山东日照市第一中学2025-2026学年高三下学期3月份单元质量检测数学试题

高三下学期3月份单元质量检测数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D D C D D A BD ABC ACD 12.-4 13.(-0,-2)U{2} 14品 8由血=，得x>0,所以k=血设fy)=血对 nx,0<x<1 Inx -,x≥1 方程lnx=x的根等价于直线y=k与f(x)图象的交点的横坐标. 因为函数y=hx(x>0)的导数为y=1-血x x2, 当0<e时，>0，y=(x0)单调造编： 当x≥e时，y≤0，y=血x(x>0)单调递减， 又x=1时，=0，x>1时，>0，作出/（个的大致图象，如下图： yfx) y=k Oxil x2 衣 则-n五_血3-h(,因为，(0<5<<5)成等比数列，设公比为9(g>1), X X2 X3 m支 所以x=点，与=9，代入()式得-9=n_() 2x29X2 9 In 面-gn。餐gn。n5,即gnn,所qg-n解颗 X2 X2 X2 X2 lnx=9血g 1+9 答案第1页，共7页 qin qing 代入 Inx () .Ing+ 可得1+9 1+9, X2 9X2 X2 9X2 整理得g2-2g-1=0,解得g=√2+1或g=1-√2（舍去)，则公比为√2+1. 15.(1)由题意知，sinC-sinB≠0，即b≠c,即B≠C 因为， sin 2A cos B-cosC Cos24-sins AcosA=sin A=cos B-cos( 2cos2A cos A sinC-sin B' sin Asin C-sin Asin B=cos Acos B-cos Acos C, 所以Cos(A-B)=Cos(A-C),又-π<A-B<元，-π<A-C<π， 所以A-B=A-C或A-B=C-A,所以B=C(舍)或B+C=2A, 树为4+8+C=,所以4-骨则eas4号 (2)方法一：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3x, 在△ABD中，由余弦定理可得cos∠4DB=AD+BD-AB_5x2-1 2·AD.BD 4x2 在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=4D+DC2-AC8x2-b2 2·AD.DC 8x2, 由cos∠ADB=-cos∠ADC,可得18x2=b2+2, 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC.cos∠BAC, 即9x2=1+b2-b, 联立解得x= ,b=2,所以△ABC的周长为AB+AC+BC3 方法二：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3x,即CD=2DB, 故0-AC=2B-D),故D+4C, 所以而-（居+4cj 可得36x2=4+b2+2b, 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2·AB·4C.cos∠BAC, 即9x2=1+b2-b, 联立解得x= 3 ,b=2,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=3+V5. 16.(1)由题意得，△ABD为等边三角形， 又E为AB中点，所以DE⊥EA,DE⊥EB,故DE⊥AE. 答案第2页，共7页 又因为AEBE=E,所以DE⊥平面ABE. 又因为DEc平面BCDE,所以平面ABE⊥平面BCDE. (2)如图，以E为原点，ED,EB以及垂直于平面BCDE的直线为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系， 由(1)知，BE⊥DE, 又AE⊥DE,所以∠AEB即为二面角A-DE-C的平面角，即 ∠AEB=120°. 则E(0,0,0), ED=(50,0）, EA=0 _1w5 设平面ADE的法向量方=(x,y,z),则 V+ 即2 =0,取元=(05， 2 iED=0 x=0 设直线CA与平面ADE所成的角为O, 则sin0=cos(CA,n)= cA列_ 25_√30 10 所以直线C4与平面ADE所成角的正弦值为S0 10 17.(1)由题意可知经过3局比赛，甲获得训练赛胜利，需3局连胜，则P, 3= (2)由题意，9为事件“X=k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率， 由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X, 故X即为甲的净胜局数，所以X=-3,-2,-1,0,1,2,3.经过若干局后，假定当前X=k, ①当k=3时，即甲的净胜局数X=3, 则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以9=1； ②当k=-3时，即甲的净胜局数X=-3,乙的净胜局数-X=3, 则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则93=0： 答案第3页，共7页 ③当-2≤k≤2，k∈Z时， 由甲的净胜局数-2≤X≤2，则乙的净胜局数为-X,且-2≤-X≤2， 故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局 记事件A=“X=k时，甲最终获得训练赛胜利”(-2≤k≤2，k∈Z), 事件B=“下一局比赛甲获胜”， 下一局若甲赢（即事件B发生），则X=k+1;若乙赢（即事件B发生），则X=k-1: 因为9k=P(A),9k+1=P(A+),9-1=P(A-1), 且PSP)=I-P8子 所以由全概率公式得，P(A)=P(A|B)P(B)+P(AIB)P(B), 2 即P(A)=P(A)P(B)+P(A)P(B),因此=+，整理得=3q-24, 两边都减去9k,则可得9+1一4=2(9-9-1)， 又当k=-2时，92-93=92≠0， 故数列：92-93,91-92,46-91,41-90,92-4,93-92是公比为2的等比数列. 即数列9k+1-9.}（-3≤k≤2，k∈Z)是公比为2的等比数列. (3)由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为9o· 记a=g1-g(-3≤k≤2，k∈Z,则g3-g3=a2+a+a+a1+a2+a3=1-0=1, 由(2)知，数列{9+1-9}(-3≤k≤2，k∈Z)是公比为2的等比数列， 1 则g-93=a31+2+22+23+2+2)=1,解得a3= 63 所以a,+a,+a1=a,1+2+2)=7×1=1, 639' 又a+a+a1=g:-9,+g,-9,+g-9=-9,=9,所以g 故甲最终获得训练赛胜利的概率为) 18.(1)因为双曲线C的离心率为√2，点P(2,-1)在双曲线上， 答案第4页，共7页 e=c=5 a 2212 所以若方1，解得。=3，=3所以双线的方程为等-号-1 c2=a2+b2 (2)圆E:(x-5)2+y2=2的圆心E(5,0),半径为√2 因为T是圆E上的动点，直线ST与圆E相切，所以ST⊥TE,TE=√2 所以ST=√SE-ET=VSE-2. 设S(,%,因为点s是双曲线C上的动点，所以兰-令=1， 33 所以 SE=V《x。-5)+y=Vx6-10x+25+x-3 当=时，SE取得最小值，此时sm= 19 19,30 所以7=2-2= 2 (3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=x+m. 联立33，整理得（1-k2）x2-2x-m2-3=0, y=kx+m △=(-2m)2-41-k2)）(-m2-3)=4(m2-3k2+3)>0且1-k2≠0， 设.小则+名=深= 1-k2 直线PA的方程为y+1=当+( -2x-2),令x=0,则y=-1-2+2 x-2’ 即M 0,-1-2+2 x-2 同理可得，N0,-1-2少+2 x2-2 M -2 -2 =0, 答案第5页，共7页 整理得(2k+1)xx2-(2k-m+1)(x+x2)-4m=0, 即2k+1(-m-3）_2m(2-m+_4m=0, 1-k2 1-k2 整理得m2+2am+4m+6k+3=0,即(m+3)(m+2k+1)=0,所以m=-3或m+2k+1=0. 若m+2k+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为y=-2k-1,即y+1=k(x-2), 此时直线AB过点P(2,-),不符合题意 若m=-3,则直线方程为y=-3,恒过定点D(0,-3), 所以PD=√22+(-1+3)2=2N2为定值，又PO L AB,在Rt△POD中，PD为斜边， 所以当R为PD中点(L,-2)时，Rg=PD=V5.因此存在点R1,-2),使得OR为定值， 19.(1)当a=2时，f(x)=8x+2 xCOSx--3sinx, f(x)=8+2cosx-2xsinx-3cosx=8-2xsinx-cosx, 所以f(0)=8-1=7,f(0)=0,故当a=2时，f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=7x. (2)对任意的x≥0，当a≥号时，f()=(4+cos)-3sinx≥x x(4+cosx)-3sinx, 故只需证亏(4+cosx)-3sinx≥0对任意的x≥0恒成立，整理得 3 3sinx 3 4+cosx 5 构造函数(x)=3sinx3, x,其中x≥0， 4+cosx 5 则H()3cos4+cos小-3sin(-siny_3_34esx+1）3 (4+cosx) 5(4+cosx)25 _3(cosx-1cosx-I四≤0， 5(cosx+4)2 所以函数h(x)在[0，+∞)上为减函数，故当x≥0时，h(x)≤h(0)=0,即 3sinx≤3 x, 4+cosx 5 故对任意的x≥0， 3x(4+cosx)-3sinx20, 故当a≥号时，对任意x≥0，都有f(x)=ax(4+cosx)-3simx≥0. 答案第6页，共7页 (3)由(2)知，当a=时，3sinx≤2(4+cos,即sinx≤4+cos 5 令x=中2keN,则m,+2 4+cos1 0k+2, k+2 5 1 1 因为4+co 4+c0s 1之5，所以s1k+2 k+2 k+2 1, “k+2 5 k+2 构造函数o(y=x-1-血x,其中x>0,则p()=1-1--1, 当x∈(0,1)时，p(x)<0,即函数p(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，+o)时，p(x)>0,即函数p(x)在(1，+o)上单调递增， 所以p(x)=x-1-lnx≥p(1)=0,即x-1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立， 令=号eN).相#21h经号博2 k+2 k+2 k+2“k+21 整理得1，<-n人！=n(k+2)-ln(k+l), k+2 k+2 则sin,1<1 6+2+2齐nk+山+血k+2,即s吧+2k+y+血+2现 所议sn<-h2+n3,im-n3+h4,,s加n+2ma+叶a(n+2》 3 累加得2sin,1<-n2+ln3-ln3+ln4--ln(n+1)+ln(n+2)=ln(n+2）-ln2 k k+2 =生2-经(+.842(a.neN 答案第7页，共7页参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 高三下学期3月份单元质量检测 数学试题 2026.03 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 一、单选题 已知全集U=2-10,123},集合MxeN>3 则集合C,M元素的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 2. x+ (x-3y)°的展开式中xy2的系数为 A.88 B.89 C.90 D.91 3.已知函数f(x)=x2+2ax-1与g(x)=e+b的图象在x=0处的切线重合，则a+b= A.e-1 B.e+l c月 D月 4.有5名同学A,B,C,D,E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A和B都不是第 1个出场，且C不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为 A.42 B.50 C.54 D.60 5.已知直线I:+b+c=0,A(,,B(x,2)(其中x≠，当++C >1时， axz+byz+c 直线I与直线AB的位置关系为 A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上位置关系都有可能 6.已知双自线：后=1(a>06>0),圆0：r产+广=心+公与轴交于份丙点， M,N是圆O与双曲线在x轴上方的两个交点，点A,M在y轴的同侧，且AM交BN于点 G,且M为线段AG的中点，则双曲线的离心率为 A.5 B.5+1 C.5 D.V3+1 7.直线1与圆C:x2+y2-6x-2y+6=0交于A,B两点，且△ABC的面积为2，己知M 是圆C上的动点，则MA.MB的最大值为 A.2+22 B.2+4W2 C.4+22 D.4+42 8.若方程x=c的三个根x,x2,x（(x<x2<x)成等比数列，则公比为 A.√2+1 B.5+1 C.√e+1 D.3 二、多选题 答案第1页，共7页 9.下列说法中正确的是 A.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4 B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数”的绝对值越接近于1 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2≈6.852，根据小概率值 a=0.005的x2独立性检验：xs=7.879,，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概 率不超过0.5% D.若随机变量X服从正态分布N(3,o2),且P(X≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.4 10.设复数z满足z-2+2+2=4W2,则 A.z≥2 B.存在复数z,使得z2为纯虚数 C.存在teR,关于z的方程z=t+2ti有解 D.若复数w满足w-1=1,则z-W的最小值为2√2-2 11.已知四面体ABCD满足AB=AC=CD=BD=2,BC=2√2，点A,B,C,D均在 球O,的表面上，球O,与四面体的4个面均相切，过直线O,O,的平面截四面体ABCD所得 的截面的面积为$，则 A.球O的表面积为8π B.当四面体ABCD体积最大时，OO,=2-V2 C.当AD=√2时，S的最大值为√5 D.当AD=V反时，S的最小值为 5 三、填空题 12.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),c=(m,3),若(a+c/6+c,则m= 1区已潮商数归20。古关于前方秋小r1=-0哈青个不洞 的实数根，则实数k的取值范围为 14.已知数列{a,}中，4=1其余项由如下规则生成：若n为奇数，a1有的概率为 0。-1,有的概率为0，+2：若”为偶数，41有)的概率为4，-1，有2的概率为 an+2.则a、=9的概率为 四、解答题 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,1+cos2 =sinC-sinB sin2A cos B-cosC (I)求cosA的值： (2)若D是边BC上一点，AD=DC=2BD,C=1,求△ABC的周长. 答案第2页，共7页 16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折 至△ADE,得到四棱锥A-BCDE. E B E (I)证明：平面ABE⊥平面BCDE; (2)当二面角A-DE-C为120时，求CA和平面ADE所成角的正弦值 17.甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互 独立。已知甲每局比赛获胜的概率为？，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束 训练赛（某人的净胜局数=某人胜的局数一某人负的局数）. (1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为Pn,求P3 (2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X,记事件“X=k时，甲最终获得训练 赛胜利发生的概率为9，求证：{91-9x(-3≤k≤2，k∈Z)是等比数列； (3)求甲获得训练赛胜利的概率. 答案第3页，共7页 18巴如双商线C:手茶=1O>00商高心率务5，点2-)在风线C 上 (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:(x-5)+y2=2上的动点，且直线ST与圆E 相切，求ST的最小值： (3)如图，A,B是双曲线C上两点，直线PA,PB与y轴分别交于点M,N,点Q在直线AB 上：若M,N关于原点对称，且PO L AB,是否存在点R,使得引QR为定值：若存在， 求出该定点R的坐标；若不存在，请说明理由； 19.已知函数f(x)=4ax+axcosx-3sinx(a∈R). (I)当a=2时，求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： 2)当a≥时，证明：对任意x≥0，都有f(x)20: B证明：立n42<a(a+,eN 答案第4页，共7页