第一章 整式的乘除填空分类易错精选-2026年北师大版数学七年级下册

第一章整式的乘除分类易错精选【填空】 一、1.1幂的乘除 1．= ______． 【答案】 【分析】逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： 2．开封万岁山武侠城占地五百余亩，以宋文化、城墙文化和七朝文化为景观核心，吸引了大量游客前往，年月入园人次突破万，万这个数用科学记数法应表示为______． 【答案】 【详解】解：万． 3．如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【分析】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【详解】解：∵， ∴． 5．若，则_______ ． 【答案】18 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则求解． 【详解】解：． 6．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 7．已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 8．已知，，则_______． 【答案】625 【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 9．已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 10．计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 11．2025年3月，全球首枚三进制芯片的诞生．这项被称为“第三次数学革命”的技术突破，在多维度全面超越传统二进制技术．三进制数的组成数字为0，1，2．我们知道，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，常在数的右下角标明基数，例如，二进制数，三进制数．将二进制数转换为十进制数为：；将十进制数转化为二进制数可以用“除2取余”法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图所示，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）．将二进制数化为三进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，零次幂的含义，先计算，再结合新定义运算的含义求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴将二进制数化为三进制数为． 故答案为： 12．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 二、1.2整式的乘法 13．若，则的值为____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 14．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 15．已知，，则___________． 【答案】3 【分析】先将代数式展开，再代入和计算结果． 【详解】原式 ， ∵，， ∴原式． 16．近年来，我国逐步实施推广，用户通过预充值量子密钥的安全卡，即可在普通手机实现加密通话．已知原来单次量子安全通话服务的利润为元，技术升级后，现单次的利润比原来的4倍少10元，那么现在提供次量子安全通话服务的总利润为__________元．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】先根据题干描述表示出现在单次量子安全通话的利润，再根据总利润等于单次利润乘以通话次数，列出代数式即可． 【详解】解：由题意得，原来单次通话利润为元， 现在单次通话利润为元， 因为总利润单次利润通话次数， 所以次通话的总利润为元． 17．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据多项式的乘法法则将等式左边展开，与右边比较即可解答． 【详解】解： ∴ ∴ ． 18．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 19．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 【答案】7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 / 【分析】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【详解】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 21．已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【答案】2 【分析】先根据整式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据b不影响W的取值可知，W中所有含b的项的系数为0，据此列一元一次方程求解即可得到k的值． 【详解】解： ， 因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即， 解得． 22．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 23．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 24．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可得的面积，的面积，四边形的面积，设，，则，，，求出的面积为，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 25．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 三、1.3乘法公式 26．若，则a，b，c的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】利用零指数幂化简a，利用平方差公式化简b，利用积的乘方逆运算和有理数乘方化简c，再比较大小即可． 【详解】， ， ， ∵， ∴． 27．已知，则______． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则、平方差公式计算即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴原式 28．已知，，则的值为______． 【答案】9 【分析】先根据完全平方公式进行变形得出，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：，， 29．已知，，，则代数式的值是__________． 【答案】 【分析】计算差值：求出，，；代数式变形：将转化为；代入求值即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以， ， ， ． 30．已知，则M与N的大小关系是________ 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ． 31．已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据已知条件，将两式相减得到，根据得到，最后将两式相加，即可得到的值． 【详解】解：，， ， 又 ． ，即， 两边同时除以得，， ． 32．观察：； ， 那么，________． 【答案】 【分析】通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 33．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 34．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 【答案】 【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，， 若，， 则； 由图可得， 若时， ． 35．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若或，则，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】根据新定义运算验算即可． 【详解】解：①，故正确； ②，，不一定相等，故错误； ③若， 则， 则， 故正确； ④若 则， 若， ， 故正确． 故答案为：①③④． 36．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 37．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 四、1.4整式的除法 38．一个长方形的面积是，且长为，则这个长方形的宽是_______． 【答案】/ 【分析】根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：长方形的宽是． 39．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 【答案】2 【分析】根据多项式除法的性质，被除式减去余式可被除式整除，据此设出整式乘积，展开后对比对应项系数即可求解a的值． 【详解】解：∵多项式除以所得的余式为． ∴可设，其中为常数． ∴， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得 ， ∴． 40．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 先利用同底数幂的除法法则计算除法部分，化简后再进行多项式乘法，最后应用平方差公式简化． 【详解】解： = 故答案为：． 41．人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______． 数学问题与密码 密码M 【答案】2026 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：2026 42．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是___________（假定各边长均为正数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．根据长方形面积公式，邻边长等于面积除以已知边长，即多项式除以单项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意得，该长方形的邻边长为 ． 故答案为：． 43．已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 44．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 【答案】15 【分析】先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片． 【详解】解：大长方形的面积， ∵C类卡片的面积是， ∴， ∴小明需要准备C类卡片15张． 45．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【详解】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 46．若，则代数式的值是___． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 47．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 48．有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 【答案】a=2b 【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果． 【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b， ∵AD=BC， 即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC， ∴AE+4b=a+PC， ∴AE=a-4b+PC， ∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab, ∵面积差与PC无关， 故a-2b=0， 所以a=2b， 故答案为a=2b． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式． 试卷第10页，共22页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章整式的乘除分类易错精选【填空】 一、1.1幂的乘除 1．= ______． 2．开封万岁山武侠城占地五百余亩，以宋文化、城墙文化和七朝文化为景观核心，吸引了大量游客前往，年月入园人次突破万，万这个数用科学记数法应表示为______． 3．如果，，则___． 4．已知实数、、存在数量关系，求________． 5．若，则_______ ． 6．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 7．已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 8．已知，，则_______． 9．已知，则的值为________． 10．计算：______． 11．2025年3月，全球首枚三进制芯片的诞生．这项被称为“第三次数学革命”的技术突破，在多维度全面超越传统二进制技术．三进制数的组成数字为0，1，2．我们知道，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，常在数的右下角标明基数，例如，二进制数，三进制数．将二进制数转换为十进制数为：；将十进制数转化为二进制数可以用“除2取余”法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图所示，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）．将二进制数化为三进制数为______． 12．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 二、1.2整式的乘法 13．若，则的值为____ ． 14．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 15．已知，，则___________． 16．近年来，我国逐步实施推广，用户通过预充值量子密钥的安全卡，即可在普通手机实现加密通话．已知原来单次量子安全通话服务的利润为元，技术升级后，现单次的利润比原来的4倍少10元，那么现在提供次量子安全通话服务的总利润为__________元．（用含、的代数式表示） 17．若，则的值是________． 18．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 19．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 21．已知，若b不影响W的取值，则常数______． 22．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 23．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 24．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 25．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 三、1.3乘法公式 26．若，则a，b，c的大小关系是______． 27．已知，则______． 28．已知，，则的值为______． 29．已知，，，则代数式的值是__________． 30．已知，则M与N的大小关系是________ 31．已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 32．观察：； ， 那么，________． 33．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 34．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 35．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若或，则，其中正确结论的序号是______． 36．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 37．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 四、1.4整式的除法 38．一个长方形的面积是，且长为，则这个长方形的宽是_______． 39．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则________． 40．计算：__________． 41．人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______． 数学问题与密码 密码M 42．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是___________（假定各边长均为正数）． 43．已知，则的值为______． 44．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 45．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 46．若，则代数式的值是___． 47．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 48．有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 试卷第10页，共22页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $