7.3.1 正弦函数的性质与图像 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦正弦函数的性质与图像，通过摩天轮情境抽象出函数问题导入，引导学生从正弦线探究定义域、值域、单调性等性质，再结合五点法绘制图像，构建“实际问题—性质探究—图像应用”的学习支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过“尝试与发现”引导学生自主推理性质发展数学思维，用五点法作图和复合函数最值例题强化数学语言表达。学生能提升抽象与探究能力，教师可依托结构化资源实施高效教学。

第七章 三角函数 7.3.1正弦函数的性质与图像 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.定义、定义域与值域 2.基础图像 用“五点法”画y=sinx简图： 五个关键点（0,0）、(,1)、(π,0)、(,-1)、(2π,0) （最高点、最低点与 轴的交点） 3.单调性 4.奇偶性与对称性 5.周期性 6.最值 情景与问题 将图7-3-1(1）所示的摩天轮抽象成图7-3-1(2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm,P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm.记以OP为终边的角为xrad，点P离地面的高度为ym，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？ 情境中的问题，可以利用本小节要学习的正弦函数知识解答. 我们已经知道，对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sinx与之对应，因此y=sinx是一个函数，一般称为正弦函数. 利用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数值，如图7-3-2(2)中，就是角x的正弦线.  1.正弦函数的性质 （1）定义域与值域 因为任意角都有正弦，所以y=sinx的定义域为    由图7-3-2的正弦线可以看出， 的长度最大是1，最小是0．因此可知y=sinx的值域为[-1,1]，而且 当且仅当x=,k∈Z时，函数y=sinx的最大值 当且仅当,k∈Z时，函数y=sinx的最小值 x∉R  已知sinx=t-3 x∈R，求t的取值范围. 例1 因为-1≤sinx≤1，所以-1≤t-3≤1，由此解得2≤t≤4 解 1.正弦函数的性质 （2）奇偶性 由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函数y=sinx是奇函数，其图象关于原点中心对称. （3）周期性 由诱导公式sin(x+k·2π)=sinx(k∈Z)可知，当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. 由上可知，正弦函数y=sinx是一个周期函数，2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期（周期正负均可）. 今后本书中的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 在2kπ(k∈Z,k≠0)中，最小的正数为2π，因此正弦函数y=sinx的最小正周期为2π． 1.正弦函数的性质 （4）单调性 由y=sinx是以2π为周期的周期函数可知，我们只要知道正弦函数在一个长度为2π的区间内的单调性，就能得到正弦函数在R上的单调性． 由图7-3-2中的正弦线可以看出，正弦函数y=sinx在区间上， 从-1增大到1，是递增的；在区间上，从1减少到-1，是递减的． 一般地，正弦函数y=sinx在区间(k∈Z)上递增， 在区间(k∈Z)上递减. 1.正弦函数的性质 例2 不求值，比较sin（-）和sin(-)的大小 解 因为 sin(-)=-sin=-sin(4+)=-sin, sin(-)=-sin=-sin(4+)=-sin=-sin()=-sin 又因为y=sinx在区间内递增,且, 所以 sinsin 因此sin（-）>sin(-) 1.正弦函数的性质 （5）正弦函数的零点 可以看出，正弦函数y=sinx的零点为kπ(k∈Z). 例3 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. (1)y=sinx-2; (2) y=(sinx−1)2+2;(3) y=(sinx−)2+1. 解 （1）函数y=sinx-2与y=sinx同时取得最大值和最小值， 所以， 当x=+2kπ(k∈Z)时， y=sinx-2取得最大值-1； 当x=-+2kπ(k∈Z)时， y=sinx-2取得最小值-3； 1.正弦函数的性质 例3 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. (1)y=sinx-2; (2) y=(sinx−1)2+2;(3) y=(sinx−)2+1. 解 （2）令t=sinx，则 y=(t−1)2+2,t∈[-1,1], 于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了. 因为-1≤t≤1时，-2≤t-1≤0，所以0≤(t−1)2≤4，因此 2≤(t−1)2+2≤6. 从而ymax=6，此时t-1=-2,t=-1，即sinx=-1 x=−+2kπ(k∈Z); ymin=2，此时sinx=1， x=+2kπ(k∈Z) 1.正弦函数的性质 例3 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. (1)y=sinx-2; (2) y=(sinx−1)2+2;(3) y=(sinx−)2+1. 解 （3）令t=sinx，则 y=(t−)2+1,t∈[−1,1]. 因为-1≤t≤1时， −≤t−≤，所以0≤(t−)2≤，因此 1≤(t−)2+1≤. 从而ymax=，此时sinx=-1, x=−+2kπ(k∈Z);ymin=1此时t−=0,t=， 即sinx=,x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z) 思考：这两部分的并集能合成一部分吗？ 对比分析 之前我们做过这样一道题： 写出终边在x轴上的角的集合． 解 在0°~360°内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为 S1={α|α=k·360∘,k∈Z} S2={α|α=180∘+k·360∘,k∈Z} 为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法改为 S1={α|α=2k·180∘,k∈Z} S2={α|α=(2k+1)·180∘,k∈Z}, 因为{m|m=2k,k∈Z}∪{m|m=2k+1,k∈Z}=Z，所以 S=S1∪S2={α|α=m·180∘,m∈Z} 即集合S是终边在x轴上的角的集合. 终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2）终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 阶段小结 函数 定义域 值域 最值 当时，;当 时， 奇偶性 奇函数，图象关于原点中心对称 周期性 周期函数，周期为,最小正周期为 单调性 在区间 上单调递增，在 上单调递减 零点 2.正弦函数的图像 我们可以借助科学计算器，通过描点法得到正弦函数的图象. 由y=sinx是以2π为周期的周期函数可知，只要知道正弦函数在一个长度为2π的闭区间内的图象，就可得到正弦函数在R上的图象． 下面我们探讨正弦函数y=sinx在区间［-π，π]上的图象. 又因为y=sinx是奇函数，所以y=sinx在［-π，0］和［0，π]上的图 象关于原点对称，因此只要探讨y=sinx在[0,π]上的图象即可. 2.正弦函数的图像 取[0 π]中的几个值，列表如下 在平面直角坐标系中描点,如图7-3-3所示.又根据y=sinx在[0，]上递增，在[,π]上递减等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到y=sinx在[0,π] 的函数图象.然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到y=sinx在[-π,π]上的图象，如图7-3-3所示 2.正弦函数的图像 由于y=sinx的周期是2π，所以正弦函数在[-π+2kπ,π+2kπ](k∈Z)上的函数图象与其在[-π,π]上的函数图象形状完全相同，因此不难得到正弦函数y=sin 2 的图象，如图7-3-4所示． 图7-3-4 一般地， y=sinx的函数图象称为正弦曲线. 2.正弦函数的图像 图7-3-4 另外，这两个结论也可以从关系式sin（π＋2kπ-x)=sinx和sin(2kπ-x)=-sinx得到，其中k∈Z. 由图7-3-4也可以看出，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x=+kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ,0)(k∈Z)． 轴对称问题的常用性质： 函数y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称⟺ f(x)=f(2a−x)⟺ f(a−x)=f(a+x)。 若函数y=f(x)满足 f(a+x)=f(b−x),则y=f(x)的图象关于直线x=成轴对称。 中心对称问题的常用性质: 1.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⟺ f(a+x)+f(a−x)=2b⟺ 2b−f(x)=f(2a−x)。 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b−x)=c,则y=f(x)的图象关于点(​,)成中心对称。 2.正弦函数的图像 正弦函数y=sinx的图象也可由其在［0,2π］上的图象得到．从图7-3-4可以看出，以下五个点在确定y=sinx x∈[0,2π]的图象形状时起着关键作用： (0,0),(,1),,(π,0),(,−1),(2π,0)（最高点、最低点与 轴的交点） 这五个点描出后， y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本上确定了. 今后，我们作正弦曲线的简图时，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法. 2.正弦函数的图像 例4 用五点法作函数y=sinx+1, x∈[0 2π]的图象. 解 找关键的五个点，列表如下. 描点作图，如图7-3-5所示． 由图7-3-5可以看出，对于任意一个x∈[0,2π]，函数y=sinx+1的函数值比y=sinx的函数值大1，因此y=sinx+1, x∈[0 -2π]的图象可由y=sinx,x∈[0,2π]的图象向上平移一个单位得到. 事实上，前述情境与问题中，y是x的函数，而且 y=rsinx+l,它具有与y=sinx+1类似的性质. 阶段小结 （1）作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数. （2）正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x=+kπ(k∈Z) ，对称轴经过图象的最高（低）点;正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (3)五点法作图 以下五个点在确定y=sinx x∈[0,2π]的图象形状时起着关键作用： (0,0),(,1),,(π,0),(,−1),(2π,0)（最高点、最低点与 轴的交点） 这五个点描出后， y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本上确定了. 巩固提升练习 1．用“五点法”作三角函数图像： 用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图像/ 按五个关键点列表如下： 解 0 0 1 0 -1 0 1+2sinx 0 3 1 -1 1 描点并用光滑的曲线连接起来，得到，, 的图象. 巩固提升练习 2．正弦曲线的应用 利用正弦曲线，解不等式： . 作出正弦函数在 上的图象. 作直线，可知该直线与， 的图象的交点横坐标为和 ； 作出直线,可知该直线与, 的图象的交点横坐标为和 . 则在上的解集为 . 由正弦函数的周期性可知，不等式 的解集为 巩固提升练习 3．函数的周期问题 求函数 y=cos(2x+​)的最小正周期T 令 z=2x+​，由x∈R 得z∈R，且 y=​cosz的最小正周期为 2π，即​cos(z+2π)=​cosz， 于是​cos(2x++2π)=​cos(2x+​)，所以 ​​cos[2(x+π)+​]=​​cos(2x+​)，（满足f(x+π)=f(x)) 所以函数的最小正周期 T=π 巩固提升练习 4．函数的单调性 求函数)的单调递增区间 令t=​，则函数化为 y=cost（把符合函数分解为两个基本函数）， 令 −π+2kπ≤t≤2kπ，k∈Z，所以 −π+2kπ≤​​≤2kπ，k∈Z， 解得 −​+2kπ≤x≤​+2kπ，k∈Z，所以函数 y=cos() 的单调递增区间为 [−​+2kπ,​+2kπ](k∈Z)。 巩固提升练习 5．三角函数的奇偶性与对称性 已知函数y=2​sin(x+​+φ) 是奇函数，则 φ 的值可以是（ ） A.0 B.- C. D. y=2​sin(x+​+φ) 是奇函数，则只需 ​​+φ=kπ，k∈Z（“利用x=0时y=0”求解）. 从而 φ=kπ−​​，k∈Z。 显然当 k=0 时，φ=−​ 满足题意，故选 B。 B 巩固提升练习 6.函数的最值（值域） 求函数 的最大值和最小值； 令 ,则 . 因为 ，所以 当 时 即时，函数取得最大值, ; 当,即时，函数取得最小值, . $