第03讲 万有引力的成就 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高中物理满分练万有引力专题（新高考通用）

第03讲　万有引力理论的成就 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：重力与万有引力 8 题型02：地球两极和赤道重力 15 题型03：万有引力与向心力 18 题型04：开普勒定律的应用 22 题型05：天体的质量和密度 24 （一）利用重力加速度求天体质量和密度 24 （二）利用环绕法计算天体质量和密度 28 题型06：天体参数 32 题型07：冲日、凌日问题 37 题型08：图像题 39 题型09：材料阅读题 41 一. 分值与题型 分值4–8分，核心为选择题（单独考/结合卫星运行），少数卷种在计算题第一问考查（天体质量/密度计算），极少单独出大题，多作为综合题基础考点。 二. 高频考查方向 1.利用环绕法（卫星/行星绕中心天体）求中心天体的质量、密度； 2.利用表面重力法（黄金代换）结合天体表面重力加速度求质量/密度； 3. 结合近地卫星、同步卫星实际情境，考查公式应用与物理量换算； 4. 拓展考查双星/多星系统的质量求解（高频拓展点，难度中等）。 三. 命题特点 1. 重公式应用，无复杂推导，核心是“选对公式、找对物理量”； 2. 情境化，常结合月球探测、行星观测、人造卫星（如中国嫦娥、天问工程）设题； 3.易设易错陷阱，如混淆“轨道半径r”与“天体半径R”、忽略“近地轨道r≈R”、忘记密度公式中球体体积因子。 四. 考频与趋势 属于必考基础点，近5年全国卷/新高考卷覆盖率100%；命题趋势偏向“简单计算+定性判断”结合，极少考纯理论，注重与航天实际结合。 一. 基础目标（必会，保底得分） 1. 熟记万有引力测天体质量的两种核心方法（环绕法、表面重力法）及对应公式； 2.掌握黄金代换式GM=gR²的推导与直接应用，明确公式中各物理量的含义； 3.能区分“中心天体”与“环绕天体”，准确判断公式中r（轨道半径）和R（天体半径）； 4. 熟记球体密度公式 二. 能力目标（熟练，应对中档题） 1.能根据题干条件快速选择解题方法（已知周期/线速度用环绕法；已知表面重力加速度用表面重力法）； 2.会处理近地轨道、同步卫星的特殊情境计算（近地轨道r≈R，同步卫星已知周期T=24h）； 3. 能解决含未知量的推导题（如求天体密度与环绕周期的关系，消去未知量GM）； 4.掌握双星系统的核心规律（引力等、角速度等），能求解双星的质量比/总质量。 三. 素养目标（提升，避免失分） 1.建立“天体运动建模”思维，从实际情境中提取“万有引力提供向心力”核心模型； 2.养成审题标量的习惯，做题时圈出r、R、T、g等关键物理量，避免混淆； 3.规范计算步骤，明确公式代入、单位换算（如km转m）的细节，减少计算失误。 知识点一：重力与万有引力 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 3. 计算重力加速度 地球表面附近（h<<R） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h处 方法： 在质量为M″，半径为R″的任意天体表面的重力加速度 方法： 4.星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。 5.应用： 在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝。 在地球表面上，mg＝，在h高度处mg′＝，所以＝，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。 知识点二：万有引力的成就 （一）“称量”地球的质量 1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力. 2.关系式：mg＝G. 3.结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量. 4.推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量. （二）计算（中心）天体的质量密度 1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. 2.关系式：＝mr. 3.结论：m太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量. 4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量. 5.天体质量和密度 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于G＝mg，故天体质量M＝， 天体密度ρ＝＝＝. (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. ①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝； ②若已知天体半径R，则天体的平均密度 ρ＝＝＝； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r(以T为例) 天体质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 （三）发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 2.其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. （四）预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右. （五）天体运动的分析与计算 1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供. 基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr. 2.忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝. (2)由G＝mω2r得ω＝. (3)由G＝m2r得T＝2π. (4)由G＝man得an＝. ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小. ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢. 1.环绕法（已知环绕天体的T/v/ω/a，求中心天体M/ρ） 万有引力提供向心力：G＝m()2r(（最常用，已知T优先选） 推导得中心天体质量：M＝ 中心天体密度：ρ＝＝（近地轨道r≈R，简化为ρ= \frac{3π}{GT^2}，高频简化式） 2.表面重力法（已知天体表面g、天体半径R，求中心天体M/ρ） 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 黄金代换：GM=g（推导：天体表面物体重力≈万有引力，mg=G\frac{Mm}{R^2}） 推导得中心天体质量：M＝ 密度：ρ＝＝ 题型01：重力与万有引力 【典型例题1】下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（　　） ①万有引力定开普勒在实验室发现的 ②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离 ③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离 ④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【详解】①万有引力定律是牛顿发现的，①错误； ②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离，②正确； ③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，③正确； ④物体之间的万有引力是作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，④正确。 故选C。 【典型例题2】（多选）关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是（　　） A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力 B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小 C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同 D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和 【解答】解：A．地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，故A错误； B．若地球自转角速度变大，由牛顿第二定律得： 可知，物体受的万有引力不变，所以赤道上物体所受重力变小，故B正确； C．万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，故C错误； D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，故D正确。 故选：BD。 【典型例题3】已知地球半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一位质量为m的探险家乘坐热气球到达离地面h高处，他受到地球的万有引力大小为 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】轨道半径为 r=R+h 根据万有引力公式，有 故B正确，A、C、D错误； 故选B。 【典型例题4】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d（矿井宽度很小）。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：地球的质量 根据万有引力定律，在地面高h处 可得 根据题意，在矿井底部，地球的有效质量为 则 可得 可得 故ABD错误，C正确； 故选：C。 【典型例题5】探索地外文明一直是人们的梦想，假设多年以后，一宇航员在某星球表面做实验，让一小球离该星球表面一定距离自由下落，经过时间到达该星球表面。若他在地球表面上离地面相同距离让该小球自由下落，经过时间小球到达地面。已知地球半径与该星球的半径之比为，忽略地球和星球的自转，空气阻力不计。试求： （1）地球重力加速度与该星球重力加速度的比值； （2）地球质量与该星球质量的比值； （3）地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设在地球表面处的重力加速度的大小为，星球表面处的重力加速度的大小为，则有， 可得地球重力加速度与该星球重力加速度的比值为 （2）根据物体在星球表面受到的万有引力等于重力可得， 又 联立可得地球质量与该星球质量的比值为 （3）星球第一宇宙速度等于该星球表面轨道卫星运动的线速度，则有， 可得地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值为 【变式训练1-1】设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心3R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为（　　） A．1 B． C． D． 【变式训练1-2】一物体在地球表面重9N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为5.5N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的（地表面g＝m/s2）（　　） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半 【变式训练1-3】如图是某农家院内打出一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为（ ） A. B C D 【变式训练1-4】一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径R。则飞船所在处的重力加速度大小 A． B． C． D． 【变式训练1-5】“神舟十五号”飞船顺利发射，六名中国宇航员完成首次太空交接班。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离为400km，做圆周运动的周期为90min，向心加速度大小为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度大小为a2，已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为g，下列关系正确的是（　　） A． B．a2＝g C．a1＝272a2 D． 【变式训练1-6】某星球的质量是地球的p倍，半径是地球的q倍。一运动员在地球上能够跳起的最大高度为h，假定运动员在地球上和该星球上起跳的最大初速度相同，则运动员在该星球上能够跳起的最大高度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知月球半径为R，假设某宇航员在月球表面以初速度v0竖直上抛一物体，测得物体上升最大高度为h。由此可估算出，月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度为（　　） A. B. C. D. 【变式训练1-8】已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示（不计空气阻力），M、N两星球的密度之比为（　　） A. 1∶1 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 【变式训练1-9】一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一物体的质量为m＝1.6kg，当检测仪器显示物体的视重为F＝9N时，火箭距离地面的高度h与地球半径R的关系为（　　）（取g＝10m/s2） A．h＝R B．h＝2R C．h＝3R D．h＝4R 【变式训练1-10】已知月球中心到地球中心的距离是地球半径的60倍。则下列说法正确的是（　　） A. 月球绕地球做近似圆周运动向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的 B. 月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的 C. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的 D. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的 【变式训练1-11】2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A. 在环月飞行时，样品所受合力为零 B. 若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C. 样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D. 样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【变式训练1-12】（多选）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（　　） A. 该行星表面的重力加速度大小为 B. 该行星第一宇宙速度为 C. “背罩分离”后瞬间，背罩加速度大小为 D. “背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW 【变式训练1-13】牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ） A B. C. D. 【变式训练1-14】“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1-15】火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50kg。求： （1）在火星上宇航员所受的重力为多少？（结果保留到小数点后一位） （2）宇航员在地球上可跳1.5m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？（地球表面的重力加速度g取10m/s2） 【变式训练1-16】假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比p，火星的半径R火和地球的半径R地之比q，求它们表面处的重力加速度之比． 题型02：地球两极和赤道重力 【典型例题1】若地球可看成质量均匀的球体，则关于万有引力和重力，下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体，在两极和赤道所受到的地球的万有引力大小不相等 B．质量为m的物体，在两极和赤道所受到的重力大小相等 C．若地球自转角速度变大，赤道上物体所受的重力大小不变 D．若地球自转角速度变大，赤道上物体所受的重力大小变小 【解答】解：A、设地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω。根据万有引力定律知物体在两极和赤道所受到的地球的万有引力大小相等，均为F＝G，故A错误； B、设物体在两极和赤道所受到的重力分别为G极和G赤。物体在两极时，所需要的向心力为零，则G极＝G； 在赤道，地球对物体的万有引力等于重力和向心力之和，即有GG赤+mω2R，得G赤＝Gmω2R，则G极＞G赤，故B错误； CD、由G赤＝Gmω2R，知若地球自转角速度变大，物体所需要的向心力变大，赤道上物体所受的重力大小变小，故C错误，D正确。 故选：D。 【典型例题2】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，自传周期为T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响，设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1 / F0的表达式，并就h =1.0 % R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2 / F0的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0 %，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 【名师解析】．(6分) 解：⑴设小物体质量为m a．在北极地面 在北极上空高出地面h处 得 当h =1.0%R时， b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 得 ⑵地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有 得 其中为太阳的密度。由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 【变式训练2-1】在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，己知地球半径为R，地球自转的周期为T，则地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为 【变式训练2-2】某人在地球极地用弹簧秤测量质量为m的物体的重力，示数为F1，在地球赤道用弹簧秤测量质重为m的物体的重力，示数为F2。