湖南邵阳市第一中学等校（名校联考联合体）2026届高三下学期第三次联考数学试题

高三数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C C C B D ABC ABD AD 1.B【解析】-x=(2+i)-(2-i)=2i 2.C【解析】因为{-1,0,1)二A二(0，一1,1}，所以A={-1,0,1),所以A的真子集个数为23-1=7. C【解析)因为双曲线C:素一y=1(>0)的离心率为 所以更-号所以=2 4C【解折16在a上的议影向量为ms0:台=2aa-1X得3》=（偏是） 5.C【解析】因为/(x)的周期为4，所以f(2)=f(一2)，因为f(一x)十f(x)=0,所以f(一2)十f(2)=0,联立消去 f(一2)得，f(2)=0. 6.A【解折】由已知得，g)=an2x,令一受+r<2x<受+，kC乙，解得，受-平<x<经+子ke刀， 7.B【解析】法一：因为A(-1,0),B(3,0),设P(x,y),由PB=5PA得√(x-3)2十y=5√(x十1)十y, 平方并整理得24r+56x+16+24y=0,化简并整理得(x+）°+y-器， 故点P的轨运是国，其半径为号故共面软为需 法二：因为A(一1,0)，B(3,以，PB=5PA,所以P的轨迹为存在一条直径位于x轴上的圆，设此直径的端点坐标为 x<一1， |x>-1, (x,0),则{ -x=5(-1-或3-x=5[z-（-1D, 所以x=一2或x=一子，所以P的轨选所围成的面积为元 -2 25π 2 36 8.D【解析】如图，取BD的中点O,连接AO,CO, 在正四面体ABCD中，易知AO⊥BD,OLBD, 又AO∩CO=O,AO,COC平面AOC,所以BD⊥平面AOC,又ACC平面AOC,所以BD LAC. 过P:作AC的平行线，交BC于E:,再过P,作BD的平行线，交AD于G,作E,F;∥BD交CD B 于F,连接GF, 得截面四边形PE,F,G;,易知四边形PE,F,G;为矩形， 由湘似三角形知识可知PG,=音PE,=1一高： 所以3=(1-)=品品0 二、选择题 g.ABC【解析】因为a为第二象限角，sin&=青，所以cosa=-√个一8=一号， cos(a十x)=-cosa=亏， .3 sm2a=2 in=2X号×(-号）=-2岩 43 又因为sina+cosa=2sina十)，所以ina+买=y25=号，故选ABC 数学参考答案(L3)一1 10.ABD【解析】A.用四种不同颜色涂色的方法数为A=24,所以A正确； B.用1,2,3这三种不同颜色涂色的方法数为C侧C=6,所以B正确； C,只考虑区域d的涂色，直接得：在四种不同颜色涂色的条件下，区域d用4涂色的概率为，所以C错误； D在用1,23这三种不同颜色涂色的条件下，区城6用2涂色的概率为名-号，所以D正确， 11.AD【解析】设经过点（一1,1）的直线方程为y=(x十1)+1， 代入y2=4x得，ky2-4y十4k十4=0， 因为（与C切于点A,B,所以△=16-16k(k十1）=0， 化简得，k2十一1=0，设此方程的两个不同根分别为k,k2, 则k,2分别对应于过，点A,B的（的切线l1,l2,k十k2=一1，所以A正确； 由于为1y-4y十4十4=0的两个等根，所以=号 同理为=忌，所以B错误： 由A,B的坐标分别为（学），（年为）小， 所以童线AB的方根为y一的千（一浮）.化商得厂千十产件 y1十y2 2地经x十千反 将n一后必=元代入得餐 2 将k1十k2=一1，k2=一1代入得，v=2.x一2，所以D的坐标为(1,0)，所以C错误； 又直线x=一1为C的准线，D为抛物线焦点，由抛物线的定义得， PQ的中点到直线x=-上的距高为士-受（其中d,d分别为P,Q到准线的距离），所以PQ的中点到y轴 的距离为受-1，D正确， 三、填空题 12.28π【解析】设侧棱长为L,则π(1十4)l=25π，所以1=5，所以圆台的高为h=√52一(4-1)严=4，所以圆台的体积 为5(12+4+1×4)×4=28元 13.93 4 【解折]在三角希ABD中，由余我定理得，心sA22=子， 2×2×1 所以A=,所以C=吾 由圆的时称性得，当且仅当CB=CD时，三角形BCD的面积取得最大值，为7×厅×号×am号-7华，所以四边 形ABCD的最大面软为2+分×2X1Xsm等-9 4 141【解析】因为Vx∈0，+o),n2吊-1og+1x≥0哈ax-a-lh≥0， 令fx)=ax-a-lnx,所以f(x)=a-1 则当a≤0时f(x)<0,即f(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以当x0>1时，f(xo)<f(1)=0,矛盾，故a>0. 因为当0<<时，f(x)<0:当x>时，f(x)>0, 所以fx)m=f(合)=1-a+lna≥0，即ln>a-1,所以a=l. 数学参考答案(L3)一2 四、解答题 15.【解析】(1)因为2lgu+1=lgan十lg+2,所以lga+1=lga,at2,…(2分） 所以a呢+1=a以叶2，…(4分） 因为am>0,所以Vn∈N,=t2 an antl 所以{an}为等比数列.…。 (6分) (2)设公比为g(g>0),因为=6，a4=54,所以g=%=9,…(8分) 所以q=3,1=2,… (10分) 所以an=2X3-1, (11分) 所以{0}的前n项和为S.=218）=30一1.…（13分） 1-8 16.【解析】(1)记首次从口袋中摸出1个标有数字1的球为事件M,第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球为事件 N,…(2分） 14 则PW4/0三6=5，… (5分) 所以第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球的概率为 4 …（7分) (2由巴知得，P0=音-导， (9分) P(B=号×+×号=， (11分) 所以P(AB)=AA=4 A-15 (13分) 所以P(AB)≠P(A)P(B)。 所以A,B不相互独立。… (15分) 17.【解析】(1)取BE的中点为O,连接OA1,OC,OD, …(们分) 由图1中的条件得，OC=OD=1,AO=√5， 因为AC=2,所以A1O十OC=AC,所以AO⊥OC,… (3分) 又由正三角形性质得BE LA C.……(4分) 因为OC∩BE=O,所以AOL平面B(DE,…(6分) 因为AOC平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCDE.…(8分) (2)过O,点在平面BCDE内作直线I垂直于BE,如图，分别以直线EB,L,OA为x,y,x轴建立空间直角坐标系 O-xy,… …(9分） 则平面ABE的法向量为n1=(0,1,0),… …（10分) A00w5),c(2号oD-2号）所以Ad-(号号，-)，心-1,0.0. 设平面A,CD的法向量为n2=(a,b,c), 数学参考答案(L3)一3 1 则〈 合a+96-5=0所以4=02. (13分) a=0, 所以平面AE与卡面ACD夫角的余弦位为损册-及后 (15分) 5 18.【解析】(1)因为px+qy=p,所以p(x一1)十qy=0, …(2分) x一1=0， =1, 因为Hp,q∈R,所以 y=0,所以 (y=0, 所以A的坐标为(1,0).… …(4分) (2)设M(x,y),因为d=3MA, 所以x-9|=3√/(2-1)2十y,…(6分) 所以(x-9)2=9[(x-1)2+y], 化简得，号+管-.《（8分） (3)记M的坐标为(：o,h),由题意知，M,点不可能位于x轴上， 故根据椭圆对称性，不妨设点M在第一象限或在y轴正半轴上，即0≤x<3,0<y≤2√2， 又B(-1,0）,A(1,0),所以直线MB的方程为y=十x十1），…………(9分） 设n与x轴，MB分别交于点C,D, 因为不-2，所以一学0一蒙总各部。 (10分) 所以△BCD的面积S,与△MBA的面积S之比为 图×尝哉念器 94- 2×2X0 18(2+1)’ …y…（门2分） 令)0<3，则r)-结24. 当x∈[0,1)时，f(x)<0,当x∈(1,3)时，f(x)0, 所以函数f(x)在[0,1)单调递减，在(1,3)单调递增， 又因为f0)=合，1)=告3)=合 (14分) 所以)的值城是[台，号，所以<号<分 号≤gSS,mmm (15分) 根据对称性，△MAB被m分成的左，右两个邦分面积之比的取值范国是[号，是] (17分) 19.【解析】1)存在(0,3)上的双平行切线函数”p()=}x兰十2z,但在(0,3)上不是单调函数，…(2分) 首先证明：p(x)为(0,3)上的“双平行切线函数”： p()=7-3x+2,令g(3)=p0+(3-00g(x),即号-0+3(2-3x+2), 化简得，329x士号=0，所以=3-8E(0,3),8十3(0,3，(4分】 2 2 所以(x)为(0,3)上的“双平行切线函数”；…(5分) 令p（x)=0得，x3=1,x4=2,…(6分) 当且仅当x∈(0,1)U(2,3)时，9(x)>0,所以p(x)在(0,1)，(2,3)上单调递增， 当且仅当x∈(1,2)时，p(x)<0,所以(x)在(1,2)上单调递减， 数学参考答案(13)一4 所以p(x)在(0,3)上不是单调函数， 所以存在0,3》上的双平行切线画数”a)=号2-号+2，但在0,3)上不为单调画数。…08分) (2)(i)由已知得，h(s)=h(r)=c, 由已知得，0<r<s,h(s)=h(r)十h'(x)(s一r)在(r,s)上有两个不同的解，x2, 所以h'(x1)=h'(x2)=0,即h'(x)=0在(r,s)上有两个不同的解，x2,…(10分) 由题意可得，h(x)=x-lnx-(t+1), 设()=x-lnx-(t+1),则k(x)=1-1=二1 xz, 当x∈(0,1)时，以(x)<0,则(x)为减函数，即h'(x)为减函数， 当x∈(1，十∞)时，以(x)>0,则(x)为增函数，即h'(x)为增函数， 故h'(x)m=h'(1)=-t.…（(11分） 当x→0时，h'(x)→十csx-To,h'()→+∞， 所以h'(x)=0在(1s)云(0；十∞)上有两个不同的解x,x2台一0台t>0, 即t的取值范围为(0，十∞). …(们3分） (iⅱ)不妨设0<x<1<x2, 则x1-ln1=+1,x2一lnx2=1十1， 要证x1十x2>t十2，即证x2>t十2-=1-lnx1, 因为0<x<1,所以1-lnx1>1, 因为z2>1,(x)在(1，十∞)上为增函数， 所以只需要证明：u(x2)>(1一ln), 因为μ()=(2)=0， 所以只需要证明：以()1-ln1),其中0<<1，…（15分) 设r(x)=(x)-a(1-lnx)=x-1+ln(1-lnx)(0<x<1), 1 )-1-(1(05x<1), 设o(x)=x(1-lnx)(0<x<1),则p(x)=-lnx>0, 所以p(x)在(0,1)上单调递增，所以0<p(x)“g(1)=1, 1 所以()=1一x1-n西<0，所以r()在01)上单调递减， 因为r(1)=a(1)一(1)=0，所以r(>0, 即(x)>(1-lnx),其中x.←(0,1)， 即21十22>t什2得证，… …（们7分) 数学参考答案(L3)一5 高 三 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净底，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z=2-i,则-z= A.-2i B.2i C.4 D.0 2.若{-1,0,1}⊆A⊆{0,-1,1},则A的真子集个数为 A.3 B.8 C.7 D.6 3.若双曲线 的离心率为 则k的值为 C.2. D.3 B. A. 4.已知向量=(1,3),=(-2,1),则在上的投影向量为 A. B. C. D. 5.已知函数 f(x)的定义域为R,周期为4,若f(-x)+f(x)=0,则f(2)= A.-2 B.-1 C.0 D.2 6.若将函数f(x)=tanx图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半(纵坐标不变)得到g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间为 B.(kπ-π,kπ+π)(k∈Z) C. D. 7.已知A(-1,0),B(3,0),P为平面上的一个动点,若PB=5PA,则 P 的轨迹所围成的面积为 A.4π C. D. 8.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,P₁,P₂,…,P₉ 是棱AB 的10等分点,过Pi(i=1,2,…,9)作与AC,BD均平行的平面α,记此平面截正四面体ABCD 所得的截面面积为 .则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知α为第二象限角， 则 A. B. C. D. 10.用1，2，3，4四种颜色给图中的a，b，c，d四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则 A.用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B.用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C.在用四种不同颜色涂色的条件下，区域d用4涂色的概率为 D.在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域b用2涂色的概率为 11.经过点(一1，1)作直线与抛物线C: 分别切于点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),对应切线的斜率分别为k₁，k₂，直线AB与x轴交于D，过D任意作一条直线与C交于P，Q，则 A. B. C. D的坐标为(1,1) D. PQ的中点到y轴的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为25π，则圆台的体积为 . 13.在圆O的内接四边形ABCD 中，若AB=2,AD=1,BD= 则四边形ABCD的最大面积为 14.若 则a 的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在正项数列 中，已知 (1)证明: 为等比数列； (2)若 求 的前n项和 16.(本小题满分15分) 在不透明的口袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中2个球上标有数字1，4个球上标有数字2. (1)在首次从甲袋中摸出1个标有数字1的球，且不放回的条件下，求第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球的概率； (2)从口袋中不放回取2个小球，每次取1个，记事件A={首次取到的是标有数字2的球}，事件B={第二次取到的是标有数字1的球}，则A，B是否相互独立?请说明理由. 17.(本小题满分15分) 如图1，△ABE是边长为2的正三角形，四边形 BCDE 是一个梯形；其中 DC=CB=1.现在沿着 BE 把△ABE 折起到 的位置，连接 且使得 如图2. (1)求证:平面 (2)求平面 A1BE 与平面A1CD夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，设动直线l：px+qy=p(p,q∈R)恒过定点A；直线m:x=9,M为平面上的一个动点，M到m的距离为d；且d=3MA. (1)求A 的坐标; (2)求M的轨迹C 的方程； (3)设A 关于y轴的对称点为B， 过N作与x轴垂直的直线n，求 被n分成的左、右两个部分面积之比的取值范围. 19.(本小题满分17分) 设函数(x)在(a,b)上可导,导函数为(x),若关于x的方程 在(a，b)有且只有两个不同的解，则称(x)是(a，b)上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为(x)在(a,b)上的平行切点. (1)是否存在(a，b)上的“双平行切线函数” 但在(a，b)上不是单调函数?若存在，请举例；若不存在，请说明理由； (2)令 设直线y=c与y=h(x)的图象交于两个不同的点R，S，其横坐标分别为r，s，且h(x)是(r，s)上的“双平行切线函数”，h(x)在(r，s)上的平行切点为. (i)求实数t的取值范围； ( ii)证明: 学科网（北京）股份有限公司 $