2026年福建省 九年级中考数学第一轮复习课时训练二次函数的图像与性质

3.4 二次函数 3.4.1二次函数的图像与性质 一、基础训练 1.二次函数 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( ) A.2,0,-1 B.2,2,-1 C.2,2,1 D.2,0,1 2.关于二次函数 下列说法正确的是( ) A.函数图象的开口向下 B.二次函数的最小值为1 C.该函数图象的顶点坐标为(1，5) D.当x≥1时，y随x的增大而减小 3.关于二次函数 的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是( ) A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.无法判断 4.如图，若二次函数 的图象的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点，点B(-1,0), 则当y>0时, x的取值范围为( ) A. x<-1 B.-l<x<3 C. x>3 D. x<-l或x>3 5.二次函数 和一次函数 的图象如图所示，观察图象，当. 时，x的取值范围是( ) A.-2<x<1 B. x<-2或x>1 C. x>-2 D. x<1 6. 已知点(-2, yᵢ), (3, y₂), (7, y₃)都在二次函数. 的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是( ) A. B. C. D. 7.将二次函数 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是( ) A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 8.请将二次函数 改写 的形式： . 9.如图，抛物线 经过点(3,0), 当y>0时, x的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 二、能力提升 10.已知二次函数 (a,b)为常数, a≠0). (1)求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若b=4a,a>0,该函数图象经过 两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且 求m的取值范围. 三、综合应用 11.已知二次函数 (1)求证：该二次函数图象必过定点M(1，0)； (2)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为. 求证： 学科网（北京）股份有限公司 3.4 二次函数 3.4.2二次函数的图像与性质 一、基础训练 1.若二次函数 的图象经过点A(1，2)，则a的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知 则二次函数 的图象可能是( ) 3.已知抛物线与二次函数 的图象形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(-1，3)，它对应的函数关系式为( ) A. B. C. D. 4.将抛物线 沿x轴翻折，则变换后抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 5.二次函数 的图象如图所示，其对称轴为x=1，则下列结论中错误的是( ) A. abc<0 B. a-b+c<0 C.2a+b=0 D.3a+c>0 6.将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的关系式为 . 7.如图，已知抛物线 则直线y=ax+b不经过的象限是 8.已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的关系式可以是 .(写出一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 二、能力提升 9.二次函数 的图象向右平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后，关系式为( ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点A(-2,2). (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)已知平面内一点P(0，k)，将点P向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求k的值. 三、综合应用 11.已知二次函数的关系式为 (1)若点(h，c)在该二次函数的图象上，求h的值； (2)当-1≤x≤2时, 函数有最大值m和最小值n, 求证: mn≥-4. 学科网（北京）股份有限公司 3.4 二次函数 3.4.3二次函数的实际应用 一、基础训练 1.某头盔经销商统计某品牌头盔7月到9月的销量，该品牌头盔7月销售1500个，9月销售y个，设7月到9月销售量的月平均增长率为x，那么y与x的关系式为( ) A. y=1500(1+x)² B. C. D. 2.如图，根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系式为 当小球达到最高点时，飞行时间t为( ) A.2s B.1s C.20s D.5s 3.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)的关系式为 当炮弹落到地面时，经过的时间为( ) A.40s B.45s C.50s D.55s 4.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是 则飞机着陆后滑行 m才能停下来. 5. 如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC=8, D为AB中点, E、F是边AC、BC上的动点, E从A出发向C运动，同时F以相同的速度从C出发向B运动，F运动到B停止，当AE 为 时，△ECF的面积最大. 6.如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29m的篱笆围成矩形菜园ABCD，墙长12m，其中AD的长不超过墙长，在BC边上留一个1m宽的小门EF.设AB为 xm，当x取何值时，矩形菜园的面积最大?最大面积为多少平方米? 学科网（北京）股份有限公司 二、能力提升 7.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： 每个商品的售价x/元 … 25 30 35 *** 每天的销售量y/个 … 110 100 90 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)设商场每天获得的总利润为w(元)，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 三、综合应用 8.如图1，一位小朋友在一个半径(内径)为1m的圆柱形水泥管道内踢球.某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹(球心轨迹)是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上.如图2，在该横截面上，以水泥管道内壁(圆)的最低点为原点O，以过O点的直径所在的直线为y轴，过点O且垂直于y轴的直线为x轴建立平面直角坐标系.已知小球从管壁脱离时球心A的坐标为 小球球心经过的最高点坐标为 (1)求小球球心轨迹对应抛物线的表达式. (2)当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中.若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到x轴所在的水平线距离为 ，求书包开口中心处的坐标. 参考答案 3.4.1二次函数的图像与性质 一、基础训练 1、A 2、C 3、A 4、B 5、B 6、C 7、C 8、 9.-1<x<3 二、能力提升 10、解: (1)证明: ∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点. (2)∵b=4a, a>0, ∴-a<0. ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 ∵A(2m-9, y₁), B(m+2, y₂)分别位于抛物线对称轴的两侧,且y₁<y₂, ∴分两种情况讨论. ①当点 A 在点 B 的左侧时， 2m-9<-2<m+2. 解得-4<m<3.5. ∵y₁<y₂, ∴-2-(2m-9)>m+2-(-2)>0, 即-2m+7>m+4>0. 解得-4<m<1. ②当点 A 在点 B 的右侧时， m+2<-2<2m-9. 解得m<-4且m>3.5,无解. ∴点 A 在点 B 的右侧不成立. 综上, m的取值范围-4<m<1. 三、综合应用 11、证明: ∴当x=1时, y=-k+(k-3)+3=-k+k-3+3=0. 学科网（北京）股份有限公司 ∴该二次函数图象必过定点 M(1，0). (2)令 ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∵二次函数 ∴k≠0. 3.4.2二次函数的图像与性质 一、基础训练 1、 B 2、A 3、D 4、D 5、D 6、y=3x²-2 7、第二象限 (答案不唯一, c-b=1且c≠0即可) 二、能力提升 9、D 10、解: (1)∵二次函数 的图象经过点A(-2, 2), ∴二次函数的关系式为 ∴该二次函数图象的顶点坐标为(-1，1). (2)将 P(0, k)向左平移2个单位长度后的坐标为(-2, k). 把(-2, k)代入 得 三、综合应用 11、(1)∵点(h, c)在该二次函数的图象上, 学科网（北京）股份有限公司 解得h=0或h=2. (2)证明: ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1. ∴在-1≤x≤2范围内,当x=-1时, y取最大值为m=3+c,当x=1时, y取最小值为n=c-1. ∴mn≥-4. 3.4.3二次函数的实际应用 一、基础训练 1、A 2、A 3、C 4、600 5.4 二、能力提升 6.解：设矩形菜园的面积为 Sm². 依题意,得 BC为(29+1-2x)m. ∴S是x的二次函数. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵AD的长不超过墙长， ∴0<30-2x≤12. ∴9≤x<15. ∴当x=9时, S取最大值,最大值为108. 答：当x=9时，矩形菜园的面积最大，最大面积为108m². 7、解：(1)由题意可设y与x之间的函数关系式为y=kx+b. ∵当x=25时, y=110,当x=30时, y=100, 解得 学科网（北京）股份有限公司 ∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+160. (2)由题意,得w=(x-20)(-2x+160)=-2x²+200x-3200 ∵-2<0, ∴当x=45时, w取得最大值,最大值为1750. 答：当商品的售价为45元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1750元. 三、综合应用 8、解：(1)∵小球脱离管壁到再次触壁前的运动轨迹是一条抛物线，且小球球心经过的最高点坐标是 ∴设该抛物线的表达式为 ∵小球从管壁脱离时球心A 的坐标为 解得 ∴小球球心轨迹对应抛物线的表达式为 (2)将 代入 得 解得 ∴此时小球的球心在点A 左侧，与实际不符，故舍去. ∴书包开口中心处的坐标为 $