7.1 复数的概念（题型讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1 复数的概念 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】复数的有关概念 4 【题型2】复数的分类 5 【题型3】复数相等的充要条件 7 【题型4】复数与复平面内点的关系 8 【题型5】复数与复平面内向量的关系 10 【题型6】复数的模 12 【题型7】共轭复数 13 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、复数的有关概念 1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下： 复数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 三、复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 四、复数与复平面内点的关系 1.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 五、复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). 七、共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1. (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. (4)两个虚数不能比较大小. 2. a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 3. a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 4.复数实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 5.复数与平面向量一一对应 xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】复数的有关概念 （2025秋•贵州期中）复数z＝2025+1120i的虚部为（　　）典例 A．2025 B．1120i C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】结合复数的概念，即可求解． 【解答】解：复数z＝2025+1120i的虚部为1120． 故选：D． 方法点拨 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【变式1】（2025秋•湖南期中）已知a∈R，复数2a+5+（5﹣a）i的实部是虚部的3倍，则a＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果． 【解答】解：由复数2a+5+（5﹣a）i，可得实部为2a+5，虚部为5﹣a， 又实部是虚部的3倍，得2a+5＝3（5﹣a），解得a＝2． 故选：B． 【变式2】（2025秋•赛罕区期中）复数2i﹣1的实部是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．2i 【答案】B 【分析】由复数的形式直接求出它的实部． 【解答】解：复数2i﹣1＝﹣1+2i，所以它的实部为﹣1． 故选：B． 【变式3】（2025秋•扬州月考）已知复数z1＝1+3i的实部与复数z2＝﹣1+ai的虚部相等，则实数a等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得． 【解答】解：复数z1＝1+3i的实部为1， 复数z2＝﹣1+ai的虚部为a（a为实数）， 由题意可得a＝1． 故选：D． 【题型2】复数的分类 （2024秋•湖北期末）若复数是纯虚数，则θ的值可以为（　　）典例 A．2π B． C． D． 【答案】C 【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解． 【解答】解：复数是纯虚数， 故0，即， 得，根据选项可知，只有满足条件． 故选：C． 方法点拨 1.利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R).特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0. 2.要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. 【变式1】（2025秋•焦作期中）若复数z＝a﹣1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数，则a＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义求解即可． 【解答】解：复数z＝a﹣1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数， 可得2a﹣4≠0且a﹣1＝0， 解得a＝1． 故选：B． 【变式2】（2025•河北三模）已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1 【答案】B 【分析】利用纯虚数的概念可得a所满足的条件，计算求解即可． 【解答】解：因为复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i是纯虚数， 所以a2﹣1＝0且a2﹣2a﹣3≠0，解得a＝1． 故选：B． 【变式3】（2025秋•天心区期中）已知复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案． 【解答】解：复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），z为纯虚数， 则，解得m＝0． 故选：C． 【题型3】复数相等的充要条件 （2025•西宁模拟）已知a，b∈R，﹣a+3i＝（b﹣i）i，则（　　）典例 A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣1，b＝3 D．a＝﹣1，b＝﹣3 【答案】C 【分析】由复数相等的条件求解即可． 【解答】解：﹣a+3i＝（b﹣i）i＝1+bi，故a＝﹣1，b＝3． 故选：C． 方法点拨 解决复数相等问题的基本步骤： (1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数. 【变式1】（2025春•同心县期末）若（x﹣i）i＝y+5i（x，y∈R），则x+y＝（　　） A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5 【答案】A 【分析】根据复数相等得出x＝5，y＝1计算求值． 【解答】解：由（x﹣i）i＝﹣i2+xi＝1+xi＝y+5i， 得x＝5，y＝1，则x+y＝6． 故选：A． 【变式2】（2025春•中牟县期中）若实数x，y满足x+yi＝1+2i，则xy＝（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合复数相等的定义求x，y，再求xy即可． 【解答】解：因为x+yi＝1+2i，x，y为实数， 所以由复数相等的定义可知，x＝1，y＝2，故xy＝2，故C正确． 故选：C． 【变式3】（2025春•郴州期末）已知a，b为实数，a+2i＝﹣3+bi（i为虚数单位），则（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝﹣2 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解． 【解答】解：由a，b为实数，a+2i＝﹣3+bi（i为虚数单位），得a＝﹣3，b＝2． 故选：B． 【题型4】复数与复平面内点的关系 （2025秋•锦州期中）已知z＝﹣1+i，则zi在复平面内的点位于（　　）典例 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】应用复数的乘法求zi，确定对应点坐标，即可得． 【解答】解：由z＝﹣1+i，得zi＝（﹣1+i）•i＝﹣1﹣i，在复平面内对应点坐标为（﹣1，﹣1），位于第三象限． 故选：C． 方法点拨 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据. (2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【变式1】（2025•海淀区模拟）已知复数z＝3﹣4i，则z在复平面上对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点即可求解． 【解答】解：复数z＝3﹣4i， 则z在复平面上对应的点（3，﹣4）在第四象限． 故选：D． 【变式2】（2024秋•阳江期末）在复平面内，复数z＝（a﹣2）+（1+2a）i对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（2，+∞） D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果． 【解答】解：复数z对应的点（a﹣2，1+2a）在第二象限， 则，解得， 故实数a的取值范围为． 故选：A． 【变式3】（2025•潍坊开学）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，4），则z的虚部是（　　） A．3 B．3i C．4 D．4i 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义可知z＝3+4i，再结合虚部的定义求解． 【解答】解：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，4）， 所以z＝3+4i， 所以z的虚部是4． 故选：C． 【题型5】复数与复平面内向量的关系 （2025春•东莞市期中）已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则（　　）典例 A．（0，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣4） D．（﹣1，﹣1） 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，复数的乘法运算，复数相等的概念求解． 【解答】解：由题意得z1＝1+ai，z2＝a﹣i， 则z1z2＝（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2， 可得2a＝2，a2﹣1＝0，解得a＝1， 故（0，﹣2）． 故选：A． 方法点拨 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【变式1】（2025春•新余期末）已知O是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是1﹣2i和2+i，那么向量对应的复数是　1+3i ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用向量，可得其坐标，利用几何意义得到所对应的复数． 【解答】解：向量（2，1）﹣（1，﹣2）＝（1，3）． ∴向量对应的复数是1+3i． 故答案为：1+3i． 【变式2】（2023秋•常州期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数z+1对应的向量为，那么向量对应的复数是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的集合意义和向量的运算求解． 【解答】解：复数对应的向量（，），复数z+1i对应的向量（，）， 向量（1，0）对应的复数是1． 故选：A． 【变式3】（2024•曲靖模拟）在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（　　） A．1+i B．5﹣i C．5﹣3i D．﹣5+i 【答案】D 【分析】根据题意，求出向量的坐标，由复数的几何意义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，则A的坐标为（3，2），B的坐标为（﹣2，3）， 故（﹣5，1），即向量对应的复数为﹣5+i． 故选：D． 【题型6】复数的模 （2025•云南学业考试）记i为虚数单位，复数z＝4+3i，则|z|＝（　　）典例 A．5 B．4.5 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由题意，复数z的模长为． 故选：A． 方法点拨 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解. 【变式1】（2025•东区二模）已知复数，则复数z的模为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用|z|进行求解即可． 【解答】解：由，得|z|2． 故选：C． 【变式2】（2025•内乡县二模）（　　） A．2 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据复数模的知识求得正确答案． 【解答】解：|1i|2． 故选：A． 【变式3】（2025春•儋州期中）已知z＝2﹣4i，则|z|＝（　　） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数模的计算公式，即可求解． 【解答】解：由题意得． 故选：C． 【题型7】共轭复数 （2025秋•哈尔滨期中）已知复数z＝2﹣i，则的虚部是（　　）典例 A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】B 【分析】根据z＝2﹣i求得，再根据虚部的定义即可得到答案． 【解答】解：因为z＝2﹣i， 所以，虚部为1． 故选：B． 方法点拨 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 【变式1】（2025•临沧模拟）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i 【答案】A 【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果． 【解答】解：由题意，，虚部为﹣3． 故选：A． 【变式2】（2025•湖南学业考试）复数z＝1+i的共轭复数（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念可得结果． 【解答】解：由共轭复数的概念可知，z＝1+i的共轭复数． 故选：C． 【变式3】（2025春•石景山区期末）若复数z＝2+i，则（　　） A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．1+2i 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义计算即可． 【解答】解：因为z＝2+i，所以． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 复数的概念 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】复数的有关概念 4 【题型2】复数的分类 5 【题型3】复数相等的充要条件 6 【题型4】复数与复平面内点的关系 7 【题型5】复数与复平面内向量的关系 8 【题型6】复数的模 9 【题型7】共轭复数 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、复数的有关概念 1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下： 复数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 三、复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 四、复数与复平面内点的关系 1.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 五、复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). 七、共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1. (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. (4)两个虚数不能比较大小. 2. a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 3. a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 4.复数实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 5.复数与平面向量一一对应 xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】复数的有关概念 （2025秋•贵州期中）复数z＝2025+1120i的虚部为（　　）典例 A．2025 B．1120i C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】结合复数的概念，即可求解． 【解答】解：复数z＝2025+1120i的虚部为1120． 故选：D． 方法点拨 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【变式1】（2025秋•湖南期中）已知a∈R，复数2a+5+（5﹣a）i的实部是虚部的3倍，则a＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【变式2】（2025秋•赛罕区期中）复数2i﹣1的实部是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．2i 【变式3】（2025秋•扬州月考）已知复数z1＝1+3i的实部与复数z2＝﹣1+ai的虚部相等，则实数a等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【题型2】复数的分类 （2024秋•湖北期末）若复数是纯虚数，则θ的值可以为（　　）典例 A．2π B． C． D． 【答案】C 【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解． 【解答】解：复数是纯虚数， 故0，即， 得，根据选项可知，只有满足条件． 故选：C． 方法点拨 1.利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R).特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0. 2.要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. 【变式1】（2025秋•焦作期中）若复数z＝a﹣1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数，则a＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【变式2】（2025•河北三模）已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1 【变式3】（2025秋•天心区期中）已知复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【题型3】复数相等的充要条件 （2025•西宁模拟）已知a，b∈R，﹣a+3i＝（b﹣i）i，则（　　）典例 A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣1，b＝3 D．a＝﹣1，b＝﹣3 【答案】C 【分析】由复数相等的条件求解即可． 【解答】解：﹣a+3i＝（b﹣i）i＝1+bi，故a＝﹣1，b＝3． 故选：C． 方法点拨 解决复数相等问题的基本步骤： (1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数. 【变式1】（2025春•同心县期末）若（x﹣i）i＝y+5i（x，y∈R），则x+y＝（　　） A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5 【变式2】（2025春•中牟县期中）若实数x，y满足x+yi＝1+2i，则xy＝（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2025春•郴州期末）已知a，b为实数，a+2i＝﹣3+bi（i为虚数单位），则（　　） A． a＝﹣3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝2 B． C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝﹣2 【题型4】复数与复平面内点的关系 （2025秋•锦州期中）已知z＝﹣1+i，则zi在复平面内的点位于（　　）典例 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】应用复数的乘法求zi，确定对应点坐标，即可得． 【解答】解：由z＝﹣1+i，得zi＝（﹣1+i）•i＝﹣1﹣i，在复平面内对应点坐标为（﹣1，﹣1），位于第三象限． 故选：C． 方法点拨 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据. (2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【变式1】（2025•海淀区模拟）已知复数z＝3﹣4i，则z在复平面上对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2024秋•阳江期末）在复平面内，复数z＝（a﹣2）+（1+2a）i对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（2，+∞） D． 【变式3】（2025•潍坊开学）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，4），则z的虚部是（　　） A．3 B．3i C．4 D．4i 【题型5】复数与复平面内向量的关系 （2025春•东莞市期中）已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则（　　）典例 A．（0，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣4） D．（﹣1，﹣1） 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，复数的乘法运算，复数相等的概念求解． 【解答】解：由题意得z1＝1+ai，z2＝a﹣i， 则z1z2＝（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2， 可得2a＝2，a2﹣1＝0，解得a＝1， 故（0，﹣2）． 故选：A． 方法点拨 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【变式1】（2025春•新余期末）已知O是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是1﹣2i和2+i，那么向量对应的复数是　 ． 【变式2】（2023秋•常州期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数z+1对应的向量为，那么向量对应的复数是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【变式3】（2024•曲靖模拟）在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（　　） A．1+i B．5﹣i C．5﹣3i D．﹣5+i 【题型6】复数的模 （2025•云南学业考试）记i为虚数单位，复数z＝4+3i，则|z|＝（　　）典例 A．5 B．4.5 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由题意，复数z的模长为． 故选：A． 方法点拨 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解. 【变式1】（2025•东区二模）已知复数，则复数z的模为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式2】（2025•内乡县二模）（　　） A．2 B．4 C． D．6 【变式3】（2025春•儋州期中）已知z＝2﹣4i，则|z|＝（　　） A．2 B．4 C． D．6 【题型7】共轭复数 （2025秋•哈尔滨期中）已知复数z＝2﹣i，则的虚部是（　　）典例 A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】B 【分析】根据z＝2﹣i求得，再根据虚部的定义即可得到答案． 【解答】解：因为z＝2﹣i， 所以，虚部为1． 故选：B． 方法点拨 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 【变式1】（2025•临沧模拟）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i 【变式2】（2025•湖南学业考试）复数z＝1+i的共轭复数（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【变式3】（2025春•石景山区期末）若复数z＝2+i，则（　　） A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．1+2i 学科网（北京）股份有限公司 $