．－2π C．π D．－π 答案：A 解析：因为－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋.所以θ＝－π.故选A． 6．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为 ________________． 答案：α<β<γ<θ＝φ 解析：化为弧度：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ. 7．下列转化结果错误的是________． ①60°化成弧度是； ②－π化成角度是－600°； ③－150°化成弧度是－π； ④化成角度是15°. 答案：③ 解析：对于①，60°＝60×＝；对于②，－＝－×180°＝－600°；对于③，－150°＝－150×＝－π；对于④，＝×180°＝15°. 8．已知扇形AOB的圆心角为，半径为6 cm，则此扇形弧长为________cm，面积为________cm2. 答案：5π　15π 解析：因为扇形的圆心角为，半径为6 cm，所以扇形的弧长l＝×6＝5π cm，扇形的面积为S＝lr＝×5π×6＝15π cm2. 9．(10分)将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2分)(2)－15°；(2分)(3)π；(3分) (4)－ π.(3分) 解：(1)20°＝20×＝； (2)－15°＝－15×＝－； (3)＝×180°＝105°； (4)－＝－×180°＝－396°. 10．(13分)已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(5分) (2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？(8分) 解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，圆心角所对的弦及半径围成的三角形面积为S△， 因为α＝60°＝，R＝10，所以l＝αR＝(cm)． S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×sin ＝50(cm2)． (2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，所以α＝， 所以S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R ＝－R2＋cR＝－＋. 当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是. (11－13每小题5分，共15分) 11．(新情境)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”．意思是说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一．即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是(　　) A． B． C． D．120 答案：C 解析：S＝＝120(平方步)．S＝αR2，120＝α×64，解得α＝.故选C． 12．(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化为角度是－330° C．120°化为弧度是 D．－化为角度是－315° 答案：ABD 解析：对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝－×°＝－330°，故B正确；对于C，120°＝120×＝，故C错误；对于D，－＝－×°＝－315°，故D正确．故选ABD． 13．终边落在直线y＝x上的角的集合可用弧度制表示为________________． 答案： 解析：由题意可知，满足条件的集合为{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，因为45°＝，所以终边落在直线y＝x上的角的集合为. 14．(5分)(数学文化)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(精确到1 m2)． 答案：9 解析：＝120°，根据题意得，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)． 15.(17分)某企业欲做一个介绍企业发展的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x m(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30 m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数解析式；(7分) (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．(10分) 解：(1)根据题意，可算得＝x·θ(m)，＝10θ(m)． 因为BA＋CD＋＋＝30， 所以10－x＋10－x＋xθ＋10θ＝30， 所以θ＝(0<x<10)． (2)依据题意，知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2， 化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋. 所以当x＝时，ymax＝(m2)． 故当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2. 学生用书↓第10页 学科网（北京）股份有限公司 $