广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期分班后学情调研数学试题

柳州地区民族高级中学分班后数学学情调研 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-3<x<2},B={x>-1},则AUB= A.{xx>-3}B.{x>-1} C.{纠-3<x<-1}D.{-1<x<2 2.复数z=2+i(1-2i)的模为 A.√7 B.2 C.√2 D.1 3.已知复数二满足(1-i)z=3+41,则三的虚部为 c 4.已知两个单位向量a,6互相垂直，则a-√2= A.5 B.2 C.5 D.5 5.已知O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则OP 等于 3 3 c. D. 6.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+c)2-b2=ac,且b=2√5，那么△ABC外 接圆的半径为 A.1 B.2 C.23 D.4 .7在△4BC中，内角4B,C的对边分别为a,bc,asinC+b=2bcoS号+acoB,则△4BC一定 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 8如图，aMBc巾，BAC-号AD=2Ds,P为CD上一点，且满足AcC6, 若AC=3,AB=4,则PCD的值为 试卷第1页，共4页 A.2 5 B.12 c.3 2 D.2 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知复数z=1 ·(i为虚数单位)，则 A:的虚部为号 B.:的类轭复数为+ 22 C. D.52=4 1 2 10.下列说法正确的有 A.若二次不等式a心-a+子20恒成立，则实数a的取值范围为0,3引 3 B.函数fx)=+ √2x- +x-1°的定义域是行L+) 。.数城为 D.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=2x+5 11.已知向量a= 22 B=(sin2x,cos2x),f(x)=a.b, A.f(x)的最小正周期为π B.曲线y=f)的一条对称轴方程为x=-7匹 12 C.国在到0]上的最小值为- 24 2 D.将f(x)的图象向左平移”个单位长度得到函数y=sin2x的图象 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a=(4,2),b=(6,y),且a/b,则y= 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c,己知a=7,b=4,c=√37，则△ABC的面积为 14.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C,D两个观测点，且在 C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C,D两地相距500m, 则电视塔AB的高度是 1m. .30>D 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)设锐角△ABC的内角AB、C的对边分别为a,b,c,2csi4=√3a, (1)求角C; (2)若边c=7,面积为10√3，求△ABC的周长. 16.(15分)已知d=2,5=5,a与6的夹角0=30°，求： (1)a.b: (2)(a+2b)(3a-b)的值： 3)a-2b 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a sin A-csinC=(b-c)sinB. (1)求A的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.(17分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+c c=b. (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为√6，求△ABC面积的最大值. 19.(17分)“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世 纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：(I)当△ABC的三个内角均小于120°时， 满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O为费马点；（Ⅱ）当△ABC有一个内角大于或等于120°时， 最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,2asinA-(2b-c)sin B=(2c-b)sin C. (1)求A; (2)己知a=4,点M为△ABC的费马点， ①若∠ABC=45°，记∠MBC=0,求tam0: ②求MA·MB+MB·MC+MCMA的取值范围， 试卷第4页，共4页 《柳州地区民族高级中学分班后数学学情调研》参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D A B A AC ABC ABD 1.A【详解】由并集的概念可知AUB={xx>-3} 2.D【详解】因为i7=i4.==-i,所以=2-i(1-21)=2-i+2=2-i-2=-i,所以z=1. .C【详解1因为-：=5+到，所以：=B+F=己0-41，：的虚部为号 1-i1-i1-i1-i221 4.A【详解】依题意得a-V2=日-22a-b+2=1'-0+2x1=3,则a-√2=5 .5【详解10p-o1-40-o1+4-0A+o8-a-号0i+o5-a+ ®B【详解)由a+c-B=,可得a+c-b=a,则cosB-+Gb。-因为BE(Q),历 2ac 以A-又0=25，由正弦定理可得2R-029-4 2 sinB√3，解得R=2 2 +acosB 7.A【详解】在△ABC中，sinC+b=2bcos2A 则asinC+.b=2b×1+c0s4+acosB,即asinC=bcos4+acosB, 2 则sin AsinC=sin BcosA+sin AcosB=sin(A+B),即得sin AsinC=sinC, 由于C∈(0，m),mC≠0，故snA=l,结合A∈(0，，可得A=,即△ABC一定为直角三角形. 8.C【详解】：D=2Di，西-AD,加=m4c+)B=mAC+AD C,P,D三点共线，.m+ 音1m=片币-c+兮亚，又D=而-c孤aC 4 亚.而-c+西号西-40）西4c}4c 西--co号16子-含43昌 4 3 2-12 c【Y解】面：=a0”号故：的德部为时，-1号gg-号 i i1-i)1+i 1,1√2 ,A、C对，B、D错 3 10.ABC【详解】对于A,由于二次不等式ar2-ax+。≥0恒成立，由于是二次不等式，所以a≠0， a>0 所以 (a2-4ax三s0'解得0<a≤3，所以实数a的取值范围为(0,3引，故A正确： 4 答案第1页，共4页 2x-1>0 对于B,令 -100解得x号且x1,所以函数的定义减是行小0+o),放B正确： 对于C12B,故02行所以西数y=的省该为引， 故C正确； 对于D,因为f(x)是一次函数，故设f(x)=x+b,由题意得，3k(x+1)+b-2k(x-1)+b=2x+17, 即+5k+b=2x+17,所以 6+b=17解得k=2 [k=2 b=7所以()=2x+7,故D错误 1,ABD【详解1由慰意得，f化=a6-专n2-5os2x=m2x-), 所以∫(x)的最小正周期 02 y=f(:)的一个最高点，即曲线y=f()的一条对称轴方程为x=匹，故B正确：当x0,9如]时， 12 L24 2[, 由正弦曲线知∫(x)∈ 所以(y在0上的最小值为. 24 ,故C 错：将f(的图象向左平移个单位长度得到函数y=s2x+63] +ππ =sin2x的图象，故D正确. 6 12.3【详解】向量a=(4,2),b=(6,),由a/1i,得4y=2×6,解得y=3. 13.75【详解】由余弦定理可得，cosC-4+-c_49+16-37,因为C∈(0，心，所以simC=5 2ab 2×7×42 故△ABC的面积为)absinC=x7x4x =73 21 2 14.500【详解】设塔高AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°，则BC=x, 在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD=√3x,在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500, 由余弦定理可得3x2=x2+5002-2x.500c0s120°，解得x=500或x=-250(舍). 15.（1)由2csiA=√3a及正弦定理，得2 sinCsinA=√3sin4,…2分 又0<A<r」 得s4>0,3分 所以sinc=V5. …4分 2 又C为锐角，所以C=亚 3:…6分 ②)由D得S4配2 absinCV ab=10B,则b=40,8分C公式1分，结果分 1 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 ab cos C=(a+b)-2ab-2 abcosC=(a+b)-3ab, (9分) (10分) 所以(a+b)=c2+3ab=169,所以a+b=13,…12分 答案第2页，共4页 所以△ABC的周长为1=a+b+c=13+7=20.…13分 16.(1)a.6-bcos30=2x5×5-3:5分 (2)(a+2b(3ā-万)=3-a.万+6a.6-2b2=3a2+5a-6-2b2=-3×4+5x3-2×3=21:…10分 (3)(a-2b=-4ā.i+452=4-4x3+4x3=4,…14分 所以，a-2b=2.…15分 17.(1)asin A-csinC=(b-c)sin B, 则根据正弦定理有a2-c2=(b-c)b,即bc=b+c2-d,…2分 又由余弦定理有c0sA-+c心=c-,…4分 2bc 2bc2 所以在△BC中，AE(Q,,得A-子 …6分 (2）由△1C为能角=角形，且4-子则B+C- 3 sin (2L-C 所以根据正弦定理有b sinB 3 2-cosC+1 sinc=3 11 c sinC sin C sinC 2 tanC 2 (7分) (8分) (9分) (10分) 0<C< 则有 2 0<2π-c< ，得Ce匹 62 ，…12分 3 即tanC∈ 号即c0间.4分 b31112 c 2 tanc+2e (22 …15分 181)因为oC+=,由正弦定理得n4cosC+nC=snB,…2分 因为血B=m[x-(d+c]-=m(4+C),则sim4cosC+nc=sn(A+c,4分 sindcosCsinC-sindeosccosin sinc=cosAsinC,5 :Ce(0,四，sinc>0,则cos4= 2…7分 A∈(0，π，A=8分 31 （2》因为D是C中点，所以AD-B+4C)9分 两边平方得4D-丽+4C-丽+Ac+2丽4C列…10分 所以6=4e2++2cos∠BAC）,即b2+e2+bc=24…1分 又由均值不等式得b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,…12分 当且仅当b=c=2√2时等号成立，所以bc≤8，…14分 答案第3页，共4页 所以SAe=)besin4≤2W3,即△ABC面积的最大值为2N5. 2 (15分)(16分) (17分) 19.(1)由正弦定理及2asiA-(2b-c)sinB=(2c-b)sinC, 得2a2-(2b-c)b=(2c-b)c,…1分 整理得b+c2-=方，即cosA三1 …3分 2bc 2 因为0<A<元，所以4=4分 3 (2)因为△ABC是锐角三角形，M为费马点，所以∠AMC=∠AMB=∠BMC=120°.…5分 AC 4 0在61c中由正装定理得m经cmg。,m方店，行4C-46…6分 BC 3 22 在△MBC中，由正弦定理得 BC MC sim∠BMC sin9,<1>…7分 ∠ACB=75°=∠ACM+∠BCM,∠ACM=75°-∠BCM=75°-(180°-120°-O=15°+0， ∠MAC=180°-120°-∠ACM=45°-0，…8分 在△MAC中，由正弦定理得 AC MC 血∠AMc-sim∠aC,<29分 <1,<2>两式相除得4-45°0，化简得1+)sm8=c0s9,10分 AC sine 所以tan日= 15-1 V3+12 …11分 ②由SABc=SAMa+SaMc+Sca, sin20sin 20in0besin60 整理得MAMB+MBMC+MCMA=bc.…12分 b a 48V5 因为 sin /ABC sin∠ACB"sin B4C sin”3，-l3分 所以e-83sn∠ABc85m∠AC8∠ABcn〔4ABc+到 3 3 =64sin∠ABC.cos∠ABC 3 (6 =32 16+32sin2∠ABc- 6 …14分 33 0<∠ABC<T 因为△ABC是锐角三角形，所以 2π '所以g∠ABc<至…15分 6 0< 3 -∠ABC<2 所以石<2∠ABC-元亚 6 66, 则)sm2∠ABC-月s1,所以2<bc≤16，…16分 6 3 所以MA·MB+M瓜·MC+MCMA的取值范围是 216…17分 答案第4页，共4页