7.1.1 角的推广 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.1.1　角的推广 [课时跟踪检测] 1.下列说法正确的是 (　　) A.最大的角是180° B.最大的角是360° C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小 答案:D 2.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”,但是反之不成立,例如400°是第一象限角,但不是锐角,所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 3.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 (　　) A.-480° 　　　B.-240° C.150° 　　　D.480° 解析:选D　由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转,可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°. 4.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为 (　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 解析:选B　由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即为-×360°=-120°. 5.与-460°角终边相同的角可以表示成 (　　) A.460°+k·360°,k∈Z B.100°+k·360°,k∈Z C.260°+k·360°,k∈Z D.-260°+k·360°,k∈Z 解析:选C　因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z. 6.(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　　) A.-200° B.100° C.220° D.420° 解析:选AB　-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角. 7.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为 (　　) A.逆时针,270° B.顺时针,270° C.逆时针,30° D.顺时针,30° 解析:选B　由题意可得∠AOB=120°.设∠BOC=θ,则∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°. 8.在直角坐标系中,若α与β的终边互相垂直,那么α与β的关系式为 (　　) A.β=α+90° B.β=α±90° C.β=α+90°+k·360°(k∈Z) D.β=α±90°+k·360°(k∈Z) 解析:选D　∵α与β的终边互相垂直,∴β=α±90°+k·360°(k∈Z). 9.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选AC　当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限. 10.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 (　　) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z} 解析:选C　如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}. 11.(5分)若α=2 025°,则与α有相同终边的最小正角β=　　　　.  解析:因为2 025°=360°×5+225°,所以与2 025°终边相同的最小正角是225°. 答案:225° 12.(5分)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是　　　　　.  解析:观察题图可知,角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}. 答案:{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z} 13.(5分)(2025·北京高考)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组α=　　　　,β=　　　　.  解析:因为sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合, 故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z,且α+β≠+lπ,l∈Z,即α=+kπ,k∈Z,故取α=,β=可满足题设要求. 答案:(答案不唯一)　(答案不唯一) 14.(10分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值. 解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z. 由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°, 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限, ∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°, 即45°<α<β<90°, ∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°, ∴<m<,<n<. ∵α<β,∴m<n,又m,n∈Z, ∴m=2,n=3,∴α=,β=. 15.(10分)若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置. 解:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).① ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z), ∴2α的终边位于第三或第四象限或在y轴的非正半轴上. 法一　由①式得45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);当k=2n+1(n∈Z)时, 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z), ∴的终边位于第一或第三象限. 由①式得30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z);当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z); 当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z), ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 法二　将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图①所示. ∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,∴的终边位于第一或第三象限.将坐标系的每个象限三等分, 得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图②所示.∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,∴的终边位于第一、第二或第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $