2025年九年级中考数学二次函数专题复习训练三：二次函数的性质

二次函数专题复习三：二次函数的性质（浙教版） 一、选择题 1． 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （　　） A．-3 B．-1 C．0 D．1 2．若为二次函数图象上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 4．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（　　） A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3 C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1 5．已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（　　） A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5 6．二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 7．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 8．“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 10．定义：表示取a，b中最小的数，即：①当时，②当时，如，则的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知二次函数，则此函数的顶点坐标是　 　；若，当时，函数有最小值，则　 　． 12．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有　 　 （填序号） 13．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是　 　. 14．抛物线（，，为常数，经过，，三点，且. 下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则. 其中正确的是　 　（填序号即可）. 15．正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为　 　. 16．如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为　 　. 三、解答题 17．【问题背景】 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接．点M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为， ①请用含m的代数式表示线段的长； ②连接求出当m为何值时，四边形的面积有最大值，最大值是多少？ 【深入探究】 （3）若点G是对称轴上一动点，将线段绕点G顺时针旋转，当点A的对应点为刚好落在抛物线上时，求出点G的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-2，0)，B两点，其对称轴直线x=2与x轴交于点D. （1）求该抛物线的函数表达式为　 　； （2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积最大值和点P此时的坐标； （3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y'，当抛物线y'经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标　 　. 19．在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式． （2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围． （3）已知在函数的图象上，当时，求证：． 20．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值” （1）点A（2，6）的“坐标差”为________； （2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”； （3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式； （4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数专题复习三：二次函数的性质（浙教版） 一、选择题 1． 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （　　） A．-3 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解： 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ， 故m=，即有m=p+1； 又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1 t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p， t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1 当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3. 故答案为：A. 【分析】由A、B纵坐标相同知A、B有关于对称轴对称，得m=p+1，由m的范围可得p的范围，求出t与p之间的关系式，t为p的二次函数，当p=1时，t取最小值. 2．若为二次函数图象上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴时，函数值最小，即最小， ∵到对称轴的距离是2，到对称轴的距离是1， ∴， ∴， 故选： B． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据“开口向上的二次函数，其自变量离对称轴的距离越大，函数值也越大”，又知 到对称轴的距离是2，到对称轴的距离是1，，又知时，函数值最小，即最小，即可进行判断． 3．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解： ， 令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2， 抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0）， 由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为， 当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点， 然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点， 把（0，6）代入中得t=6， ∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点， 联立与，令y值相等，得=， 整理为2x2+3x+2t-12=0， △=32+4×2（2t-12）=0，解得t=， 当t=，直线与新图象有且只有2个公共点， ∴或. 故答案为：D. 【分析】先求出翻折后的抛物线解析式，当直线在（0，6）和（0，-6）之间平移中始终与新图象有且只有2个公共点 ，其中不包含点（0，6），当直线与新图象y轴左侧部分只有一个交点时，也满足直线与新图象有且只有2个公共点，据此解答即可. 4．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（　　） A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3 C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：如图所示： A、由图象可知： 若b＜a1＜a2＜a3，当x=b时，则c1＜c2＜c3 ， 故选项错误，不符合题意； B、由图象可知：若a1＜b＜a2＜a3，当x=b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意； C、由图象可知： 若a1＜a2＜b＜a3，当x=b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意； D、由图象可知： 若a1＜a2＜a3＜b，当x=b时，c3＜c2＜c1 ， 故选项正确，符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据题意，画出满足题意的函数图象，根据x=b与二次函数图象交点的位置进行判断即可. 5．已知二次函数，当时，有最大值及最小值，当时，实数的值为（　　） A．-3或-1或5 B．-3或5 C．-1或 D．-3或或5 【答案】A 【知识点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：把代入，得；把代入，得， 当，即时，，， ， ，即， 解得，， 当，即时，，， ， ，即， 解得，舍去， 当时，实数的值为-3或-1或5. 故答案为：A. 【分析】把x=2a、x=2a+2分别代入二次函数解析式中可得y=5，y=4a+9，当2a≤a，即a≤0时，y1=5，y2=4a+9，结合y1-y2=a2-1可得a的值；当2a>a，即a>0时，y1=4a+9，y2=5，结合y1-y2=a2-1可得a的值. 6．二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点坐标， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，②正确； ，③错误； ∵抛物线交x轴于， ∴若方程有两个根和，且，则，④正确； 若方程有四个根， 设方程的两根分别为，， 则，可得， 设方程的两根分别为，， 则，可得， 所以这四个根的和为-8，⑤正确. 综上，①②④⑤正确. 故答案为：D. 【分析】由于抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，据此判断①；由抛物线的顶点坐标公式并结合所给的顶点坐标可得b=4a，c=-5a，将其代入②、③所给的式子即可判断；将b=4a，从c=-5a代入抛物线，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，从而可求其与x轴交点的坐标，而方程a（x+5）（x-1）=-1的根式函数y=a（x+5）（x-1）与函数y=-1交点的横坐标，结合图象即可判断④；由方程程可得或，分别设出两方程的根，结合抛物线的对称性每个方程的两根到对称轴水平距离相等，由此即可得出与，据此即可判断⑤. 7．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵对称轴为直线，x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴，当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④由图可知，顶点在第二象限， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑤， 故答案为：D． 【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤． 8．“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】二次函数的最值 9．如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 10．定义：表示取a，b中最小的数，即：①当时，②当时，如，则的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值 二、填空题 11．已知二次函数，则此函数的顶点坐标是　 　；若，当时，函数有最小值，则　 　． 【答案】； 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：， 此函数的顶点坐标是， 若，当时，函数有最小值， 时，， ， 故答案为：，． 【分析】先得到对称轴，得到当时，函数有最小值，列方程解题即可． 12．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有　 　 （填序号） 【答案】②③④ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用 13．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是　 　. 【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象 【解析】【解答】解：对于， 令，则， 令，解得或， 故点A、B、C的坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线，则点， 作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 则最小， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得，， ， 时， 点E的坐标为． 故答案为： 【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点得到点A、B、C的坐标分别为，进而根据二次函数的图象得到抛物线的对称轴为直线，则点，根据轴对称-最短距离问题作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，从而根据勾股定理即可求出其最小值，再运用待定系数法求出直线BH的函数解析式，从而根据一次函数与坐标轴的交点即可求解。 14．抛物线（，，为常数，经过，，三点，且. 下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则. 其中正确的是　 　（填序号即可）. 【答案】②③④ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】 解： ①图象经过(1， 1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在(1， 0)的左侧，因为 (n，0) 中n≥3， 所以抛物线与x轴的一个交点一定在(3， 0)或(3， 0)的右侧， 所以抛物线的开口一定向下，即a<0， 把(1， 1)代入得： a+b+c=1，即b=1-a-c， 因为a<0，c<0，所以b>0， 故①错误； ②：a<0， b>0， c<0， >0， 方程的两 个根的积大于0，即mn>0， 因为 n≥3，所以 m>0， . 即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，所以抛物线的顶点在点(1， 1) 的右侧，所以 因为4a<0， ， 故②正确； ③因为m>0， 所以当n=3时， 所以抛物线对 称轴在直线x=1.5的右侧， 所以(1，1)到对称轴的距离大于(2， t)到对称轴的距离， 因为a<0，抛物线开口向下， 所以距离抛物线越近的函数值越大， 所以t>1， 故③正确； ④方程可变为 . 因为方程有两个相等的实数解， 因为把(1， 1)代入得a+b+c=1 即1-b=a+c， 所以， 即， 所以 ， a-c=0， 即a=c， 因为(m，0) ，(n，0) 在抛物线上， 所以m，n为方程ax-+bx+c=0的两个根， 所以 n≥3， 故④正确 综上，正确的结论有：②③④. 故答案为：②③④. 【分析】(1)根据图象经过（1，1），c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口方向，得出a的符号，再把（1，1）代入二次函数解析式中，适当变形可以判断①的正误； （2）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可知抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，从而可得抛物线的顶点的纵坐标大于1，结合①中得出的a的符号，可判断②的正误； （3）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可得（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据①中得出的a的符号，可得距离抛物线对称轴近的函数值的规律，就可以得出③的正误； （4）根据方程有两个相等的实数解，得到y=0时的一元二次方程的判断式=0，把（1，1）代入二次函数表达式中，得到关于a，b，c的关系式，说明a，c的关系，根据根与系数的关系得出m，n的关系，结合n≥3，可求出m的范围，从而可判断④的正误. 15．正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为　 　. 【答案】 【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示： 在正方形中，，边长为6，设的长为，则， ， ，即， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， ， 在时有最大值，最大值为， 故答案为：． 【分析】本题考查几何综合，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值。根据题意，作出图形，设的长为，则，利用正方形的性质可推出，利用两个三角形相似的判定可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出BE的最大值. 16．如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为　 　. 【答案】 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式 【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2−2ax＋3（a＞0）与y轴交于点A， ∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴顶点P坐标为（1，3−a），点M坐标为（2，3） ∵点M为线段AB的中点， ∴点B坐标为（4，3）， 设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）， 将点B（4，3）代入得4k＝3， 解得k＝， ∴直线OP解析式为y＝x， 将点P（1，3−a）代入得y＝x， 得3−a＝， 解得a＝， ∴点P(1，)， ∴. 故答案为：. 【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答． 三、解答题 17．【问题背景】 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接．点M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为， ①请用含m的代数式表示线段的长； ②连接求出当m为何值时，四边形的面积有最大值，最大值是多少？ 【深入探究】 （3）若点G是对称轴上一动点，将线段绕点G顺时针旋转，当点A的对应点为刚好落在抛物线上时，求出点G的坐标． 【答案】解：（1）将，代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）①∵抛物线的解析式为，且与y轴交于点C， ∴C（0，4）， 设直线的解析式为，将B（4，0），C（0，4）代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点的坐标为，，如图， ∴，， ∴， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴， ∵∠BOC=90°， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，四边形的面积有最大值， 最大值是； （3）由得对称轴为直线，设对称轴与x轴交于点E， 当点G在x轴的上方时，如图，过点作于点F，设， 则，． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点恰好落在该抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 当点G在x轴的下方时，如图，过G作轴，过A作于E，过作于F， 设，则，， 同理证明，， ∴， ∵点恰好落在该抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，求出点G的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，从而利用待定系数法求得直线的解析式，由点的坐标为，，可用含的式子表示，的坐标，从而表示出的值，接下来证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BC的值，∠PQN=45°，从而求出的值，进而根据二次函数的性质求出的最大值； （3）先求出抛物线的对称轴，设对称轴与x轴交于点E，然后分两种情况讨论：当点G在x轴的上方时，过点作于点F，设，证出，利用全等三角形的性质求出点A'的坐标，代入抛物线解析式即可求出G点坐标；当点G在x轴的下方时，过G作轴，过A作于E，过作于F，设，同理证出，利用全等三角形的性质求出点A'的坐标，代入抛物线解析式即可求出G点坐标. 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-2，0)，B两点，其对称轴直线x=2与x轴交于点D. （1）求该抛物线的函数表达式为　 　； （2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积最大值和点P此时的坐标； （3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y'，当抛物线y'经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标　 　. 【答案】（1） （2）解：如图：过点P作PH∥y轴交BC于点H ∵点A（-2，0），对称轴为直线x=2 ∴点B（6，0），D（2，0） ∴BD=4 令x=0，则y=-4 设直线BC的解析式为y=kx-4 把点B（6，0）代入得：6k-4=0，解得 ∴ 设点P（m，），H（m，） ∴PH=-（）= ∴= ∴ ∴四边形BDCP面积=＋=-（m-3）2＋17 ∵ 点P为抛物线上第四象限内的一动点 ∴0<m<6 ∴当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17 当m=3时， ∴点P的坐标为（3，-5）. （3），M（6，0） 【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题 【解析】【解答】解：由题意知： ∴b=-4a 把点 A(-2，0) 代入中得：4a-2b-4=0 ∴4a＋8a-4=0，解得a=，b= ∴ 故答案为. （3）由题意知： 抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'= ∴当x=2时，y'= ∴E（2，） 由（2）知 ：D（2，0），A（-2，0） ∴AD=4 设F（2，n） 如图：当AE=AF时 ∴DE=DF= ∵四边形AEMF为菱形 ∴DM=AD=4 ∴OM=6 ∴M（6，0） 如图：当AE=EF时 同上知：AD=4，DE= ∴ ∴ ∴ ∵A（-2，0） ∴ 综上所述：，M（6，0） 故答案为：，M（6，0）. 【分析】（1）根据 对称轴直线x=2 得到，再根据抛物线过点A（-2，0）得出：4a-2b-4=0，解出a，b即可. （2）先求出点B，C的坐标，再求出直线BC的解析式，设点点P（m，），H（m，），得出PH=，再根据三角形面积公式分别得出：，8，从而求出四边形BDCP面积，化为顶点式为：四边形BDCP面积=-（m-3）2＋17，求出当m=3时，四边形BDCP面积的最大值为17，以及点p的坐标. （3）先根据抛物线y' 是由 抛物线y 向左平移6个单位得到：y'=，求出点E（2，）AD=4，设F（2，n）然后分类讨论： 当AE=EF时，根据四边形AEMF为菱形，得到DM=AD=4从而得出OM=6，因此M（6，0） 当AE=EF时同上知：AD=4，DE= 再根据勾股定理求出AE的长，即：，再根据菱形的性质，得到：，又因为A（-2，0），因此可得. 19．在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式． （2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围． （3）已知在函数的图象上，当时，求证：． 【答案】（1）解：把点代入函数中 得：， 解得：或1， ∴函数的表达式为或； （2）解：根据题意作出草图如下， 由函数图象可知，当时x的取值范围是：或； （3）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， ∴和时的函数值相同， ∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值， 即：， ∵， ∴， ∴． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式； （2）利用函数图象，求出二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x范围即可； （3）由抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，可得和时的函数值相同，利用图象可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论． （1）∵函数的图象经过点， ∴， 解得：或1， ∴函数的表达式为或； （2）根据题意作出草图如下， 由函数图象可知，当时x的取值范围是：或； （3）∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， ∴和时的函数值相同， ∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值， 即：， ∵， ∴， ∴． 20．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值” （1）点A（2，6）的“坐标差”为________； （2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”； （3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式； （4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值. 【答案】解：（1）根据“坐标差”的定义得：6-2=4； （2）y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8 （3）由题意，得点C的坐排为（0，c）， ∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（-c.0）， 把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c，∴b=1-c， ∴y=-x2+（1-c）x+c， ∵二次函数y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”为-1. ∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c，∴=-1，∴c=-2，∴b=3， ∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2 （4）解：“坐标差”为2的一次函数为y=x+2， ∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上， ∴设二次函数为y=-（x-m）2+m+2， 二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②， 把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，可得3=-（1-x）2+m+2， 解得m1=1，m2=2（合去）， ∴二次函数的解新式为y=-（x-1）2+3， ∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-）2+，特征值是； 把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2， 可得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去）， 二次函数的解析或为y=-（x-5）2+7， ∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-）2+，特征值是. 【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）根据题意，结合“坐标差”的新定义，即可得到答案； （2）根据“坐标差与特征值”的定义，求出y-x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），利用“坐标差”相等，得到点B（-c，0），把点B代入二次函数解析式得到b=1-c，再将b=1-c代入二次函数解析式，求出特征值y-x的代数式，然后求出c的值，进而求出b的值，即可求出二次函数解析式； （4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y=x+2，由二次函数的图象的顶点在直线y=x+2上，在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时，然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入y=-（x-m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函数解析式，进而求出其特征值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$