精品解析：福建宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

福鼎四中2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 8. 已知为锐角的外心，，若，且.记，，，则( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，如，则、、三点共线 B. 非零向量，满足，则与的夹角为锐角 C. 已知，是与同方向的单位向量，则 D. 平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 11. 如图，为边长为2等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量夹角． 16. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 17. 如图，在中，，，，P为内一点，且. （1）若，求的长； （2）若，求. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）求； （2）若，的面积为，且，求、； （3）在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 2. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】， 故选：B 3. 已知平面内的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为，且， 若，则，可得， 所以，即充分性成立； 若，例如，则，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 5. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 6. 小河对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 8. 已知为锐角的外心，，若，且.记，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合数量积的几何意义列关于，，的方程组，求得，由余弦定理求得，展开数量积，结合，且余弦函数在上为减函数即可求解． 【详解】分别取，的中点为，，连接，，则，. ∴，. ∵， ∴①， ②， ∵③， ∴由①②③得， 根据余弦定理可得， ∴， 在中，由大边对大角得：. ∵，且余弦函数在上为减函数， ∴， ∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可判断D的正误． 【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 相反向量一定是平行向量，D正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，如，则、、三点共线 B. 非零向量，满足，则与的夹角为锐角 C. 已知，是与同方向的单位向量，则 D. 平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据 且 与 有公共点 可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况可判断B；求出与同方向的单位向量 判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，由向量等式结合单位向量的和的特点可判断点的轨迹过的内心. 【详解】对于 A ，因 ，则 ，即 ， 也即 ；因为 与 有公共点 ，故 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 正确； 对于 B ，因 ，则当 时，即 ， 因为 ，所以 ．又因 ，所以 ， 而当 时， ，此时夹角不是锐角，故 B 错误； 对于C ，因 ，则 ，则与同方向的单位向量为 ，故 C 正确； 对于D ，因为 是与 同方向的单位向量， 是与 同向的单位向量， 则以 和 对应线段为邻边的平行四边形是菱形，故 所在直线平分 ， 又因 ，则点的轨迹为的角平分线所在直线，必过 的内心，故 D 正确. 11. 如图，为边长为2等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量的线性运算判断A；由数量积的定义判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质判断C；将目标式子转换为三角函数判断 D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，设， 则，当时，取得最大值为5，C错误； 对于D，,， ，则 ， 由，得， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义求出向量的坐标，进而求得点的坐标. 【详解】由题，可得，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 即等同于点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， ， 又，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答. （2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答. 【小问1详解】 向量，，则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，解得， 由，得，于是， 而，则有， 所以向量与向量的夹角. 16. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别用坐标表示出来，后用向量平行的条件即得到答案. （2）将用坐标表示出来，后用向量垂直的条件即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，, ∵，∴， 解得． 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得. 17. 如图，在中，，，，P为内一点，且. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 小问1详解】 在中，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 在中，因， 所以， 在中，， 所以，即， 所以即. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. （1）求； （2）若，的面积为，且，求、； （3）在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可 （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【小问1详解】 因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. 【小问3详解】 由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1）（i）；（ii）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论； （2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 （i） ， （ii）轴上不存在一点，理由如下： 假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形. 依题意得：， ， ， ，， 即， 即， 化简得：， ，∴方程无解， 即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形； 【小问2详解】 ， 恒成立， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 故，即， 故在上单调递增， 当时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $