精品解析：辽宁鞍山市岫岩满族自治县2026届高三下学期3月份质量监测数学试题

2026届高三3月份质量监测 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行以及充分和必要条件等知识来求得正确答案. 【详解】由，得，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，符合题意. 即等价于或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法即可求解. 【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法， 将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法， 故总的站法有. 故选：B 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知. 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 6. 已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案. 【详解】， ，， 函数在区间上恰有3个极大值点， 故，解得. 故选：D 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】设的外接圆半径为，因为，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，所以， 记的外心为，连接，，，则， 取，的中点分别为，，则，， 又因为，可得，， 因为，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面，可得， 由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为， 则球心到的距离为， 则有，解得， 所以球的表面积， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定所在截面小圆的半径，再通过几何关系确定球心所在直线，进而确定球心位置，将球心到的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题. 【详解】图， 由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根， 且，由题：，， 设则 ，令， 故在递增，在递减，. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（ ）（若随机变量服从正态分布，则） A B. C. 该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D. 该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解ABD，根据正态分布中参数的含义即可求解C. 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又 ，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为 ，超过，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 当有2个零点时，只有1个零点 B. 当有3个零点时，只有1个零点 C. 当有2个零点时，有2个零点 D. 当有2个零点时，有4个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，结合图象，逐一分析各选项中的取值范围，从而得解. 【详解】令，得， 利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示， 由图可知，当有2个零点时，或， 此时无零点或只有1个零点，故A错误； 当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确； 当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时， C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D. 若点坐标为，直线与相切，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断；B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得；C选项，由双曲线定义可判断；D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得. 【详解】解：因为双曲线方程为，所以，渐近线方程为， 选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确； 选项B，由双曲线的定义知，， 若，则， 因为， 所以， 解得，即B正确； 选项C：，即C错误； 选项D，因为平分，由角分线定理知，， 所以， 又， 所以，解得，即D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可. 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 13. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 14. 斐波那契数列，又称黄金分割数列．因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，．这种递推方法适合研究生活中很多问题．比如：某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有______种．（用数字作答） 【答案】89 【解析】 【分析】设小明上个台阶有种方法，只需把最后一步分成上1个台阶与上2个台阶两类情况，可得，利用斐波那契数列的定义即可求得. 【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步， 若最后一步小明上1个台阶，则前个台阶有种方法且； 若最后一步小明上2个台阶，则前个台阶有种方法且. 由加法原理得，易知， 可得. 所以小明不同的上楼方法共有89种. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【答案】（1）单调递增区间为，，对称轴方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件得到，再利用平面，得到，从而得出四边形是平行四边形，进而有，即可证明结果； （2）取取中点，连接，，根据条件建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量和向量，利用线面角的向量法即可求出结果. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 又面，所以，又，所以四边形是平行四边形，得到， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图，取中点，连接，，则， 因为平面，由（1）知，所以平面， 又，所以，过作，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面，面，所以，又，，所以面， 又面，所以, 故为二面角的平面角，所以， 又，所以，又，所以， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则由得到，，取，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义求出半径，即可得解； （2）利用点到直线的距离及圆的性质，求出弦长，得出三角形面积即可； （3）设，可得直线的方程为，联立椭圆，得出根与系数的关系，利用弦长公式求出，再由点到直线距离求出三角形高，得出三角形面积，换元后利用导数求最值. 【小问1详解】 因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； 【小问2详解】 如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：距离， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出三角形面积表达式后，需要通过换元，转化为不带根号的式子，再由导数判断函数的单调性，利用单调性求面积的最小值. 18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）丙先参赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【小问1详解】 （i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. 【小问2详解】 若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 19. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； （3）若，数列满足，证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2）; （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究的区间单调性，结合零点个数有，即可证结论； （2）由，设且，进而得到，则，再利用导数求右侧的最大值即可； （3）构造并应用导数研究其单调性，进而有且，进一步得到，最后应用累加及等比数列前n项和公式证明结论 【小问1详解】 由题设，的定义域为，且， 由，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且趋向于0或正无穷时，均趋向于负无穷， 要使有2个零点，只需，得证； 【小问2详解】 由已知，，设，由，则， 将代入，则，结合， 所以， 设，则， 设，则，， 由，则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增，则， 所以的最大值； 小问3详解】 由题意， 设，所以， 对于，则，显然有，有， 在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故， 所以在上单调递增， 所以，，，依此类推有， 从而，整理得， 当时，，则（当且仅当时取等号）， 所以 ，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用导数研究的单调性，进而得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三3月份质量监测 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ） A B. C D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（ ）（若随机变量服从正态分布，则） A. B. C. 该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D. 该厂家生产的安全芯片的良品率超过 10. 已知函数，则（ ） A. 当有2个零点时，只有1个零点 B. 当有3个零点时，只有1个零点 C. 当有2个零点时，有2个零点 D. 当有2个零点时，有4个零点 11. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时， C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D. 若点坐标为，直线与相切，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 13. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 14. 斐波那契数列，又称黄金分割数列．因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，．这种递推方法适合研究生活中很多问题．比如：某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有______种．（用数字作答） 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）若，二面角正切值为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 19. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求最大值； （3）若，数列满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $