第一章 整式的乘除 解答分类易错精选-2025--2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除分类易错精选【解答】 一、1.1幂的乘除 1．如果，那么我们规定，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： 　　，　　　　； (2)记，，．求证：． 2．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 4．已知，求证：． 5．已知． (1)求的值； (2)求证：． 6．规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以；因为，所以．根据上述规定，解答下列问题： (1)填空：_______，________； (2)已知，求实数x的值； (3)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有成立． 7．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 8．观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 9．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 10．已知：，，，，求证： (1)； (2)； 二、1.2整式的乘法 11．某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 12．如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 13．如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台，其边长为米，舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)若米，米，求绿化部分的面积． 14．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 15．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 16．观察下列各式： 9﹣1＝4×2＝8； 16﹣4＝6×2＝12； 25﹣9＝8×2＝16； 36﹣16＝10×2＝20； …… （1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是　 　． （2）用含n的等式证明这个规律． 17．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    (1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； (2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 18．现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 19．阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 20．① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 三、1.3乘法公式 21．综合与实践 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的．当然，没有敏锐的观察力是做不到的．数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究—猜想归纳—逻辑证明—总结应用．下面我们也来像数学家们那样分四步找出代数式与的关系． 【特值探究】 （1）当时，_____________，_____________； 当时，_____________，_____________； 【猜想归纳】 （2）观察（1）的结果，写出与的关系：_____________； 【逻辑证明】 （3）如图①，在边长为的正方形纸片中剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个长方形（如图②，不重叠无缝隙），请你说说如何用这个图来得出（2）中的关系； 【总结应用】 （4）若，且，则________________． 22．如图①是由边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形，我们把余下纸片剪开后，拼成一个长方形（图②）．根据上述过程并结合图形的面积，验证了公式． (1)请你通过对纸片的剪拼，在图③，图④上画出两种不同拼法的示意图． 要求：①与课本上的方法不相同；②拼成的图形是四边形；③在图上画剪切线（用虚线表示）；④在拼出的图形上标出已知的边长． (2)选择其中一种拼法写出验证平方差公式的过程． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 24．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的 (1)用含a，b的代数式分别表示小卧室和大卧室的面积； (2)当，时，求大小卧室的面积差（先化简再求值）． 25．如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀剪成两个边长分别为x（分米）和y（分米）的正方形和两个长方形，用所得的两个的正方形制作成如图2所示的新年挂图． (1)用含x、y的代数式表示正方形纸片的周长； (2)用含x、y的代数式表示李明剪掉部分（阴影部分）的面积； (3)当时，求李明剪掉部分（阴影部分）的面积． 26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 27．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 28．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 29．某室内体育训练场地如图①所示，其平面图四边形为正方形，内场（白色区域）是边长为的正方形，外圈设计两条宽为的直角塑胶跑道（阴影区域）． (1)若采用如图②所示的长为，宽为的长方形材料铺跑道（可进行裁剪与拼接），试用公式证明，无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； (2)若，，求的值． 30．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 四、综合应用 31．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干． (1)活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为_____（等号两边用含a，b的代数式表示）； (2)小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板_____张，B硬纸板_____张，C硬纸板_____张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）； (3)如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值． 32．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 33．一天，小明在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为等式：．    (1)则图③可以解释为等式：____________________． (2)如图④，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和与两个矩形面积之和的大小． (3)小明取其中的若干张拼成一个面积为长方形，则n可取的正整数值为4或6，并请在图⑤位置画出拼成的图形． 34．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如就能用图1图形的面积表示． (1)请你写出图2所表示的一个等式：______ (2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：． 35．我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． (1)请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式： (2)请用两种不同的方法探究代数式、、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） (3)利用（2）中结论，当，时，求的值． 36．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， (1)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． (2)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． (3)现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 37．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 38．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 39．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，“算两次”原理也称做富比尼原理，它是一种重要的数学思想．换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立．例如： 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看作一个大长方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形组成，它的面积为，由此可得到公式：． 除此之外，在对七下第八章教材的学习探究中，我们还利用“算两次”的思想探索得到了如下三个公式： 公式①： 公式②： 公式③： 请根据图2、图3、图4从上述3个公式中正确选出对应的序号填上． 图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______． 【方法应用】将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成下图．如图5，请利用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系． 【应用拓展】请利用图6，通过构图表示，在图中用阴影部分表示；并利用“算两次”的方法说明的计算结果．（要求：构图时请标注出相应的数据） 40．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示） ； (2)请你帮助小明计算，并用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； (3)如图3，，分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 41．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为____________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系：_________； (3)根据（2）中的结论，若，则_________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ (5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 42．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，其中，A、D、E三点在一条直线上． (1)如图①，，，那么阴影部分的面积是________．（用含的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，延长交于点，求长方形的面积． (3)小明想要自己动手拼长方形，从中选取了边长为的正方形2张，边长为的正方形2张，形如（长为，宽为）的长方形2张．从这6张卡片中去掉2张，用余下的4张卡片拼出一个长方形，他能拼出______种不同形状的长方形． 试卷第2页，共51页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除分类易错精选【解答】 一、1.1幂的乘除 1．如果，那么我们规定，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： 　　，　　　　； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)3，0， (2)见解析 【分析】（1）根据示例要求，直接可求解； （2）根据同底数幂相乘的逆用可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，0； （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律． 2．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. （2）解：猜想：； 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 3．已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 【答案】(1)9 (2)2 (3)见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知幂的相关计算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）先求出，再求出，则可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法． 根据幂的乘方求出，即，进而根据同底数幂的乘法即可证明． 【详解】证明：， ． ， ． 5．已知． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】（1）先逆用同底数幂的乘除法和幂的乘方求出，再将代入计算即可； （2）先逆用同底数幂的乘除法求出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：， 当时，原式． （2）证明：当时， ， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以；因为，所以．根据上述规定，解答下列问题： (1)填空：_______，________； (2)已知，求实数x的值； (3)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有成立． 【答案】(1)2； (2)x的值是1，和 (3)证明见解析 【分析】（1）根据规定，求解即可； （2）三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可； （3）设，，则，依题意有，，，则，所以有，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2；． （2）解：依题意：， 三种情况： ①当时，有，此时； ②当时，有，此时， ③当时，有，此时， ∴满足条件的实数x的值是1，和． （3）证明：设，，则， 依题意有，，， ∴， 根据规定即有：， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，解题的关键是理解题意，注意分类讨论，准确计算． 7．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 【答案】(1)， (2)说明见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，，然后代入式子变形进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， 第四个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即； （2）解：∵，则， ∴ ． ∴能被6整除． 8．观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 9．阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 10．已知：，，，，求证： (1)； (2)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴, ∴． 二、1.2整式的乘法 11．某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)修复完毕的塑胶场地需要费用66000元 【分析】本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． 【详解】（1）解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； （2）解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 12．如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 【答案】(1)平方米 (2)4800平方米 【分析】本题考查了整式乘法的应用，求代数式的值，关键是表示“T”型休闲文化广场的面积； （1）用长方形的面积减去两个正方形的面积，利用多项式乘多项式的法则展开即可； （2）把x与y的值代入（1）中化简后的算式中求值即可． 【详解】（1）解：“T”型休闲文化广场的面积为（平方米）； （2）解：当，时， 原式（平方米）； 13．如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台，其边长为米，舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积；（用含，的代数式表示） (2)若米，米，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米； (2)684平方米． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）绿化面积长方形的面积正方形面积舞台两边的通道的面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积大长方形的面积广场舞台的面积舞台两边的通道的面积， 绿化部分的面积为平方米； （2）解：当米，米时，（平方米）， 绿化部分的面积为684平方米． 14．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【答案】（平方米） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： （平方米）， ∴扩建后的长方形的花园面积为（平方米）． 15．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 16．观察下列各式： 9﹣1＝4×2＝8； 16﹣4＝6×2＝12； 25﹣9＝8×2＝16； 36﹣16＝10×2＝20； …… （1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是　 　． （2）用含n的等式证明这个规律． 【答案】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）见解析 【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出发现的规律； （2）先将等号左边化简，然后再变形，即可得到结论成立． 【详解】解：（1）∵9﹣1＝4×2＝8，即（1+2）2-12=2（2×1+2）； 16﹣4＝6×2＝12，即（2+2）2-22=2（2×2+2）； 25﹣9＝8×2＝16，即（3+2）2-32=2（2×3+2）； 36﹣16＝10×2＝20，即（4+2）2-42=2（2×4+2）； …， ∴第n个式子是（n+2）2﹣n2＝2（2n+2）＝4（n+1）， 故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）； （2）证明：∵（n+2）2﹣n2 ＝n2+4n+4﹣n2 ＝4n+4 ＝4（n+1）， ∴（n+2）2﹣n2＝4（n+1）成立． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． 17．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．    (1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）； (2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张 (3) 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是： （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）用代数式表示纸片，纸片，纸片的面积，再根据总面积得出数量即可； （3）根据拼成的长方形的面积是可得，需要纸片需要2张，纸片需要2张，纸片需要5张，画出相应的图形，并根据长方形的周长公式计算其周长即可． 【详解】（1）解：图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的 面积和，即， 因此， 故答案为：； （2）， 纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为， 纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张； （3）由于， 因此可以拼成长为，宽为的长方形， 如图所示：    这个长方形的周长为：， 答：此长方形的周长为． 18．现有甲、乙、丙三张卡片如图1摆放，卡片甲是边长为a的正方形，卡片乙是边长为b的正方形，卡片丙是长为a，宽为b的长方形．将卡片甲绕点B顺时针旋转，点A恰好与点D重合，得到图2；将卡片丙绕点E逆时针旋转，点F恰好与点C重合得到图3；将卡片乙绕点C逆时针旋转，得到图4；图2，图3，图4的阴影部分面积分别记为，，． (1)计算：________，________（用含a、b代数式表示）； (2)若边长，，则________； (3)探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)22 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，列代数式： （1）根据题意可得等于图甲的面积减去图乙的面积，的面积等于图丙的面积减去图乙的面积，据此可得答案； （2）根据题意可得，据此代值计算即可； （3）法一：根据，以及可得；法二：根据可得． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：，理由如下： 法一：依题意得 ， ， ； 法二：， ， ． 19．阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【答案】(1)两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，列代数式，有理数的乘法计算： （1）两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），据此求解即可； （2）一个两位数的十位数字乘以10再加上这个两位数的个位数字即为该两位数表示的数，据此求解即可； （3），进一步根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 20．① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 三、1.3乘法公式 21．综合与实践 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的．当然，没有敏锐的观察力是做不到的．数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究—猜想归纳—逻辑证明—总结应用．下面我们也来像数学家们那样分四步找出代数式与的关系． 【特值探究】 （1）当时，_____________，_____________； 当时，_____________，_____________； 【猜想归纳】 （2）观察（1）的结果，写出与的关系：_____________； 【逻辑证明】 （3）如图①，在边长为的正方形纸片中剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个长方形（如图②，不重叠无缝隙），请你说说如何用这个图来得出（2）中的关系； 【总结应用】 （4）若，且，则________________． 【答案】（1）4；4；16；16 （2） （3）见解析 （4）3 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的几何背景，熟练掌握运算法则和是解题的关键． （1）将值代入两个代数式计算即可得出结论； （2）利用（1）中两个小题的计算结果即可得出结论； （3）图①中阴影部分的面积等于大正方形的面积小正方形的面积，图②中阴影部分面积等于长宽，再根据阴影部分面积不变即可； （4）利用（2）中的结论计算即可得到结果． 【详解】解：（1）当时， ； ； 当，时， ； ； 故答案为：16，16； （2）观察（1）的结果，得出； 故答案为：； （3）图①中阴影部分的面积，图②中阴影部分面积，则有； （4），，且， ， ； 故答案为：3； 22．如图①是由边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形，我们把余下纸片剪开后，拼成一个长方形（图②）．根据上述过程并结合图形的面积，验证了公式． (1)请你通过对纸片的剪拼，在图③，图④上画出两种不同拼法的示意图． 要求：①与课本上的方法不相同；②拼成的图形是四边形；③在图上画剪切线（用虚线表示）；④在拼出的图形上标出已知的边长． (2)选择其中一种拼法写出验证平方差公式的过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）图③中得到等腰梯形；图④中得到平行四边形， （2）利用梯形面积计算公式和平行四边形面积计算公式表示出对应阴影部分的面积可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：图③中，左边图形中，阴影部分面积为，右边图形中，阴影部分面积为为， ∴； 图④中，阴影部分面积为，右边图形中，阴影部分面积为为， ∴． 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是运用数形结合思想得出完全平方公式并灵活运用． （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出 ，，之间的等量关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片4张，B号卡片1张，C号卡片4张，即可解答； （3）由（1）的等量关系，代入求值即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：， 因此有； （2）解：， ∴要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片4张； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的 (1)用含a，b的代数式分别表示小卧室和大卧室的面积； (2)当，时，求大小卧室的面积差（先化简再求值）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值求代数式的值，解题关键是理解题意，列出代数式． （1）先根据题意，求出阳台的宽度，再根据大卧室的边长和小明房间的长都是a，求出小卧室的边长，最后根据正方形的面积公式求出答案即可； （2）先列出算式求出大小卧室的面积差，再把a，b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 小卧室的面积为：，大卧室的面积为：； （2）当，时，大小卧室的面积差为： ． 25．如图1是一张正方形纸片，李明用剪刀剪成两个边长分别为x（分米）和y（分米）的正方形和两个长方形，用所得的两个的正方形制作成如图2所示的新年挂图． (1)用含x、y的代数式表示正方形纸片的周长； (2)用含x、y的代数式表示李明剪掉部分（阴影部分）的面积； (3)当时，求李明剪掉部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 平方分米 【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握列代数式、代数式求值是解决本题的关键． （1）根据题中图形列出代数式即可． （2）根据阴影部分面积大正方形面积减去两个小正方形的面积，列出代数式即可． （3）将未知数的值代入（2）中求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的边长， ∴这个正方形纸片的周长为． （2）解：阴影部分的面积． （3）解：当时，则（平方分米）． ∴剪掉的阴影部分的面积为8平方分米． 26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 27．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 28．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)4 (3)20 【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2的面积即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）根据，，求出的值，再根据求出的值，由代入计算即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，图2中四个长方形的面积为， 所以有； （2）解：∵，， ∴由（1）得：； （3）解：∵四边形，四边形为正方形，边长分别为x，．， ，， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 29．某室内体育训练场地如图①所示，其平面图四边形为正方形，内场（白色区域）是边长为的正方形，外圈设计两条宽为的直角塑胶跑道（阴影区域）． (1)若采用如图②所示的长为，宽为的长方形材料铺跑道（可进行裁剪与拼接），试用公式证明，无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的变形，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）求出的长，列代数式表示直角塑胶跑道的面积，然后根据平方差公式计算解答即可； （2）根据完全平方公式的变形可得，然后整体代入即可解答． 【详解】（1）解：如图，， ∴直角塑胶跑道的面积为， 又∵长方形材料面积为， ∴无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； （2）解：∵，， ∴， 30．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式，图形面积，平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分面积的两种计算方法即可得出结论； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为，即可得出三个代数式，，之间的等量关系； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为和，再根据，两正方形的面积和为20，可得，，然后利用完全平方公式求出的值，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：知识回顾：图1的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：大正方形面积为；方式二：两个小正方形和两个小长方形面积之和为； 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：用大正方形减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积为； 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故填：，； 拓展探究：（1）图3的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为； 所以图3中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2），， ， ， ， ． ， ． 解决问题：设正方形和的边长分别为和， ，两正方形的面积和为20， ，． ， ， ， ． 四、综合应用 31．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干． (1)活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为_____（等号两边用含a，b的代数式表示）； (2)小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板_____张，B硬纸板_____张，C硬纸板_____张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）； (3)如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3，图见解析 (3) 【分析】（1）用两种方法表示出来面积即可得出等式； （2）先计算多项式乘以多项式，即可得出需要纸板的数量，然后根据纸板数量画出相应图形即可； （3）设，，利用（1）中结论进行变形求解即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：， 故答案为： （2）解：(a+b)(a+2b)=， 需要A硬纸板1张，B硬纸板2张，C硬纸板3张， 故答案为：1，2，3； 设计图可以为： （3）设， 由题意得：， 由（1）知： ∴ 即． 【点睛】本题主要考查多项式乘法与图形面积的关系，熟练掌握多项式乘以多项式的计算方法及面积表示方法是解题关键． 32．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据图，得图的面积为：的面积加上的面积；根据左边等于右边，即可； （2）如图，得长方形的长为：；根据图的面积为：，图的面积为等于长方形的面积加长方形的面积加长方形的面积，即可． 【详解】（1）如图： 图的面积：； ∵ ； ∴图、图面积相等， ∴． 故答案为：；． （2）如图可知 长方形的宽度为：； 如图，图所示： 图的面积为：； 图的面积为：； ∵图的面积等于图的面积， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握把长方形的面积分成小长方形的面积之和，进行计算． 33．一天，小明在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为等式：．    (1)则图③可以解释为等式：____________________． (2)如图④，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和与两个矩形面积之和的大小． (3)小明取其中的若干张拼成一个面积为长方形，则n可取的正整数值为4或6，并请在图⑤位置画出拼成的图形． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】（1）看图即可得出所求的式子； （2）根据矩形和正方形面积展开计算比较即可； （3）根据代数式分解因式即可分析解答． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵；, ∴， ∴； （3）解：当n取4时，,   ． 【点睛】本题考查多项式和多项式的乘法，关键是考查了学生的学以致用能力．同时也加深了对整式乘法的理解． 34．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如就能用图1图形的面积表示． (1)请你写出图2所表示的一个等式：______ (2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的应用，根据等面积法建立等式是解题的关键． （1）结合图形，以及运用等面积法建立等式，即可作答． （2）模仿上述原理：运用等面积法建立等式，进行作图即可． 【详解】（1）解：依题意，∵大正方形的面积等于每个部分的面积之和， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ 如图所示： 35．我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． (1)请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式： (2)请用两种不同的方法探究代数式、、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） (3)利用（2）中结论，当，时，求的值． 【答案】(1) ，， (2)，方法见解析 (3)49 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形，看懂和理解题图是解决本题的关键． （1）观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论； （2）通过计算阴影部分的面积，发现三组量间关系； （3）把已知代入（2）的结论，先求出，再求． 【详解】（1）解：图1、阴影部分的面积： 各个部分之和的面积等于大正方形面积 即； 图2、阴影部分的面积：； 图3、阴影部分的面积：． 故答案为：，，． （2）解：代数法： ∵， 则； 拼图法：如图4： ， ， ∴． （3）解：，， ． 36．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， (1)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． (2)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． (3)现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握整体面积与部分面积之间的关系、以及数形结合思想是解题关键． （1）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （3）利用完全平方式的特征解答即可． 【详解】（1）解：下图即为符合题意的图形．画一个长为，宽为的长方形，将其分割为一个边长为a的正方形，两个长为a宽为b的长方形和一个边长为b的正方形，即可表示，如图， （2）仿照上述方法写出含有，的代数恒等式为，画出与之对应的几何图形如下： （3）∵， ∴需要3号卡片张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为． 故答案为：；． 37．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到． (1)写出图②所表示的数学等式： ； (2)利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)如图③，有若干张边长为和边长为的小正方形纸片，还有若干张长为、宽为的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：（画出示意图即可）． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 【分析】本题考查等式的几何意义，涉及代数式求值，数形结合是解决问题的关键． （1）对于图形②，通过不同的方法计算图形的面积，即可得到数学等式； （2）由（1）中，将，代入计算即可得到答案； （3）由题中所给基本图形，结合数学等式：可知里面含有边长为的小正方形纸片3个、边长为的小正方形纸片2个，长为、宽为的长方形纸片7个，即可画出图形． 【详解】（1）解：如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， 当，时，， ； （3）解：如图所示： 图中拼出的几何图形，使得计算它的面积能得到数学等式：． 38．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 39．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，“算两次”原理也称做富比尼原理，它是一种重要的数学思想．换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立．例如： 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看作一个大长方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形组成，它的面积为，由此可得到公式：． 除此之外，在对七下第八章教材的学习探究中，我们还利用“算两次”的思想探索得到了如下三个公式： 公式①： 公式②： 公式③： 请根据图2、图3、图4从上述3个公式中正确选出对应的序号填上． 图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______． 【方法应用】将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成下图．如图5，请利用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系． 【应用拓展】请利用图6，通过构图表示，在图中用阴影部分表示；并利用“算两次”的方法说明的计算结果．（要求：构图时请标注出相应的数据） 【答案】（1）②；①；③（2）（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式、单项式乘多项式表示图形面积、多项式乘多项式表示面积，读懂题意是解题的关键． 教材片段：根据“算两次”的方法，即可得出答案. 方法应用：根据“算两次”的方法，即可得出答案. 应用拓展：先画出图形，根据“算两次”的方法，即可得出答案. 【详解】解：教材片段：图2：； 图3：； 图4：． 故答案为∶②；①；③． 方法应用： ∴． 应用拓展：如图所示∶ 则 ， 即 40．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示） ； (2)请你帮助小明计算，并用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； (3)如图3，，分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）图形整体面积等于各部分面积之和； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算，然后画图验证即可； （3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题． 【详解】（1）解：； （2）解： 如图所示， （3）解：由题意得，，． ， ． ． 阴影部分面积． 41．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为____________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系：_________； (3)根据（2）中的结论，若，则_________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ (5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)见解析 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式乘以多项式，数形结合是解题的关键． （1）图2中的阴影部分为边长为的正方形，即可求出面积； （2）图2整个图形的面积可以看作一个边长为大正方形的面积，即面积为，还可以看成四个长为b宽为a的长方形和一个边长为的正方形组成，即面积为，即可得到答案； （3）由（2）可得 ，将代入即可求出所求式子的值； （4）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可； （5）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分为边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： （2）图2整个图形的面积可以看作一个边长为大正方形的面积，即面积为，还可以看成四个长为b宽为a的长方形和一个边长为的正方形组成，即面积为， ∵ ∴， 故答案为： （3）由得到 ∵， ∴ 解得 解得 故答案为： （4）图3整个图形的面积可以看作一个长为，宽为的长方形，即面积为，还可以看成四个长为b宽为a的长方形、一个边长为的正方形、三个边长为a的正方形组成，即面积为，即得到； （5）如图，即为所求， 42．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，其中，A、D、E三点在一条直线上． (1)如图①，，，那么阴影部分的面积是________．（用含的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，延长交于点，求长方形的面积． (3)小明想要自己动手拼长方形，从中选取了边长为的正方形2张，边长为的正方形2张，形如（长为，宽为）的长方形2张．从这6张卡片中去掉2张，用余下的4张卡片拼出一个长方形，他能拼出______种不同形状的长方形． 【答案】(1) (2)8 (3)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，二元一次方程组的应用，三角形面积计算，正方形面积计算，长方形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）由题意得正方形的边长为，正方形的边长为，，根据题意得出和梯形的面积减去的面积即可 （2）根据大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，可得，求出，最后求出结果即可； （3）根据所选择的4张卡片的类型进行解答即可； 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为，正方形的边长为，， ，,， 可得阴影部分的面积为：； （2）解：根据大正方形和小正方形的面积之和是10，图中阴影部分的面积为3，可得， ∴, 解得（负值舍去）， 长方形的面积=． （3）设边长为的正方形为A，长方形为B，边长为的正方形为C 选择的长方形，如图1所示： 选择的长方形，如图 一共4种 试卷第2页，共51页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $