第04讲 宇宙航行 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高中物理满分练万有引力专题（新高考通用）

第04讲 宇宙航行 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 15 题型归纳 16 题型01：宇宙速度 16 题型02：卫星运行参量与轨道半径的关系 28 题型03：椭圆轨道参数比较 34 题型04：不同轨道运行参数比较 38 题型05：卫星发射变轨问题 45 题型06：卫星在不同轨道参数比较 56 题型07：同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 70 题型08：双星三星多星问题 75 题型09：天体追及相遇问题 93 题型10：天体自转稳定的临界问题 100 题型11：其它问题 101 一 分值与题型 1. 分值：6–12分，多为1道选择题，少数卷种出计算题 2. 题型：选择题为主（定性判断、参量比较）；计算题常结合变轨、天体质量/密度、能量综合考查 二 高频考点（五年统计） 1.三大宇宙速度（第一宇宙速度必考：计算+物理意义） 2.卫星运行参量（v、ω、T、a）与轨道半径关系：高轨低速长周期 3.地球同步卫星（六定：周期、轨道、高度、速度、角速度、向心加速度） 4. 卫星变轨（椭圆→圆、近远地点速度/加速度/能量变化） 5. 天体质量/密度计算（黄金代换GM=gR²） 6.近地卫星、同步卫星、赤道物体三者对比 三 命题趋势 1. 情境化：以中国航天（嫦娥、天问、天宫）为背景，贴近科技前沿 2. 重模型：万有引力=向心力核心方程，强调建模与推理 3. 重综合：结合能量、变轨、双星/多星，考查逻辑与计算 一. 基础目标（必会） 1. 熟记三大宇宙速度数值与物理意义，会推导第一宇宙速度 2.掌握万有引力=向心力核心方程，会用黄金代换 3.理解高轨低速长周期，能比较卫星v、ω、T、a 4. 记住同步卫星六定，区分近地/同步/赤道物体 二. 能力目标（熟练） 1. 会分析卫星变轨的速度、加速度、能量变化 2. 能计算天体质量、密度（含近地轨道） 3. 能解决追及、相遇、多星/双星基础问题 4. 能从航天情境中提取模型、列方程求解 三. 素养目标（提升） 1.建立天体运动物理模型，提升建模与推理能力 2.关注航天科技，体会物理与科技、社会的联系 3.规范解题步骤，减少易错点（发射/运行、轨道半径、变轨速度） 知识点一：宇宙速度 （一）求宇宙速度的方法： 1、环绕法：万有引力提供物体作圆周运动的向心力 2、拱桥法：当支持力为0时，重力提供物体作圆周运动的向心力。 指向圆心的力—背向圆心的力=向心力 当力FN=0时得： 近地卫星在100～200km的高度飞行，与地球半径6400km相比，完全可以说是在“地面附近”飞行，可以用地球半径R代表卫星到地心的距离r。把数据代入以上任一式后算出宇宙速度了。 （二）宇宙速度 1.牛顿的设想 如图所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星. 2.第一宇宙速度（环绕）： 物体在地面附近（刚好贴着地球表面）绕地球做匀速圆周运动的速度。 ①7.9km/s为卫星的最小发射速度。 ②7.9km/s是卫星的最大环绕速度。 ③高轨低速长周期：随着卫星运行轨道半径的增大，其线速度、角速度和向心加速度逐渐减小，周期逐渐增大。 第一宇宙速度的推导∶对于近地卫星，轨道半径近似等于地球半径R。 由万有引力提供向心力得 ，解得 或由，解得 3.第二宇宙速度（脱离速度）： 使卫星挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度。 当发射速度7.9km/s<v0<11.2 km/s时，物体绕地球运行的轨迹是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同. 4、第三宇宙速度（逃逸速度）： 使卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度。 三个宇宙速度及含义 数值 意义 第一宇宙速度 （环绕速度） 7.9 km/s 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 （脱离速度） 11.2 km/s 在地面附近发射飞行器使物体克服地球引力，永远离开地球的最小地面发射速度 第三宇宙速度 （逃逸速度） 16.7 km/s 在地面附近发射飞行器使物体挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度 5.宇宙速度与运动轨迹的关系 ①v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动． ②7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． ③11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动． ④v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 知识点二：人造卫星 （一）人造地球卫星的轨道：所有卫星的轨道平面都过地心。 ①赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星始终处于赤道上方； ②极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空； ③一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度。 （二）人造地球卫星的分类 1.近地卫星：指卫星轨道半径近似等于地球半径，即贴近地表，环绕速度为第一宇宙速度。 2.同步卫星（通信）：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球转，同步地球做匀速圆周运动，其周期T=24h， 3颗同步卫星可实现全球覆盖。 关于同步卫星的六个“一定”。 ①轨道平面一定是赤道平面 ②周期与角速度一定是24h ③轨道半径（高度）一定是4.2×107m ④速度大小一定是3.08km/s ⑤向心加速度的大小一定是0.23m/s2 ⑥运转方向一定是自西向东 3.其他卫星如极地卫星，气象卫星等。 （三）人造地球卫星的发射、变轨与回收 1.变轨问题概述 （1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m. （2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨. ②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨. 2.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 3．变轨过程各物理量分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB． 在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB． (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3. 4.实例分析 (1)飞船对接问题 ①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图甲所示). ②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示. (2)卫星的发射、变轨问题 如图，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足＝m，进入圆轨道3做圆周运动. 5.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 ①判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断. ②判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小. ③判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析. ④判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断. 2 3 A B 1 低轨 高轨 加速 减速 速度关系 先分析A,B点；再比较13轨道。 加速度关系 加速度是由实际受到的合外力提供的，在不同轨道的A,B点受到合外力（万有引力）相同。 误区： 不可比较相同点的速度，速度大只能代表需要的加速度大，但不是实际的加速度。 6.卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨在较小半径圆轨道上运动 知识点三：航天器中的失重现象 1.发射和回收阶段 发射——加速上升——超重 回收——减速下降——超重 2.沿圆轨道正常运行 只受重力——a = g——完全失重 所以在飞船上与重力有关的现象全部消失如天平、弹簧秤测重力和液体压强计等。 3.人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系． G＝ 由以上关系式可知：高轨低速长周期 知识点四：三卫星一物体的比较 1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大. 2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小. 同步卫星 周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星.地球同步卫星位于赤道上方高度约36 000 km处，因相对地面静止，也称静止卫星.地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同. ①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h. ②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东. ③定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝－R≈3.58×104 km≈6R. ④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变. ⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变. 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径(1)运行线速度v1＝7.9 km/s；T＝≈85 min. (2)7.9 km/s和85 min分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期. 赤道上 物体 随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 规律：高轨低速长周期（仅适用于圆周运动，椭圆不可以） 图示： 赤道上点A 近地卫星B 同步卫星C 向心力来源 的分力 半径B C A == 周期 角速度 线速度 加速度 分析方法：先比AC，再比较BC 1.三个常识 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2. (2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天． (3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s. 2.两个向心加速度的比较 卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度 产生 原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生 方向 指向地心 垂直且指向地轴 大小 a＝(地面附近a近似等于g) a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度 特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小 3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的思路 (1)两组公式 G＝m＝mω2r＝mr＝ma，mg＝(g为天体表面处的重力加速度)． (2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较． 4.载人航天与太空探索 ①1961年苏联宇航员加加林进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑. ②1969年，美国阿波罗11号飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕. ③2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空，截止到2017年底，我国已经将11名航天员送入太空，包括两名女航天员. ④2013年6月，神舟十号分别完成与天宫一号空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接.2017年4月20日，我国发射了货运飞船天舟一号，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验. 知识点五：天体的“追及”问题 “天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。 角度关系 设天体A(离中心近些)与天体B某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体又相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。 圈数关系 最近：－＝n(n＝1，2，3，…)。 最远：－＝(n＝1，2，3，…)。 1．相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)． 2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)． 3．“行星冲日”现象 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球运行到某个行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学中称为“行星冲日”．“行星冲日”现象属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性． 知识点六：双星或多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”. （2）特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.T1＝T2，ω1＝ω2. ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比. ，即固定点离质量大的星较近。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2. 2．多星模型 (1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型： ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(甲)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． “双星”模型 “三星”模型 “四星”模型 情境图 运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 规律 ＝m1ω2r1 ＝m2ω2r2 ＋＝ma向 ×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向 关键点 m1r1＝m2r2 ， r1＋r2＝L r＝ r＝L或r＝ 知识点七：　相对论时空观与牛顿力学的局限性 （一）相对论时空观 1.19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c. 2.1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符. 3. 爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的. 4.低速与高速 (1)低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体. (2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速. 5.时间延缓效应 (1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝. (2)Δt与Δτ的关系总有Δt＞Δτ，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态有关.(填“有关”或“无关”) 6.长度收缩效应： (1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0. (2)l与l0的关系总有l＜l0，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态有关.(填“无关”或“有关”) 7.相对论的两个效应 (1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝. (2)长度收缩效应：运动长度会收缩，即l＝l0. 8.对于低速运动的物体，相对论效应可以忽略不计，一般用经典力学规律来处理；对于高速运动问题，经典力学不再适用，需要用相对论知识来处理. 9.物体静止长度l0和运动长度l之间的关系为l＝l0 相对于地面以速度v运动的物体，从地面上看： (1)沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多. (2)在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象. （二）牛顿力学的成就与局限性 1.经典力学的成就（牛顿力学）：牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬. (1)经典力学体系是时代的产物，是现代机械、土木建筑、交通运输以至航空航天技术的理论基础. (2)经典力学的思想方法对艺术、政治、哲学等社会科学领域也有巨大影响. 2. 牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是低速运动的宏观物体. (1)经典力学适用于低速运动的物体，相对论阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律. (2)经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律. (3)当物体以接近光速运动时，有些与牛顿力学的结论不相同. (4)电子、质子、中子等微观粒子的运动不能用牛顿力学来说明. 3.相对论和量子力学没有否定经典力学 牛顿力学不会被新的科学成就所否定，当物体运动的速度远小于光速c时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别. (1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别； (2)当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别. (3)相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形. 一.核心方程（必记） 1.万有引力提供向心力： 2. 黄金代换（近地/表面）：GM=gR²（R为天体半径） 二 通用步骤 1. 判模型：匀速圆周/椭圆变轨/近地/同步/赤道物体 2. 列方程：万有引力=向心力（选v/ω/T/a对应公式） 3. 用结论：高轨低速长周期；同步卫星六定；第一宇宙速度7.9km/s（最小发射、最大环绕） 4. 避易错：发射速度≠运行速度；变轨同点a相同、v不同；同步卫星必在赤道上空 三 题型速解 1.宇宙速度：v₁=；v₂=11.2km/s（脱地球）；v₃=16.7km/s（脱太阳） 2.卫星参量比较：r↑→v↓、ω↓、a↓、T↑（直接用结论） 3.同步卫星：T=24h、轨道赤道、h≈3.6×10⁴km、v≈3.1km/s 4.变轨：近地点加速（离心）、远地点减速（近心）；同点a=GM/r²相同；椭圆机械能大于同半径圆轨道 5.天体质量/密度：由T、r求M；近地轨道r≈R求ρ 题型01：宇宙速度 【典型例题1】2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫星），则该卫星（　　） A．授课期间经过天津正上空 B．加速度大于空间站的加速度 C．运行周期大于空间站的运行周期 D．运行速度大于地球的第一宇宙速度 【解答】解：A、中继卫星是地球同步卫星，只能定点于赤道正上方，所以该卫星不可能经过天津正上空，故A错误； BC、根据万有引力提供向心力，有：Gma＝mr，解得：a，T＝2π，因为该卫星的轨道半径比空间站的大，所以该卫星的加速度小于空间站的加速度，周期大于空间站的运行周期，故B错误，C正确； D、第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，则知该卫星的速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选：C。 【典型例题2】天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。海王星的质量是地球的17倍，半径是地球的4倍，则卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为（　　） A．64km/s B．16km/s C．4km/s D．2km/s 【解答】解：卫星绕地球表面做圆周运动，根据万有引力提供向心力可得： 代入数据解得线速度大小约为：v 由于地球的第一宇宙速度为v＝7.9km/s，则7.9km/s 卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为： 代入数据解得：v′＝16km/s，故B正确、ACD错误。 故选：B。 【典型例题3】根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ） A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【答案】B 【解析】A．恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误； B．恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大。B正确； C．由第一宇宙速度物理意义可得 整理得 恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误； D．由质量分布均匀球体的质量表达式得 已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则 联立整理得 由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 故选B。 【典型例题4】（多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A. 其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B. 其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【答案】BD 【解析】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 其中在月球表面万有引力和重力关系有 联立解得 由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得 代入题中数据可得 故A错误、B正确； CD．根据线速度和周期的关系有 根据以上分析可得 故C错误、D正确； 故选BD。 【典型例题5】2021年5月22晶，“祝融号”火星车成功驶入火星表面。2021年8月30日，“祝融号”火星车驶上火星表面满100天，累计行驶1064米，如图甲所示。 （1）为减小沾在火星车太阳能板上的尘土对火星车的影响，“祝融号”火星车可以像蝴蝶一样扇动翅膀。若在扇动太阳能板时，沾在太阳能板边缘，距火星地面高度为h的某块尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上。已知万有引力常量为G，火星可视为半径为R、质量分布均匀的球体。忽略火星大气的影响，求火星的质量M。 （2）火星与地球有很多相似之处，已知火星的质量为地球的0.1倍，半径为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度g取10m/s2。若在火星表面上用一轻质细绳与小球相连，让小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图乙所示，其中小球质量m＝0.2kg，球心到O点的距离l＝1m，不计火星表面空气阻力，求小球在最高点的最小速率。 【解答】解：（1）由尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上，则由自由落体运动规律： 可得火星表面的重力加速度为： 在火星表面，解得火星的质量： （2）在任意星球表面不考虑星球自转时，由，解得： 所以： 代入解得火星表面的重力加速度大小为： 小球在最高点最小速率时：mg火 解得小球在最高点的最小速率：vminm/s＝2m/s 答：（1）火星的质量M为； （2）小球在最高点的最小速率为2m/s。 【变式训练1-1】我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（　　） A. 运动速度大于第一宇宙速度 B. 运动速度小于第一宇宙速度 C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星 D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星 【答案】B 【解析】AB．第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误B正确； CD．根据 可知 因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项CD错误。 故选B。 【变式训练1-2】中国航空领域发展迅猛，2022年2月27日，中国航天人又创造奇迹，长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星从海南文昌航天发射场挟烈焰一飞冲天，创造了我国“一箭多星”单次发射卫星数量最多的纪录，如图所示。其中“泰景三号01”卫星是可见光遥感卫星，分辨率达到0.5米，能用于资源详查、城市规划、环境保护等诸多领域，其轨道高度为几百千米。关于“泰景三号01”卫星，下列说法正确的是（　　） A．发射速度一定小于7.9km/s B．卫星绕地球运行时可以保持与地面相对静止 C．卫星绕地球运行的线速度比月球的大 D．卫星绕地球运行的周期比月球的大 【答案】C 【解析】 A．7.9km/s是所有卫星的最小发射速度，则发射该卫星的速度一定大于7.9km/s，选项A错误； B．该卫星的高度远小于同步卫星的高度，则该卫星绕地球运行时不能保持与地面相对静止，选项B错误； CD．根据 可得 因该卫星的轨道半径远小于月球的轨道半径，可知卫星绕地球运行的线速度比月球的大，该卫星绕地球运行的周期比月球的小，选项C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1-3】“祝融”火星车由着陆平台搭载着陆火星，如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动，且已知火星质量约为地球质量的，火星直径约为地球直径的。则（　　） A. 该减速过程火星车处于失重状态 B. 该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力 C. 火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的 D. 火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为 【答案】C 【解析】着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动，在靠近火星表面时，火星车处于超重状态，A错误；减速过程火星车对平台的压力与平台对火星车的支持力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，B错误；由，可知 知火星质量约为地球质量的，火星直径约为地球直径的，故 C正确；由，可知因为火星直径约为地球直径的，火星质量约为地球质量的，，D错误。 【变式训练1-4】“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【解答】解：A、天问一号需要脱离地球引力的束缚，第二宇宙速度11.2km/s为脱离地球的引力束缚的最小发射速度，在地球发射天问一号的速度要大于第二宇宙速度，故A错误。 B、地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知，k，天问一号在地火转移轨道的轨道半径大于地球公转半径，则运行周期大于12个月，从P点转移到Q点的时间大于6个月，故B错误； C、同理，环绕火星的停泊轨道半长轴小于调相轨道的半长轴，则在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D、天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道的速度，根据万有引力提供向心力可知，，解得线速度：v，地球公转半径小于火星公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 故选：C。 【变式训练1-5】（多选）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　） A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍 B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于 C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于 D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 【答案】AC 【解析】A．根据万有引力定律有 核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为 所以A正确； B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误； C．根据 可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24h，所以C正确； D．卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有 解得 则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误； 故选AC。 【变式训练1-6】2022年9月14日《天体物理学杂志》宣布了一个新发现的超级地球，并且这一颗新的天体，它当中有30%都是水，它离地球的距离仅仅在100光年．假设在超级地球表面将一可视为质点的小球以速度v0沿竖直向上的方向抛出，小球上升的最大高度为h，已知超级地球的半径为R，超级地球的自转周期为T，引力常量为G。求： （1）超级地球的第一宇宙速度； （2）超级地球的同步卫星到超级地球表面的距离。 【解答】解：（1）小球竖直向上抛出，根据竖直上抛规律得： 对于超级地球表面的物体，重力等于万有引力，即有 超级地球的第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，运行的轨道半径等于超级地球半径，根据万有引力提供向心力得： 整理得 （2）超级地球的同步卫星绕超级地球做匀速圆周运动，设同步卫星距离超级地球表面的高度为h′， 则同步卫星的轨道半径为r＝R+h′ 同步卫星的环绕周期等于超级地球的自转周期T， 根据万有引力提供向心力有m 整理解得：。 答：（1）超级地球的第一宇宙速度为； （2）超级地球的同步卫星到超级地球表面的距离为。 【变式训练1-7】如图所示，王亚平用古筝弹奏了《茉莉花》，从中国空间站为中国人民送上元宵祝福。中国空间站在离地面高度km的圆周轨道绕地球做匀速圆周运动，一天（24h）内可以绕地球转动16圈。已知地球半径，万有引力常量，，。求：（计算结果请保留两位有效数字） （1）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T和线速度v； （2）地球的质量M。 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期 线速度 （2）根据 解得 【变式训练1-8】“中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，空间站质量为m，空间站垂直速度方向的有效横截面积为S。认为空间站附近空气分子是静止的，与空间站相遇后和空间站共速。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求： （1）“中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期和线速度； （2）以无限远为零势能点，“中国空间站”轨道高度下降时的机械能损失； （3）用表示（2）问结果，忽略下降过程中阻力大小变化，请估算“中国空间站”附近的空气密度。 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 （1）空间站做圆周运动，万有引力提供向心力 解得 又 解得 （2）轨道高度为h时，空间站的动能 原高度的机械能为 同理下降高度后机械能 机械能损失 （3）设空间站附近空气密度为ρ，因为，因此可认为空间站轨迹近似为圆周，t时间内，空间站运动的路程 设空气给空间站的作用力为f，根据功能关系 空间站与空气分子作用时间，根据动量定理 解得 综上可得 【变式训练1-9】“嫦娥五号”月球探测器将于2020年发射，以完成“绕、落、回”三步走中的取样返回任务。假设“嫦娥五号”奔月后，经过一系列变轨动作，最终其轨道器在距月面100 km高度处做匀速圆周运动，着陆器在月面进行软着陆。若规定距月球中心无限远处的引力势能为零，则质量为m的物体离月球中心距离为r时具有的引力势能可表示为，其中M为月球质量。已知月球半径约为1700 km，月球表面的重力加速度约为m/s2。 （1）若“嫦娥五号”轨道器的质量为1.0×103kg，试计算其在距月面100km的圆轨道上运行时的机械能；（结果保留2位小数） （2）取样后着陆器要从月面起飞，与“嫦娥五号”轨道器对接，若对接时二者速度大小相同，着陆器的质量为150kg，试计算着陆器从月面起飞后发动机推力做的功。（不考虑着陆器上升时质量的变化，结果保留2位小数） 【答案】（1）－1.34×109 J；（2）2.25×108 J 【解析】 （1）设轨道器的质量为m，围绕月球做圆周运动的轨道半径为r，线速度为v，根据牛顿第二定律有      ① 并且 r＝R月＋h     ② 轨道器在轨道上运行时的动能为      ③ 由题意可知，轨道器在轨道上运行时的引力势能为      ④ 轨道器在轨道上运行时的机械能为 E＝Ek＋Ep     ⑤ 在月球表面质量为的物体所受重力等于万有引力，即      ⑥ 联立①~⑥式解得 E＝－1.34×109 J     ⑦ （2）设着陆器质量为m′，着陆器从月面起飞后发动机推力做的功为W，则有      ⑧ 其中      ⑨ 联立①②⑥⑧⑨解得 W＝2.25×108 J     ⑩ 题型02：卫星运行参量与轨道半径的关系 【典型例题1】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输。若空间站在近地轨道上做匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是地球静止轨道卫星，其距地面高度约为空间站距地面高度的10倍。则下列说法正确的是（　　） A．静止轨道卫星运行周期小于空间站运行周期 B．静止轨道卫星运行线速度小于空间站运行线速度 C．静止轨道卫星运行加速度大于空间站运行加速度 D．静止轨道卫星运行角速度大于空间站运行角速度 【解答】解：根据万有引力提供向心力得 Gmr＝mma＝mω2r 解得：T＝2π，v，a，ω 可知卫星的轨道半径越大，运行周期越大，线速度、加速度和角速度均越小，因为静止轨道卫星的轨道半径比空间站的大，所以静止轨道卫星运行周期大于空间站运行周期，静止轨道卫星运行线速度、加速度、角速度均小于空间站运行线速度、加速度、角速度，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【典型例题2】如图所示，A、B、C是三颗人造地球卫星，它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，下列说法正确的是（　　） A．它们的速度关系vA＝vB＞vC B．A、B的质量一定相等 C．它们的周期关系TA＝TB＞TC D．它们的角速度关系ωA＝ωB＜ωC 【解答】解：A、设地球质量为M，卫星的质量为m，轨道半径为r。 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的线速度： 由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知vA＝vB＞vC，故A正确； B、A、B两颗人造地球卫星的轨道半径相同，当其质量可以不同，故B错误； C、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的运行周期：，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知TA＝TB＜TC，故C错误； D、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的角速度：，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知ωA＝ωB＞ωC，故D错误。 故选：A。 【变式训练2-1】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步轨道。已知地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则（　　） A．“高分三号”的运行周期大于24h B．“高分三号”的向心加速度大于9.8m/s2 C．“高分四号”的运行角速度大于地球自转的角速度 D．“高分三号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度 【解答】解：“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步卫星，则“高分三号”的轨道半径小于“高分四号”的轨道半径，且“高分四号”的周期为24h。 A、根据开普勒第三定律可得k，可知“高分三号”的运行周期小于“高分四号”的运行周期，即小于24h，故A错误； B、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，在地球表面，有：mg，解得g9.8m/s2，由于r＞R，所以“高分三号”的向心加速度小于9.8m/s2，故B错误； C、“高分四号”为地球同步卫星，其运行角速度等于地球自转的角速度，故C错误； D、由万有引力提供向心力有：m，解得：v，可知“高分三号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-2】人类在不同的星球能跳多高?若人在地球上以某一速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，那么他以同样的速度在水星跳起重心可上升1.3m，而在火星同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出（　　） A. 火星的质量为水星质量的倍 B. 火星与水星的密度相等 C. 地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的倍 D. 火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的倍 【参考答案】D 【名师解析】根据，因同样的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火=g水 根据，可得，，选项A错误； 根据，可得，选项B错误； 根据，可得，选项C错误；根据 可得，可得，选项D正确 【变式训练2-3】2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（　　） A. 质量比静止在地面上时小 B. 所受合力比静止在地面上时小 C. 所受地球引力比静止在地面上时大 D. 做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大 【答案】D 【解析】A．物体在低速（速度远小于光速）宏观条件下质量保持不变，即在空间站和地面质量相同，故A错误； BC．设空间站离地面的高度为h，这批物质在地面上静止合力为零，在空间站所受合力为万有引力即 在地面受地球引力为 因此有，故BC错误； D．物体绕地球做匀速圆周运动万有引力提供向心力 解得 这批物质在空间站内的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此这批物质的角速度大于同步卫星的角速度，同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，即这批物质的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。 故选D。 【变式训练2-4】2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为左右，地球同步卫星距地面的高度接近。则该核心舱的（　　） A. 角速度比地球同步卫星的小 B. 周期比地球同步卫星的长 C. 向心加速度比地球同步卫星的大 D. 线速度比地球同步卫星的小 【答案】C 【解析】核心舱和地球同步卫星都是受万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有 可得 而核心舱运行轨道距地面的高度为左右，地球同步卫星距地面的高度接近，有，故有 ，，， 则核心舱角速度比地球同步卫星的大，周期比地球同步卫星的短，向心加速度比地球同步卫星的大，线速度比地球同步卫星的大，故ABD错误，C正确； 故选C。 【变式训练2-5】“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得 则 ， 由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径 则 故选D。 【变式训练2-6】如图神州十三号宇航员从“天宫号”出舱完成相关的太空作业，己知“天宫号”空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，周期约为，下列说法正确的是（　　） A. 宇航员出舱后处于平衡状态 B. 宇航员出舱后处于超重状态 C. “天宫号”的角速度比地球同步卫星的小 D. “天宫号”的线速度比地球同步卫星的大 【答案】D 【解析】宇航员出仓后仍受地球引力作用，有向下的加速度，处于完全失重状态，故AB错误；空间站由万有引力提供向心力 得，， 空间站周期1.5h小于地球同步卫星周期24h，由知空间站的圆周半径小于同步卫星，由知空间站角速度大于同步卫星角速度，由知空间站线速度大于同步卫星的线速度，故C错误，D正确。 题型03：椭圆轨道参数比较 【典型例题】某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为m，其近地点A到地球中心的距离为a，远地点C到地球中心的距离为b。A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，忽略其他卫星对它的影响，则以下说法正确的是（　　） A．卫星从B→A所用的时间等于 B．卫星从A→D→C运行的过程中，万有引力对它做的功为GkMm（） C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为 D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C点进行适当制动 【解答】解：A、人造地球卫星绕地球做变速曲线运动，在A点速度最大，在C点速度最小，从B→A速度增大，所用时间小于，故A错误； BC、人造地球卫星运动到A、C两点时做半径均为ka，速度分别为vA、vC的圆周运动，则有m，m，解得： 从A→D→C由动能定理得﹣W 解得：W，故B正确，C错误； D、若要使卫星到近地圆形轨道上运行，应在A点进行适当制动，故D错误。 故选：B。 【变式训练3-1】如图为中国科学家们为“天问一号”设计的椭圆形“科学轨道”，“天问一号”将在该轨道上正常运行的同时对火星展开观测。它在近火点265km附近的探测段运行2小时，在远火点11945.6km附近的探测段运行1小时，在采样段共运行288分钟。据以上信息，下列说法正确的是（   ）    A．可以准确知道“科学轨道”的半长轴 B．可以求得“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期 C．从地球上发射“天问一号”的速度不得小于16.7km/s D．“天问一号”在火星引力作用下从轨道近火点加速运行到远火点 【答案】B 【详解】根据题中已知条件可得，“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期为,设“科学轨道”的半长轴为，根据万有引力充当向心力有,该式是将椭圆轨道近似看成圆轨道来进行计算的，在已知周期的情况下，可算得“科学轨道”的半长轴的大概值，并不能准确知道，故A错误，B正确； “天问一号”环绕火星运行，因此可知“天问一号”脱离了地球引力的束缚，成为了火星得卫星，可知其发射速度必定大于第二宇宙速度，即，而16.7km/s为第三宇宙速度，即脱离太阳引力束缚所需要的最小发射速度，而火星是太阳的卫星，因此可知，从地球上发射“天问一号”的速度不得小于11..2km/s，故C错误；根据开普勒第二定律可知，近火点的线速度大于远火点的线速度，即“天问一号”在火星引力作用下从轨道近火点减速运行到远火点，故D错误。故选B。 【变式训练3-2】如图，辛丑年农历除夕神舟十三号航天员在遥远的中国空间站向祖国和人民送上了新春的祝福。下列相关说法正确的是（　　） A. 在空间站中宇航员所受的重力为零 B. 字航员在空间站中“静止”不动时处于平衡状态 C. 空间站绕地球运动经远地点时的速度小于7.9km/s D. 空间站绕地球运动经远地点时的加速度大于9.8m/s2 【答案】C 【解析】在空间站中宇航员仍受重力的作用，故A错误； B．字航员在空间站中“静止”是相对空间站来讲，宇航员在围绕地球做圆周运动，有向心加速度，所以宇航员不是处于平衡状态，故B错误；7.9km/s是围绕地球做圆周运动的最大速度，当空间站绕地球运动经远地点时，根据，得 可知远地点所在的圆形轨道速度小于7.9km/s，而空间站绕地球运动经远地点时在做近心运动，所以空间站绕地球运动经远地点时的速度小于远地点所在的圆形轨道速度，可得空间站绕地球运动经远地点时的速度小于7.9km/s，故C正确；在地球表面的重力加速度为9.8m/s2，根据，得，可知空间站绕地球运动经远地点时的加速度小于9.8m/s2，故D错误。 【变式训练3-3】（多选）某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为m，其近地点A到地球中心的距离为a，远地点C到地球中心的距离为b。A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，忽略其他卫星对它的影响，则以下说法正确的是（　　） A．卫星从B→A所用的时间等于 B．卫星从A→D→C运行的过程中，万有引力对它做的功为 C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为 D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C点进行适当制动 【解答】解：A、人造地球卫星绕地球做变速曲线运动，在A点速度最大，在C点速度最小，从A→B所用时间小于，故A错误； BC、人造地球卫星运动到A、C两点时做半径均为ka，速度分别为vA、vC的圆周运动，则有m，m，解得： 从A→D→C由动能定理得﹣W 解得：W 故BC正确； D、若要使卫星到近地圆形轨道上运行，应在A点进行适当制动，故D错误； 故选：BC。 【变式训练3-4】（多选）火星和土星绕太阳运动的轨道均为椭圆。设火星的近日点到太阳的距离为a，远日点到太阳的距离为b，火星绕太阳公转的周期为T1，质量为m1；土星的近日点到太阳的距离为c，远日点到太阳的距离为d，土星绕太阳公转的周期为T2，质量为m2。太阳的质量为M，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（　　） A．火星与太阳的连线在时间t内扫过的面积等于土星与太阳的连线在时间t内扫过的面积 B． C．火星在近日点和远日点受到太阳对它的万有引力之比为 D．土星从近日点运动到远日点的过程中，克服太阳引力做的功大于GMm2（） 【解答】解：A、根据开普勒第二定律知，同一行星绕太阳公转的过程中，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，火星和土星是不同的行星，可知，它们与太阳的连线在时间t内扫过的面积不等，故A错误。 B、由题知，火星椭圆轨道的长轴为a+b，土星椭圆轨道的长轴为c+d，根据开普勒第三定律得： 整理得 ，故B正确。 C、火星的近日点到太阳的距离为a，远日点到太阳的距离为b，根据万有引力定律得：火星在近日点和远日点受到太阳对它的万有引力之比为 ，故C错误。 D、假设土星在近日点以半径c做匀速圆周运动，则，则土星在近日点的线速度为 v1，由于土星为椭圆轨道，则实际上在近日点的线速度比v1大；同理，土星在远日点以半径d圆周运动的线速度为v2，但实际在远日点的线速度比v2小，可得土星从近日点运动到远日点的过程中，克服太阳引力做的功W克＞ΔEkGMm2（），故D正确。 故选：BD。 题型04：不同轨道运行参数比较 【典型例题1】在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙"）要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（　　） A. 在甲抬高轨道之前，甲线速度小于乙 B. 甲可以通过减小速度来抬高轨道 C. 在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大 D. 返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大 【答案】D 【解析】在甲抬高轨道之前，两卫星均绕月球做匀速圆周运动，有 可得线速度为 因，则甲的线速度大于乙的线速度，故A错误；低轨卫星甲变为高轨卫星，需要做离心运动，则需要万有引力小于向心力，则需向后喷气增大速度，故B错误； 在甲抬高轨道的过程中，离月球的距离r逐渐增大，由可知月球对卫星的万有引力逐渐减小，故C错误；因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大，则由可知月壤样品的重量在地表比在月表要大，故D正确。 【典型例题2】航天飞机在完成对空间站的维修任务后，在A点短时间开动小型发动机进行变轨，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有（　　） A．在轨道Ⅱ上经过A的机械能大于经过B的机械能 B．在A点短时间开动发动机使航天飞机减速 C．在轨道Ⅱ上运动的周期等于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 【解答】解：A、在同一轨道上运动的卫星，由于只有万有引力做功，机械能守恒，所以在轨道Ⅱ上经过A的机械能等于经过B的机械能，故A错误； B、题中要求从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，需要在A点减速做近心运动才行，故在A点短时间开动发动机后航天飞机的速度会减小，故B正确； C、由开普勒第三定律k知，在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，故C错误； D、由可知，在轨道Ⅱ上经过A的加速度应等于在轨道Ⅰ上经过A的加速度，故D错误。 故选：B。 【变式训练4-1】北京时间2022年11月29日23：08，航天员费俊龙、邓清明、张陆搭乘“神舟十五号”载人飞船前往中国“T”字基本构型空间站（如题图所示），于11月30日07：33打开舱门入驻。空间站内航天员一天可以观测到16次日出，空间站绕地球运行的轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．空间站定点于我国上空某高度处，相对地面静止 B．空间站内航天员不受地球引力作用而处于失重状态 C．空间站与地球同步卫星的轨道半径之比约为1：16 D．“神舟十五号”载人飞船由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，飞船的动能比之前处于低轨道时要小 【解答】解：A、空间站的周期为T空h＝1.5h，地球同步卫星的运行周期T同＝24h，所以空间站不是地球同步卫星，不能相对地面静止，故A错误； B、空间站绕地球做匀速圆周运动，空间站内航天员受地球引力作用，由地球引力提供向心力，处于完全失重状态，故B错误； C、由开普勒第三定律得 空间站与地球同步卫星的轨道半径之比为：，故C错误； D、由，解得，则由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，由于r增大，则v减小，故飞船的动能比之前处于低轨道时要小，故D正确。 故选：D。 【变式训练4-2】天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（　　） A．图中两阴影部分的面积相等 B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变小 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大 D．探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，探测器在同一轨道上运行时，在相等的时间内探测器与火星的连线扫过的面积相等，不同轨道扫过的面积不相等，故A错误； B、探测器在“调相轨道”的P点减速进入“停泊轨道”，机械能减小，故B正确； C、“调相轨道”的半长轴大于“停泊轨道”的半长轴，由开普勒第三定律可知从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变小，故C错误； D、由牛顿第二定律有：，可得，探测器在P点的半径r小于在N点的半径，所以探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，故D错误。 故选：B。 【变式训练4-3】我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度 B．A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度 C．B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速 D．B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功 【解答】解：A、两卫星在P点时，根据万有引力产生加速度， 整理可得： 由于两卫星在P点到地心的距离相等，显然两卫星的加速度相同，故A错误； B、由题知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有： 整理可得： 由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误； C、卫星从低轨道运动到高轨道，需要做离心运动，即在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误； D、B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中速度减少，则动能减小，故引力做负功，故D正确。 故选：D。 【变式训练4-4】如图，卫星在P点由椭圆轨道Ⅱ变轨到近椭圆形轨道Ⅰ（可认为半径等于火星半径R）。已知椭圆轨道Ⅱ上的远火点Q到火星表面高度为6R，火星表面重力加速度为g0，引力常量为G，下列说法错误的是（　　） A．火星的平均密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上由Q点运动到P点所用时间为 C．卫星在轨道Ⅱ上运动到Q点时的速度小于 D．卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度 【解答】解：A．对火星表面物体有 Gmg0 解得火星质量 火星的平均密度为 故A正确； B．由题意，卫星在椭圆轨道上的半长轴为 设卫星在椭圆轨道上的周期为T，卫星在近椭圆形轨道运行的周期为T0，由开普勒第三定律有 卫星在近椭圆形轨道运行，根据万有引力提供向心力，有 GmR 设卫星在椭圆轨道由P点运动到Q点所用时间为t，则 联立得 故B错误； C．当卫星做轨道半径为r＝7R的匀速圆周运动时，根据 得 当卫星在Q点进入轨道Ⅱ时做近心运动，速度减小，所以卫星在轨道Ⅱ上运动到Q 点时的速度小于，故C正确； D．根据 得 卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P 点时的加速度，故D正确。 本题选错误的，故选：B。 【变式训练4-5】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己空间站。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与天和核心舱对接。则下列说法正确的是（　　） A. 神舟十二号飞船在轨道Ⅰ上运动时将不受重力的作用 B. 神舟十二号飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为 C. 神舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 D. 正常运行时，神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度 【答案】B 【解析】神舟十二号飞船在轨道Ⅰ上运动时仍受重力作用，只是因为重力全部用来提供向心力而处于完全失重状态，故A错误；根据开普勒第三定律得 又 联立解得 故B正确；根据 得 可知神舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故C错误； 根据 得 可知正常运行时，神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度，故D错误。 题型05：卫星发射变轨问题 【典型例题1】如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约的轨道。取地球质量，地球半径，引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 火箭的推力是空气施加的 B. 卫星的向心加速度大小约 C. 卫星运行的周期约 D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 【答案】B 【解析】A．根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误； B．根据万有引力定律可知卫星的向心加速度大小为 故B正确； C．卫星运行的周期为 故C错误； D．发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。 故选B。 【典型例题2】神舟十七号在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员汤洪波、唐胜杰、江新林顺利送入太空。发射入轨后，神舟十七号成功对接于空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行。对接前，空间站与神舟十七号的轨道如图所示。已知空间站距地球表面约400km。则神舟十七号（　　） A．需要加速变轨才能实现对接 B．需要减速变轨才能实现对接 C．对接后，绕地球运行周期大于24小时 D．对接前，绕地球做圆周运动的线速度比空间站的小 【解答】解：AB、对接前，神舟十七号轨道半径小于空间站的轨道半径，神舟十七号要想与空间站对接，需获得能量突破地球万有引力的束缚、向高轨道运行，根据卫星变轨原理，可知神舟十七号需要加速变轨才能实现对接，故A正确，B错误； C、对地球卫星有Gmω2r＝mr，可得T＝2π 地球同步卫星距地球表面约36000km＞400km，则地球同步卫星（周期为T同＝24h）的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以，T同＝24h＞T空，故C错误； D、设地球质量为M，卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，对地球卫星有Gm，可得v，对接前神舟十七号轨道半径小于空间站的轨道半径，则神舟十七号绕地球做圆周运动的线速度比空间站的大，故D错误。 故选：A。 【典型例题3】“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月 C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C 【解析】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从P点变轨时，要加速增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，故D错误； 故选C。 【典型例题4】太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A. 空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【解析】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 【典型例题5】（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ） A. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C. 鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【解析】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 【变式训练5-1】2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟十五号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是（　　） A．“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火减速 B．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期 C．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于天和核心舱经过C点时的速率 D．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于天和核心舱在C点时的加速度 【解答】解：A、卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火加速，故A错误； B、根据开普勒第三定律可得：，由于“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于天和核心舱的轨道半径，可知“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期，故B正确； C、“神舟十五号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速，故“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于天和核心舱经过C点时的速率，故C错误； D、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时距离地心的距离等于核心舱在C点时距离地心的距离，所以“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度等于天和核心舱在C点时的加速度，故D错误。 故选：B。 【变式训练5-2】神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（　　） A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大 B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力 C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行 D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒 【答案】C 【解析】AC．根据 可得 可知圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小；而只要环绕速度相同，返回舱和天和核心舱可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心舱的质量无关，故A错误，C正确； B．返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B错误； D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误。 故选C。 【变式训练5-3】天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A. 在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B. 在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C. 从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D. 沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【答案】D 【解析】A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误； C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误； D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。 故选D。 【变式训练5-4】中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾经两次遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变轨积极规避。首先变轨到更高的轨道（A到B过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C到D过程）。已知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法正确的是（　　）    A．空间站距地面的高度大约400km B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小 C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道 D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16次 【答案】A 【详解】对于近地卫星有对中国空间站在轨运行过程有 解得，A正确；A到B过程是由低轨道变轨到高轨道，需要在切点A处加速，则有在切点B处加速后由椭圆低轨道变轨到圆高轨道，在两个圆轨道上，根据解得由于B处圆轨道的轨道半径大于A处圆轨道轨道半径，则有则有即第一次加速后的速度比第二次加速后的速度大，B错误；根据变轨规律，进入高轨道需要加速，进入低轨道，需要减速，即变轨避险的过程，空间站先经过两次加速进入更高轨道，再经过两次减速回到原轨道，C错误；空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多n次，则有解得可知空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多15次，D错误。故选A。 【变式训练5-5】我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，2021年5月在火星乌托邦平原着陆。则探测器（　　） A．与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度 B．每次经过P点时的速度相等 C．绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大 D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等 【答案】 C 【解析】与火箭分离时即脱离地球束缚进入太阳系，应该速度为第二宇宙即速度大于第一宇宙速度，故A错误；由图可知，探测器近心运动，故每次经过P点的速度越来越小，故B错误；由图可得，绕火星运行时在捕获轨道上的轨道半径最大，则由开普勒第三定律知在捕获轨道上的周期最大，故C正确；由开普勒第二定律可知，绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，故D错误。 【变式训练5-6】“天问一号”火星探测器从地球发射后，经过一系列的变轨进入调相轨道，然后进入停泊轨道绕火星运动，、分别为停泊轨道上的“近火点”“远火点”。关于“天问一号”火星探测器的运动情况，下列说法正确的是　　 A．在停泊轨道点的速度大于在点的速度 B．在点的加速度小于在点的加速度 C．在停泊轨道运行的周期比在调相轨道上大 D．从调相轨道经过点进入停泊轨道时需要点火加速 【答案】 【分析】当探测器要做近心运动时，需要减速；做离心运动时，需要加速；根据开普勒第三定律分析周期关系；根据牛顿第二定律列式分析加速度关系；根据开普勒第二定律分析在停泊轨道上速度大小。 【解答】解：．根据开普勒第二定律可知，近火点的速度大于远火点，点是离火星最近的点，点是离火星最远的点，所以经过点时的线速度比点大，故正确； ．根据牛顿第二定律 小时，加速度大，因点为“近火点”， 点为“远火点”，则点的加速度大于在点的加速度，故错误； ．根据开普勒第三定律 可知，天问一号在调相轨道上的半长轴大，则天问一号在调相轨道上运行周期比在停泊轨道上的大，故错误； ．从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运动，因此需要在点减速，故错误。 故选：。 【变式训练5-7】中国成功发射探月工程嫦娥五号探测器。嫦娥五号实现了我国航天史上的多个“首次”，首次在月球表面自动采样；首次从月面起飞；首次在38万公里外的月球轨道上进行无人交会对接。如图所示为嫦娥五号轨道示意图，已知地球表面重力加速度为月球表面重力加速度的倍，地球半径为月球半径的倍。则下列说法正确的是　　 A．嫦娥五号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速 B．嫦娥五号在环月段椭圆轨道上经过点的加速度小于在环月段圆轨道上经过点时的加速度 C．地球质量与月球质量之比 D．地球第一宇宙速度是月球第一宇宙速度的倍 【答案】 【解答】解：、嫦娥五号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其减速，故错误； 、根据牛顿第二定律，万有引力产生加速度可得：，可得：，由此可知，嫦娥五号在环月段椭圆轨道上经过点的加速度等于在环月段圆轨道上经过点时的加速度，故错误； 、根据物体在星球表面受到的万有引力等于重力可得： 变形可得： 则地球质量与月球质量之比为：，故错误； 、根据第一宇宙速度的意义，星球第一宇宙速度等于表面轨道卫星做匀速圆周运动的线速度。那么有： 变形后解得： 则地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度之比为：，故正确。 故选：。 【变式训练5-8】如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入近地圆轨道Ⅰ，然后在点通过改变卫星速度，让卫星进入椭圆轨道Ⅱ，最后在点再次改变速度进入同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是　　 A．在轨道Ⅱ上运行，卫星运行的周期小于 B．卫星在点需要向运行方向的前方喷射高温气体，才能实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ运动 C．卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，卫星的势能减少时，动能一定增大 D．卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，还可以在点改变速度，进入轨道Ⅳ做圆周运动 【答案】 【分析】根据开普勒第三定律分析周期大小；根据变轨原理分析选项；根据机械能守恒定律分析选项；卫星做圆周运动时，地球一定位于其圆心位置，由此分析选项。 【解答】解：、根据开普勒第三定律可得，由于轨道Ⅱ的半长轴小于同步卫星的轨道半径，则在轨道Ⅱ上运行，卫星运行的周期小于，故正确； 、根据变轨原理可知，卫星在点需要向运行方向的后方喷射高温气体，才能实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ运动，故错误； 、卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒。所以卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，卫星的势能减少时，动能一定增大，故正确； 、卫星做圆周运动时，地球一定位于其圆心位置，但地球不再轨道Ⅳ的圆心，所以卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，不还可以在点改变速度，进入轨道Ⅳ做圆周运动，故错误。 故选：。 【变式训练5-9】为了节省燃料，发射火星探测器需要等火星与地球之间相对位置合适。如图所示，“天问一号”探测器自地球发射后，立即被太阳引力俘获，沿以太阳为焦点的椭圆地火转移轨道无动力到达火星附近，在火星附近被火星引力俘获后环绕火星飞行。已知火星的公转周期约是地球公转周期的1.9倍。则火星探测器　　 A．下一个发射时机需要再等约2.1年 B．在地火转移轨道运动时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时速度均大于地球绕太阳的速度 D．进入地火转移轨道的速度大于小于 【答案】 【分析】利用天体运动中的追及相遇模型，分析下一次发射的时间间隔；结合行星运动规律，以及宇宙速度可得出答案。 【解答】解：．由题意可知火星的公转周期为1.9年，设下一个发射时机需要再经过时间，则有： 解得：，故正确； ．根据开普勒第三定律可知，探测器在地火转移轨道的周期大于地球的公转周期，故探测器在地火转移轨道运动时间为 ，可知火星探测器在地火转移轨道运动时间大于6个月，故错误； ．根据万有引力提供向心力可得：，解得： 所以轨道半径越大，速度越小，所以在地火转移轨道上半径在增加，速度减少，故错误； ．火星探测器进入地火转移轨道需要脱离地球引力的束缚，所以火星探测器速度介于第二宇宙速度到第三宇宙速度及之间，故错误； 故选：。 【变式训练5-10】神舟十三号载人飞船与天和核心舱实现了我国首次飞船径向对接，从发射到对接成功仅历时6.5小时。对接前两者稳定运行的圆周轨道如图所示。则稳定运行时，　　 A．天和核心舱运行周期更大 B．天和核心舱加速度更大 C．神舟十三号的线速度更小 D．神舟十三号需要减速完成对接 【答案】 【分析】根据开普勒第三定律分析周期；根据牛顿第二定律分析加速度大小；由万有引力提供向心力得到线速度表达式分析；根据变轨原理分析选项。 【解答】解：根据图像可知，天和核心舱的轨道半径大于神舟十三号载人飞船的轨道半径。 、根据开普勒第三定律可得，所以天和核心舱运行周期更大，故正确； 、根据牛顿第二定律可得，解得，所以天和核心舱加速度较小，故错误； 、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：，解得：，所以神舟十三号的线速度较大，故错误； 、根据变轨原理可知，神舟十三号需要加速做离心运动才能完成对接，故错误。 故选：。 题型06：卫星在不同轨道参数比较 【典型例题1】如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一平面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是（　　） A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为 B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 C．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为 D．“高分一号”所在高度处的加速度大于地面处的重力加速度 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力可知： 整理可得： 卫星“G1”和“G3”的轨道半径相等，所以加速度大小也相等，在地球表面的物体所受重力等于万有引力，可知： 变形可得：GM＝gR2 联立可得卫星“G1”和“G3”的加速度大小为：，故A错误； B、“高分一号”卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其减速，故B错误； D、由万有引力提供重力可得地面处重力加速度为： “高分一号”做圆周运动所需向心力由万有引力提供，其加速度为： 由于“高分一号”运动半径大于地球半径，所以“高分一号”所在高度处的加速度小于地面处的重力加速度，故D错误； C、根据万有引力提供向心力有： 整理可得： 所以卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为：，故C正确。 故选：C。 【典型例题2】如图所示，、、是三颗人造地球卫星，它们轨道半径的关系为，下列说法正确的是　　 A．它们的速度关系 B．、的质量一定相等 C．它们的周期关系 D．它们的角速度关系 【答案】 【解答】解：、设地球质量为，卫星的质量为，轨道半径为。 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的线速度： 由它们轨道半径的关系为，可知，故正确； 、、两颗人造地球卫星的轨道半径相同，当其质量可以不同，故错误； 、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的运行周期：，由它们轨道半径的关系为，可知，故错误； 、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的角速度：，由它们轨道半径的关系为，可知，故错误。 故选：。 【典型例题3】发射天舟六号货运飞船和神舟十六号载人飞船，飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径，中国空间站轨道（Ⅲ）距地面的高度为，飞船在停泊轨道上的周期为，下列说法正确的是　　 A．飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的速度为 B．飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的加速度小于点的加速度 C．飞船从到的运动时间至少为 D．空间站内的物品或宇航员处于“漂浮”状态，说明此时它们受力平衡 【答案】 【解答】解：、飞船在停泊轨道（Ⅰ）上的速度为。飞船从停泊轨道（Ⅰ）上的点到转移轨道（Ⅱ）上点要加速，所以在转移轨道（Ⅱ）上点的速度大于，故错误； 、根据牛顿第二定律得：，得，可知，飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的加速度大于点的加速度，故错误； 、设飞船在转移轨道（Ⅱ）上的周期为，根据开普勒第三定律得： 解得： 飞船从到的运动时间至少为，故正确； 、空间站内的物品或宇航员随空间站绕地球做匀速圆周运动，虽然处于“漂浮”状态，但它们受力不平衡，由万有引力提供向心力，故错误。 故选：。 【变式训练6-1】假设在宇宙中存在这样三个天体、、，它们在一条直线上，天体离天体的高度为某值时，天体和天体就会以相同的角速度共同绕天体运转，且天体和天体绕天体运动的轨道都是圆轨道，如图所示，以下说法正确的是　　 A．天体做圆周运动的速度小于天体做圆周运动的速度 B．天体做圆周运动的加速度大于天体做圆周运动的加速度 C．天体做圆周运动的向心力大于天体对它的万有引力 D．天体做圆周运动的向心力等于天体对它的万有引力 【答案】 【解答】解：．天体和天体以相同的角速度共同绕天体运转，轨道半径，由可知，，故错误； ．两天体轨道半径，由可知，，故正确； ．天体做圆周运动的向心力，是由天体对天体的万有引力与天体对天体的万有引力的合力提供的，由于天体对天体的万有引力方向与天体对天体的万有引力方向相反，可知天体做圆周运动的向心力小于天体对它的万有引力，故错误。 故选：。 【变式训练6-2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，随着2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，构成系统的55颗卫星全部完成发射。已知北斗系统的55颗卫星是由静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成，如图所示，卫星相对地球静止，卫星轨道高度与卫星相同，卫星轨道与卫星轨道共面，已知，地球自转周期为，地球半径为，地球赤道上的重力加速度为，关于这三类轨道卫星，下列说法正确的是　　 A．卫星与卫星所受向心力大小一定相等 B．卫星的运行周期大于卫星的运行周期 C．若卫星周围存在稀薄的大气，经过一段时间，稳定运行后卫星的运行速度会减小 D．和卫星离地高度为 【答案】 【解答】解：、根据万有引力定律可得：，由于卫星与卫星的质量不一定相等，则万有引力不一定相等，故错误； 、根据开普勒第三定律可得，卫星的运行轨道半径小于卫星的运行轨道半径，则卫星的运行周期小于卫星的运行周期，故错误； 、若卫星周围存在稀薄的大气，经过一段时间，会在较低轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：，解得：，稳定运行后卫星的运行速度会增大，故错误； 、卫星为地球同步卫星，根据万有引力提供向心力可得：，其中 根据万有引力和重力的关系可得： 联立解得和卫星离地高度为：，故正确。 故选：。 【变式训练6-3】木星是太阳系中拥有最多卫星的行星，多达92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星被后人称为伽利略卫星。木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的周期之比为。则木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的线速度之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由开普勒第三定律有： 整理得： 木卫一、木卫四均由木星的万有引力提供向心力做圆周运动，则有 联立方程，可得： 故正确，错误。 故选：。 【变式训练6-4】中国科幻系列电影《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造行星发动机，使地球完成一系列变轨，某过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点变轨，进入圆形轨道Ⅱ，不计空气阻力。下列说法正确的是　　 A．地球沿轨道Ⅰ运动至点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．地球沿轨道Ⅰ运行时，在点的加速度等于在点的加速度 C．地球沿轨道运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 D．地球在轨道Ⅰ上由点运行到点的过程中，机械能逐渐增大 【答案】 【解答】解：、地球沿轨道Ⅰ运动至点时，需向后喷气加速做离心运动，才能进入轨道Ⅱ，故错误； 、由牛顿第二定律得：，可得 点距离地心比点近，所以地球沿轨道运行时，在点的加速度大于在点的加速度，故错误； 、由图可知，轨道的半长轴小于Ⅱ的半径，由开普勒第三定律，可知地球沿轨道运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，故正确； 、地球在轨道上由点运行到点的过程中，只有引力做功，机械能守恒，故错误。 故选：。 【变式训练6-5】由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送至椭圆轨道1，该轨道的近地点为，远地点为；卫星在点时变轨，使卫星沿圆轨道2运行；当卫星在轨道2上飞经赤道上空时再进行变轨，使卫星沿同步轨道3运行，轨道1、2相切与点，轨道2、3相交于、两点，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是　　 A．卫星在点由轨道1变为轨道2前后机械能守恒 B．轨道1在点的线速度小于轨道3的线速度 C．卫星在轨道1经过点时的加速度大于在轨道2经过点时的加速度 D．卫星一旦进入轨道2，其最终定位于赤道的经度就已经确定了 【答案】 【解答】解：、卫星由轨道1进入轨道2需要加速做离心运动，除了万有引力外的其他力做正功，机械能变大，故错误； 、根据万有引力提供向心力有： 变形可得： 由上式可知，轨道3的线速度小于点所在圆轨道的速度，又点所在圆轨道的线速度小于轨道1在点的线速度，所以轨道1在点的线速度大于轨道3的线速度，故错误； 、根据万有引力产生加速度： 可得： 由此可知，卫星在轨道1经过点时的加速度等于在轨道2经过点时的加速度，故错误； 、根据万有引力提供向心力有： 可得： 可知轨道2、3半径相同，周期相等，均等于地球的自转周期，卫星一旦进入轨道2，一直到变轨到3轨道，地球转过的角度与卫星转过的角度是确定的关系，到轨道3后，卫星与地球保持相对静止，所以卫星一旦进入轨道2，其最终定位于赤道的经度就已经确定，故正确。 故选：。 【变式训练6-6】“神舟十六号”载人飞船的发射取得圆满成功，飞船进入预定轨道后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。已知空间站组合体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，地球同步轨道卫星的轨道半径为，则　　 A．“神舟十六号”的发射速度应大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度 B．空间站组合体运行的线速度小于地球同步轨道卫星的线速度 C．空间站组合体运行的周期大于地球同步轨道卫星的周期 D．空间站组合体运行的角速度小于地球同步轨道卫星的角速度 【答案】 【解答】解：、第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，第二宇宙速度是脱离地球引力束缚的最小发射速度，“神舟十六号”的发射速度应大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故正确； 、根据万有引力提供向心力有： 可得线速度大小为： 根据题意可知：组合体轨道半径为地球同步轨道卫星的轨道半径为 由此可知，该组合体运行的线速度大于地球同步轨道卫星的线速度，故错误； 、根据开普勒第三定律：，组合体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径较小，该组合体运行的周期小于地球同步轨道卫星运行的周期，故错误； 、根据万有引力提供向心力有： 可得角速度： 由此可知，空间站组合体运行的角速度大于地球同步轨道卫星的角速度，故错误。 故选：。 【变式训练6-7】风云三号系列气象卫星是我国第二代极地轨道气象卫星，已经成功发射4颗卫星，其轨道在地球上空公里之间，某极地卫星在距离地面公里高度的晨昏太阳同步轨道，某时刻卫星刚好位于赤道正上方的点向北极运动。已知地球的半径为，地球同步卫星距离地面的高度约为，已知，则下列说法正确的是　　 A．该卫星的环绕地球运动的速度可能大于 B．该极地卫星的周期为 C．该卫星与地心连线扫过的面积等于同步卫星与地心连线扫过的面积 D．从卫星刚好经过点计时，一天11次经过北极 【答案】 【解答】解：、卫星在极地轨道上环绕地球运行，第一宇宙速度是最大环绕速度，因此卫星的环绕地球运动的速度小于，故错误； 、卫星的轨道半径为： 同步卫星的轨道半径为： 同步卫星的周期为： 由开普勒第三定律： 代入数据得：，从卫星刚好经过点计时，一天经过次经过北极，故正确，错误； 、由开普勒第二定律可知，同一卫星在相等时间内与地心的连线扫过的面积相等，故错误。 故选：。 【变式训练6-8】独立在轨运行33天的“天舟五号”货运飞船（以下简称“天舟五号” 于2023年6月6日3时10分完成与空间站组合体再次交会对接，空间站组合体再次恢复了“三船三舱”构型。“天舟五号”独立在轨运行时与空间站组合体均在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知空间站组合体运行的周期约为，则下列说法正确的是　　 A．“天舟五号”独立在轨运行时的线速度大于第一宇宙速度 B．“天舟五号”独立在轨运行时的角速度小于地球自转的角速度 C．“天舟五号”独立在轨运行时的线速度大于地球同步轨道卫星运行的线速度 D．“天舟五号”独立在轨运行时的向心加速度大于空间站组合体的向心加速度 【答案】 【解答】解：、由地球的万有引力提供“天舟五号”做圆周运动的向心力有： 得到“天舟五号”运行速度：，随着轨道半径的增大，线速度减小，“天舟五号”独立在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度，故错误； 、由地球的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力有： 任意卫星运行周期为： 随着卫星轨道半径的增大，周期增大，由于空间站组合体运行的周期约为，小于同步卫星运行周期，故同步卫星运行半径大于“天舟五号”的运行半径，同时由角速度：，得到“天舟五号”独立在轨运行时的角速度大于同步卫星的运行角速度，即地球自转的角速度，故错误； 、由于同步卫星运行半径大于“天舟五号”的运行半径，由线速度公式：，得“天舟五号”独立在轨运行时的线速度大于地球同步轨道卫星运行的线速度，故正确； 、由牛顿第二定律：，得到加速度：，“天舟五号”独立在轨运行时的向心加速度等于空间站组合体的向心加速度，故错误。 故选：。 【变式训练6-9】在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点的通信卫星，如图所示，该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于处于拉格朗日和点上的两颗同等质量的卫星，下列说法正确的是　　 A．两卫星绕地球做圆周运动的向心力相等 B．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等 C．处于点的卫星绕地球做圆周运动的角速度较大 D．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度较大 【答案】 【解答】解：、由题意可知，两卫星围绕地球运动的角速度和周期相同，由向心力公式： 运动半径越大，向心力越大，大于，故处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心力大，故错误； 、由角速度与线速度的关系：，大于，两卫星绕地球做圆周运动的线速度不相等，故错误； 、由题意可知，两卫星与月球同步绕地球运动，所以周期和角速度相等，故错误； 、由可知，角速度相同的情况，运动半径越大，向心加速度越大，故正确。 故选：。 【变式训练6-10】如图所示，月球的半径为，甲、乙两颗卫星分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲轨道的近月点距月球表面高度较低，可视为，远月点与月面的距离为，乙轨道的半径为，图中、、点为轨道上的三个点，当卫星经过这些点时受到的万有引力分别为、、，加速度分别为、、，速度为、、，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．由万有引力定律可得：；由题意可知，卫星在甲轨道的近月点距月球球心，在远月点距月球球心，卫星在乙轨道距月球球心，即：；但由于两颗卫星的质量关系未知，故万有引力大小关系无法确定，故错误； ．根据牛顿第二定律可得：，解得加速度大小为：，由于，可得：，故正确； ．设过点与椭圆相切的圆轨道的速率为，由万有引力提供向心力有：，解得：，所以 且卫星从椭圆轨道到过点与椭圆相切的圆轨道要加速，则： 所以： 设近月圆轨道（与点相切）上的运行速度为，从该圆轨道变轨到甲轨道需在点加速，可知： 根据有： 联立可得：，故错误。 故选：。 【变式训练6-11】“天问一号”于2020年7月23日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道。2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施第五次近火制动，开展火星全球遥感探测。“天问一号”在火星上首次留下中国印迹，首次实现通过一次任务完成火星环绕、着陆和巡视三大目标，对火星的表面形貌、土壤特性、物质成分、水冰、大气、电离层、磁场等的科学探测，实现了中国在深空探测领域的技术跨越而进入世界先进行列。“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的点沿地火转移轨道运动到点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号” 　　 A．发射速度介于与之间 B．从点运动到点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】 【解答】解：．“天问一号”发射后脱离了地球引力的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，故错误； ．根据开普勒第三定律可得，地球公转周期为12个月，“天问一号”在地火转移轨道的长轴轨道半径大于地球公转轨道半径，则其运行周期大于12个月，所以从点转移到点的时间大于6个月，故错误； ．根据开普勒第三定律可得，环绕火星的停泊轨道长轴半径小于调相轨道长轴半径，故在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的周期小，故正确。 ．地火转移轨道点速度小于火星轨道点速度，而火星轨道点速度小于地球绕太阳的速度，故错误。 故选：。 【变式训练6-12】（多选）题两颗卫星在同一平面内绕某行星做同向的匀速圆周运动，测得两卫星之间的距离△随时间变化的关系如图所示。仅考虑卫星与行星之间的引力，已知卫星1距行星的距离大于卫星2距行星的距离，则　　 A．行星1圆周运动的周期为 B．行星2圆周运动的周期为 C．行星1、2做圆周运动的半径之比为 D．行星1、2做圆周运动的线速度之比为 【答案】 【解答】解：、由图得，当两小行星相距最近时，距离为，相距最远时，距离为，则两小行星半径关系为： 解得：， 行星1、2做圆周运动的半径之比为 故错误； 、两小行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力： 解得： 两小行星的线速度之比为 故正确； 、由图得，两小行星两次相距最近的时间间隔为，则 两小行星的线速度之比为 联立解得： 根据可知行星1圆周运动的周期为，行星2圆周运动的周期为，故正确，错误； 故选：。 题型07：同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 【典型例题1】（如图所示，A为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，B为近地轨道卫星，C为同步轨道卫星，D为高空探测卫星若A、B、C、D绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动，则其向心加速度大小关系正确的是（　　） A．aA＞aB＞aC B．aB＞aC＞aA C．aD＞aC＞aB D．aA＞aC＞aD 【解答】解：卫星B、C、D，由地球的万有引力提供向心力，满足：Gma 则有： 因为卫星B、C、D的半径关系为：rB＜rC＜rD，所以有：aB＞aC＞aD 对于A物体和C卫星，两者周期相同、角速度相同，且rA＜rC，根据公式a＝ω2r，可得：aA＜aC 综上可得，aB＞aC＞aA 由于信息不足，无法比较A物体和D卫星的向心加速度大小，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【典型例题2】（北斗卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统，由5颗地球同步卫星和30颗非地球同步卫星组网而成，基中卫星的圆形轨道离地面高度为，地球同步卫星离地面高度为，两卫星轨道共面且运行方向相同，某时刻卫星恰好运行到赤道上基建筑物的正上方，已知地球赤道半径为，地面重力加速度为，则　　 A．、线速度大小之比为 B．、角速度之比为 C．、向心加速度大小之比 D．下一次通过正上方所需时间为 【答案】 【解答】解：、卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，设卫星的线速度为，则有 所以卫星的线速度大小为 可知、线速度大小之比为，故错误； 、设卫星的角速度为，则，得 结合，，可得、角速度大小之比为 又由于地球同步卫星的角速度与的角速度相同，所以，故错误； 、地球同步卫星的角速度与的角速度相同，根据可得，故正确； 、设经过时间卫星再次通过建筑物上方，根据几何关系有 又，即 联立解得，故错误。 故选：。 【变式训练7-1】有、、、四颗地球卫星，其排列位置如图，卫星还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星在地面附近近地轨道上正常运行，是地球静止卫星，是高空探测卫星，各卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则有　　 A．的向心加速度大小等于重力加速度大小 B．绕地球运行的周期有可能是20小时 C．在相等时间内，、两卫星与地心的连线扫过的面积一定相等 D．在相等时间内，、两卫星与地心的连线转过的角度一定相等 【答案】 【解答】解：、同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知与的角速度相同，根据知，的向心加速度大于的向心加速度， 由万有引力产生向心加速度： 解得： 由此式可知，的向心加速度近似等于，且卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则的向心加速度小于的向心加速度，而的向心加速度约为，的向心加速度小于重力加速度，故错误； 、由开普勒第三定律得可知：卫星的半径越大，周期越大，所以的运动周期大于的周期，故错误； 、两卫星不在同一轨道，在相等时间内，、两卫星与地心的连线扫过的面积不相等，故错误； ．、两卫星的角速度相等，在相等时间内，、两卫星与地心的连线转过的角度一定相等，故正确。 故选：。 【变式训练7-2】如图所示，地球可视为质量分布均匀的球体，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径认为约等于地球半径）。已知随地球一起做圆周运动的周期约为周期的16倍，则地球赤道上和两极处的重力加速度之比约为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设地球的质量为、半径为，的周期为，则的周期为。 对赤道上物体，有： 在两极，万有引力等于重力，即 对卫星，根据万有引力提供向心力可得： 联立解得：，故正确，错误。 故选：。 【变式训练7-3】我国“天问一号”火星环绕器自从2021年2月10日到达火星，已经在火星“上岗”满两年，成为我国探索火星的先驱者。如图所示，若为火星表面赤道上的物体，为轨道在火星赤道平面内的气象卫星，为在赤道上空的火星同步卫星，卫星和卫星的轨道半径之比为，且两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是　　 A．、、的线速度大小关系为 B．、、的角速度大小关系为 C．卫星和卫星绕火星运动的周期之比 D．、、的向心加速度大小关系为 【答案】 【解答】解：、火星同步卫星的角速度与火星自转角速度相等，可知与的角速度大小相等，即 根据，由于卫星的轨道半径大于火星的半径，可得 根据，由于卫星的轨道半径大于火星的半径，可得 对于卫星与，根据万有引力提供向心力，得 可得：，， 因卫星的轨道半径小于卫星的轨道半径，可得，， 综上，三者的线速度大小关系为：，角速度大小关系为：，向心加速度大小关系为：，故错误； 、对于卫星与，根据万有引力提供向心力，得 解得：。已知火星同步卫星和卫星的轨道半径之比为，解得卫星和卫星的周期之比为：，故正确。 故选：。 【变式训练7-4】（多选）如图所示，A、B、C在同一平面内，A是静止在地面上的物体，B、C是两颗人造卫星。其中B为近地卫星，C为同步卫星。则以下判断正确的是（　　） A．卫星B的线速度大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的角速度大小关系为ωA＜ωB C．A、B、C周期的大小关系为TC＞TB＞TA D．A、B、C都在赤道所在平面上 【解答】解：A、B为近地卫星，根据卫星线速度公式v分析可知，B的运行速度等于地球的第一宇宙速度，故A错误； B、A是静止在地面上的物体，C为地球同步卫星，则A、C的角速度相等，即ωA＝ωC。根据ω可知，B、C的角速度大小关系为ωC＜ωB，则ωA＜ωB，故B正确； C、A是静止在地面上的物体，C为地球同步卫星，则TC＝TA。根据ωC＜ωB，由T得：TC＞TB，所以TC＝TA＞TB，故C错误； D、A、B、C在同一平面内，A是静止在地面上的物体，结合图可知A、B、C都在赤道所在平面上，故D正确。 故选：BD。 题型08：双星三星多星问题 【典型例题1】宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是（　　） A．这两颗恒星的质量必定相等 B．其中有一颗恒星的质量为 C．这两颗恒星的质量之比为m1：m2＝R1：R2 D．这两颗恒星的质量之和为 【解答】解：AC、如图 对m1有：m1R1 对m2有：m2R2 解得：，则两者质量不相等，故AC错误； BD、由AC项得：m2 由②得：m1 两者质量之和：m1+m2，故B错误，D正确。 故选：D。 【典型例题2】如图甲所示，2022年7月15日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图乙所示，质量不等的恒星A和B绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，A到O点的距离为r1，A和B的距离为r，已知引力常量为G，则A的质量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取B为研究对象，B绕O点做匀速圆周运动，设A、B的质量分别为m1和m2 由牛顿第二定律得m2r 解得：m1 故A正确，BCD错误； 故选：A。 【典型例题3】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为．则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别选两种情况下做圆周运动的一颗恒星为研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，结合牛顿第二定律列式分析。 【解答】解：设恒星的质量为，分别选两种情况下做圆周运动的一颗恒星受力分析如图： 图甲中由牛顿第二定律有： 解得： 图乙中星体之间的距离均为，恒星做圆周运动的半径 由牛顿第二定律有： 解得： 所以：，故正确，错误。 故选：。 【典型例题4】（多选）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动．如图所示，三颗星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．每颗星体受到的引力大小均为3 B．每颗星体的角速度均为 C．若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的 D．若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的 【解答】解：A、对其中一个星体，受力分析如下图所示： 由万有引力定律得：， 每个星体受到的引力为：，故A错误； B、由几何关系可知，每个星体均绕等边三角形的中心O点做匀速圆周运动的半径为： 根据引力F提供向心力得： 解得：，故B正确； C、对每个星体，根据合力F提供向心力得： 解得： 若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的，故C错误； D、对每个星体，同理可得： 解得： 若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的，故D正确。 故选：BD。 【变式训练8-1】“双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，星球的质量为，星球的质量为，它们中心之间的距离为，引力常量为。则下列说法正确的是　　 A．、两星球做圆周运动的半径之比为 B．、两星球做圆周运动的角速度之比为 C．星球的轨道半径 D．双星运行的周期 【答案】 【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【解答】解：、双星靠它们之间的万有引力提供向心力，星球的轨道半径为，星球的轨道半径为，根据万有引力提供向心力有： 得： 且， 解得：，，所以、两星球做圆周运动的半径之比为，故错误； 、根据周期与角速度关系有：结合 且， 解得：，故正确； 故选：。 【变式训练8-2】如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中b、c是地球同步卫星，在半径为r1的轨道上，a在半径为r2的轨道上，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（　　） A．卫星a、c与地心的连线单位时间扫过的面积相等 B．卫星c与卫星a的周期之比为 C．从此时到卫星a和b下一次相距最远，还需经过时间 D．若已知近地卫星的周期为T0，则可估算得出地球的平均密度ρ 【解答】解：A．卫星地球做匀速圆周运动，设轨道半径为r时，在很短时间Δt内扫过的面积为S。 根据万有引力提供向心力可得：m，解得线速度大小为：v 根据面积计算公式可得：S，所以轨道半径越大，在相等的时间内扫过的面积越大，则卫星c与地心的连线单位时间扫过的面积大于a，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可得： 可得： 则卫星c与卫星a的周期之比为：，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有： 可得： 由此可知卫星a的角速度为： 设卫星a和b下一次相距最远的时间为t，则有：ωat﹣ωt＝π 联立解得：，故C错误； D．若已知近地卫星的周期为T0，根据万有引力提供向心力可得： 又： 联立可得：，故D正确。 故选：D。 【变式训练8-3】“黑洞”是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻“黑洞”的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，若将可见星A所受暗星B的引力等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双星系统的AB角速度相等，根据 得 根据 得 联立解得 故ABC错误，D正确； 故选：D。 【变式训练8-4】“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．B星球的轨道半径为 B．A星球运行的周期为 C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1：m2 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 【解答】解：A、由于“双星系统”在相同时间转过的角度相等，则两星球的周期与角速度均相同，设两星球运行的角速度为ω，A星球和B星球轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有，对B星球有；解得：r1：r2＝m2：m1，又由于r1+r2＝L，解得，，故A错误； B、根据，，解得，故B正确； C、A星球和B星球的线速度大小之比：，故C错误； D、O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力： 受到A星球的万有引力： 则有，故该质点受到两星球的引力之和不为零，故D错误。 故选：B。 【变式训练8-5】厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　） A．线速度小于红矮星的线速度 B．角速度大于红矮星的角速度 C．轨道半径大于红矮星的轨道半径 D．向心力大小约为红矮星的2倍 【解答】解：B、双星系统中两天体的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，故B错误； C、万有引力提供向心力，有： 联立解得： 即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，故C错误； D、双星系统中，星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，故D错误； A、根据v＝ωr，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，故A正确。 故选：A。 【变式训练8-6】如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA＞OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径，下列说法正确的是（　　） A．两黑洞质量之间的关系一定是M1＞M2 B．黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度 C．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度 D．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，它们运行的周期变大 【答案】 C 【解析】黑洞A与黑洞B绕O点相同时间内转过的角度相同，所以，二者的角速度相等，设它们相距为L，角速度为ω，根据牛顿第二定律得 联立得，根据题意，所以，故AB错误；人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，故C正确；根据 可得，又由于，整理得 所以，周期为 若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，两黑洞质量之和不变，周期不变。故D错误。 【变式训练8-7】如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是（　　） A．星体的线速度vA＝2vB B．星体的加速度2aA＝aB C．星体所受合力FA＝FB D．星体的质量mA＝mB 【答案】B 【分析】三星体做圆周运动的角速度ω、周期T相等，根据线速度与角速度的关系判断线速度的大小关系；写出向心加速度表达式判断加速度的大小关系由万有引力定律，分别求出单个的力，然后求出合力，分析质量关系即可。 【解答】解：A、三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由线速度与角速度的关系公式，可知星体的线速度 故A错误； B、由向心加速度公式a＝ω2r，可得星体的加速度 则有 2aA＝aB 故B正确； C、三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此可得星体A、B受力如图所示 由解析题图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小于A、C间的万有引力大小，分力的夹角相等，因此 FA＞FB 故C错误； D、由解析题图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，可知 mB＝mC B、C间的万有引力大小小于A、C间的万有引力大小，可知 mA＞mC 则有 mA＞mB 故D错误。 故选：B。 【变式训练8-8】（多选）天文爱好者观测到一组稳定的双星系统，如图所示，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动。天体A的质量为m，星体B的质量为km，引力常量为G，则两颗星体的（　　） A．角速度大小相等 B．线速度大小之和为恒定值 C．轨道半径之比rA：rB＝1：k D．向心力大小之比FA：FB＝k：1 【解答】解：A．双星系统绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，因此角速度大小相等，故A正确； B．设A、B做匀速圆周运动的角速度为ω，天体之间的距离为L，则它们的线速度分别为 v1＝ωr1，v2＝ωr2 则v1+v2＝ω（r1+r2）＝ωL A、B做匀速圆周运动的角速度和它们之间的距离不变，所以线速度大小之和为恒定值，故B正确； C．天体受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得： 解得：rA：rB＝k：1，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 解得：FA：FB＝1：1，故D错误。 故选：AB。 【变式训练8-9】（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 【变式训练8-10】（多选）中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们轨道半径分别为RA、RB，且RA<RB；C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，且T2<T1。A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A. 恒星A的质量大于恒星B的质量 B. 恒星B的质量为 C. 若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 D. 三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为 【答案】AB 【解析】因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得 即 即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A正确；对恒星A可得 解得恒星B的质量为 故B正确； C．对卫星C满足 可见无法求出卫星C的质量，故C错误；因为恒星A和B始终共线，所以三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为，故D错误。 【变式训练8-11】（多选）宇宙中有A、B两恒星组成的双星系统，他们以O点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。由于两恒星离地球非常远，而且地球位于他们的轨道平面上，所以从地球上看过去A、B两星好像在一条直线上做往复运动。A星最远能到达M、N两点，B星最远能到达P、Q两点。当A星靠近地球时，由于多普勒效应，在地球上接收到A星发出的光频率比实际频率高，而远离地球时比实际频率低。根据多普勒频移公式可算出A星做匀速圆周运动的线速度为v；并在地球上O′点测得∠MO′N=2α，∠PO′Q=2β，A星从M点运动到N点的时间为。则下列说法正确的是（    ） A．该双星系统轨道圆心距地球的距离为 B．B星的线速度大小为 C．A、B两星的总质量为 D．A、B两星距离为 【答案】BCD 【详解】由题意知，由几何关系有，所以，故A错误；根据几何关系，所以，故B正确；由双星动力学方程可得，可解得，故C正确；两星距离为，故D正确。故选BCD。 【变式训练8-12】（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为的星球、、恰构成一个边长为的正三角形，在它们的中心处还有一颗质量为的星球，如图所示。已知引力常量为，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是　　 A．、、三颗星球的线速度大小均为 B．、、三颗星球的加速度大小均为 C．星球和中心处的星球表面的重力加速度之比为 D．若处的星球被均分到、、三颗星球上，、、三颗星球仍按原轨道运动，则、、三颗星球运动的周期将变大 【答案】 【分析】结合几何关系即可求出顶点上星体做匀速圆周运动的轨道半径； 根据万有引力定律，结合矢量合成的方法即可求出等边三角形顶点上星体受的合力； 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源。在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据，求出星体匀速圆周运动的周期。 【解答】解：、对三绕一模式，等边三角形边长为，三颗绕行星轨道半径均为，由几何关系得三角形的边长为，即，对顶点的星体受力分析，根据矢量合成的方法可得： ① 解得，，故正确，错误。 、设它们的密度为，半径为，则： 表面的重力加速度： 联立可得： 同理可得处的星： 所以它们表面的重力加速度的比值为．故错误； 、由①可得： 若处的星球被均分到、、三颗星球上，、、三颗星球的质量都是；若仍按原轨道运动，则对② 可得： 则、、三颗星球运动的周期将变大。故正确 故选：。 【变式训练8-13（多选）我国科学家牵头发现了“雾绕双星”系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了更为深刻的认识。一般双星系统由两个星体构成，其中每个星体的直径都远小于两者间的距离，同时距离其他星体足够远，可视为孤立系统。如图所示，已知某双星系统由星体A和B组成，每个星体的质量都是m0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点O做匀速圆周运动，引力常量为G。 （1）求该双星系统中星体的加速度大小a； （2）求该双星系统中星体的运动周期T； （3）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。我们熟悉的“地—月系统”，常常认为地球是不动的，月球绕地心做圆周运动。但实际上它们也可视为一双星系统，地球和月球围绕两者连线上的某点做匀速圆周运动。请利用下列数据，选择合适的角度，说明“认为地球是不动的”这种近似处理的合理性。已知地球和月球的质量分别为M=6×1024kg和m=7×1022kg。    【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有 得 （2）由运动学公式可知 得 （3）模型Ⅰ中，设月球绕地球的球心做圆周运动的半径为r，周期为T1，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 得 模型Ⅱ中，月球球心与地球球心相距为r，两者的轨道半径分别为r1和r2，周期相同为T2，对月球有 得 对地球有 得 因 将以上两式代入，可解得 ①若选择的是轨道半径的角度，两种模型中月球轨道的半径之比为。 ②若选择的是旋转周期的角度，两种模型中月球公转的周期之比为。 综上分析可知，两种模型比较可知，地球和月球的质量分别为和，即，所以从轨道半径角度分析可得半径之比为 从周期角度分析可得月球公转的周期之比为 说明该近似处理是合理的。 【变式训练8-14】（多选）科学家于2017年首次直接探测到来自双中子星合并的引力波。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，在它们合并前的一段时间内，它们球心之间的距离为L，两中子星在相互引力的作用下，围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动，它们每秒钟绕O点转动n圈，已知引力常量为G。求： （1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和； （2）两颗中子星的质量之和M。 【答案】 （1）；（2） 【解析】（1）设恒星和行星的速率分别为、，轨道半径分别为、 由可知 角速度 解得 （2）设两颗中子星的质量分别为、，由万有引力提供向心力可得 解得 题型09：天体追及相遇问题 【典型例题1】地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【解答】解：A、根据开普勒第三定律可得k，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，故A错误； B、当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故B正确； C、根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误； D、根据A选项可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，已知地球的公转周期为T1＝1年，则火星的公转周期为：T2≈1.8年。 设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有：（）t＝2π 解得：t＝2.25年 所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 故选：B。 【典型例题2】如图所示，有、两个行星绕同一恒星做圆周运动，旋转方向相同，行星的周期为，行星的周期为，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则　　 A．经过时间，两行星将第二次相遇 B．经过时间，两行星将第二次相遇 C．经过时间，两行星第一次相距最远 D．经过时间，两行星第一次相距最远 【答案】 【解答】解：、、多转动一圈时，第二次追上，有： 解得： 故错误，正确； 、、多转动半圈时，第一次相距最远，有： 解得： 故正确，错误。 故选：。 【典型例题3】我国发射的高分系列卫星中，高分四号卫星处于地球同步轨道。如图所示，卫星是位于赤道平面内、绕行方向与地球自转方向相同的近地卫星，是高分四号地球同步卫星，此时刻、连线与地心恰在同一直线上且相距最近。已知的角速度为，地球自转角速度为，万有引力常量为。 （1）估算地球的密度； （2）由图示时刻开始，至少经过多长时间、相距最远？ 【答案】（1）估算地球的密度为； （2）由图示时刻开始，至少经过的时间、相距最远。 【解答】解：（1）设地球半径为，地球质量为，近地卫星的质量为，根据牛顿第二定律有： 变形解得： 而地球体积为： 所以密度为： （2）当和转过得圆心角相差为时，第一次相距最远有： 解得： 即至少经过时间，、相距最远。 答：（1）估算地球的密度为； （2）由图示时刻开始，至少经过的时间、相距最远。 【变式训练9-1】如图所示，三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（　　） A．卫星a和b下一次相距最近还需经过t B．卫星c的机械能等于卫星b的机械能 C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速 D．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s 【解答】解：A、卫星b在地球的同步轨道上，所以卫星b和地球具有相同的周期和角速度。 由万有引力提供向心力，即mω2r ω a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度ωa 此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近， （ωa﹣ω）t＝2π t，故A正确； B、卫星c与卫星b的轨道相同，所以速度是相等的，但由于不知道它们的质量的关系，所以不能判断出卫星c的机械能等于卫星b的机械能。故B错误； C、让卫星c加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星c会做离心运动，离开原轨道，所以不能与b实现对接，故C错误； D、卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需的最小初始速度，11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。所以发射卫星b时速度大于7.9km/s，而小于　11.2km/s，故D错误； 故选：A。 【变式训练9-2】（多选）如图所示，三个质点、、的质量分别为、、远大于及，在万有引力作用下（忽略、之间的万有引力），、在同一平面内绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知、运动的周期之比为，下列说法中正确的有　　 A．、轨道半径之比为 B．、轨道半径之比为 C．从图示位置开始，在转动一周的过程中，、、共线次 D．从图示位置开始，在转动一周的过程中，、、共线次 【答案】 【解答】解：、在同一平面内绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知，，故错误，正确； 、、共线存在两种情况：、相距最近、、相距最远，，当，3，时，、相距最远；当，4，时，、相距最近，代入时，解得，故错误，正确； 故选：。 【变式训练9-3】（多选）、两颗地球卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们运动的轨道半径之比，的周期为，则下列说法正确的是　　 A．卫星加速可追上同轨道的另一颗卫星 B．、两颗卫星周期之比为 C．某一时刻、两卫星相距最近，则此时刻开始到、再次相距最近经历的时间可能是 D．某一时刻、两卫星相距最近，则此时刻开始到、相距最远经历的时间可能是 【答案】 【解答】解：、卫星加速后，将做离心运动，轨道半径变大，不可能追上同轨道的另一颗卫星，故错误； 、根据万有引力提供向心力得 解得： 则、两颗卫星周期之比为 故错误； 、由得，，则，设从、两卫星相距最近到、相距最近所经历的时间为 则 解得：、2、 当时， 故正确； 、设从、两卫星相距最近到、相距最远所经历的时间为，则 解得：、2、 当时， 故正确； 故选：。 【变式训练9-4】（多选）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上点正上方。地球的质量为，半径为，引力常量为。则　　 A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 【答案】 【解答】解：、对卫星，绕地球以的周期做圆周运动时：，变形解得：，故错误； 、根据向心加速度：，所以，故正确。 、下一次卫星经过点正上方时，卫星比地球多转了圈，由于一圈有两个位置是卫星在赤道正上方，所以有两种情况，第一种情况是卫星和地球都转了整数圈，设二者分别转了圈、圈，则有，、都为整数，最小值为10，此时卫星绕地心转过了10圈，转过的角度为；第二种情况是卫星和地球都转了整数圈半圈，此时有，、都为整数，这种情况下无解，所以从时刻到下一次卫星经过点正上方时，卫星绕地心转过的角度为，故正确； 、从最近到最远，最近时卫星在点正上方，最近距离为半径之差，最远时两点还在赤道平面，最远距离为半径之和，所以有两种情况，第一种情况在原点，卫星运动了圈，设点运动了圈为整数），此时有，为整数），此种情况下无解；第二种情况是情况运动了圈，卫星运动了圈，此时有，为整数），解得最小值为1，此时，卫星绕地心转过的角度比地球的多，故正确。 故选：。 【变式训练9-5】中国空间站是以天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱以及两艘载人飞船和一艘货运飞船组成“三舱三船”的组合体。为了接送宇航员以及补给物资，飞船需要频繁与空间站对接。在众多变轨对接的方案中，有一种是从同一轨道变轨完成对接。具体方式如图所示：空间站和飞船都在以半径为的圆轨道上逆时针运动。某时刻飞船在与地球连线和空间站与地球连线夹角为时，点火加速进入椭圆轨道。与空间站相遇时，可与空间站完成对接。假如某次对接前、的轨道半径，飞船点火加速，进入远地点距地面高度为，近地点距地面高度为的椭圆轨道。已知地球半径，空间站转动周期，引力常数。试求出： （1）地球质量大小； （2）飞船进入椭圆轨道后的运动周期； （3）如果飞船第一次回到点火点时恰好与空间站相遇，则的大小。 【答案】（1）地球质量大小为； （2）飞船进入椭圆轨道后的运动周期为； （3）如果飞船第一次回到点火点时恰好与空间站相遇，则的大小为。 【解答】解：（1）对空间站，由地球的万有引力提供向心力，则有： 变形解得： （2）由几何关系可得，椭圆轨道半长轴为： 对空间站和飞船运行，由开普勒第三定律可知： 变形后解得： （3）由题意可得：，2， 又有： 因为： 则，解得： 答：（1）地球质量大小为； （2）飞船进入椭圆轨道后的运动周期为； （3）如果飞船第一次回到点火点时恰好与空间站相遇，则的大小为。 题型10：天体自转稳定的临界问题 【典型例题】中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．1.3×1010kg/m3 B．3×1016kg/m3 C．3×1013kg/m3 D．3×1019kg/m3 【解答】解：星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，该星球密度为ρ，表面一物体质量为m，由牛顿第二定律得： 又 联立解得： 代入数据得：ρ≈3×1016kg/m3，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练10-1】（多选）（多选）近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．如果该星体的自转周期T＜2π，会解体 B．如果该星体的自转周期T＞2π，会解体 C．该星体表面的引力加速度为 D．如果有卫星靠近该星体表面飞行，其速度大小为 【解答】解：AB、设星球表面有一物体质量为m1，星球解体的条件是万有引力不足以提供该物体随星球的转动所需的向心力，即m1R，解得T＜2π，故A正确、B错误； C、在星球表面，物体所受的万有引力近似等于物体重力。根据公式m2g，得g。故C错误； D、设卫星的质量为m3，在绕星球表面飞行时满足，可求得v。故D正确。 故选：AD。 【变式训练10-2】在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　） A．200 B．160 C．120 D．80 【解答】解：地球绕太阳运动的周期T1＝365天，月球绕地球的运动周期T2＝30天，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，即r1≈400r2 根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M 解得太阳质量与地球质量之比为：M1：M2≈432351 根据密度计算公式可得：ρ，其中V，已知太阳和地球的半径之比约为100，则太阳和地球的密度之比： ρ1：ρ2＝0.4323 洛希极限d＝1.26R（），月球的平均密度等于地球的平均密度，则太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值： d1：d2≈80，故D正确、ABC错误。 故选：D。 题型11：其它问题 【典型例题】已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，赤道上有一个卫星监测站B（图中未画出）。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有：mr 根据几何关系有：r m0g 如图所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面测控站B不能一直保持直接通讯，设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯 cosθ tt＝2θ 解得，t 故ABD错误，C正确； 故选：C。 【变式训练11-1】如图，已知现在地球的一颗同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α．假设地球的自转周期变大，周期变大后的一颗地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β，则前后两次同步卫星的运行周期之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球的半径为R，根据几何关系知，当同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α时，卫星的轨道半径， 同理得，当地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β时，卫星的轨道半径， 根据得，T，由于轨道半径之比为cosβ：cosα，则周期之比为，故A正确，B、C、D错误。 故选：A。 【变式训练11-2】天链一号04星是我国发射的第4颗地球同步卫星，它与天链一号02星、03星实现组网运行，为我国神舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务。如图所示，1是天宫二号绕地球稳定运行的轨道，2是天链一号绕地球稳定运行的轨道。下列说法正确的是（　　）    A．天链一号04星的最小发射速度是11.2 km/s B．天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度 C．为了节能环保，发射速度要尽量小 D．由于技术进步，天链一号04星的运行速度可能大于天链一号02星的运行速度 【答案】B 【详解】由于第一宇宙速度是人造地球卫星或飞船环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，同时又是最小的发射速度，可知飞船的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s。飞船的发射速度大于第二宇宙速度11.2 km/s时，会脱离地球束缚，所以飞船的发射速度要小于第二宇宙速度，同时要大于第一宇宙速度，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故AC错误；由万有引力提供向心力得，解得v=，可知轨道半径比较大的天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度，故B正确；根据题意，天链一号04星与天链一号02星都是地球同步轨道数据中继卫星，轨道半径相同，所以天链一号04星与天链一号02星具有相同的速度，故D错误。故选B。 【变式训练11-3】神舟十三号飞船顺利将3名航天员送入太空，并与天和核心舱对接。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离约为390km，地球半径约为6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A. 核心舱的向心加速度小于g B 核心舱运行速度大于7.9km/s C. 由题干条件可以求出地球的质量 D. 考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱的速度会越来越小 【答案】A 【解析】核心舱所处的重力加速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律 ，而在地面处 由于核心舱做匀速圆周运动，核心舱在该处的万有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正确；根据 可知轨道半径越大，运行速度越小，在地面处的运行速度为7.9km/s，因此在该高度处的运行速度小于7.9km/s，B错误；根据 从题干信息无法知道G的值，因此无法求出地球的质量，C错误；考虑到稀薄大气阻力，无动力补充，核心舱逐渐做近心运动，轨道半径逐渐减小，运行速度会越来越大，D错误。 A正确，BCD错误。 【变式训练11-4】设地球的质量为M，平均半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，则有关同步卫星的说法不正确的是（　　） A．同步卫星的轨道与地球的赤道在同一平面内 B．同步卫星的离地高度为h C．同步卫星的离地高度为hR D．同步卫星的角速度为ω，线速度大小为 【解答】解：A、同步卫星相对于地球静止，所以同步卫星的轨道同只能在在赤道的上方。轨道平面与赤道平面共面，故A正确； B、根据万有引力提供向心力，有： 解得：，故B不正确，C正确； D、同步卫星的轨道半径为： 线速度为：，故D正确； 本题选不正确的，故选：B 【变式训练11-5】2022年9月1日，神舟十四号航天员进行了第一次太空出舱活动，完成各项既定任务，整个活动时间约六小时。设飞船绕地球做匀速圆周运动且离地面的高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。若航天员出舱时间为t，则t时间内飞船绕地球转过的圈数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球质量为M，不考虑地球自转的影响，在地球表面有： 设飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T，根据牛顿第二定律得： 在t时间内飞船绕地球转动的圈数为： 联立解得：，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练11-6】第55颗北斗导航卫星发射成功，这标志着我国提前半年完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署目标。第55颗卫星也是北斗三号全球卫星导航系统第三颗相对地球静止的同步轨道卫星，关于这颗卫星的说法正确的是（　　） A．它的工作轨道可在赤道平面内的任意高度 B．它的周期与地球公转周期相同 C．它的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度 D．它的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 【答案】C 【解析】 AB．地球同步卫星的工作轨道在赤道平面内特定的高度，周期与地球自转周期相同，AB错误； CD．赤道上的物体随地球自转，周期T与同步卫星相同，由 因为地球同步卫星的轨道半径r大于赤道上的物体，故它的线速度和向心加速度均大于赤道上的物体， D错误，C正确。 故选C。 【变式训练11-7】某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动，运行方向与地球自转方向相同，赤道上有一卫星测控站B，已知卫星距地面的高度为R，地球的半径为R，自转周期为To，地球表面的重力加速度为g。求： （1）卫星A做圆周运动的周期T； （2）卫星A和测控站B能连续直接通讯的最长时间t。（卫星信号传输时间可忽略） 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设地球质量为，卫星的质量为，根据万有引力提供向心力，有 解得 （2）如图所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星和地面测控站不能一直保持直接通讯．设无遮挡时间为，则它们转过的角度之差最多为时就不能通讯． 解得 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 宇宙航行 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 15 题型归纳 16 题型01：宇宙速度 16 题型02：卫星运行参量与轨道半径的关系 23 题型03：椭圆轨道参数比较 26 题型04：不同轨道运行参数比较 29 题型05：卫星发射变轨问题 32 题型06：卫星在不同轨道参数比较 40 题型07：同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 48 题型08：双星三星多星问题 51 题型09：天体追及相遇问题 61 题型10：天体自转稳定的临界问题 65 题型11：其它问题 66 一 分值与题型 1. 分值：6–12分，多为1道选择题，少数卷种出计算题 2. 题型：选择题为主（定性判断、参量比较）；计算题常结合变轨、天体质量/密度、能量综合考查 二 高频考点（五年统计） 1.三大宇宙速度（第一宇宙速度必考：计算+物理意义） 2.卫星运行参量（v、ω、T、a）与轨道半径关系：高轨低速长周期 3.地球同步卫星（六定：周期、轨道、高度、速度、角速度、向心加速度） 4. 卫星变轨（椭圆→圆、近远地点速度/加速度/能量变化） 5. 天体质量/密度计算（黄金代换GM=gR²） 6.近地卫星、同步卫星、赤道物体三者对比 三 命题趋势 1. 情境化：以中国航天（嫦娥、天问、天宫）为背景，贴近科技前沿 2. 重模型：万有引力=向心力核心方程，强调建模与推理 3. 重综合：结合能量、变轨、双星/多星，考查逻辑与计算 一. 基础目标（必会） 1. 熟记三大宇宙速度数值与物理意义，会推导第一宇宙速度 2.掌握万有引力=向心力核心方程，会用黄金代换 3.理解高轨低速长周期，能比较卫星v、ω、T、a 4. 记住同步卫星六定，区分近地/同步/赤道物体 二. 能力目标（熟练） 1. 会分析卫星变轨的速度、加速度、能量变化 2. 能计算天体质量、密度（含近地轨道） 3. 能解决追及、相遇、多星/双星基础问题 4. 能从航天情境中提取模型、列方程求解 三. 素养目标（提升） 1.建立天体运动物理模型，提升建模与推理能力 2.关注航天科技，体会物理与科技、社会的联系 3.规范解题步骤，减少易错点（发射/运行、轨道半径、变轨速度） 知识点一：宇宙速度 （一）求宇宙速度的方法： 1、环绕法：万有引力提供物体作圆周运动的向心力 2、拱桥法：当支持力为0时，重力提供物体作圆周运动的向心力。 指向圆心的力—背向圆心的力=向心力 当力FN=0时得： 近地卫星在100～200km的高度飞行，与地球半径6400km相比，完全可以说是在“地面附近”飞行，可以用地球半径R代表卫星到地心的距离r。把数据代入以上任一式后算出宇宙速度了。 （二）宇宙速度 1.牛顿的设想 如图所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星. 2.第一宇宙速度（环绕）： 物体在地面附近（刚好贴着地球表面）绕地球做匀速圆周运动的速度。 ①7.9km/s为卫星的最小发射速度。 ②7.9km/s是卫星的最大环绕速度。 ③高轨低速长周期：随着卫星运行轨道半径的增大，其线速度、角速度和向心加速度逐渐减小，周期逐渐增大。 第一宇宙速度的推导∶对于近地卫星，轨道半径近似等于地球半径R。 由万有引力提供向心力得 ，解得 或由，解得 3.第二宇宙速度（脱离速度）： 使卫星挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度。 当发射速度7.9km/s<v0<11.2 km/s时，物体绕地球运行的轨迹是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同. 4、第三宇宙速度（逃逸速度）： 使卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度。 三个宇宙速度及含义 数值 意义 第一宇宙速度 （环绕速度） 7.9 km/s 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 （脱离速度） 11.2 km/s 在地面附近发射飞行器使物体克服地球引力，永远离开地球的最小地面发射速度 第三宇宙速度 （逃逸速度） 16.7 km/s 在地面附近发射飞行器使物体挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度 5.宇宙速度与运动轨迹的关系 ①v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动． ②7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． ③11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动． ④v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 知识点二：人造卫星 （一）人造地球卫星的轨道：所有卫星的轨道平面都过地心。 ①赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星始终处于赤道上方； ②极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空； ③一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度。 （二）人造地球卫星的分类 1.近地卫星：指卫星轨道半径近似等于地球半径，即贴近地表，环绕速度为第一宇宙速度。 2.同步卫星（通信）：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球转，同步地球做匀速圆周运动，其周期T=24h， 3颗同步卫星可实现全球覆盖。 关于同步卫星的六个“一定”。 ①轨道平面一定是赤道平面 ②周期与角速度一定是24h ③轨道半径（高度）一定是4.2×107m ④速度大小一定是3.08km/s ⑤向心加速度的大小一定是0.23m/s2 ⑥运转方向一定是自西向东 3.其他卫星如极地卫星，气象卫星等。 （三）人造地球卫星的发射、变轨与回收 1.变轨问题概述 （1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m. （2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨. ②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨. 2.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 3．变轨过程各物理量分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB． 在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB． (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3. 4.实例分析 (1)飞船对接问题 ①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图甲所示). ②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示. (2)卫星的发射、变轨问题 如图，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足＝m，进入圆轨道3做圆周运动. 5.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 ①判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断. ②判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小. ③判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析. ④判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断. 2 3 A B 1 低轨 高轨 加速 减速 速度关系 先分析A,B点；再比较13轨道。 加速度关系 加速度是由实际受到的合外力提供的，在不同轨道的A,B点受到合外力（万有引力）相同。 误区： 不可比较相同点的速度，速度大只能代表需要的加速度大，但不是实际的加速度。 6.卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨在较小半径圆轨道上运动 知识点三：航天器中的失重现象 1.发射和回收阶段 发射——加速上升——超重 回收——减速下降——超重 2.沿圆轨道正常运行 只受重力——a = g——完全失重 所以在飞船上与重力有关的现象全部消失如天平、弹簧秤测重力和液体压强计等。 3.人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系． G＝ 由以上关系式可知：高轨低速长周期 知识点四：三卫星一物体的比较 1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大. 2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小. 同步卫星 周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星.地球同步卫星位于赤道上方高度约36 000 km处，因相对地面静止，也称静止卫星.地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同. ①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h. ②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东. ③定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝－R≈3.58×104 km≈6R. ④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变. ⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变. 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径(1)运行线速度v1＝7.9 km/s；T＝≈85 min. (2)7.9 km/s和85 min分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期. 赤道上 物体 随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 规律：高轨低速长周期（仅适用于圆周运动，椭圆不可以） 图示： 赤道上点A 近地卫星B 同步卫星C 向心力来源 的分力 半径B C A == 周期 角速度 线速度 加速度 分析方法：先比AC，再比较BC 1.三个常识 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2. (2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天． (3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s. 2.两个向心加速度的比较 卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度 产生 原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生 方向 指向地心 垂直且指向地轴 大小 a＝(地面附近a近似等于g) a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度 特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小 3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的思路 (1)两组公式 G＝m＝mω2r＝mr＝ma，mg＝(g为天体表面处的重力加速度)． (2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较． 4.载人航天与太空探索 ①1961年苏联宇航员加加林进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑. ②1969年，美国阿波罗11号飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕. ③2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空，截止到2017年底，我国已经将11名航天员送入太空，包括两名女航天员. ④2013年6月，神舟十号分别完成与天宫一号空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接.2017年4月20日，我国发射了货运飞船天舟一号，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验. 知识点五：天体的“追及”问题 “天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。 角度关系 设天体A(离中心近些)与天体B某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体又相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。 圈数关系 最近：－＝n(n＝1，2，3，…)。 最远：－＝(n＝1，2，3，…)。 1．相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)． 2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)． 3．“行星冲日”现象 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球运行到某个行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学中称为“行星冲日”．“行星冲日”现象属于天体运动中的“追及相遇”问题，此类问题具有周期性． 知识点六：双星或多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”. （2）特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.T1＝T2，ω1＝ω2. ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比. ，即固定点离质量大的星较近。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2. 2．多星模型 (1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型： ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(甲)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． “双星”模型 “三星”模型 “四星”模型 情境图 运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 规律 ＝m1ω2r1 ＝m2ω2r2 ＋＝ma向 ×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向 关键点 m1r1＝m2r2 ， r1＋r2＝L r＝ r＝L或r＝ 知识点七：　相对论时空观与牛顿力学的局限性 （一）相对论时空观 1.19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c. 2.1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符. 3. 爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的. 4.低速与高速 (1)低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体. (2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速. 5.时间延缓效应 (1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝. (2)Δt与Δτ的关系总有Δt＞Δτ，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态有关.(填“有关”或“无关”) 6.长度收缩效应： (1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0. (2)l与l0的关系总有l＜l0，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态有关.(填“无关”或“有关”) 7.相对论的两个效应 (1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝. (2)长度收缩效应：运动长度会收缩，即l＝l0. 8.对于低速运动的物体，相对论效应可以忽略不计，一般用经典力学规律来处理；对于高速运动问题，经典力学不再适用，需要用相对论知识来处理. 9.物体静止长度l0和运动长度l之间的关系为l＝l0 相对于地面以速度v运动的物体，从地面上看： (1)沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多. (2)在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象. （二）牛顿力学的成就与局限性 1.经典力学的成就（牛顿力学）：牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬. (1)经典力学体系是时代的产物，是现代机械、土木建筑、交通运输以至航空航天技术的理论基础. (2)经典力学的思想方法对艺术、政治、哲学等社会科学领域也有巨大影响. 2. 牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是低速运动的宏观物体. (1)经典力学适用于低速运动的物体，相对论阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律. (2)经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律. (3)当物体以接近光速运动时，有些与牛顿力学的结论不相同. (4)电子、质子、中子等微观粒子的运动不能用牛顿力学来说明. 3.相对论和量子力学没有否定经典力学 牛顿力学不会被新的科学成就所否定，当物体运动的速度远小于光速c时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别. (1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别； (2)当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别. (3)相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形. 一.核心方程（必记） 1.万有引力提供向心力： 2. 黄金代换（近地/表面）：GM=gR²（R为天体半径） 二 通用步骤 1. 判模型：匀速圆周/椭圆变轨/近地/同步/赤道物体 2. 列方程：万有引力=向心力（选v/ω/T/a对应公式） 3. 用结论：高轨低速长周期；同步卫星六定；第一宇宙速度7.9km/s（最小发射、最大环绕） 4. 避易错：发射速度≠运行速度；变轨同点a相同、v不同；同步卫星必在赤道上空 三 题型速解 1.宇宙速度：v₁=；v₂=11.2km/s（脱地球）；v₃=16.7km/s（脱太阳） 2.卫星参量比较：r↑→v↓、ω↓、a↓、T↑（直接用结论） 3.同步卫星：T=24h、轨道赤道、h≈3.6×10⁴km、v≈3.1km/s 4.变轨：近地点加速（离心）、远地点减速（近心）；同点a=GM/r²相同；椭圆机械能大于同半径圆轨道 5.天体质量/密度：由T、r求M；近地轨道r≈R求ρ 题型01：宇宙速度 【典型例题1】2022年3月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400公里左右的轨道上运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000公里左右的地球静止轨道卫星（同步卫星），则该卫星（　　） A．授课期间经过天津正上空 B．加速度大于空间站的加速度 C．运行周期大于空间站的运行周期 D．运行速度大于地球的第一宇宙速度 【解答】解：A、中继卫星是地球同步卫星，只能定点于赤道正上方，所以该卫星不可能经过天津正上空，故A错误； BC、根据万有引力提供向心力，有：Gma＝mr，解得：a，T＝2π，因为该卫星的轨道半径比空间站的大，所以该卫星的加速度小于空间站的加速度，周期大于空间站的运行周期，故B错误，C正确； D、第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，则知该卫星的速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选：C。 【典型例题2】天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。海王星的质量是地球的17倍，半径是地球的4倍，则卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为（　　） A．64km/s B．16km/s C．4km/s D．2km/s 【解答】解：卫星绕地球表面做圆周运动，根据万有引力提供向心力可得： 代入数据解得线速度大小约为：v 由于地球的第一宇宙速度为v＝7.9km/s，则7.9km/s 卫星绕海王星表面做圆周运动的线速度大小约为： 代入数据解得：v′＝16km/s，故B正确、ACD错误。 故选：B。 【典型例题3】根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ） A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【答案】B 【解析】A．恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误； B．恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大。B正确； C．由第一宇宙速度物理意义可得 整理得 恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误； D．由质量分布均匀球体的质量表达式得 已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则 联立整理得 由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 故选B。 【典型例题4】（多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A. 其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B. 其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D. 其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【答案】BD 【解析】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 其中在月球表面万有引力和重力关系有 联立解得 由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得 代入题中数据可得 故A错误、B正确； CD．根据线速度和周期的关系有 根据以上分析可得 故C错误、D正确； 故选BD。 【典型例题5】2021年5月22晶，“祝融号”火星车成功驶入火星表面。2021年8月30日，“祝融号”火星车驶上火星表面满100天，累计行驶1064米，如图甲所示。 （1）为减小沾在火星车太阳能板上的尘土对火星车的影响，“祝融号”火星车可以像蝴蝶一样扇动翅膀。若在扇动太阳能板时，沾在太阳能板边缘，距火星地面高度为h的某块尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上。已知万有引力常量为G，火星可视为半径为R、质量分布均匀的球体。忽略火星大气的影响，求火星的质量M。 （2）火星与地球有很多相似之处，已知火星的质量为地球的0.1倍，半径为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度g取10m/s2。若在火星表面上用一轻质细绳与小球相连，让小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图乙所示，其中小球质量m＝0.2kg，球心到O点的距离l＝1m，不计火星表面空气阻力，求小球在最高点的最小速率。 【解答】解：（1）由尘土无初速度下落，经过时间t落在地面上，则由自由落体运动规律： 可得火星表面的重力加速度为： 在火星表面，解得火星的质量： （2）在任意星球表面不考虑星球自转时，由，解得： 所以： 代入解得火星表面的重力加速度大小为： 小球在最高点最小速率时：mg火 解得小球在最高点的最小速率：vminm/s＝2m/s 答：（1）火星的质量M为； （2）小球在最高点的最小速率为2m/s。 【变式训练1-1】我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星（　　） A. 运动速度大于第一宇宙速度 B. 运动速度小于第一宇宙速度 C. 轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星 D. 轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星 【变式训练1-2】中国航空领域发展迅猛，2022年2月27日，中国航天人又创造奇迹，长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星从海南文昌航天发射场挟烈焰一飞冲天，创造了我国“一箭多星”单次发射卫星数量最多的纪录，如图所示。其中“泰景三号01”卫星是可见光遥感卫星，分辨率达到0.5米，能用于资源详查、城市规划、环境保护等诸多领域，其轨道高度为几百千米。关于“泰景三号01”卫星，下列说法正确的是（　　） A．发射速度一定小于7.9km/s B．卫星绕地球运行时可以保持与地面相对静止 C．卫星绕地球运行的线速度比月球的大 D．卫星绕地球运行的周期比月球的大 【变式训练1-3】“祝融”火星车由着陆平台搭载着陆火星，如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动，且已知火星质量约为地球质量的，火星直径约为地球直径的。则（　　） A. 该减速过程火星车处于失重状态 B. 该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力 C. 火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的 D. 火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为 【变式训练1-4】“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【变式训练1-5】（多选）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　） A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍 B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于 C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于 D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 【变式训练1-6】2022年9月14日《天体物理学杂志》宣布了一个新发现的超级地球，并且这一颗新的天体，它当中有30%都是水，它离地球的距离仅仅在100光年．假设在超级地球表面将一可视为质点的小球以速度v0沿竖直向上的方向抛出，小球上升的最大高度为h，已知超级地球的半径为R，超级地球的自转周期为T，引力常量为G。求： （1）超级地球的第一宇宙速度； （2）超级地球的同步卫星到超级地球表面的距离。 【变式训练1-7】如图所示，王亚平用古筝弹奏了《茉莉花》，从中国空间站为中国人民送上元宵祝福。中国空间站在离地面高度km的圆周轨道绕地球做匀速圆周运动，一天（24h）内可以绕地球转动16圈。已知地球半径，万有引力常量，，。求：（计算结果请保留两位有效数字） （1）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T和线速度v； （2）地球的质量M。 【变式训练1-8】“中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，空间站质量为m，空间站垂直速度方向的有效横截面积为S。认为空间站附近空气分子是静止的，与空间站相遇后和空间站共速。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求： （1）“中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期和线速度； （2）以无限远为零势能点，“中国空间站”轨道高度下降时的机械能损失； （3）用表示（2）问结果，忽略下降过程中阻力大小变化，请估算“中国空间站”附近的空气密度。 【变式训练1-9】“嫦娥五号”月球探测器将于2020年发射，以完成“绕、落、回”三步走中的取样返回任务。假设“嫦娥五号”奔月后，经过一系列变轨动作，最终其轨道器在距月面100 km高度处做匀速圆周运动，着陆器在月面进行软着陆。若规定距月球中心无限远处的引力势能为零，则质量为m的物体离月球中心距离为r时具有的引力势能可表示为，其中M为月球质量。已知月球半径约为1700 km，月球表面的重力加速度约为m/s2。 （1）若“嫦娥五号”轨道器的质量为1.0×103kg，试计算其在距月面100km的圆轨道上运行时的机械能；（结果保留2位小数） （2）取样后着陆器要从月面起飞，与“嫦娥五号”轨道器对接，若对接时二者速度大小相同，着陆器的质量为150kg，试计算着陆器从月面起飞后发动机推力做的功。（不考虑着陆器上升时质量的变化，结果保留2位小数） 题型02：卫星运行参量与轨道半径的关系 【典型例题1】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输。若空间站在近地轨道上做匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是地球静止轨道卫星，其距地面高度约为空间站距地面高度的10倍。则下列说法正确的是（　　） A．静止轨道卫星运行周期小于空间站运行周期 B．静止轨道卫星运行线速度小于空间站运行线速度 C．静止轨道卫星运行加速度大于空间站运行加速度 D．静止轨道卫星运行角速度大于空间站运行角速度 【解答】解：根据万有引力提供向心力得 Gmr＝mma＝mω2r 解得：T＝2π，v，a，ω 可知卫星的轨道半径越大，运行周期越大，线速度、加速度和角速度均越小，因为静止轨道卫星的轨道半径比空间站的大，所以静止轨道卫星运行周期大于空间站运行周期，静止轨道卫星运行线速度、加速度、角速度均小于空间站运行线速度、加速度、角速度，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【典型例题2】如图所示，A、B、C是三颗人造地球卫星，它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，下列说法正确的是（　　） A．它们的速度关系vA＝vB＞vC B．A、B的质量一定相等 C．它们的周期关系TA＝TB＞TC D．它们的角速度关系ωA＝ωB＜ωC 【解答】解：A、设地球质量为M，卫星的质量为m，轨道半径为r。 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的线速度： 由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知vA＝vB＞vC，故A正确； B、A、B两颗人造地球卫星的轨道半径相同，当其质量可以不同，故B错误； C、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的运行周期：，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知TA＝TB＜TC，故C错误； D、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的角速度：，由它们轨道半径的关系为rA＝rB＜rC，可知ωA＝ωB＞ωC，故D错误。 故选：A。 【变式训练2-1】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步轨道。已知地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则（　　） A．“高分三号”的运行周期大于24h B．“高分三号”的向心加速度大于9.8m/s2 C．“高分四号”的运行角速度大于地球自转的角速度 D．“高分三号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度 【变式训练2-2】人类在不同的星球能跳多高?若人在地球上以某一速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，那么他以同样的速度在水星跳起重心可上升1.3m，而在火星同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出（　　） A. 火星的质量为水星质量的倍 B. 火星与水星的密度相等 C. 地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的倍 D. 火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的倍 【变式训练2-3】2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（　　） A. 质量比静止在地面上时小 B. 所受合力比静止在地面上时小 C. 所受地球引力比静止在地面上时大 D. 做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大 【变式训练2-4】2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为左右，地球同步卫星距地面的高度接近。则该核心舱的（　　） A. 角速度比地球同步卫星的小 B. 周期比地球同步卫星的长 C. 向心加速度比地球同步卫星的大 D. 线速度比地球同步卫星的小 【变式训练2-5】“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（　　） A. B. C. D. 【变式训练2-6】如图神州十三号宇航员从“天宫号”出舱完成相关的太空作业，己知“天宫号”空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，周期约为，下列说法正确的是（　　） A. 宇航员出舱后处于平衡状态 B. 宇航员出舱后处于超重状态 C. “天宫号”的角速度比地球同步卫星的小 D. “天宫号”的线速度比地球同步卫星的大 题型03：椭圆轨道参数比较 【典型例题】某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为m，其近地点A到地球中心的距离为a，远地点C到地球中心的距离为b。A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，忽略其他卫星对它的影响，则以下说法正确的是（　　） A．卫星从B→A所用的时间等于 B．卫星从A→D→C运行的过程中，万有引力对它做的功为GkMm（） C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为 D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C点进行适当制动 【解答】解：A、人造地球卫星绕地球做变速曲线运动，在A点速度最大，在C点速度最小，从B→A速度增大，所用时间小于，故A错误； BC、人造地球卫星运动到A、C两点时做半径均为ka，速度分别为vA、vC的圆周运动，则有m，m，解得： 从A→D→C由动能定理得﹣W 解得：W，故B正确，C错误； D、若要使卫星到近地圆形轨道上运行，应在A点进行适当制动，故D错误。 故选：B。 【变式训练3-1】如图为中国科学家们为“天问一号”设计的椭圆形“科学轨道”，“天问一号”将在该轨道上正常运行的同时对火星展开观测。它在近火点265km附近的探测段运行2小时，在远火点11945.6km附近的探测段运行1小时，在采样段共运行288分钟。据以上信息，下列说法正确的是（   ）    A．可以准确知道“科学轨道”的半长轴 B．可以求得“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期 C．从地球上发射“天问一号”的速度不得小于16.7km/s D．“天问一号”在火星引力作用下从轨道近火点加速运行到远火点 【变式训练3-2】如图，辛丑年农历除夕神舟十三号航天员在遥远的中国空间站向祖国和人民送上了新春的祝福。下列相关说法正确的是（　　） A. 在空间站中宇航员所受的重力为零 B. 字航员在空间站中“静止”不动时处于平衡状态 C. 空间站绕地球运动经远地点时的速度小于7.9km/s D. 空间站绕地球运动经远地点时的加速度大于9.8m/s2 【变式训练3-3】（多选）某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为m，其近地点A到地球中心的距离为a，远地点C到地球中心的距离为b。A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，忽略其他卫星对它的影响，则以下说法正确的是（　　） A．卫星从B→A所用的时间等于 B．卫星从A→D→C运行的过程中，万有引力对它做的功为 C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为 D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C点进行适当制动 【变式训练3-4】（多选）火星和土星绕太阳运动的轨道均为椭圆。设火星的近日点到太阳的距离为a，远日点到太阳的距离为b，火星绕太阳公转的周期为T1，质量为m1；土星的近日点到太阳的距离为c，远日点到太阳的距离为d，土星绕太阳公转的周期为T2，质量为m2。太阳的质量为M，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（　　） A．火星与太阳的连线在时间t内扫过的面积等于土星与太阳的连线在时间t内扫过的面积 B． C．火星在近日点和远日点受到太阳对它的万有引力之比为 D．土星从近日点运动到远日点的过程中，克服太阳引力做的功大于GMm2（） 题型04：不同轨道运行参数比较 【典型例题1】在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙"）要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（　　） A. 在甲抬高轨道之前，甲线速度小于乙 B. 甲可以通过减小速度来抬高轨道 C. 在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大 D. 返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大 【答案】D 【解析】在甲抬高轨道之前，两卫星均绕月球做匀速圆周运动，有 可得线速度为 因，则甲的线速度大于乙的线速度，故A错误；低轨卫星甲变为高轨卫星，需要做离心运动，则需要万有引力小于向心力，则需向后喷气增大速度，故B错误； 在甲抬高轨道的过程中，离月球的距离r逐渐增大，由可知月球对卫星的万有引力逐渐减小，故C错误；因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大，则由可知月壤样品的重量在地表比在月表要大，故D正确。 【典型例题2】航天飞机在完成对空间站的维修任务后，在A点短时间开动小型发动机进行变轨，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有（　　） A．在轨道Ⅱ上经过A的机械能大于经过B的机械能 B．在A点短时间开动发动机使航天飞机减速 C．在轨道Ⅱ上运动的周期等于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 【解答】解：A、在同一轨道上运动的卫星，由于只有万有引力做功，机械能守恒，所以在轨道Ⅱ上经过A的机械能等于经过B的机械能，故A错误； B、题中要求从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，需要在A点减速做近心运动才行，故在A点短时间开动发动机后航天飞机的速度会减小，故B正确； C、由开普勒第三定律k知，在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，故C错误； D、由可知，在轨道Ⅱ上经过A的加速度应等于在轨道Ⅰ上经过A的加速度，故D错误。 故选：B。 【变式训练4-1】北京时间2022年11月29日23：08，航天员费俊龙、邓清明、张陆搭乘“神舟十五号”载人飞船前往中国“T”字基本构型空间站（如题图所示），于11月30日07：33打开舱门入驻。空间站内航天员一天可以观测到16次日出，空间站绕地球运行的轨道近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．空间站定点于我国上空某高度处，相对地面静止 B．空间站内航天员不受地球引力作用而处于失重状态 C．空间站与地球同步卫星的轨道半径之比约为1：16 D．“神舟十五号”载人飞船由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，飞船的动能比之前处于低轨道时要小 【变式训练4-2】天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（　　） A．图中两阴影部分的面积相等 B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变小 C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大 D．探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 【变式训练4-3】我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道。A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A卫星在P点的加速度大于B卫星在P点的加速度 B．A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度 C．B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速 D．B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功 【变式训练4-4】如图，卫星在P点由椭圆轨道Ⅱ变轨到近椭圆形轨道Ⅰ（可认为半径等于火星半径R）。已知椭圆轨道Ⅱ上的远火点Q到火星表面高度为6R，火星表面重力加速度为g0，引力常量为G，下列说法错误的是（　　） A．火星的平均密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上由Q点运动到P点所用时间为 C．卫星在轨道Ⅱ上运动到Q点时的速度小于 D．卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度 【变式训练4-5】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己空间站。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与天和核心舱对接。则下列说法正确的是（　　） A. 神舟十二号飞船在轨道Ⅰ上运动时将不受重力的作用 B. 神舟十二号飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为 C. 神舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 D. 正常运行时，神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度 题型05：卫星发射变轨问题 【典型例题1】如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约的轨道。取地球质量，地球半径，引力常量。下列说法正确的是（　　） A. 火箭的推力是空气施加的 B. 卫星的向心加速度大小约 C. 卫星运行的周期约 D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 【答案】B 【解析】A．根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误； B．根据万有引力定律可知卫星的向心加速度大小为 故B正确； C．卫星运行的周期为 故C错误； D．发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。 故选B。 【典型例题2】神舟十七号在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员汤洪波、唐胜杰、江新林顺利送入太空。发射入轨后，神舟十七号成功对接于空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行。对接前，空间站与神舟十七号的轨道如图所示。已知空间站距地球表面约400km。则神舟十七号（　　） A．需要加速变轨才能实现对接 B．需要减速变轨才能实现对接 C．对接后，绕地球运行周期大于24小时 D．对接前，绕地球做圆周运动的线速度比空间站的小 【解答】解：AB、对接前，神舟十七号轨道半径小于空间站的轨道半径，神舟十七号要想与空间站对接，需获得能量突破地球万有引力的束缚、向高轨道运行，根据卫星变轨原理，可知神舟十七号需要加速变轨才能实现对接，故A正确，B错误； C、对地球卫星有Gmω2r＝mr，可得T＝2π 地球同步卫星距地球表面约36000km＞400km，则地球同步卫星（周期为T同＝24h）的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以，T同＝24h＞T空，故C错误； D、设地球质量为M，卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，对地球卫星有Gm，可得v，对接前神舟十七号轨道半径小于空间站的轨道半径，则神舟十七号绕地球做圆周运动的线速度比空间站的大，故D错误。 故选：A。 【典型例题3】“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月 C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C 【解析】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从P点变轨时，要加速增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，故D错误； 故选C。 【典型例题4】太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A. 空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【解析】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 【典型例题5】（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ） A. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C. 鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【解析】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 【变式训练5-1】2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟十五号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是（　　） A．“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火减速 B．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期 C．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于天和核心舱经过C点时的速率 D．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于天和核心舱在C点时的加速度 【变式训练5-2】神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（　　） A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大 B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力 C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行 D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒 【变式训练5-3】天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A. 在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B. 在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C. 从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D. 沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【变式训练5-4】中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾经两次遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变轨积极规避。首先变轨到更高的轨道（A到B过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C到D过程）。已知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法正确的是（　　）    A．空间站距地面的高度大约400km B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小 C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道 D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16次 【变式训练5-5】我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，2021年5月在火星乌托邦平原着陆。则探测器（　　） A．与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度 B．每次经过P点时的速度相等 C．绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大 D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等 【变式训练5-6】“天问一号”火星探测器从地球发射后，经过一系列的变轨进入调相轨道，然后进入停泊轨道绕火星运动，、分别为停泊轨道上的“近火点”“远火点”。关于“天问一号”火星探测器的运动情况，下列说法正确的是　　 A．在停泊轨道点的速度大于在点的速度 B．在点的加速度小于在点的加速度 C．在停泊轨道运行的周期比在调相轨道上大 D．从调相轨道经过点进入停泊轨道时需要点火加速 【变式训练5-7】中国成功发射探月工程嫦娥五号探测器。嫦娥五号实现了我国航天史上的多个“首次”，首次在月球表面自动采样；首次从月面起飞；首次在38万公里外的月球轨道上进行无人交会对接。如图所示为嫦娥五号轨道示意图，已知地球表面重力加速度为月球表面重力加速度的倍，地球半径为月球半径的倍。则下列说法正确的是　　 A．嫦娥五号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速 B．嫦娥五号在环月段椭圆轨道上经过点的加速度小于在环月段圆轨道上经过点时的加速度 C．地球质量与月球质量之比 D．地球第一宇宙速度是月球第一宇宙速度的倍 【变式训练5-8】如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入近地圆轨道Ⅰ，然后在点通过改变卫星速度，让卫星进入椭圆轨道Ⅱ，最后在点再次改变速度进入同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是　　 A．在轨道Ⅱ上运行，卫星运行的周期小于 B．卫星在点需要向运行方向的前方喷射高温气体，才能实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ运动 C．卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，卫星的势能减少时，动能一定增大 D．卫星在轨道Ⅱ上运行的过程中，还可以在点改变速度，进入轨道Ⅳ做圆周运动 【变式训练5-9】为了节省燃料，发射火星探测器需要等火星与地球之间相对位置合适。如图所示，“天问一号”探测器自地球发射后，立即被太阳引力俘获，沿以太阳为焦点的椭圆地火转移轨道无动力到达火星附近，在火星附近被火星引力俘获后环绕火星飞行。已知火星的公转周期约是地球公转周期的1.9倍。则火星探测器　　 A．下一个发射时机需要再等约2.1年 B．在地火转移轨道运动时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时速度均大于地球绕太阳的速度 D．进入地火转移轨道的速度大于小于 【变式训练5-10】神舟十三号载人飞船与天和核心舱实现了我国首次飞船径向对接，从发射到对接成功仅历时6.5小时。对接前两者稳定运行的圆周轨道如图所示。则稳定运行时，　　 A．天和核心舱运行周期更大 B．天和核心舱加速度更大 C．神舟十三号的线速度更小 D．神舟十三号需要减速完成对接 题型06：卫星在不同轨道参数比较 【典型例题1】如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一平面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是（　　） A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为 B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 C．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为 D．“高分一号”所在高度处的加速度大于地面处的重力加速度 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力可知： 整理可得： 卫星“G1”和“G3”的轨道半径相等，所以加速度大小也相等，在地球表面的物体所受重力等于万有引力，可知： 变形可得：GM＝gR2 联立可得卫星“G1”和“G3”的加速度大小为：，故A错误； B、“高分一号”卫星加速，将做离心运动，轨道半径变大，速度变小，路程变长，运动时间变长，故如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其减速，故B错误； D、由万有引力提供重力可得地面处重力加速度为： “高分一号”做圆周运动所需向心力由万有引力提供，其加速度为： 由于“高分一号”运动半径大于地球半径，所以“高分一号”所在高度处的加速度小于地面处的重力加速度，故D错误； C、根据万有引力提供向心力有： 整理可得： 所以卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为：，故C正确。 故选：C。 【典型例题2】如图所示，、、是三颗人造地球卫星，它们轨道半径的关系为，下列说法正确的是　　 A．它们的速度关系 B．、的质量一定相等 C．它们的周期关系 D．它们的角速度关系 【答案】 【解答】解：、设地球质量为，卫星的质量为，轨道半径为。 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的线速度： 由它们轨道半径的关系为，可知，故正确； 、、两颗人造地球卫星的轨道半径相同，当其质量可以不同，故错误； 、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的运行周期：，由它们轨道半径的关系为，可知，故错误； 、根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需要的向心力，有 解得卫星的角速度：，由它们轨道半径的关系为，可知，故错误。 故选：。 【典型例题3】发射天舟六号货运飞船和神舟十六号载人飞船，飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径，中国空间站轨道（Ⅲ）距地面的高度为，飞船在停泊轨道上的周期为，下列说法正确的是　　 A．飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的速度为 B．飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的加速度小于点的加速度 C．飞船从到的运动时间至少为 D．空间站内的物品或宇航员处于“漂浮”状态，说明此时它们受力平衡 【答案】 【解答】解：、飞船在停泊轨道（Ⅰ）上的速度为。飞船从停泊轨道（Ⅰ）上的点到转移轨道（Ⅱ）上点要加速，所以在转移轨道（Ⅱ）上点的速度大于，故错误； 、根据牛顿第二定律得：，得，可知，飞船在转移轨道（Ⅱ）上点的加速度大于点的加速度，故错误； 、设飞船在转移轨道（Ⅱ）上的周期为，根据开普勒第三定律得： 解得： 飞船从到的运动时间至少为，故正确； 、空间站内的物品或宇航员随空间站绕地球做匀速圆周运动，虽然处于“漂浮”状态，但它们受力不平衡，由万有引力提供向心力，故错误。 故选：。 【变式训练6-1】假设在宇宙中存在这样三个天体、、，它们在一条直线上，天体离天体的高度为某值时，天体和天体就会以相同的角速度共同绕天体运转，且天体和天体绕天体运动的轨道都是圆轨道，如图所示，以下说法正确的是　　 A．天体做圆周运动的速度小于天体做圆周运动的速度 B．天体做圆周运动的加速度大于天体做圆周运动的加速度 C．天体做圆周运动的向心力大于天体对它的万有引力 D．天体做圆周运动的向心力等于天体对它的万有引力 【变式训练6-2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，随着2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，构成系统的55颗卫星全部完成发射。已知北斗系统的55颗卫星是由静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成，如图所示，卫星相对地球静止，卫星轨道高度与卫星相同，卫星轨道与卫星轨道共面，已知，地球自转周期为，地球半径为，地球赤道上的重力加速度为，关于这三类轨道卫星，下列说法正确的是　　 A．卫星与卫星所受向心力大小一定相等 B．卫星的运行周期大于卫星的运行周期 C．若卫星周围存在稀薄的大气，经过一段时间，稳定运行后卫星的运行速度会减小 D．和卫星离地高度为 【变式训练6-3】木星是太阳系中拥有最多卫星的行星，多达92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星被后人称为伽利略卫星。木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的周期之比为。则木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的线速度之比为　　 A． B． C． D． 【变式训练6-4】中国科幻系列电影《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造行星发动机，使地球完成一系列变轨，某过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点变轨，进入圆形轨道Ⅱ，不计空气阻力。下列说法正确的是　　 A．地球沿轨道Ⅰ运动至点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．地球沿轨道Ⅰ运行时，在点的加速度等于在点的加速度 C．地球沿轨道运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 D．地球在轨道Ⅰ上由点运行到点的过程中，机械能逐渐增大 【变式训练6-5】由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送至椭圆轨道1，该轨道的近地点为，远地点为；卫星在点时变轨，使卫星沿圆轨道2运行；当卫星在轨道2上飞经赤道上空时再进行变轨，使卫星沿同步轨道3运行，轨道1、2相切与点，轨道2、3相交于、两点，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是　　 A．卫星在点由轨道1变为轨道2前后机械能守恒 B．轨道1在点的线速度小于轨道3的线速度 C．卫星在轨道1经过点时的加速度大于在轨道2经过点时的加速度 D．卫星一旦进入轨道2，其最终定位于赤道的经度就已经确定了 【变式训练6-6】“神舟十六号”载人飞船的发射取得圆满成功，飞船进入预定轨道后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。已知空间站组合体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，地球同步轨道卫星的轨道半径为，则　　 A．“神舟十六号”的发射速度应大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度 B．空间站组合体运行的线速度小于地球同步轨道卫星的线速度 C．空间站组合体运行的周期大于地球同步轨道卫星的周期 D．空间站组合体运行的角速度小于地球同步轨道卫星的角速度 【变式训练6-7】风云三号系列气象卫星是我国第二代极地轨道气象卫星，已经成功发射4颗卫星，其轨道在地球上空公里之间，某极地卫星在距离地面公里高度的晨昏太阳同步轨道，某时刻卫星刚好位于赤道正上方的点向北极运动。已知地球的半径为，地球同步卫星距离地面的高度约为，已知，则下列说法正确的是　　 A．该卫星的环绕地球运动的速度可能大于 B．该极地卫星的周期为 C．该卫星与地心连线扫过的面积等于同步卫星与地心连线扫过的面积 D．从卫星刚好经过点计时，一天11次经过北极 【变式训练6-8】独立在轨运行33天的“天舟五号”货运飞船（以下简称“天舟五号” 于2023年6月6日3时10分完成与空间站组合体再次交会对接，空间站组合体再次恢复了“三船三舱”构型。“天舟五号”独立在轨运行时与空间站组合体均在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知空间站组合体运行的周期约为，则下列说法正确的是　　 A．“天舟五号”独立在轨运行时的线速度大于第一宇宙速度 B．“天舟五号”独立在轨运行时的角速度小于地球自转的角速度 C．“天舟五号”独立在轨运行时的线速度大于地球同步轨道卫星运行的线速度 D．“天舟五号”独立在轨运行时的向心加速度大于空间站组合体的向心加速度 【变式训练6-9】在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点的通信卫星，如图所示，该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于处于拉格朗日和点上的两颗同等质量的卫星，下列说法正确的是　　 A．两卫星绕地球做圆周运动的向心力相等 B．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等 C．处于点的卫星绕地球做圆周运动的角速度较大 D．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度较大 【变式训练6-10】如图所示，月球的半径为，甲、乙两颗卫星分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲轨道的近月点距月球表面高度较低，可视为，远月点与月面的距离为，乙轨道的半径为，图中、、点为轨道上的三个点，当卫星经过这些点时受到的万有引力分别为、、，加速度分别为、、，速度为、、，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练6-11】“天问一号”于2020年7月23日在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道。2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施第五次近火制动，开展火星全球遥感探测。“天问一号”在火星上首次留下中国印迹，首次实现通过一次任务完成火星环绕、着陆和巡视三大目标，对火星的表面形貌、土壤特性、物质成分、水冰、大气、电离层、磁场等的科学探测，实现了中国在深空探测领域的技术跨越而进入世界先进行列。“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的点沿地火转移轨道运动到点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号” 　　 A．发射速度介于与之间 B．从点运动到点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【变式训练6-12】（多选）题两颗卫星在同一平面内绕某行星做同向的匀速圆周运动，测得两卫星之间的距离△随时间变化的关系如图所示。仅考虑卫星与行星之间的引力，已知卫星1距行星的距离大于卫星2距行星的距离，则　　 A．行星1圆周运动的周期为 B．行星2圆周运动的周期为 C．行星1、2做圆周运动的半径之比为 D．行星1、2做圆周运动的线速度之比为 题型07：同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 【典型例题1】（如图所示，A为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，B为近地轨道卫星，C为同步轨道卫星，D为高空探测卫星若A、B、C、D绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动，则其向心加速度大小关系正确的是（　　） A．aA＞aB＞aC B．aB＞aC＞aA C．aD＞aC＞aB D．aA＞aC＞aD 【解答】解：卫星B、C、D，由地球的万有引力提供向心力，满足：Gma 则有： 因为卫星B、C、D的半径关系为：rB＜rC＜rD，所以有：aB＞aC＞aD 对于A物体和C卫星，两者周期相同、角速度相同，且rA＜rC，根据公式a＝ω2r，可得：aA＜aC 综上可得，aB＞aC＞aA 由于信息不足，无法比较A物体和D卫星的向心加速度大小，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【典型例题2】（北斗卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统，由5颗地球同步卫星和30颗非地球同步卫星组网而成，基中卫星的圆形轨道离地面高度为，地球同步卫星离地面高度为，两卫星轨道共面且运行方向相同，某时刻卫星恰好运行到赤道上基建筑物的正上方，已知地球赤道半径为，地面重力加速度为，则　　 A．、线速度大小之比为 B．、角速度之比为 C．、向心加速度大小之比 D．下一次通过正上方所需时间为 【答案】 【解答】解：、卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，设卫星的线速度为，则有 所以卫星的线速度大小为 可知、线速度大小之比为，故错误； 、设卫星的角速度为，则，得 结合，，可得、角速度大小之比为 又由于地球同步卫星的角速度与的角速度相同，所以，故错误； 、地球同步卫星的角速度与的角速度相同，根据可得，故正确； 、设经过时间卫星再次通过建筑物上方，根据几何关系有 又，即 联立解得，故错误。 故选：。 【变式训练7-1】有、、、四颗地球卫星，其排列位置如图，卫星还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星在地面附近近地轨道上正常运行，是地球静止卫星，是高空探测卫星，各卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则有　　 A．的向心加速度大小等于重力加速度大小 B．绕地球运行的周期有可能是20小时 C．在相等时间内，、两卫星与地心的连线扫过的面积一定相等 D．在相等时间内，、两卫星与地心的连线转过的角度一定相等 【变式训练7-2】如图所示，地球可视为质量分布均匀的球体，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径认为约等于地球半径）。已知随地球一起做圆周运动的周期约为周期的16倍，则地球赤道上和两极处的重力加速度之比约为　　 A． B． C． D． 【变式训练7-3】我国“天问一号”火星环绕器自从2021年2月10日到达火星，已经在火星“上岗”满两年，成为我国探索火星的先驱者。如图所示，若为火星表面赤道上的物体，为轨道在火星赤道平面内的气象卫星，为在赤道上空的火星同步卫星，卫星和卫星的轨道半径之比为，且两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是　　 A．、、的线速度大小关系为 B．、、的角速度大小关系为 C．卫星和卫星绕火星运动的周期之比 D．、、的向心加速度大小关系为 【变式训练7-4】（多选）如图所示，A、B、C在同一平面内，A是静止在地面上的物体，B、C是两颗人造卫星。其中B为近地卫星，C为同步卫星。则以下判断正确的是（　　） A．卫星B的线速度大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的角速度大小关系为ωA＜ωB C．A、B、C周期的大小关系为TC＞TB＞TA D．A、B、C都在赤道所在平面上 题型08：双星三星多星问题 【典型例题1】宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是（　　） A．这两颗恒星的质量必定相等 B．其中有一颗恒星的质量为 C．这两颗恒星的质量之比为m1：m2＝R1：R2 D．这两颗恒星的质量之和为 【解答】解：AC、如图 对m1有：m1R1 对m2有：m2R2 解得：，则两者质量不相等，故AC错误； BD、由AC项得：m2 由②得：m1 两者质量之和：m1+m2，故B错误，D正确。 故选：D。 【典型例题2】如图甲所示，2022年7月15日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图乙所示，质量不等的恒星A和B绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，A到O点的距离为r1，A和B的距离为r，已知引力常量为G，则A的质量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取B为研究对象，B绕O点做匀速圆周运动，设A、B的质量分别为m1和m2 由牛顿第二定律得m2r 解得：m1 故A正确，BCD错误； 故选：A。 【典型例题3】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为．则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别选两种情况下做圆周运动的一颗恒星为研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，结合牛顿第二定律列式分析。 【解答】解：设恒星的质量为，分别选两种情况下做圆周运动的一颗恒星受力分析如图： 图甲中由牛顿第二定律有： 解得： 图乙中星体之间的距离均为，恒星做圆周运动的半径 由牛顿第二定律有： 解得： 所以：，故正确，错误。 故选：。 【典型例题4】（多选）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动．如图所示，三颗星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．每颗星体受到的引力大小均为3 B．每颗星体的角速度均为 C．若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的 D．若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的 【解答】解：A、对其中一个星体，受力分析如下图所示： 由万有引力定律得：， 每个星体受到的引力为：，故A错误； B、由几何关系可知，每个星体均绕等边三角形的中心O点做匀速圆周运动的半径为： 根据引力F提供向心力得： 解得：，故B正确； C、对每个星体，根据合力F提供向心力得： 解得： 若a不变，m是原来的2倍，则周期是原来的，故C错误； D、对每个星体，同理可得： 解得： 若m不变，a是原来的4倍，则线速度是原来的，故D正确。 故选：BD。 【变式训练8-1】“双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，星球的质量为，星球的质量为，它们中心之间的距离为，引力常量为。则下列说法正确的是　　 A．、两星球做圆周运动的半径之比为 B．、两星球做圆周运动的角速度之比为 C．星球的轨道半径 D．双星运行的周期 【变式训练8-2】如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中b、c是地球同步卫星，在半径为r1的轨道上，a在半径为r2的轨道上，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（　　） A．卫星a、c与地心的连线单位时间扫过的面积相等 B．卫星c与卫星a的周期之比为 C．从此时到卫星a和b下一次相距最远，还需经过时间 D．若已知近地卫星的周期为T0，则可估算得出地球的平均密度ρ 【变式训练8-3】“黑洞”是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻“黑洞”的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，若将可见星A所受暗星B的引力等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-4】“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．B星球的轨道半径为 B．A星球运行的周期为 C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1：m2 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 【变式训练8-5】厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　） A．线速度小于红矮星的线速度 B．角速度大于红矮星的角速度 C．轨道半径大于红矮星的轨道半径 D．向心力大小约为红矮星的2倍 【变式训练8-6】如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA＞OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径，下列说法正确的是（　　） A．两黑洞质量之间的关系一定是M1＞M2 B．黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度 C．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度 D．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，它们运行的周期变大 【变式训练8-7】如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是（　　） A．星体的线速度vA＝2vB B．星体的加速度2aA＝aB C．星体所受合力FA＝FB D．星体的质量mA＝mB 【变式训练8-8】（多选）天文爱好者观测到一组稳定的双星系统，如图所示，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动。天体A的质量为m，星体B的质量为km，引力常量为G，则两颗星体的（　　） A．角速度大小相等 B．线速度大小之和为恒定值 C．轨道半径之比rA：rB＝1：k D．向心力大小之比FA：FB＝k：1 【变式训练8-9】（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 【变式训练8-10】（多选）中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们轨道半径分别为RA、RB，且RA<RB；C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，且T2<T1。A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A. 恒星A的质量大于恒星B的质量 B. 恒星B的质量为 C. 若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 D. 三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为 【变式训练8-11】（多选）宇宙中有A、B两恒星组成的双星系统，他们以O点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。由于两恒星离地球非常远，而且地球位于他们的轨道平面上，所以从地球上看过去A、B两星好像在一条直线上做往复运动。A星最远能到达M、N两点，B星最远能到达P、Q两点。当A星靠近地球时，由于多普勒效应，在地球上接收到A星发出的光频率比实际频率高，而远离地球时比实际频率低。根据多普勒频移公式可算出A星做匀速圆周运动的线速度为v；并在地球上O′点测得∠MO′N=2α，∠PO′Q=2β，A星从M点运动到N点的时间为。则下列说法正确的是（    ） A．该双星系统轨道圆心距地球的距离为 B．B星的线速度大小为 C．A、B两星的总质量为 D．A、B两星距离为 【变式训练8-12】（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为的星球、、恰构成一个边长为的正三角形，在它们的中心处还有一颗质量为的星球，如图所示。已知引力常量为，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是　　 A．、、三颗星球的线速度大小均为 B．、、三颗星球的加速度大小均为 C．星球和中心处的星球表面的重力加速度之比为 D．若处的星球被均分到、、三颗星球上，、、三颗星球仍按原轨道运动，则、、三颗星球运动的周期将变大 【变式训练8-13（多选）我国科学家牵头发现了“雾绕双星”系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了更为深刻的认识。一般双星系统由两个星体构成，其中每个星体的直径都远小于两者间的距离，同时距离其他星体足够远，可视为孤立系统。如图所示，已知某双星系统由星体A和B组成，每个星体的质量都是m0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点O做匀速圆周运动，引力常量为G。 （1）求该双星系统中星体的加速度大小a； （2）求该双星系统中星体的运动周期T； （3）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。我们熟悉的“地—月系统”，常常认为地球是不动的，月球绕地心做圆周运动。但实际上它们也可视为一双星系统，地球和月球围绕两者连线上的某点做匀速圆周运动。请利用下列数据，选择合适的角度，说明“认为地球是不动的”这种近似处理的合理性。已知地球和月球的质量分别为M=6×1024kg和m=7×1022kg。    【变式训练8-14】（多选）科学家于2017年首次直接探测到来自双中子星合并的引力波。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，在它们合并前的一段时间内，它们球心之间的距离为L，两中子星在相互引力的作用下，围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动，它们每秒钟绕O点转动n圈，已知引力常量为G。求： （1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和； （2）两颗中子星的质量之和M。 题型09：天体追及相遇问题 【典型例题1】地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【解答】解：A、根据开普勒第三定律可得k，火星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，故A错误； B、当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故B正确； C、根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误； D、根据A选项可知，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3：2，已知地球的公转周期为T1＝1年，则火星的公转周期为：T2≈1.8年。 设经过时间t出现下一次“火星冲日”，则有：（）t＝2π 解得：t＝2.25年 所以下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 故选：B。 【典型例题2】如图所示，有、两个行星绕同一恒星做圆周运动，旋转方向相同，行星的周期为，行星的周期为，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则　　 A．经过时间，两行星将第二次相遇 B．经过时间，两行星将第二次相遇 C．经过时间，两行星第一次相距最远 D．经过时间，两行星第一次相距最远 【答案】 【解答】解：、、多转动一圈时，第二次追上，有： 解得： 故错误，正确； 、、多转动半圈时，第一次相距最远，有： 解得： 故正确，错误。 故选：。 【典型例题3】我国发射的高分系列卫星中，高分四号卫星处于地球同步轨道。如图所示，卫星是位于赤道平面内、绕行方向与地球自转方向相同的近地卫星，是高分四号地球同步卫星，此时刻、连线与地心恰在同一直线上且相距最近。已知的角速度为，地球自转角速度为，万有引力常量为。 （1）估算地球的密度； （2）由图示时刻开始，至少经过多长时间、相距最远？ 【答案】（1）估算地球的密度为； （2）由图示时刻开始，至少经过的时间、相距最远。 【解答】解：（1）设地球半径为，地球质量为，近地卫星的质量为，根据牛顿第二定律有： 变形解得： 而地球体积为： 所以密度为： （2）当和转过得圆心角相差为时，第一次相距最远有： 解得： 即至少经过时间，、相距最远。 答：（1）估算地球的密度为； （2）由图示时刻开始，至少经过的时间、相距最远。 【变式训练9-1】如图所示，三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（　　） A．卫星a和b下一次相距最近还需经过t B．卫星c的机械能等于卫星b的机械能 C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速 D．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s 【变式训练9-2】（多选）如图所示，三个质点、、的质量分别为、、远大于及，在万有引力作用下（忽略、之间的万有引力），、在同一平面内绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知、运动的周期之比为，下列说法中正确的有　　 A．、轨道半径之比为 B．、轨道半径之比为 C．从图示位置开始，在转动一周的过程中，、、共线次 D．从图示位置开始，在转动一周的过程中，、、共线次 【变式训练9-3】（多选）、两颗地球卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，它们运动的轨道半径之比，的周期为，则下列说法正确的是　　 A．卫星加速可追上同轨道的另一颗卫星 B．、两颗卫星周期之比为 C．某一时刻、两卫星相距最近，则此时刻开始到、再次相距最近经历的时间可能是 D．某一时刻、两卫星相距最近，则此时刻开始到、相距最远经历的时间可能是 【变式训练9-4】（多选）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上点正上方。地球的质量为，半径为，引力常量为。则　　 A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 【变式训练9-5】中国空间站是以天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱以及两艘载人飞船和一艘货运飞船组成“三舱三船”的组合体。为了接送宇航员以及补给物资，飞船需要频繁与空间站对接。在众多变轨对接的方案中，有一种是从同一轨道变轨完成对接。具体方式如图所示：空间站和飞船都在以半径为的圆轨道上逆时针运动。某时刻飞船在与地球连线和空间站与地球连线夹角为时，点火加速进入椭圆轨道。与空间站相遇时，可与空间站完成对接。假如某次对接前、的轨道半径，飞船点火加速，进入远地点距地面高度为，近地点距地面高度为的椭圆轨道。已知地球半径，空间站转动周期，引力常数。试求出： （1）地球质量大小； （2）飞船进入椭圆轨道后的运动周期； （3）如果飞船第一次回到点火点时恰好与空间站相遇，则的大小。 题型10：天体自转稳定的临界问题 【典型例题】中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．1.3×1010kg/m3 B．3×1016kg/m3 C．3×1013kg/m3 D．3×1019kg/m3 【变式训练10-1】（多选）（多选）近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．如果该星体的自转周期T＜2π，会解体 B．如果该星体的自转周期T＞2π，会解体 C．该星体表面的引力加速度为 D．如果有卫星靠近该星体表面飞行，其速度大小为 【变式训练10-2】在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　） A．200 B．160 C．120 D．80 题型11：其它问题 【典型例题】已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，赤道上有一个卫星监测站B（图中未画出）。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有：mr 根据几何关系有：r m0g 如图所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面测控站B不能一直保持直接通讯，设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯 cosθ tt＝2θ 解得，t 故ABD错误，C正确； 故选：C。 【变式训练11-1】如图，已知现在地球的一颗同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α．假设地球的自转周期变大，周期变大后的一颗地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β，则前后两次同步卫星的运行周期之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-2】天链一号04星是我国发射的第4颗地球同步卫星，它与天链一号02星、03星实现组网运行，为我国神舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务。如图所示，1是天宫二号绕地球稳定运行的轨道，2是天链一号绕地球稳定运行的轨道。下列说法正确的是（　　）    A．天链一号04星的最小发射速度是11.2 km/s B．天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度 C．为了节能环保，发射速度要尽量小 D．由于技术进步，天链一号04星的运行速度可能大于天链一号02星的运行速度 【变式训练11-3】神舟十三号飞船顺利将3名航天员送入太空，并与天和核心舱对接。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离约为390km，地球半径约为6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A. 核心舱的向心加速度小于g B 核心舱运行速度大于7.9km/s C. 由题干条件可以求出地球的质量 D. 考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱的速度会越来越小 【变式训练11-4】设地球的质量为M，平均半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，则有关同步卫星的说法不正确的是（　　） A．同步卫星的轨道与地球的赤道在同一平面内 B．同步卫星的离地高度为h C．同步卫星的离地高度为hR D．同步卫星的角速度为ω，线速度大小为 【变式训练11-5】2022年9月1日，神舟十四号航天员进行了第一次太空出舱活动，完成各项既定任务，整个活动时间约六小时。设飞船绕地球做匀速圆周运动且离地面的高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。若航天员出舱时间为t，则t时间内飞船绕地球转过的圈数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-6】第55颗北斗导航卫星发射成功，这标志着我国提前半年完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署目标。第55颗卫星也是北斗三号全球卫星导航系统第三颗相对地球静止的同步轨道卫星，关于这颗卫星的说法正确的是（　　） A．它的工作轨道可在赤道平面内的任意高度 B．它的周期与地球公转周期相同 C．它的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度 D．它的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 【变式训练11-7】某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动，运行方向与地球自转方向相同，赤道上有一卫星测控站B，已知卫星距地面的高度为R，地球的半径为R，自转周期为To，地球表面的重力加速度为g。求： （1）卫星A做圆周运动的周期T； （2）卫星A和测控站B能连续直接通讯的最长时间t。（卫星信号传输时间可忽略） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $