第一单元长方体和正方体的体积（单元自测试题）-2025-2026学年五年级数学下册北京版

2025-2026学年北京版五年级数学下册第一单元长方体和正方体的体积 提升训练 一、填空题 1．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4( )水，吃饺子需用醋调料约10( )。（填合适的容积单位） 2．一个长方体，相交于一个顶点的三条棱的长分别为8厘米，5厘米，3厘米，这个长方体的棱长之和为( )厘米，表面积为( )平方厘米，体积为( )立方厘米。 3．欢欢家有两块长5dm、宽3dm的玻璃和两块长4dm、宽3dm的玻璃，她爸爸想做一个长方体无盖玻璃鱼缸，还要配一块长( )dm、宽( )dm的玻璃作为底面；做成的鱼缸的容积是( )L（玻璃的厚度忽略不计）。 4．县人民礼堂前有5级台阶，长20米，每节台阶宽0.2米，高0.15米，5级台阶共占地( )平方米；如果用地毯铺这些台阶，需要地毯( )平方米。 5．一个正方体箱子，相交于一个顶点的三条棱的长度和是24分米，那么这个箱子的体积是( )立方分米。 6．一个长方体的长宽高都扩大5倍，表面积就扩大( )倍，体积扩大( )倍。 7．下面的物体是由棱长为1cm的小正方体搭成的，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 8．36个棱长1厘米的小正方体能拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )平方厘米，最小是( )平方厘米。 9．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份并切开，其中三面涂色的有( )块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 10．用一根长48分米的铜丝围成一个正方体框架，它的棱长是( )分米；如果用这根铜丝围成一个长6分米、宽4分米的长方体框架，长方体的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 11．一个长方体木箱的长是6dm，宽是5dm，高是3dm，它的棱长总和是( )dm，占地面积是( )dm2。 12．把体积是1立方分米的正方体木块，切成棱长是1厘米的小正方体木块若干个。若把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1厘米的长方体，那么这个长方体的长是( )厘米。 二、选择题 13．一个下底标有字母M的无盖正方体纸盒（如下图），将其沿着棱剪开成平面图形，这个图形可能是（    ）。 A．B．C．D． 14．一个长方体的长是6dm，宽和高都是3dm，这个长方体的表面积是多少平方分米？下面列式中，错误的是（    ）。 A．（6×3＋6×3＋3×3）×2 B．6×3×4＋3×3×2 C．6×3×2×2＋3×3×2 D．6×3×2＋3×3×4 15．一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，则表面积扩大为原来的（    ）倍。 A．4 B．16 C．32 D．64 16．一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、b厘米和h厘米，如果长方体的长和高不变，宽增加3厘米，长方体的体积增加（    ）立方厘米。 A．3ah B．3abh C．abh D．3b 17．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 三、判断题 18．把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。( ) 19．计算抽屉的表面积就是算4个面的总面积。( ) 20．棱长是2cm的正方体，它的棱长总和与表面积大小相等。( ) 21．一个乒乓球的体积约是34dm3。( ) 22．长方体的体积＝底面积×棱长。( ) 四、计算题 23．求下列立体图形的表面积与体积。 五、解答题 24．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 25．学校有一间长12米，宽6米，高4米的实验室，门窗面积共20平方米。现在要给这间实验室的天花板和墙壁粉刷涂料。需要粉刷涂料部分的面积是多少平方米？ 26．一个长为40厘米，宽为15厘米的长方体水槽，水槽中水深7厘米。放入一块铁块，水面上升到10厘米，求这个铁块的体积是多少立方厘米？ 27．学校要粉刷新会议室，从里面量会议室长15米，宽8米，高5米，门窗的面积是30平方米，如果每平方米需要花5元涂料费，粉刷这间会议室需要花多少钱？ 28．教学楼门前有一根长方体柱子，高3.6m，底面是边长0.4m的正方形。如果要给这根柱子的四周刷油漆，每平方米需要油漆0.3kg，一共需要油漆多少千克？ 29．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长12分米，宽5分米，高2分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入42升的水，这时鱼缸里的水深是多少分米？（玻璃厚度忽略不计） 30．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长是4cm、宽是3cm、高是5cm。 （1）正方体的棱长是多少厘米？ （2）正方体的表面积是多少平方厘米？ （3）正方体的体积是多少立方厘米？ 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 升/L 毫升/mL 【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大约是1升，毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。 【详解】根据实际情况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。 2． 64 158 120 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答即可。 【详解】（8＋5＋3）×4 ＝16×4 ＝64（厘米） （8×3＋8×5＋3×5）×4 ＝（24＋40＋15）×2 ＝79×2 ＝158（平方厘米） 8×5×3 ＝40×3 ＝120（立方厘米） 则这个长方体的棱长总和是64厘米，表面积是158平方厘米，体积为120立方厘米。 【点睛】本题是基础题型，主要考查了长方体的棱长总和公式，表面积公式，体积公式。 3． 5 4 60 【分析】长方体有12条棱，其中4条长、4条宽和4条高。根据题意可知，能够做成的无盖玻璃鱼缸的长、宽、高分别是5dm、4dm和3dm，所以还差一块长5dm、宽4dm的玻璃。长方体容积＝长×宽×高，将数据代入公式，求出这个鱼缸的容积。 【详解】5×4×3＝60（dm3）＝60（L） 所以，还要配一块长5dm，宽4dm的玻璃作为底面，做成的鱼缸的容积是60L。 【点睛】本题考查了长方体的特征和容积，掌握长方体的容积公式是解题的关键。 4． 20 35 【分析】台阶的长是20米，宽是0.2米，根据长方形的面积＝长×宽即可求出它的面积；再乘5，求出一阶台阶的占地面积；根据题意可知：每级台阶的上面是长方形，长20米，宽0.2米，高0.15米；铺地毯不仅要铺每阶台阶的上面，而且还要铺每阶台阶的前面。因此先求铺一级台阶需要地毯多少平方米，再乘5即可。 【详解】20×0.2×5 ＝4×5 ＝20（平方米） （20×0.2＋20×0.15）×5 ＝（4＋3）×5 ＝7×5 ＝35（平方米） 5级台阶共占地20平方米；如果用地毯铺这些台阶，需要地毯35平方米。 【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 5．512 【分析】已知正方体相交于一个顶点的三条棱的长度和是24分米，由此可以求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【详解】24÷3＝8（分米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方分米） 这个正方体箱子的体积是512立方分米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6． 25 125 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh，再根据因数与积的变化规律进行解答即可。 【详解】若原长宽高分别为a、b、h，则长宽高都扩大5倍后，分别为5a、5b、5h， 原来的表面积为：（ab＋ah＋bh）×2 扩大后的表面积为：（5a×5b＋5a×5h＋5b×5h）×2 ＝（25ab＋25ah＋25bh）×2 ＝（ab＋ah＋bh）×2×25 ＝（ab＋ah＋bh）×50 表面积扩大：5×5＝25倍 原来的体积为：abh 扩大后的体积为：5a×5b×5h＝125abh 体积扩大：5×5×5＝125倍 所以一个长方体的长宽高都扩大5倍，表面积就扩大25倍，体积扩大125倍。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律的应用。 7． 18 4 【分析】从正面看有3个小正方形，从左面看有3个小正方形，从右面看有3个小正方形，从后面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从下面看有3个小正方形，据此把各面看到的小正方形的个数加起来即可解答；用1个小正方体的体积乘小正方体的个数。 【详解】它的表面积为：6×3＝18（cm2） 体积为：1×1×1×4＝4（cm3） 【点睛】本题主要考查的是组合图形及正方体的体积、表面积计算，解题的关键是明确露在外面小正方形的个数以及体积的求法。 8． 146 66 【分析】用36个棱长1厘米的小正方体拼成一个大的长方体，计算块数时用长×宽×高，所以把36写成3个数的乘积，就能知道有几种拼法，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2分别求出各种长方体的表面积即可得出最大是多少，最小是多少。 【详解】共8种拼法： （1）36＝36×l×l （36×1＋36×1＋l×1）×2 ＝（36＋36＋1）×2 ＝73×2 ＝146（平方厘米） （2）36＝18×2×l （18×2＋18×l＋2×1）×2 ＝（36＋18＋2）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） （3）36＝12×3×l （12×3＋12×1＋3×1）×2 ＝（36＋12＋3）×2 ＝51×2 ＝102（平方厘米） （4）36＝9×2×2 （9×2＋9×2＋2×2）×2 ＝（18＋18＋4）×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） （5）36＝9×4×1 （9×4＋9×1＋4×1）×2 ＝（36＋9＋4）×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） （6）36＝6×2×3 （6×2＋6×3＋2×3）×2 ＝（12＋18＋6）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） （7）36＝6×6×l （6×6＋6×1＋6×l）×2 ＝（36＋6＋6）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） （8）36＝3×3×4 （3×3＋3×4＋3×4）×2 ＝（9＋12＋12）×2 ＝33×2 ＝66（平方厘米） 所以这个大长方体的表面积最大是146平方厘米，最小是66平方厘米。 【点睛】明确长方体的不同拼接方式以及长方体表面积公式是解题的关键。 9． 8 36 54 【分析】每条棱都平均分成5份，即棱长为5，其中一面涂色的小正方体在每个面的中间，每个面上有（5－2）×（5－2）＝9块，则6个面共有9×6＝54块；两个面涂色的在每条棱的中间，所以有（5－2）×12＝36个；三面涂色的正方体在大正方体的顶点上，共有8块．据此解答。 【详解】只有一面涂色的正方体有： （5－2）×（5－2） ＝3×3 ＝9（块） 9×6＝54（块） 两面涂色的小正方体有： （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 三面涂色的正方体有8块。 【点睛】此题考查的是正方体表面涂色面数计算，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。 10． 4 2 88 【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，已知一根铜丝长48分米，如果做一个正方体框架，也就是正方体的棱长总和是48分米，用棱长总和÷12＝棱长；根据长方体的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知长方体的棱长总和是48分米，用棱长总和÷4－（宽＋长）＝高，据此列式解答；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算长方体的表面积。 【详解】正方体棱长：48÷12＝4（分米） 长方体的高： 48÷4－（6＋4） ＝12－10 ＝2（分米） 长方体的表面积： （6×4＋6×2＋2×4）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝88（平方分米） 【点睛】此题主要根据长方体、正方体的特征、棱长总和和长方体表面积计算公式来解决问题。 11． 56 30 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；占地面积＝长×宽。据此计算。 【详解】棱长总和：（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（分米） 占地面积：6×5＝30（平方分米） 【点睛】此题考查的是长方体的棱长总和、面积的计算公式，学生应该熟练掌握。 12．1000 【分析】由于体积不变，拼成的长方体的体积等于正方体的体积，长方体的宽是1厘米，高是1厘米，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出长，即可解答。 【详解】1立方分米＝1000立方厘米 1000÷（1×1） ＝1000÷1 ＝1000（厘米） 【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，注意单位名数的互换。 13．D 【分析】根据正方体11种展开图的特征，结合题意分析即可解答。 【详解】A.不能折叠成无盖的正方体盒子，不符合题意； B.折叠成无盖的正方体盒子后，字母M在所折成的盒子侧面，不符合题意； C.折叠成无盖的正方体盒子后，字母M在所折成的盒子侧面，不符合题意； D.折叠成无盖的正方体盒子后，字母M在所折成的盒子底面，符合题意； 故答案为：D 14．D 【分析】根据长方体面的特征来计算表面积，长方体有6个面，相对的面的面积相等，所以长方体表面积公式为（其中a为长，b为宽，h为高）；该长方体中，长为6分米、宽为3分米的面有4个，长为3分米、宽为3分米的面有2个，所以该长方体的表面积还可以表示为4个长为6分米、宽为3分米的面积加上2个长为3分米、宽为3分米的面。 【详解】A.这是直接运用长方体表面积公式计算，计算结果为90平方分米。该选项正确。 B.，因为长方体中长为、宽为的面有4个，面积和为；长为、宽为的面有2个，面积和为，两者相加结果为90平方分米，该选项正确。 C.中表示的是长为、宽为的面有4个（），表示长为、宽为的面有2个，计算可得90平方分米，该选项正确。 D.中表示长为、宽为的面有2个，表示长为、宽为的面有4个，而原长方体中长为、宽为的面有2个，所以该式计算结果为72平方分米，与正确表面积90平方分米不符，该选项错误。 故答案为：D 15．B 【分析】正方体表面积公式为（其中S表示表面积，a表示正方体的棱长）。当棱长扩大4倍时，新棱长为4a，此时新表面积为，用新表面积除以原表面积即可解答。 【详解】原表面积为 扩大后的表面积为 正方体棱长扩大为原来的4倍，表面积扩大为原来的16倍。 故答案为：B 16．A 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；计算出原来的长方体的体积，宽增加3厘米，即宽为（b＋3）厘米，代入长方体体积公式，求出增加后长方体的体积，再减去原来长方体的体积，即可解答。 【详解】原来长方体的体积：a×b×h＝abh（立方厘米） 宽增加3厘米后长方体的体积： a×（b＋3）×h ＝ a×h×（b＋3） ＝abh＋3ah（立方厘米） abh＋3ah－abh ＝ abh－abh＋3ah ＝3ah（立方厘米） 则长方体的体积增加3ah立方厘米。 故答案为：A 17．B 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度，铁丝的长度也是正方体框架的总棱长，再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 则围成的正方体框架的棱长是4厘米。 故答案为：B 18．√ 【分析】只有正方体顶点处的小正方体3个面涂红色，正方体有8个顶点，据此分析。 【详解】因为正方体有8个顶点，把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是熟悉正方体特征，正方体除了8个顶点，还有6个面，12条棱。 19．× 【分析】抽屉是一个无盖的长方体，应该有5个面，计算它的表面积是求5个面的总面积，据此解答。 【详解】根据分析可知，计算抽屉的表面积是求5个面的总面积。 故答案为：× 【点睛】本题考查长方体的表面积的求法，结合实际生活经验，进行解答。 20．× 【分析】正方体共有12条棱，可求出总的棱长；正方体的表面积公式为棱长×棱长×6，可求出表面积，再对二者进行比较，需要注意单位的不同，即可解出本题。 【详解】正方体的棱长总和为：（cm）； 正方体的表面积为：（cm2），二者虽然数字一样，但一个表示的是长度，另一个表示面积，度量单位不同，无法比较，故本题错误。 【点睛】本题主要考查的是正方体的棱长和表面积计算，需要注意的是两者单位并不同，是不同度量单位，无法直接比较。 21．× 【分析】根据生活经验以及对体积单位的认识和数据大小，可知计量一个乒乓球的体积要用体积单位，结合数据大小应选用cm3。 【详解】一个乒乓球的体积约是34cm3。原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小进行判断。 22．× 【分析】根据长方体体积公式进行分析。 【详解】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，所以原题说法错误。 【点睛】关键是掌握长方体体积公式，正方体体积才可以用底面积×棱长。 23．长方体表面积：324cm2；体积：360cm3 组合体表面积：30m2；体积6m3 【分析】图形1：根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 图形2：表面积＝棱长是2cm的正方体的表面积－长是1cm，宽是1cm，高是2cm的长方体的上下面的面积＋长方体的侧面积，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽；长方体侧面积公式：面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； 体积＝棱长是2cm的正方体体积－长是1cm，宽是1cm，高是2cm长方体体积，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】图形1：表面积： （12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝（132＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 体积： 12×6×5＝360（cm3） 长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。 （2）表面积： 2×2×6－1×1×2＋（1×2＋1×2）×2 ＝4×6－1×2＋4×2 ＝24－2＋8 ＝22＋8 ＝30（m2） 体积： 2×2×2－1×1×2 ＝8－2 ＝6（m3） 组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。 24．77厘米 【分析】根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 【详解】12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 25．196平方米 【分析】求粉刷涂料部分的面积，就是求这个长方体实验室5个面的面积和，再减去门窗的面积；根据长方体表面积公式：面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出实验室5个面的面积和，再减去门窗的面积20平方米，即可解答。 【详解】12×6＋（12×4＋6×4）×2－20 ＝72＋（48＋24）×2－20 ＝72＋72×2－20 ＝72＋144－20 ＝216－20 ＝196（平方米） 答：需要粉刷涂料部分的面积是196平方米。 【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。 26．1800立方厘米 【分析】根据物体的体积＝上升部分水的体积，长方体的体积＝长×宽×高，可知铁块的体积＝长×宽×上升部分的高度，用40×15×（10－7）即可求出这个铁块的体积。 【详解】40×15×（10－7） ＝40×15×3 ＝1800（立方厘米） 答：这个铁块的体积是1800立方厘米。 【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，注意上升部分水的体积等于物体的体积。 27．1600元 【分析】粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，粉刷面积×每平方米费用＝总费用，据此列式解答。 【详解】15×8＋15×5×2＋8×5×2－30 ＝120＋150＋80－30 ＝320（平方米） 320×5＝1600（元） 答：粉刷这间会议室需要花1600元钱。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。 28．1.728千克 【分析】当长方体的底面是正方形时，则其前后面和左右面完全相同，用3.6×0.4求出一个面的面积，再乘4即可求出前后左右四个面的面积，再乘每平方米需要油漆的质量即可。 【详解】3.6×0.4×4×0.3 ＝5.76×0.3 ＝1.728（千克）； 答：一共需要油漆1.728千克。 【点睛】本题较易，关键是先求出前后左右四个面的面积和。 29．（1）128平方分米 （2）0.7分米 【分析】（1）由于玻璃鱼缸无盖，所以需要玻璃的面积是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋（ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。 【详解】（1）12×5＋（12×2＋5×2） ×2 ＝60＋（24＋10） ×2 ＝60＋34×2 ＝60＋68 ＝128（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃128平方分米。 （2）42升＝42立方分米 42÷（12×5） ＝42÷60 ＝0.7（分米） 答：这时鱼缸里的水深是0.7分米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 30．（1）4厘米； （2）96平方厘米； （3）64立方厘米 【分析】（1）长方体的棱长＝（长＋宽＋高）×4代入数据求出长方体的棱长也就是正方体的棱长总和，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出正方体棱长； （2）将数据代入正方体表面积公式：S＝6a2，计算即可； （3）将数据代入正方体体积公式：V＝a3，计算即可。 【详解】（1）（4＋3＋5）×4÷12 ＝12×4÷12 ＝4（厘米） 答：正方体的棱长是4厘米。 （2）4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 答：正方体的表面积是96平方厘米。 （3）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 答：正方体的体积是64立方厘米。 【点睛】本题主要考查正方体棱长总和、表面积、体积公式的灵活应用，求出正方体的棱长是解题的关键。 答案第2页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $