浙江物理选考专题3 简谐运动在磁场中的综合应用-2026届高三物理二轮复习

浙江物理选考专题3 简谐运动在磁场中的综合应用 一、 核心知识点 这类综合题主要考察三大板块的交叉融合，核心逻辑在于 “寻找回复力 ” 。 1. 简谐运动（SHM）核心 (1)动力学特征：物体所受的回复力 与位移 成正比，且方向相反，即 。这是判断物体是否做简谐运动的唯一依据。 (2)运动学特征：位移 ，速度 。 (3)周期公式： （弹簧振子）。 2. 电磁学核心 (1)单棒切割模型： ，安培力 。 (2)感生电场：变化的磁场产生电场， 。 (3)自感现象：线圈产生自感电动势 。 (4)电容器充放电： ，电流 。 3. 综合模型中的“等效” (1)等效回复力：在导体棒运动中，安培力往往充当了回复力的角色。 (2)等效劲度系数 ：通过动力学方程推导出 ，其中的系数即为等效 。 (3)能量转化：机械能（动能+势能）与电能（焦耳热、电场能、磁场能）的相互转化。 二、 解题策略 解决此类问题的通用步骤如下： 1. 受力分析：对导体棒进行受力分析，列出牛顿第二定律方程 。 2. 寻找位移关系： (1)若涉及电容器或自感线圈，利用动量定理（ ）将电荷量 与位移 联系起来（因为 ）。 (2)若涉及电阻，利用电磁感应定律找出力与速度的关系。 3. 推导回复力：将方程变形，看是否能化为 或 的形式。 4. 确定运动参数：一旦确定是简谐运动，直接套用周期公式 ，并利用对称性（平衡位置速度最大，最大位移处速度为0）求解极值。 三、 避坑点（易错警示） 1. 混淆“恒流”与“感生”： (1)坑点：题目中若电源提供恒定电流，安培力 是恒力，不是变力，不会产生简谐运动（除非有弹簧配合）。 (2)对策：只有当电流 随速度 或位移 变化时，才可能产生回复力。 2. 忽略“零电阻”条件： (1)坑点：很多简谐运动模型成立的前提是回路总电阻为零（理想线圈或超导体）。此时 ，没有热损耗，能量守恒，振幅不变。 (2)对策：若回路有电阻，振动会衰减（阻尼振动），不再是标准的简谐运动。 3. 自感电动势的方向： (1)坑点：自感电动势总是阻碍电流变化。在列式时容易漏掉负号或方向判断错误。 (2)对策：牢记 ，在列动量定理或能量方程时，注意安培力做功与磁场能的转化。 4. 投影与圆周运动： (1)坑点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其在直径上的投影是简谐运动。 (2)对策：圆周运动周期 等于投影简谐运动的周期 。 四、 题型分类与例题精讲 第一类：电磁感应中的“弹簧-导体棒”模型 特点：弹簧的弹力与安培力共同作用，或者安培力充当回复力。 例题1、如图所示，间距为d的足够长平行光滑金属导轨倾斜放置，导轨倾角为θ，导轨上端接有自感系数为L的电感线圈，质量为m、长度为d的金属棒垂直导轨放置，导轨处于垂直导轨平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为g，不考虑电磁辐射，电感线圈的直流电阻和金属棒及导轨的电阻均不计。时刻将金属棒从导轨上某处静止释放，在金属棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．金属棒在导轨上做往复运动 B．金属棒在导轨上做加速运动，最终会沿导轨匀速下滑 C．金属棒运动过程中线圈中磁场能的最大值 D．金属棒由静止下滑距离时，棒的速度最大，此时棒中电流 第二类：电容器/自感线圈与导体棒的“动量-电荷”模型 特点：回路电阻为零，利用动量定理 和电荷量 或 联立求解。 例题2、如图所示，水平面内相距为d的两光滑平行金属轨道在M、N处有一个小断口，小断口填充了绝缘材料。MN左侧两轨道之间有一电容为C、电压为U的带电电容器和定值电阻R，MN右侧两轨道之间有一自感系数为L的电感线圈，磁感应强度为B的匀强磁场与轨道平面垂直。质量为m的金属棒垂直放在MN左侧导轨上，某时刻闭合开关，随着电容器放电，金属棒开始加速，越过MN后最远能够到达PQ位置。已知金属棒运动过程中经过MN位置时速度已达最大值，金属棒从MN到PQ所用时间为，线圈的自感电动势为，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，除定值电阻R外所有电阻均不计，不考虑电磁辐射造成的能量损失。求： (1)金属棒最大加速度和最大速度的大小； (2)金属棒从MN运动到PQ过程中，所受安培力大小与离MN距离x的关系； (3)金属棒从MN第一次运动到MN与PQ的中间位置的时间（结果用表示）以及MN与PQ之间的距离。 第三类：带电粒子在复合场中的投影运动 特点：匀速圆周运动（磁场中）与简谐运动（投影）的互换理解。 例题3、如图1，在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系，空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为、带电量为的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿轴正方向照射，垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标随时间的变化曲线如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．投影做的是简谐运动，其振幅为 B．时间内，投影的速度逐渐增大 C．磁感应强度大小为 D．投影的速度最大值为 第四类：特殊电源（恒流源）与碰撞模型 特点：涉及恒定电流安培力（恒力）或碰撞后的联合振动。 例题4、如图所示，倾角为、间距L=1.0m的足够长金属导轨MN和M′N′的上端接有一个单刀双掷开关K，当开关与1连接时，导轨与匝数n=100匝、横截面积S=0.04m2的圆形金属线圈相连，线圈总电阻r=0.2，整个线圈内存在垂直线圈平面的匀强磁场B0且磁场随时间均匀变化。当开关与2连接时，导轨与一个阻值为R=0.3的电阻相连。在导轨MN和M′N′的平面内有垂直平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B1=0.2T，倾斜导轨下端与水平的足够长平行金属导轨NT和N′T′平滑对接，在水平导轨的PQQ′P′矩形区域内有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B2=0.5T，矩形区域的宽度d=0.5m。一根劲度系数k=2N/m的轻质弹簧水平放置，右端固定在W点，左端与长度为L、质量mb=0.4kg的绝缘杆b栓接（拴接点在杆b中点）弹簧处于原长状态。现开关与1连接时，一根长度为L、质量为ma=0.1kg，阻值R1=0.2Ω的金属杆恰好静止在倾斜导轨上；某时刻把开关迅速拨到2，最后a杆能在倾斜轨道上匀速下滑，所有导轨均光滑且阻值不计，其中sin53°=0.8。 （1）求圆形线圈内磁场随时间的变化率； （2）在a杆在穿越PQQ′P′矩形区域过程中，求流过电阻R的电量和电阻R上产生的热量； （3）若a杆与b杆发生碰撞后即刻粘在一起，且此后始终做简谐运动，请以两杆碰撞后第一次速度变为0时作为计时起点，向右为正方向，写出该简谐运动的振动方程。已知弹簧振子振动周期公式为，其中m为振子质量，k为弹簧的劲度系数。（提示：可以用F-x图像下的“面积”代表力F做的功） 【重难训练】 一、单选题 1．竖直方向的圆柱形区域内存在沿竖直轴线方向的磁场，磁感应强度的表达式为（ω未知），其产生的感生电场满足，r为某点到圆心O点的距离。如图所示，现将一光滑绝缘细管固定于某一水平截面内，沿管方向设为x轴。管内有一质量为m，电荷量为q的小球，t=0时小球从A点静止释放，已知，，，小球恰好以为平衡位置做简谐运动。管的内径远小于d，小球直径略小于管的内径，简谐运动周期公式为。则ω为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．如图为一种手动按压发电机原理图。发电机由圆形线圈、辐射型永磁体、压盘、复位弹簧等组成。已知线圈匝数为，每匝周长均为，线圈所处区域磁感应强度大小均为。用手按压压盘，在底部复位弹簧和按压力共同作用下，线圈始终做周期为、振幅为、最大速度为的简谐运动。发电线圈通过导线与理想变压器连接，变压器原、副线圈匝数分别为和。用滑动变阻器模拟用电器，初始时，滑动变阻器的电阻全部接入电路。假设压盘输入的机械能全部转化为电能，忽略除滑动变阻器外的一切电阻，忽略摩擦力和空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．当滑动变阻器所在电路断路时，压一次压盘，撤掉外力，线圈做简谐运动的振幅保持不变 B．当滑动变阻器接入电路的阻值为总阻值的一半时，压盘输入的机械功率将变成原来的2倍 C．当滑动变阻器接入电路的阻值为时，一个周期内通过压盘输入的机械能为 D．以线圈处在最高点为计时起点，线圈产生的电动势表达式可能为 3．如图，水平面内有相距为d的足够长的平行金属导轨，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，导轨右端与电感线圈相连，线圈的自感系数为L。一长度略大于d的金属棒以的速度从左端滑上导轨，金属棒质量为m，所有电阻及摩擦均不计，已知简谐运动的周期公式为。则有（　　） A．金属棒刚滑上导轨时刻，回路电流最大 B．金属棒速度减为零的时刻，线圈自感电动势最大 C．金属棒向右运动的最大距离为 D．金属棒从滑上导轨到速度减为零的时间为 4．如图，竖直平面存在两足够长光滑平行金属导轨，间距为d，导轨间存在垂直导轨平面向内的磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出）。导轨上端用单刀多掷开关接1、2、3时，分别接定值电阻R、电容为C的电容器、自感系数为L的电感线圈。将一根质量为m、长度略大于d的金属棒垂直导轨放置，开关分别接1、2、3，将金属棒由静止释放。已知电感线圈的直流电阻、金属棒及导轨电阻均为零，线圈中产生自感电动势大小，下列说法正确的是（    ） A．开关接1时，金属棒从静止释放先做加速度逐渐减小的加速运动，再做匀速运动，最大速度为 B．开关接2时，金属棒从静止释放经过时间t，速度为 C．开关接3时，金属棒从静止先做变加速运动，最终匀速下滑 D．开关接3时，金属棒沿导轨下滑的最大距离为 5．如图，间距为d、倾角为θ的两足够长光滑平行金属导轨，导轨间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上端接一自感系数为L的电感线圈，当流过线圈的电流变化时，线圈中产生自感电动势。将一根质量为m、长度略大于d的金属棒垂直导轨放置，时刻由静止释放。已知电感线圈的直流电阻、金属棒及导轨电阻均为零，当金属棒下滑时切割磁感线产生的电动势与线圈的自感电动势大小相等；质量为m的质点做简谐运动的回复力满足，振动周期，重力加速度为g，电磁辐射忽略不计。关于金属棒的运动，下列说法正确的是（　　）    A．金属棒沿导轨先做变加速运动，最终匀速下滑 B．金属棒沿导轨下滑的最大距离为 C．金属棒释放后经时间速度再次减为0 D．释放金属棒后，在时刻速度第一次达到最大 三、解答题 6．如图半径为R=1m，匝数n=10的圆形线圈和间距为2R的水平光滑平行金属导轨用导线相连。两劲度系数都为k=100πN/m的轻弹簧左端固定，右端与金属棒ab连接。金属棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，其接入电路中的电阻为r=0.1Ω，质量。垂直线圈平面向里有变化磁场，磁感应强度随时间变化关系为。垂直轨道平面向外有匀强磁场，金属棒受力平衡处于静止状态。t1时刻线圈内磁场以新的规律周期性变化，导致回路电流始终为零，金属棒沿导轨只受弹簧弹力作用开始做简谐运动。已知若简谐运动回复力F=-kx， 则其周期为，线圈和导轨电阻不计。 (1)求t1之前，弹簧的形变量； (2)以t1时刻为计时起点，求t1之后B1随时间的变化率的表达式。 7．如图所示，间距L=2m的光滑平行导轨所在平面与水平面夹角θ=30°，导轨底边AB水平，且接有一个特殊的电源，电路接通后该电源在不同的外接负载条件下均保持所输出的电流恒定为I=0.5A，导轨上C、D两点连线与底边平行，E为导轨平面上一点，C、D、E的连线构成等腰直角三角形，O点为等腰直角三角形CDE过E点高的中点，三角形内部存在垂直导轨平面向下，磁感应强度大小B=0.5T的匀强磁场。将一长度也为L=2m，质量m=0.05kg，电阻为定值的导体棒放置在C、D位置，导体棒受到C、D两处挡板的作用处于静止状态。导轨足够长，重力加速度g取。求： (1)闭合开关S的瞬间，导体棒的加速度a的大小； (2)导体棒第一次经过O点时速度的大小； (3)已知闭合开关S后经时间导体棒第一次经过O点，若以O点为原点沿斜面向上为正方向建立x坐标轴，请写出导体棒所受合力与其坐标x的关系式及导体棒从O点第一次到达x=0.25m所用的时间t。（结果均可用分数表示） 8．如图甲所示为一智能电动升降机，兴趣小组受升降机启发，设计了如图乙所示的升降机示意图。间距L=2m的金属导轨M'M、N'N固定在绝缘水平面上，MN端接有一智能电源。电阻R=2Ω的相同均匀导体棒ab、cd通过绝缘轻杆组成“H”字形，其整体质量m=1kg，“H”字形平放在导轨上，ab棒中点通过细绳绕过滑轮与一质量M=2kg的货物相连，cd棒的中心右侧某位置固定有一劲度系数k=N/m的绝缘轻弹簧（初始时处于原长，左端位于P点）。整个装置处于磁感应强度B=1T，方向竖直向下的匀强磁场中。某次测试中，t=0时，货物正以v0=2m/s匀速上升，t=1s时货物脱钩，当货物上升到最高点时（未碰到滑轮），cd棒刚好运动至P点。已知cd棒每经过一次P点，智能电源的电流方向会发生改变，但电流大小始终不变。所有摩擦阻力与空气阻力均不计，除导体棒外其他电阻均不计，弹簧振子周期，取 =3，求： (1)货物匀速上升时，通过智能电源的电流大小I； (2)cd棒运动到P点前瞬间智能电源的输出电压U； (3)从t=1s至cd棒第二次运动到P点，流过cd棒的电荷量q； (4)从t=0至cd棒第三次运动到P点，智能电源输出的总能量E。 9．如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH处通过绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。CD与EF间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD区域、EFGH区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。金属棒b静止在EFGH区域，金属棒a在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h的位置由静止释放，最终恰好停在EF边界处，此时金属棒b恰能从GH处滑入倾斜导轨。金属棒a与CD、EF间的粗糙导轨的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，金属导轨与金属棒b的电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，长度均为，重力加速度取g。求： (1)在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小与金属棒b的加速度大小； (2)金属棒a在离开ABCD区域后产生的焦耳热Q； (3)金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势，其自身的电阻为零） 10．如图所示，在水平面内有两根间距为l的金属导轨平行放置，导轨末端通过一小段塑料接口与足够长的倾斜平行金属导轨平滑连接，倾斜导轨倾角为。在图示区域Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ中，存在垂直于导轨向上的匀强磁场，磁感应强度分别为，和；区域Ⅱ中导轨粗糙，宽度为d，其余导轨均光滑。磁场边界上放置金属棒a，磁场边界右侧附近静止放置金属棒b，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。现让金属棒a以初速度进入磁场，发现它最终刚好停在了（边界左侧），而金属棒b恰好滑入倾斜轨道。已知金属棒a与轨道粗糙部分的动摩擦因数为，金属棒a的电阻为R，其余电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，重力加速度取g，求： （1）在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒b的加速度； （2）金属棒a在离开区域Ⅰ后产生的焦耳热Q； （3）金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势）    11．如图所示，在水平桌面上平行固定两根间距为d的金属导轨PEN、QFM，在P、Q两点通过一小段绝缘材料与导轨间距也为d、倾角为θ的足够长平行金属导轨平滑连接，下端连接有自感系数为L的电感线圈，倾斜导轨区域存在垂直于导轨向上、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。水平导轨分为区域PQFE和长度为2x0的区域EFMN，在P、Q两点通过细导线连接阻值为R的定值电阻，桌面立柱上拴接两根劲度系数均为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧与导轨平行。将一根质量为m、长度为d的金属棒，在水平导轨上向右缓慢压缩弹簧，使两根弹簧的形变量均为x0，此时金属棒恰好位于水平导轨右端M、N处。由静止释放金属棒，弹簧将其弹开，当金属棒运动距离为x0时开始计时，同时在区域PQFE内加上一个方向竖直向上的变化磁场，其磁感应强度大小按B=kt（k大于0且为常数）的规律变化。当金属棒进入区域PQFE时，磁场保持此时的磁感应强度大小不变，金属棒恰好可以到达P、Q两点并滑入倾斜轨道。不计一切摩擦，除定值电阻R外其余电阻均不计，求： (1)金属棒刚脱离弹簧时的速度大小v； (2)从金属棒开始运动至运动到E、F两点的过程中通过电阻R的电荷量q； (3)金属棒沿倾斜导轨向下滑行的最大距离xm。 12．如图所示，两平行导轨ab、cd固定在水平面上，其中ef、gh是两小段绝缘导轨，其余部分是金属导轨，导轨间平滑相接，导轨间距为，整个导轨置于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。导轨左侧接有一阻值为R的电阻和一电容为C、极板间距为的电容器（开始时不带电），右侧接有自感系数为L的线圈。质量为m、电阻为R的金属棒M垂直导轨放置于绝缘导轨左侧某处，质量为m、电阻不计的金属棒N垂直导轨放置于绝缘导轨上。现给M一水平向右初速度，当M达到稳定状态，一带电荷量为的粒子（重力不计）恰能以速度从极板间水平穿过。此后，M继续运动与N发生弹性正碰（碰撞时间极短），忽略金属棒在绝缘导轨上的运动时间。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，M、N均始终与导轨接触良好。求： （1）M达到稳定状态时，电容器极板间的电场强度大小E； （2）M稳定时产生的电动势ε及其速率v； （3）给M的水平向右初速度大小； （4）M和N从第一次碰撞到第二次碰撞的时间。（已知：自感系数为L、电流变化率为的自感线圈产生的自感电动势，简谐运动周期公式：，k为比例系数） 13．如图所示，相互平行的光滑金属导轨间距为，倾角为，其上端通过导线连接阻值为的电阻，三个区域中均为匀强磁场，磁感应强度大小为，方向与倾斜导轨平面垂直，三个磁场区域的宽度均为，间距为，磁场区域3的下边界处用一小段大小可忽略的绝缘圆弧与宽度为的光滑水平导轨相连，水平导轨右端接有阻值不计，自感系数为的自感线圈。质量为、电阻的金属棒从处由静止开始沿导轨下滑，到磁场区域1上边界距离为（未知）。金属棒滑过后与另一根放在左侧相同位置和相同质量的绝缘棒相碰，碰后两棒粘在一起，进入磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向与水平导轨平面垂直。不计导轨的电阻及处的机械能损失，金属棒始终与导轨保持垂直且接触良好，重力加速度为，线圈中产生自感电动势大小为。 (1)当时，导体棒释放后恰好匀速穿过磁场区域1，求； (2)当取合适值时，导体棒进入磁场后的运动过程中，在任一磁场区域和非磁场区域运动的时间均相等，求导体棒每次离开磁场区域时的速度； (3)在（2）的基础上，、棒碰撞后，向右运动的最大距离。 14．如图所示，足够长的光滑水平长直金属导轨放在磁感应强度大小为 B=0.4T的匀强磁场中，导轨平面位于水平面内，匀强磁场的方向与轨道面垂直，轨道宽将一质量为m电阻为的导体棒MN垂直静置于导轨上。当开关S与a接通时，电源可使得回路电流强度恒为I=2A，电流方向可根据需要进行改变；开关S与b接通时，所接定值电阻的阻值开关S与c接通时，所接电容器的电容C=15F（耐压值足够大）；开关S与d接通时，所接电感线圈的自感系数L=5H（不计直流电阻）。若开关S的切换与电流的换向均可在瞬间完成，不计导轨的电阻，导体棒在运动过程中始终与导轨接触良好。 （1）若开关S始终接a，导体棒向左运动，求导体棒在运动过程中的加速度大小； （2）若开关S先接a，当导体棒向左运动到速度为 时： ①立即与b接通，求此时棒MN两端的电势差及此后全过程中电阻R上产生的焦耳热Q； ②立即与c接通，求此后电容器所带电荷量的最大值； （3）若不计导体棒MN的电阻，给其一个水平向右的初速度，使其始终在导轨上运动，此过程中回路中的电流满足表达式i=sinωt（A）。已知自感电动势的大小为求导体棒向右运动的最大位移。 15．如图，两平行轨道固定于水平面内，其中、是两小段绝缘材料，其余部分是金属材料，轨道间距为，轨道间分布着磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。轨道左侧接入包含电动势为的直流电源、电容为的电容器、单刀双掷开关构成的电路，轨道右侧接入自感系数为的电感线圈。质量为、电阻为的金属棒垂直放置于轨道左侧某处，质量也为、电阻不计的金属棒垂直放置于绝缘材料上。现将接1，待电容器充电完毕后，再将接2。之后，运动达到稳定状态，再与发生弹性碰撞。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，、均始终与轨道接触良好。 （1）接通2瞬间，求金属棒的加速度大小； （2）求金属棒运动达到稳定状态时的速度大小； （3）某同学查阅教材后得知，电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，由此他猜测金属棒在运动过程中做简谐运动。请证明。 试卷第8页，共11页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《浙江物理选考专题1简谐运动在力学中的综合应用》参考答案 例题1、ACD 【详解】AB．金属棒在导轨上由静止释放后，切割磁感线产生感应电动势，进而产生感应电流，受到安培力作用。安培力方向与金属棒运动方向相反，当金属棒速度减为后，又会反向加速，所以金属棒在导轨上做往复运动，故A正确，B错误； D．对金属棒进行受力分析，当金属棒速度最大时有 解得 再根据法拉第电磁感应定律有 得 则有 解得金属棒由静止下滑距离时速度最大，故D正确； C．根据能量守恒，金属棒的重力势能转化为线圈中的磁场能和金属棒的动能，当金属棒速度为时，重力势能全部转化为线圈中的磁场能，此时磁场能最大。根据为金属棒下滑的距离） 解得 故C正确。 故选ACD。 例题2、(1)，；(2)；(3)， 【详解】（1）开关接通瞬间，安培力最大，因而加速度最大 根据牛顿第二定律，其中 解得 设金属棒达到稳定状态时的最大速度为 此时电容器带电量为，其中 电容器初始电量，则电容器电量减小量为 设在时间内金属棒的速度变化为 以向右为正方向，根据动量定理 解得 （2）设在某时刻金属棒的速度为，在时间内 可得 线圈初始电流为0，根据微元求和可得，其中为金属棒与的距离 金属棒所受安培力表达式为 （3）安培力，设，且与方向相反，满足，所以金属棒做简谐运动 因为从到的时间为，则简谐运动周期 设金属棒从运动到与中间位置的时间为 由简谐运动知识，得 解得 由到，利用平均力做功以及动能定理 解得 例题3、D 【详解】A．振幅A是投影偏离平衡位置的最大距离。由图 2，最大 最小 平衡位置 则振幅，A错误； B．时间内，投影图像斜率绝对值减小（斜率表示速度 ），故投影速度逐渐减小，B错误； C．小球做圆周运动的周期T等于投影简谐运动的周期。由图 2可知 得 由洛伦兹力提供向心力 且圆周运动周期 得，C错误； D．简谐运动最大速度，D正确。 故选D。 例题4、（1）；（2）1.3125J；（3）（m）或）（m） 【详解】（1）电动势 根据 得 （2）根据 解得 根据 动量定理 解得 根据能量守恒 Q=2.1875J 所以 J （3）动量守恒 解得 v共=1.5m/s 根据F-x图像得： E弹=Ek 所以 x=0.75m 所以： A=x=0.75m T=π 得 ω=2rad/s 所以 x=Acosωt=0.75cos2t（m）或x=Asin（ωt+）=）（m） 【重难训练】 1．D 【详解】感生电场的表达式为，则小球受到的电场力为 设小球所在位置到圆心O的连线与的夹角为，则由几何关系可得电场力沿细管方向的分力大小为 又因为 代入上式解得 所以小球做简谐运动的回复力为 其中负号表示回复力与位移方向相反。已知简谐运动回复力的表达式为 又因为简谐运动的位移表达式为 其中为简谐运动的振幅。所以小球以为平衡位置做简谐运动时，其比例系数满足 根据几何关系有 联立解得 所以 联立解得 故选D。 2．AB 【详解】A．变压器为理想变压器，当副线圈所在电路为断路时，原线圈产生的感应电动势和发电线圈产生的电动势时刻等大反向，所以发电线圈内无电流，线圈不受安培力，做简谐运动的振幅不发生变化。故A正确； D．发电线圈产生电动势的最大值 当线圈处在最大位移处为计时起点，线圈产生的电动势瞬时值表达式为，故D错误； B．变压器原线圈电压有效值不变，副线圈电压有效值不变，为 不随滑动变阻器阻值变化，当滑动变阻器接入电路的阻值为总阻值的一半时，根据可知，功率变为原来的2倍，根据能量守恒，压盘输入的机械功率变为原来的2倍，故B正确； C．一个周期输入的机械能，故C错误。 故选AB。 3．CD 【详解】A．金属棒刚滑上导轨时，自感电动势最大，回路电流强度为零，故A错误； B．金属棒速度为零时，回路电流最大，自感电动势为零，故B错误； C．由自感电动势与动生电动势等大反向可知， 在时间内        ， 线框所受安培力为， 设金属棒向右最大位移为S，则有：， 得，故C正确； D．线框所受安培力为， 故线框所受合外力与位移x成正比，且方向与位移方向相反，则线框做简谐运动， 由简谐运动周期公式可得，故D正确 故选CD。 4．ABD 【详解】A．开关接1时，金属棒从静止加速，设速度为v，金属棒产生的感应电动势为 受到的安培力为 由牛顿第二定律 故金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大值 故A正确； B．开关接2时，回路中电流为 由牛顿第二定律 故 金属棒做匀加速直线运动，经过时间t，金属棒的速度为 故B正确； CD．开关接3时，设某时刻金属棒的速度为x，由题意可知 其中 联立可得 对金属棒受力分析，受到的安培力为 由牛顿第二定律 设金属棒下滑时速度最大，则有 即为平衡位置，金属棒从初始下滑x，相对平衡位置的位移为 则金属棒受到的合力为 故金属棒做简谐运动，则下滑的最大距离为 故C错误，D正确。 故选ABD。 5．BC 【详解】A．依题意，当金属棒下滑时切割磁感线产生的电动势与线圈的自感电动势大小相等，有 可得 金属棒所受安培力为 设金属棒下滑时受力平衡，有 当金属棒再下滑x时，安培力为 回复力大小为 方向沿斜面向上，与位移方向相反，即 满足做简谐运动的回复力的条件，金属棒做简谐运动。故A错误； B．金属棒沿导轨下滑的最大距离为两倍振幅，即 故B正确； C．依题意，有 又 金属棒释放后经半个周期速度再次减为0，即 联立，可得 故C正确； D．释放金属棒后，经四分之一周期速度第一次达到最大，即 故D错误。 故选BC。 6．(1)0.1m；(2) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得 感应电流 由平衡可知 解得x=0.1m。 （2）根据题意，线圈产生的感应电动势应与金属棒切割磁感线产生的电动势抵消，使金属棒受弹簧作用力做简谐运动。由于两根弹簧共同作用，等效劲度系数为2k，故简谐运动的圆频率 金属棒经过平衡位置时最大速度 根据第一问知振幅A=0.1m。 解得 则从t1时刻开始重新计时，金属棒的速度随时间变化规律为v=vmsinωt=πsin10πt 又 解得 （写作同样给分）。 7．(1)；(2)；(3)， 【详解】（1）由左手定则可知导体棒所受安培力方向沿斜面向上，由牛顿第二定律得BIL－mgsinθ=ma 解得 （2）导体棒沿斜面向上运动位移d=0.5m时第一次经过O点，由几何关系易得此时导体棒处于磁场中的长度为；向上运动过程中导体棒处于磁场中的长度随其位移均匀减小，安培力做功 解得 由动能定理得 解得 （3）导体棒坐标为x时，导体棒处于磁场中的长度为 合力大小 即 可知导体棒以O点为中心做简谐运动，振幅A=0.5m，且导体棒第一次经过O点用时为四分之一周期，可得 导体棒过O点后再经第一次到达 从导体棒第一次经过O点时开始计时，则有 解得所用时间 8．(1)；(2)22V；(3)；(4) 【详解】（1）货物匀速上升，对货物与“H”字形，有 解得 （2）货物脱钩，货物到最高点时间 对导体棒动量定理有 解得 向右未碰到弹簧时有 解得 （3）导体棒碰到弹簧后所受合力与位移关系如图所示 设弹簧最大压缩量为。根据动能定理 解得 从点开始，“H”字形与弹簧组成系统在水平面内做简谐运动，其平衡位置在点左侧，设弹簧最大形变量为，有 解得 因此，振幅 根据周期公式 解得周期 “H”字形从接触弹簧到离开弹簧 流过导体棒的电荷量 （4）第一次到P点前，导体棒焦耳热 与弹簧接触期间，导体棒焦耳热 第二次经过P点到第三次经过P点，由动量定理可知 解得 导体棒焦耳热 货物与“H”字形总机械能的变化量 总能量 解得 9．(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）a棒从圆弧轨道滑下，由机械能守恒的 解得金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小为 a棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为， 所以b棒所受的安培力为 由牛顿第二定律得 解得金属棒b的加速度大小 （2）设金属棒a离开磁场ABCD区域时的速度为，此时金属棒b的速度为，金属棒a在CD、EF间做匀减速运动，可得 金属棒a穿越磁场ABCD区域中，a和b组成的系统满足动量守恒，则有 解得 此后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化为金属棒a的焦耳热，则有 （3）金属棒b恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足 可得 所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，则有 所以棒的运动方程为 可知金属棒做简谐运动，平衡位置时， 即 由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为 10．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）a棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为 所以棒b受到的安培力为 由牛顿第二定律得 解得 （2）设金属棒a离开磁场Ⅰ区域时的速度为v1，此时金属棒b的速度为v2，金属棒a在区域Ⅱ中做匀减速运动，可得 棒a穿越磁场区域Ⅰ过程中，由动量定理可得 根据题意有 联立解得 对棒b，在该过程中，由动量定理可得 解得 之后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化成金属棒a的焦耳热Q，有 （3）金属棒b恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足 可得 所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即 所以棒的运动方程为 可知金属棒做简谐运动，平衡位置时 a=0 即 由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为 11．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能转化为金属棒的动能，即 所以 解得 （2）金属棒运动距离为x0时，区域PQFE开始加磁场B=kt，设从此时至运动到E、F两点的过程中通过电阻的电荷量为q，可知，此过程金属棒运动的时间为 金属棒从进入区域PQFE到恰好离开的过程，设通过电阻的电荷量为qʹ，恰好离开时金属棒的速度为零，由题意知，金属棒刚进入区域PQFE时，磁场的磁感应强度 由动量定理得 由电流定义得： 联立可得 在整个闭合回路中，磁通量从0逐渐变大（感生），又逐渐减小为0（动生），整个过程中流经电阻R的总电荷量为0，即金属棒开始运动到E、F两点的过程中，通过电阻R的电量 所以 （3）金属棒恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为金属棒与线圈组成的回路直流电阻为零，所以必须满足 可得 所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即 所以棒的运动方程为 可知棒做简谐运动，平衡位置时a=0，即 由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为 12．（1）；（2）；；（3）；（4） 【详解】（1）对带电粒子，由平衡条件 可得 （2）M达到稳定状态时由 可得M稳定时产生的电动势 又根据 可得M运动稳定时的速率 （3）对M，由动量定理 即 M稳定时，电容器带电量 可得M的初速度 （4）对M和N，由动量守恒定律 由能量守恒定律 得碰后M和N交换速度 在N和线圈构成的回路中，由于线圈不计电阻，N产生的自感电动势与线圈产生的自感电动势相等，即 可得 从M和N碰后开始，对上式两边求和 N所受安培力 可得 由楞次定律可知，安培力方向与x方向相反，故N在绝缘导轨右侧做简谐振动，M和N从第一次碰撞到第二次碰撞的时间即为N简谐运动的半个周期 13．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设导体棒到达磁场区域1上边界时的速度大小为，由机械能守恒有 导体棒进入磁场区域1时，产生电动势 回路产生感应电流 导体棒受安培力大小 导体棒匀速穿过磁场区域1,有 联立解得 （2）设导体棒每次进入磁场区域时的速度为，每次离开磁场区域时的速度为，每次在磁场区域和非磁场区域运动时间均为T，导体棒在磁场中运动，设某时刻速度为，则安培力大小 由动量定理有 导体棒在无磁场区域运动过程，由动量定理有 由动能定理有 联立解得 （3） a、b棒碰撞后两棒粘在一起运动，有 产生的电动势为 整理得 金属棒中的电流为 根据图像以及动能定理有 向右运动的最大距离 14．（1）2m/s²；（2）①-0.6V；1.2J，②3C；（3） 【详解】（1）由题意可知，若开关始终接a，棒向左做匀变速运动，设加速度为a， 则有 解得 （2）①产生的感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律，有 此时棒两端电势差的绝对值为 由左手定则，电源外部M点电势低于N点 解得 对棒应用能量守恒 导体棒与电阻R串联 解得 ②可知棒先做减速运动，当棒的感应电动势等于电容器两端电压时，电容器带电量最大，设此时电容器带电量为q，板间电压为U，此后棒做匀速直线运动，设运动的速度为v，则有 从开始减速到开始匀速过程，设该过程中棒中平均电流为所用时间为则有 根据动量定理 联立解得 （3）棒MN运动后和电感线圈L构成回路，棒MN产生的感应电动势与电感线圈L产生的自感电动势始终大小相等。设在时间内，棒MN的速度为v，电流的变化为有 解得 对上式两边求和有 且由题意可知，初始时回路电流大小为零，回复力为零，即初始位置为平衡位置。 则棒做简谐运动的振幅就是最大位移，代入数据得 15．（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）根据题意可知，开始将接1，电容器充电完毕后，电容器两端电压为 开关S接2，电容器通过金属棒a放电，此时电流为 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意可知，当a棒产生的感应电动势等于电容器两端的电压时，a棒做匀速运动，由法拉第电磁感应定律 电容器两端的电压 设在时间内，a棒的速度变化为，而 由动量定理有 对上式两边求和有 解得 （3）a棒与b棒发生弹性碰撞，交换速度，即 b棒运动后和电感线圈L构成回路，b棒产生的感应电动势与电感线圈L产生的自感电动势始终大小相等。设在时间内，b棒的速度为，电流的变化为。有 解得 对上式两边求和有 则棒所受安培力为 由楞次定律可知，安培力方向与b棒位移x方向始终相反，故做简谐运动。 答案第8页，共14页 答案第9页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $