精品解析：山东省枣庄市市中区2026年初中学业水平第一次模拟考试数学试题

2026年初中学业水平第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质，掌握中心对称图形的特征是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，一个图形绕某个点旋转后与原图形重合的图形，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：该图形绕正六边形的中心旋转后能与原图形重合，满足要求，符合题意； 选项B、C、D中的图形绕任意一点旋转后都不能与原图形重合，不满足要求，不符合题意； 故选A． 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，由此即可得出结果，还考查了空间想象能力． 【详解】解：从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，如图： ， 故选：A． 4. 是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法一般形式为，其中，为正整数，确定与的值即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ， ，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则逐一判断选项． 【详解】解：、∵与不是同类项，不能合并， ∴该选项计算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项计算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项计算错误，不符合题意； 、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，该选项计算正确，符合题意． 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 9. 如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，C正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，B正确；根据三角形三边的关系得到，则，A错误；易证，得到，设，则，代入即可求得，D正确． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故C结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵，， ∴，即，故A结论错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， 解得（舍去），， ∴，故D结论正确，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象得，，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④由②得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有2个． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】需先明确关于x轴对称的点的坐标特征，再根据该特征计算点P的对称点坐标． 【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点为， ∴点关于x轴对称点坐标为． 12. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 13. 如图，是的直径，若，，则长等于（ ） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，关键是掌握圆周角定理．先由圆周角定理得到，，进而，然后利用含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得，根据点得，由旋转的性质得，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为5， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，负整数指数幂，代入特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行括号内的运算，再利用分式的混合运算法则化简，最后代入计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】（1） （2）峡谷AC的宽度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； 【小问2详解】 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空：______；______，______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 【答案】（1）25，94，87 （2）八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）先列表求出所有可能的结果数，再找出必有甲同学参加比赛的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 【小问2详解】 解：八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好．理由如下： ∵两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级， ∴八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 由表格可知，所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，可得． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1）函数图像见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 21. 如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． （1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明为直角即可； （2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 即， ，， ， 的半径为． 22. 已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； （3）若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 （3）当时，n有最小值 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 9. 如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 12. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 13. 如图，是的直径，若，，则长等于（ ） 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 15. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空：______；______，______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 21. 如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； （3）若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $