7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.2.2 单位圆与三角函数线 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(比较大小、解不等式等). 1.单位圆 定义 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆 P的 坐标 如果角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为(cos α,sin α).这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 2.三角函数线 设角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直于x轴于M. 由三角函数的定义知点P(cos α,sin α),其中cos α=±||,sin α=±||,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α=±||.我们称,,分别为α的余弦线、正弦线、正切线. 各象限内的三角函数线如下表所示: 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图 形 3.三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线,它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示. (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段,在作三角函数线时,一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆. (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段),在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.也可用这样的规律:凡含原点的有向线段,都以原点为起点;不含原点的有向线段,都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点. (4)三角函数值可用三角函数线表示,其绝对值就是三角函数线的长,正负号可以这样确定:正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值,相反时为负值;余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值,相反时为负值. 基础落实训练 1.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 (　　) A.正弦线,正切线 B.正弦线,正切线 C.正弦线,正切线 D.正弦线,正切线 答案:C 2.下列角的正切线不存在的是 (　　) A.- B. C. D. 解析:选B　因为的终边落在y轴的非负半轴上,故正切线不存在. 3.若角α的余弦线长度为,且方向与x轴负方向相同,则cos α=　　　　.  解析:因为α的余弦线方向与x轴负方向相同,所以cos α<0,所以cos α=-. 答案:- 题型(一)　作已知角的三角函数线 [例1]　分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线. 解:如图(1),在平面直角坐标系中作单位圆以及直线x=1,单位圆与x轴交于点A(1,0). 作的终边与单位圆的交点P,过P作x轴的垂线,垂足为M,延长线段PO,交直线x=1于T, 则的正弦线为,余弦线为,正切线为. 同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线,如图(2). -的正弦线为,余弦线为,正切线为. |思|维|建|模| 三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线.要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线. 　　[针对训练] 1.画出的正弦线、余弦线和正切线,并求出相应的函数值. 解:如图所示,其中sin=-,cos=-,tan=. 题型(二)　利用三角函数线比较大小 [例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小. (1)sin和sin;(2)cos和cos; (3)tan和tan. 解:如图所示,设的终边与单位圆交于点P1,的终边与单位圆交于点P2. (1)过点P1作P1M1垂直x轴于点M1,过点P2作P2M2垂直x轴于点M2,则,分别是,的正弦线. ∵||>||,且与的方向都与y轴的正方向相同,∴sin>sin. (2)易知,分别是,的余弦线. ∵||<||,且与的方向都与x轴的正方向相反,∴cos>cos. (3)过点A(1,0)作x轴的垂线,交的终边的反向延长线于点T1,交的终边的反向延长线于点T2,则,分别是,的正切线. ∵||>||,且与的方向都与y轴的正方向相反,∴tan<tan. |思|维|建|模|　　利用三角函数线比较同名三角函数值大小的策略 (1)sin α与sin β:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作出角α,β的终边与单位圆的交点P1,P2,然后比较P1,P2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小. (2)cos α与cos β:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作出角α,β的终边与单位圆的交点P1,P2,然后比较P1,P2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小. (3)tan α与tan β:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作出角α,β的终边,过点(1,0)作垂线,设与角α,β的终边(或终边的反向延长线)分别交于点P1,P2,然后比较P1,P2两点纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小. 　　[针对训练] 2.已知cos α>cos β,那么下列结论成立的是 (　　) A.若α,β是第一象限角,则sin α>sin β B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β C.若α,β是第三象限角,则sin α>sin β D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β 解析:选D　由图(1)可知,当cos α>cos β时,sin α<sin β,A错误;由图(2)可知,当cos α>cos β时,tan α<tan β,B错误;由图(3)可知,当cos α>cos β时,sin α<sin β,C错误;由图(4)可知,当cos α>cos β时,tan α>tan β,D正确. 3.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 解析:选C　如图,作出角α=-1的正弦线、余弦线及正切线,显然b=cos(-1)=||>0,c=tan(-1)=-||<0,a=sin(-1)=-||<0,由图可知-||>-||,∴c<a<b. 题型(三)　利用三角函数线解不等式 [例3]　根据条件利用单位圆写出θ的取值范围. (1)cos θ<;(2)≤sin θ<. 解:(1)根据题意,画出单位圆,如图所示. 在单位圆中cos θ=OM,其中OM为有向线段,当与x轴正方向相同时结果为正,反向时结果为负, 故cos θ<在[0,2π]的角是<θ<.所以θ的取值范围是. (2)根据题意,画出单位圆,如图所示. 在单位圆中,MA,NB为有向线段,与y轴正方向相同时,sin θ=||,与y轴正方向相反时,sin θ=-||.因为≤sin θ<,所以在[0,2π]上满足条件的θ是≤θ<或<θ≤, 所以θ的取值范围是. |思|维|建|模| 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置. (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值. (3)写角的范围时,抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求. 　　[针对训练] 4.已知A是△ABC的一个内角,且tan A-≥0,则sin A的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　tan A-≥0⇔tan A≥,令tan A=,又0<A<π,所以A=,作出角的正切线,如图所示.由图可得,当≤A<时,tan A≥,此时,≤sin A<1,即sin A的取值范围是.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $