8.1.1 向量数量积的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦向量的数量积，以“逐点理清”为学习支架，系统梳理两个向量的夹角（含定义、范围、特例）、数量积的概念与性质、投影及几何意义，构建从概念理解到运算应用的递进学习路径。 资料通过“多维理解”多角度解析核心概念，结合“微点练明”设计梯度练习，如几何图形题、判断正误等，培养数学抽象与推理能力。课中助力教师系统授课，课后帮助学生通过分层练习查漏补缺，提升应用意识。

　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 　　　8.1.1　向量数量积的概念 [教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量. 逐点清(一)　两个向量的夹角 [多维理解] 定义 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作=a,=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作<a,b> 范围 0≤<a,b>≤π 特例 <a,b>=0 a与b同向 <a,b>=π a与b反向 <a,b>= a与b垂直,记作a⊥b. 规定零向量与任意向量垂直 [微点练明] 1.在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　如图,作向量=,则∠BAD是与的夹角.在△ABC中,因为∠ACB=90°,BC=AB,所以∠ABC=60°.所以∠BAD=120°. 2.若向量a,b的夹角为30°,则向量-a,-b的夹角为 (　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案:B 3.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A=60°,则下列说法正确的是 (　　) A.和的夹角为0° B.与的夹角为60° C.与的夹角为120° D.与的夹角为60° 解析:选D　根据向量夹角的定义,知和的夹角为180°,与的夹角为120°,与的夹角为60°,与的夹角为60°,故选D. 4.如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量. (1)与的夹角是多少? (2)与垂直的向量有哪些? 解:(1)由题意,得弧DE所对的圆心角是45°,即有∠DOE=45°,所以与的夹角为45°. (2)由题易知BF是圆O的直径,OD⊥BF,CE∥BF∥AG,如图所示,所以与垂直的向量有,,,,,,,,,. 逐点清(二)　向量数量积的定义 [多维理解] 1.向量数量积的定义 一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|·cos <a,b>为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos <a,b>.  两个非零向量a与b的数量积是一个实数. 2.向量数量积的性质 (1)|a·b|≤|a||b|; (2)a·a=a2=|a|2,即|a|=; (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即a⊥b⇔a·b=0. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量数量积的运算结果是向量. (　　) (2)设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0. (　　) (3)|a·b|≤a·b. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则cos <a,b>的值为 (　　) A.- B.-4 C.- D. 解析:选C　由题意可知cos <a,b>==-=-. 3.若a与b满足|a|=|b|=1,<a,b>=60°,则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 解析:选B　由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B. 4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a= (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析:选D　在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. 5.已知单位向量e1,e2满足e1·e2=,则向量e1,e2的夹角是　　　　.  解析:设夹角为θ,易知|e1|=1,|e2|=1. ∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=,∴cos θ=. ∵θ∈[0,π],故θ=. 答案: 逐点清(三)　向量的投影与向量数量积的几何意义　　 [多维理解] 1.投影向量或投影 如图(1),设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. 2.向量a在向量b上的投影 给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图(2). 一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们的方向既有可能相同,也有可能相反. 3.投影的数量 一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos <a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.   投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数. 4.向量数量积的几何意义 两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积. 特别地,当e为单位向量时,a·e=|a|cos <a,e>,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. [微点练明] 1.设向量a·b=40,|b|=10,则a在b上的投影的数量为 (　　) A.4 B.4 C.4 D.8+ 解析:选A　a在b上的投影的数量为|a|cos <a,b>,∵a·b=|a||b|cos <a,b>,∴|a|cos <a,b>===4. 2.已知|b|=3,a在b上的投影的数量为,则a·b的值为 (　　) A.3 B. C.2 D. 解析:选B　设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ=,∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 3.在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点. (1)求在上的投影的数量; (2)求在上的投影的数量. 解:如图所示,连接AD. 因为D为BC的中点,所以AD⊥BC. 又AB=2,∠ABC=30°, 所以CD=BD=AB·cos 30°=. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角, 所以向量与的夹角为150°. (1)在上的投影的数量为||cos 150°=2×cos 150°=-. (2)在上的投影的数量为 ||cos 150°=cos 150°=-. 学科网（北京）股份有限公司 $