已知地球自转的周期为T，将地球视为质量均匀分布的球体，则地球的半径为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2-3】已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为g)(　　) A．地球的自转周期为T＝2π B．地球的自转周期为T＝π C．地球同步卫星的轨道半径为 D．地球同步卫星的轨道半径为 【变式训练2-4】已知地球的质量为M，半径为R，自转的周期为T，引力常量为G。赤道上地球表面附近的重力加速度用ge表示，北极处地球表面附近的重力加速度用gN表示，将地球视为均匀球体。 （1）用已知量写出gN的表达式； （2）请比较ge与gN的大小并求出二者的差值； （3）体育比赛中的田赛可分为跳跃、投掷两类项目，田赛成绩会受到纬度的影响。已知迄今男子跳高世界纪录为2.45m，铅球世界纪录为23.12m（铅球运动中最高点约8m）。请分析并说明在运动员体能和技巧都确定的情况下，比赛在高纬度地区和低纬度地区进行相比，哪里更容易创造世界纪录？对跳高和铅球这两项比赛来说，因纬度不同造成运动成绩的数值变化更大的是哪项？（不考虑空气阻力和海拔高度的影响） 【变式训练2-5】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球看作是半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h=1.0%R的情形计算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度不变均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现在地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 题型03：万有引力与向心力 【典型例题1】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A. 核心舱的质量和绕地半径 B. 核心舱的质量和绕地周期 C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期 D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径 【答案】D 【解析】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得 可得 可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。 故选D。 【典型例题2】宇航员在太空旅行中发现了一颗质量分布均匀的球形小行星。为了进一步的研究，宇航员登陆小行星，用弹簧测力计测量一个相对小行星静止的质量为m的物体的重量。第一次在该行星极点处，弹簧测力计的示数为F1；第二次在该行星的赤道上，弹簧测力计的示数为F2。已知小行星的半径为R，下列说法正确的是 A. 该小行星的自转角速度大小为 B. 该小行星的自转角速度大小为 C. 该小行星的同步卫星的轨道半径为 D. 该小行星的同步卫星的轨道半径为 【参考答案】AC 【名师解析】在该行星极点处:；在赤道上：；联立解得：，选项A正确，B错误；对小行星的同步卫星，其角速度等于行星自转的加速度，则： ，解得，选项C正确，D错误；故选AC. 【变式训练3-1】天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A. 0.001倍 B. 0.1倍 C. 10倍 D. 1000倍 【变式训练3-2】在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空。2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测。“天问一号”进入环绕轨道如图所示，离火星表面高度为h，火星半径为R，火星质量约地球的九分之一、已知地球半径为，地球表面重力加速度为求天问一号的线速度是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】科学家重新分析了开普勒太空望远镜退役前收集到的数据，发现了一颗与地球大小基本相同的系外行星——Kepler-1649c，距离地球约300光年，围绕一颗红矮星运行。假设该行星的公转轨道半径是地球的k倍，行星质量是地球质量的q倍，红矮星质量是太阳的p倍，假设该行星的半径和地球的相等，则下列说法正确的是（　　） A. 该行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与地球的相等 B. 该行星的绕行周期是地球的倍 C. 该行星的第一宇宙速度是地球的q倍 D. 该行星表面的重力加速度是地球的倍 【变式训练3-4】如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（    ）    A． 周期为 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 【变式训练3-5】（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”。宇航员乘坐该电梯可直达太空站，如图（a）所示。在图（b）中，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小a与宇航员距地心的距离r的关系；直线B为宇航员相对地面静止时的向心加速度大小a与r的关系。a0、r0、R均为已知量，R为地球半径，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．电梯停在r0处时，宇航员与电梯舱间的弹力不为零 B．从地面发射卫星的最小发射速度为 C．随着r增大，宇航员与电梯舱间的弹力增大 D．地球同步卫星的周期为 【变式训练3-6】（多选）北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式在北京举行。如图乙所示为55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的图像，其中为卫星的周期，为卫星的轨道半径，1和2为其中的两颗卫星。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　）    A．卫星1和2运动的线速度满足为 B．地球质量为 C．地球的半径为 D．卫星1和2向心加速度大小之比为 【变式训练3-7】（多选）我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距地面高度为h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则（　　） A．空间站的线速度大小为 B．地球的质量可表示为 C．地球表面重力加速度为 D．空间站的向心加速度大小为 【变式训练3-7】某次科学实验中，将一个质量的物体和一颗卫星一起被火箭送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动的加速度大小，而称量物体的台秤显示物体受到的重力．已知地球表面重力加速度大小，地球半径，不计地球自转的影响． （1）求此时火箭离地面的高度h； （2）若卫星在（1）中所求高度上绕地球做匀速圆周运动，求卫星的速度大小v．（结果可保留根式） 【变式训练3-8】某次科学实验中，将一个质量的物体和一颗卫星一起被火箭送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动的加速度大小，而称量物体的台秤显示物体受到的重力．已知地球表面重力加速度大小，地球半径，不计地球自转的影响． （1）求此时火箭离地面的高度h； （2）若卫星在（1）中所求高度上绕地球做匀速圆周运动，求卫星的速度大小v．（结果可保留根式） 【变式训练3-9】某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求： (1)此处的重力加速度的大小g′； (2)此处离地面的高度H； (3)在此高度处运行的卫星速度v的大小． 【变式训练3-10】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，自传周期为T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响，设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1 / F0的表达式，并就h =1.0 % R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2 / F0的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0 %，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 题型04：开普勒定律的应用 【典型例题1】木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则( ) A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为 C.周期T与之比为 D.木星质量与地球质量之比为 答案：D 解析：由题意可知木卫三的半径为，对木卫一和木卫三由开普勒第三定律得，解得，A错；对木卫二和木卫三由开普勒第三定律得，解得，B错；根据题中条件不能求出T和的比值，C错；对木卫三由牛顿第二定律得，解得，对月球由牛顿第二定律得，解得，整理得，D对。 【典型例题2】“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （　　） A. 在近火点的加速度比远火点的小 B. 在近火点的运行速度比远火点的小 C. 在近火点的机械能比远火点的小 D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 【答案】D 【解析】A．根据牛顿第二定律有 解得 故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误； B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误； C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误； D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。 故选D。 【变式训练4-1】执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　） A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m 【变式训练4-2】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　） A. B. C. D. 【变式训练4-3】“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A. B. C. D. 【变式训练4-4】图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。 （1）该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的______ A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 （2）已知太阳质量为M，引力常量为G。当慧日间距为时，彗星速度大小为。求慧日间距为时的慧星速度大小。（计算）______ 题型05：天体的质量和密度 （一）利用重力加速度求天体质量和密度 【典型例题1】搭载“神舟十五号”载人飞船的“长征二号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，三名航天员顺利进驻中国空间站，与“神舟十四号”航天员乘组首次实现“太空会师”，对我国空间站建造具有里程碑意义。已知空间站的离地高度为h，空间站的运行周期为T，地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则（　　） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【解答】解：AD．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力不等于地球上物体的向心力，即： 所以： 又因为： 所以地球密度为：，故AD错误； B．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力几乎等于重力： 解得地球的质量为：，故B错误； C．对空间站进行受力分析，地球对其的万有引力提供向心力，则有： 可得地球的质量为： 根据质量和密度的关系可得： 所以地球密度为：，故C正确。 故选：C。 【典型例题2】在一个未知星球上研究平抛运动的规律。拍下了小球作平抛运动过程中的多张照片，经合成照片如（乙）图。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际的长度之比为1：4，则：    （1）该星球表面的重力加速度为 m/s2，小球在b点时的速度是 m/s。 （2）若已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地 = 1：4，则该星球的质量与地球质量之比M星：M地 = ，第一宇宙速度之比v星：v地 = ，（g地取10m/s2） 【答案】 8 1：20 【详解】（1）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4可得，乙图中每个正方形的实际边长L = 4cm 竖直方向上有y = 2L = g星T2 解得g星 = 8m/s2 水平方向上小球做匀速直线运动，则 在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可知 根据矢量合成的特点可得 （2）星球半径为R，根据万有引力与重力近似相等，有 解得GM = gR2 代入数据可得该星球与地球质量之比为 根据万有引力提供向心力，有 联立解得 代入数据解得 【变式训练5-1-1】火星是太阳系中与地球最为类似的行星，“天问一号”探测器成功着陆火星，标志着我国在深空探测领域的技术进入世界先进行列。若火星可视为均匀球体，已知火星表面的重力加速度大小为g，火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G，则可估算出（　　） A．火星的质量为 B．火星的第一宇宙速度为 C．火星的密度为 D．火星同步卫星到火星表面的高度为 【变式训练5-1-2】梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．组合体运行周期T为 B．地球的密度可表示为 C．组合体轨道处的重力加速度为 D．组合体的运行速度介于7.9km/s和11.2km/s之间 【变式训练5-1-3】宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为的星球A和星球B。在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度与弹簧的压缩量间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其关系如图（b）中虚线所示（图中未知）。已知两星球密度相等。星球A的质量为，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。 （1）求星球A和星球B的表面重力加速度的比值； （2）求星球B的质量M； （3）若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，求两星球做匀速圆周运动的周期T。 【变式训练5-1-4】从莱特兄弟成功飞行到人类空间站的组建，历代科学家不断探索取得了优异成绩。在探测某星球的任务中，已知该星球的半径为R，如图甲所示，在星球表面上有一小物体以初速度沿内壁滑上半径为的光滑竖直圆轨道，恰好能不脱离轨道且沿原路径返回。假设某探测器A在距星球表面高度为R的轨道做圆周运动，如图乙所示，探测器A和空间站B均以相同的绕行方向沿不同轨道绕星球的中心O做匀速圆周运动，空间站B的周期为，从探测器和空间站某次相距最近时开始计时，忽略星球自转。求：（1）星球表面的重力加速度g； （2）探测器A和空间站B第一次相距最远时的时间t。    （二）利用环绕法计算天体质量和密度 【典型例题1】为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内圈的半径为），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式，则太阳的密度可近似的表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设太阳的半径为R，地球到太阳的距离为d，则，地球绕太阳做圆周运动，太阳的密度，解得，故选C。 【典型例题2】我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道（如图所示的椭圆轨道）。若火星可视为半径为R的质量均匀分布球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1+L2≈18R，万有引力常量为G。则火星的密度约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设火星的近地卫星的周期为T0，天问一号的半长轴为 由开普勒第三定律可得 对近地卫星，万有引力提供向心力，则有 解得 火星的体积 则火星的密度约为 【典型例题3】（多选）长征四号丙运载火箭在太原卫星发射中心升空，将世界首颗具备二氧化碳激光探测能力的卫星——大气环境监测卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。如图，大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，运行周期为T。已知地球的半径为R，地球相对该卫星的张角为θ，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．大气环境监测卫星不处于平衡状态 B．大气环境监测卫星运动过程中机械能保持不变 C．大气环境监测卫星的轨道半径为Rsinθ D．地球的平均密度为 【解答】解：A、大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，是变速运动，故大气环境监测卫星处于不平衡状态，故A正确； B、大气环境监测卫星绕地球运动做匀速圆周运动时，动能和势能都不变，机械能守恒，故B正确； C、由几何关系可知大气环境监测卫星的轨道半径为：，故C错误； D、由万有引力提供向心力： 而地球的质量可表示为： 联立可得地球的平均密度为：，故D错误。 故选：AB。 【变式训练5-2-1】两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，a－关系图如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0.则(　　) A．S1的质量比S2的大 B．P1的质量比P2的大 C．P1比P2的第一宇宙速度大 D．P1的平均密度比P2的大 【变式训练5-2-2】天体物理学中，通常利用观测到的环绕星的运动学量来推知中心星的质量。一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则恒星的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2-3】宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的k倍，它的运动周期为T，引力常量为G，则地球的平均密度ρ的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2-4】（多选）如图所示，某航天器围绕一颗半径为R的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（　　）    A． 行星的质量为 B．行星的平均密度为 C．行星表面的重力加速度为 D．行星的第一宇宙速度为 【变式训练5-2-5】（多选）某宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，下列说法正确的是（　　） A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R B．地球的平均密度为 C．一天内飞船经历“日全食”的次数为 D．宇宙飞船的运行速度为 【变式训练5-2-6】（多选）嫦娥月球探测器由长征五号运载火箭成功发射升空，并进入环月轨道飞行。假设嫦娥探测器环绕月球飞行时，距月球表面高度为h，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期为T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（　　） A．嫦娥探测器绕月球飞行的线速度大小等于 B．月球的质量等于 C．月球表面的重力加速度大小等于 D．嫦娥探测器绕月球飞行的向心加速度大小等于 【变式训练5-2-7】（多选）某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求： (1)此处的重力加速度的大小g′； (2)此处离地面的高度H； (3)在此高度处运行的卫星速度v的大小． 题型06：天体参数 【典型例题1】如图所示，月球的半径为R，甲、乙两颗卫星分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲轨道的近月点距月球表面高度较低，可视为R，远月点与月面的距离为3R，乙轨道的半径为2R，图中A、B、C点为轨道上的三个点，当卫星经过这些点时受到的万有引力分别为、、，加速度分别为、、，速度为、、，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．>> D．>> 【答案】B 【详解】由万有引力定律可得，由题意可知，卫星在甲轨道的近月点距月球球心R，在远月点距月球球心4R，卫星在乙轨道距月球球心2R，即，但由于两颗卫星的质量关系未知，故万有引力关系无法确定，A错误；据牛顿第二定律可得，可得，可得，B错误；设过A点与椭圆相切的圆轨道的速率为v2，由高轨低速可知，v2<vB，且卫星从椭圆轨道到过A点与椭圆相切的圆轨道要加速，则v2>vA，所以，设近月圆轨道（与C点相切）上的运行速度为v1，从该圆轨道变轨到甲轨道需在C点加速，可知，由万有引力作为向心力可得，有，联立可得， 故CD错误。故选B。 【典型例题2】图甲为电影《流浪地球2》中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速电梯”是电影中一种可以在地球表面和太空空间站来回运输人员和物资的巨型结构。图乙为其模型简易图，固定在空间站和地球间的刚性“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，若“太空电梯”停在距地面高度为h的绳索上的某处，h大于零小于同步卫星轨道距地面的高度，已知，地球的自转不能忽略且地球视为均质球体，地球的第一宇宙速度为。对“太空电梯”里的航天员，则下列说法正确的是（    ）          A．航天员处于平衡状态 B．航天员绕地心做圆周运动的线速度大于 C．航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 D．若此时“绳索”断了，“太空电梯”会留在距地面h高处，绕地球做圆周运动，成为地球的一颗“卫星” 【答案】C 【详解】 “太空电梯”里的航天员绕地球做匀速圆周运动，不是处于平衡状态，选项A错误； 因第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知航天员绕地心做圆周运动的线速度小于，选项B错误； 根据a=ω2r，因航天员与地球同步卫星具有相同的角速度，可知航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度，选项C正确； 若此时“绳索”断了，“太空电梯”所受的引力将大于做圆周运动的需要的向心力，则会做近心运动，不会留在距地面h高处绕地球做圆周运动，选项D错误。故选C。 【变式训练6-1】两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练6-2】潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A. a处最大 B. b处最大 C. c处最大 D. a、c处相等，b处最小 【变式训练6-3】我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是（　　） A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【变式训练6-4】网易科技消息，阿联酋宣布将设立总额约30亿迪拉姆（约合8.2亿美元）的专项基金，用于开发卫星并资助太空计划。计划将在三年内首次发射卫星并探索金星。金星是太阳系的八大行星中的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣。如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则（　　） A．金星质量为 B．金星质量为 C．太阳质量为 D．太阳质量为 【变式训练6-5】在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　） A．200 B．160 C．120 D．80 【变式训练6-6】在地球上观察，月球和太阳角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A. B. C. D. 【变式训练6-7】中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　） A. 所受地球引力的大小近似为零 B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 【变式训练6-8】“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大 C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小 【变式训练6-9】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（　　） A. 9∶1 B. 9∶2 C. 36∶1 D. 72∶1 【变式训练6-10】黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其“魔掌”，所以黑洞无法直接被观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，某恒星绕银河系中心黑洞人马座A*的周期为n年，此恒星到人马座A*的平均距离为mA.U.（地球到太阳的平均距离为1A.U.），不考虑相对论效应，则人马座A*的质量与太阳质量的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-11】（多选）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）    A．该卫星在L2点处于平衡状态 B．该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等 C．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 D．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 【变式训练6-12】（多选）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（ ） A. 飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B. 飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C. 飞船在1轨道速度大于2轨道 D. 飞船在1轨道加速度大于2轨道 题型07：冲日、凌日问题 【典型例题】2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（ ） A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【答案】B 【解析】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误； B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确； C．在星球表面根据万有引力定律有 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； D．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有 要发生下一次火星冲日则有 得 可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。 故选B。 【变式训练7-1】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为( ) A.火星365天 B.火星800天 C.天王星365天 D.天王星800天 【变式训练7-2】（多选） 如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A. 火星的公转周期大约是地球的倍 B. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D. 在冲日处，火星相对于地球的速度最小 【变式训练7-3】 天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（　　） A. 地球与火星的动能之比 B. 地球与火星的自转周期之比 C. 地球表面与火星表面重力加速度大小之比 D. 地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比 题型08：图像题 【典型例题】空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02-2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　） A. 绕地运行速度约为 B. 绕地运行速度约为 C. 在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 D. 在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 【答案】D 【解析】AB．卫星贴近地面做匀速圆周运动的线速度大小设为v1，此速度为第一宇宙速度，即v1=7.9km/s；地球半径约为6400km，则空间站离地高度在418km~421km之间。由 ， 解得 空间站距离地面的最小高度约为h=418km＜R=6400km，则 所以空间站绕地运行速度 故AB错误； C．在4月份轨道半径出现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误； D．在5月份轨道半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。 故选D 【变式训练8-1】螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 题型09：材料阅读题 【典型例题1】请阅读下述文字，完成下列小题。 哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图所示），轨道上P、Q两点分别为近日点和远日点。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。    5．哈雷彗星运行到P点时（　　） A．速度沿切线方向 B．速度沿彗星与太阳连线方向 C．加速度沿切线方向 D．受到太阳的引力沿切线方向 6．哈雷彗星由Q点向P点运动过程中（　　） A．速度越来越小 B．速度越来越大 C．速度大小保持不变 D．所受太阳引力与其速度共线 7．若哈雷彗星在P点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在Q点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，由开普勒定律可知下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】5．A 6．B 7．C 【解析】5．AB．哈雷彗星运行到P点时，速度沿切线方向，故A正确，B错误； CD．哈雷彗星运行到P点时，受到太阳的引力沿沿彗星与太阳连线方向，则加速度沿彗星与太阳连线方向，故CD错误。 故选A。 6．ABC．根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星由Q点向P点运动过程中，速度越来越大，故AC错误，B正确； D．哈雷彗星由Q点向P点运动过程中，所受太阳引力沿彗星与太阳连线方向，而彗星速度方向沿轨道切线方向，所以引力与速度不在同一直线上，故D错误。 故选B。 7．对于哈雷彗星在P和Q附近很小一段时间内的运动，根据开普勒第二定律有 解得 故选C。 【典型例题2】请阅读下述文字，完成下列小题。 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船在适当位置经短时加速变轨后，与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交汇对接构成组合体。航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。    8．在神舟十二号靠近天和核心舱的过程中，地球对神舟十二号的引力（  ） A．保持不变 B．先变大后变小 C．越来越大 D．越来越小 9．如图所示为神舟十二号环绕地球运动过程中的两条轨道的示意图，神舟十二号在1、2两条轨道上的运动均可视为匀速圆周运动。神舟十二号在轨道2上的（  ） A．线速度更小 B．向心加速度更大 C．运行周期更短 D．角速度更大 10．如图所示，假设神舟十二号在轨道2上环绕地球做匀速圆周运动的半径为r，运行周期为T，引力常量为G，根据以上信息可以求出（  ） A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．地球的第一宇宙速度 D．神舟十二号飞船的质量 11．神舟十二号与天和核心舱对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，运行周期为，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十二号飞船（  ）    A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相同 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断减小 C．在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ经过B点时所受万有引力不相等 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 【答案】8．D 9．A 10．A 11．B 【解析】8．由万有引力定律可知，在神舟十二号靠近天和核心舱的过程中，神舟十二号与地心的距离变大，则地球对神舟十二号的引力越来越小。 故选D。 9．由万有引力提供向心力有 得 、、、 由于轨道2的半径更大，则神舟十二号在轨道2的周期更大，线速度、角速度和向心加速度都更小。 故选A。 10．ABD．由万有引力提供向心力有 得 由于不知道地球的半径，则无法求出地球的密度，飞船的质量会约去，则无法求出飞船的质量，故A正确，BD错误； C．地球的第一宇宙速度 由于不知道地球的半径，则无法求出地球的第一宇宙速度，故C错误； 故选A。 11．A．飞船从轨道I到轨道II需要在A点加速做离心运动，则飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小不相同，故A错误； B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，由动能定理可知，飞船的动能减小，速度减小，故B正确； C．在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ经过B点时，飞船与地球间的距离相等，则所受万有引力相等，故C错误； D．由万有引力提供向心力有 得 由于 则飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误。 故选B。 【典型例题3】请阅读下述文字，完成下列3小题。 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船与天和核心舱成功对接，陈冬、蔡旭哲、刘洋三名航天员顺利进入天和核心舱。如图所示，对接后的组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知组合体的质量为，绕地球运动的轨道半径为，地球质量为，地球半径为，引力常量为。地球可视为质量分布均匀的球体。 1．组合体受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 2．组合体绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．场是一种客观存在的物质，组合体与地球之间的万有引力是通过引力场产生的。类比用电场线描述静电场，可以用引力场线描述引力场。不考虑其它天体的影响，地球周围的引力场线分布与下列电场的电场线分布相似的是（　　） A．匀强电场 B．孤立点电荷的电场 C．两个等量同种电荷的电场 D．两个等量异种电荷的电场 【答案】1．D 2．A 3．B 【解析】1．根据万有引力定律可知，组合体受到地球的万有引力大小为 故选D。 2．组合体绕地球做匀速圆周运动，则万有引力提供向心力，即 解得 故选A。 3．组合体与地球之间的万有引力是通过引力场产生的，即 带电体与孤立点电荷的引力即库仑力为 二者类似，则地球周围的引力场线分布与孤立点电荷的电场线分布相似。 故选B。 【变式训练9-1】请阅读下述文字，完成第1题、第2题、第3题。2020年10月12日00时57分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将“高分十三号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定机道。“高分十三号”卫星是高轨光学遥感卫星，主要用于国土普查、农作物估产、环境治理、气象预警预报和综合防灾减灾等领城。“高分十三号”卫星绕地球的运动可看做匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，“高分十三号”卫星在一定高度处静止不动。己知地球的半径为，“高分十三号”卫星轨道半径为。 (1)“高分十三号”卫星绕地球运转的周期约为（　　） A．6小时 B．12小时 C．24小时 D．36小时 (2)赤道上某点随地球自转的线速度大小为。“高分十三号”卫星运动的线速度大小为。则为（　　） A． B． C． D． (3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，5亿年前地球自传的周期约为22小时、假设这种趋势会不断地持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与“高分十三号”卫星相比（　　） A．轨道半径变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 【变式训练9-2】开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间扫过的面积相等；所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示。    12．地球从冬至到春分的运行过程中，太阳对地球的引力（　　） A．越来越大 B．越来越小 C．保持不变 D．先变大后变小 13．地球从夏至到秋分的运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．运行时间大于从秋分到冬至的运行时间 B．运行时间等于从秋分到冬至的运行时间 C．地球在夏至的运行速率等于在秋分的运行速率 D．地球在夏至的运行速率大于在秋分的运行速率 14．实际上，行星的轨道与圆十分接近，我们也可按圆轨道处理。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，，关于k的值，下列说法正确的是（　　） A．只与r有关 B．只与T有关 C．与r、T均无关 D．与r、T均有关 【变式训练9-3】2023年5月17日10时49分，我国成功发射了第56颗北斗导航卫星。该卫星是北斗三号工程首颗备份卫星，属于地球静止轨道卫星。如图所示，发射时，火箭先将卫星送入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动；卫星在A点变轨后，进入椭圆轨道Ⅱ；在远地点B再次变轨后，进入静止轨道Ⅲ做匀速圆周运动。    15．关于第56颗北斗导航卫星，下列说法正确的是（　　） A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度 B．在轨道Ⅰ运行速度大于第一宇宙速度 C．在轨道Ⅲ运行时可能经过北京上空 D．在轨道Ⅲ运行的周期与地球自转周期相同 16．对比卫星在不同轨道的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅰ运行的速度小于在轨道Ⅲ运行的速度 B．在轨道Ⅰ的机械能大于在轨道Ⅲ的机械能 C．无论在轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ运行，经过A点的速度都相等 D．无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ运行，经过B点的加速度都相等 【变式训练9-4】请阅读下述文字，完成下列小题。 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，形成三舱三船组合体，对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知对接后的组合体质量为m，轨道半径为r；地球质量为M，半径为R。引力常量为G。    17．对接后的组合体受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 18．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 19．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 20．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-5】请阅读下述文字，完成下列小题 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第56颗北斗导航卫星。这颗卫星属于地球静止轨道卫星，是我国北斗三号工程的首颗备份卫星，入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统。这颗卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，卫星在一定高度处静止不动。已知地球半径为R，第56颗北斗导航卫星轨道半径为r。 (1)地球自转的周期为T1，第56颗北斗导航卫星的周期为T2，则（　　） A． B． C． D． (2)赤道上某点随地球自转的线速度大小为v1，第56颗北斗导航卫星运动的线速度大小为v2，则为（　　） A． B． C． D． (3)关于第56颗北斗导航卫星，下列说法正确的是（　　） A．该卫星可以停留在北京的上空 B．该卫星绕地球运行时处于平衡状态 C．该卫星的运行速度一定大于第二宇宙速度 D．该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲　万有引力理论的成就 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：重力与万有引力 8 题型02：地球两极和赤道重力 21 题型03：万有引力与向心力 26 题型04：开普勒定律的应用 35 题型05：天体的质量和密度 39 （一）利用重力加速度求天体质量和密度 39 （二）利用环绕法计算天体质量和密度 46 题型06：天体参数 52 题型07：冲日、凌日问题 61 题型08：图像题 65 题型09：材料阅读题 68 一. 分值与题型 分值4–8分，核心为选择题（单独考/结合卫星运行），少数卷种在计算题第一问考查（天体质量/密度计算），极少单独出大题，多作为综合题基础考点。 二. 高频考查方向 1.利用环绕法（卫星/行星绕中心天体）求中心天体的质量、密度； 2.利用表面重力法（黄金代换）结合天体表面重力加速度求质量/密度； 3. 结合近地卫星、同步卫星实际情境，考查公式应用与物理量换算； 4. 拓展考查双星/多星系统的质量求解（高频拓展点，难度中等）。 三. 命题特点 1. 重公式应用，无复杂推导，核心是“选对公式、找对物理量”； 2. 情境化，常结合月球探测、行星观测、人造卫星（如中国嫦娥、天问工程）设题； 3.易设易错陷阱，如混淆“轨道半径r”与“天体半径R”、忽略“近地轨道r≈R”、忘记密度公式中球体体积因子。 四. 考频与趋势 属于必考基础点，近5年全国卷/新高考卷覆盖率100%；命题趋势偏向“简单计算+定性判断”结合，极少考纯理论，注重与航天实际结合。 一. 基础目标（必会，保底得分） 1. 熟记万有引力测天体质量的两种核心方法（环绕法、表面重力法）及对应公式； 2.掌握黄金代换式GM=gR²的推导与直接应用，明确公式中各物理量的含义； 3.能区分“中心天体”与“环绕天体”，准确判断公式中r（轨道半径）和R（天体半径）； 4. 熟记球体密度公式 二. 能力目标（熟练，应对中档题） 1.能根据题干条件快速选择解题方法（已知周期/线速度用环绕法；已知表面重力加速度用表面重力法）； 2.会处理近地轨道、同步卫星的特殊情境计算（近地轨道r≈R，同步卫星已知周期T=24h）； 3. 能解决含未知量的推导题（如求天体密度与环绕周期的关系，消去未知量GM）； 4.掌握双星系统的核心规律（引力等、角速度等），能求解双星的质量比/总质量。 三. 素养目标（提升，避免失分） 1.建立“天体运动建模”思维，从实际情境中提取“万有引力提供向心力”核心模型； 2.养成审题标量的习惯，做题时圈出r、R、T、g等关键物理量，避免混淆； 3.规范计算步骤，明确公式代入、单位换算（如km转m）的细节，减少计算失误。 知识点一：重力与万有引力 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 3. 计算重力加速度 地球表面附近（h<<R） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h处 方法： 在质量为M″，半径为R″的任意天体表面的重力加速度 方法： 4.星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。 5.应用： 在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝。 在地球表面上，mg＝，在h高度处mg′＝，所以＝，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。 知识点二：万有引力的成就 （一）“称量”地球的质量 1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力. 2.关系式：mg＝G. 3.结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量. 4.推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量. （二）计算（中心）天体的质量密度 1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. 2.关系式：＝mr. 3.结论：m太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量. 4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量. 5.天体质量和密度 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于G＝mg，故天体质量M＝， 天体密度ρ＝＝＝. (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. ①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝； ②若已知天体半径R，则天体的平均密度 ρ＝＝＝； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r(以T为例) 天体质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 （三）发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 2.其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. （四）预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右. （五）天体运动的分析与计算 1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供. 基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr. 2.忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝. (2)由G＝mω2r得ω＝. (3)由G＝m2r得T＝2π. (4)由G＝man得an＝. ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小. ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢. 1.环绕法（已知环绕天体的T/v/ω/a，求中心天体M/ρ） 万有引力提供向心力：G＝m()2r(（最常用，已知T优先选） 推导得中心天体质量：M＝ 中心天体密度：ρ＝＝（近地轨道r≈R，简化为ρ= \frac{3π}{GT^2}，高频简化式） 2.表面重力法（已知天体表面g、天体半径R，求中心天体M/ρ） 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 黄金代换：GM=g（推导：天体表面物体重力≈万有引力，mg=G\frac{Mm}{R^2}） 推导得中心天体质量：M＝ 密度：ρ＝＝ 题型01：重力与万有引力 【典型例题1】下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（　　） ①万有引力定开普勒在实验室发现的 ②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离 ③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离 ④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【详解】①万有引力定律是牛顿发现的，①错误； ②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离，②正确； ③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，③正确； ④物体之间的万有引力是作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，④正确。 故选C。 【典型例题2】（多选）关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是（　　） A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力 B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小 C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同 D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和 【解答】解：A．地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，故A错误； B．若地球自转角速度变大，由牛顿第二定律得： 可知，物体受的万有引力不变，所以赤道上物体所受重力变小，故B正确； C．万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，故C错误； D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，故D正确。 故选：BD。 【典型例题3】已知地球半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一位质量为m的探险家乘坐热气球到达离地面h高处，他受到地球的万有引力大小为 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】轨道半径为 r=R+h 根据万有引力公式，有 故B正确，A、C、D错误； 故选B。 【典型例题4】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d（矿井宽度很小）。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：地球的质量 根据万有引力定律，在地面高h处 可得 根据题意，在矿井底部，地球的有效质量为 则 可得 可得 故ABD错误，C正确； 故选：C。 【典型例题5】探索地外文明一直是人们的梦想，假设多年以后，一宇航员在某星球表面做实验，让一小球离该星球表面一定距离自由下落，经过时间到达该星球表面。若他在地球表面上离地面相同距离让该小球自由下落，经过时间小球到达地面。已知地球半径与该星球的半径之比为，忽略地球和星球的自转，空气阻力不计。试求： （1）地球重力加速度与该星球重力加速度的比值； （2）地球质量与该星球质量的比值； （3）地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设在地球表面处的重力加速度的大小为，星球表面处的重力加速度的大小为，则有， 可得地球重力加速度与该星球重力加速度的比值为 （2）根据物体在星球表面受到的万有引力等于重力可得， 又 联立可得地球质量与该星球质量的比值为 （3）星球第一宇宙速度等于该星球表面轨道卫星运动的线速度，则有， 可得地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值为 【变式训练1-1】设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心3R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：根据万有引力等于重力，列出等式： mg g，其中M是地球的质量，r应该是物体在某位置到球心的距离。 故选：B。 【变式训练1-2】一物体在地球表面重9N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为5.5N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的（地表面g＝m/s2）（　　） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．一半 【解答】解：在地球表面，以物体为研究对象，物体的质量为： mkg＝0.9kg。 在火箭中，根据牛顿第二定律得： N﹣mg′＝ma， 得此时火箭所在处重力加速度为： g′m/s2m/s2g 设地球的质量为M，火箭离地高度为h，地球半径为R，根据万有引力等于重力得： g′ 又在地面上时，有：mg 联立解得：h＝2R； 故选：A。 【变式训练1-3】如图是某农家院内打出一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为（ ） A. B C D 【答案】B 解析：根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为： 设离地面高度为d处的重力加速度为 由万有引力定律有： 两式联立得 在地面上质量为m的物体根据万有引力定律有: ， 从而得 根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物体m′ 只受到其以下球体对它的引力，同理有， 式中。两式相除化简。 所以 所以选项B正确。 【变式训练1-4】一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径R。则飞船所在处的重力加速度大小 A． B． C． D． 【参考答案】C 【名师解析】 忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式 在地球表面： 在离地面的高度为H处： 解得：，选项C正确； 【变式训练1-5】“神舟十五号”飞船顺利发射，六名中国宇航员完成首次太空交接班。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离为400km，做圆周运动的周期为90min，向心加速度大小为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度大小为a2，已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为g，下列关系正确的是（　　） A． B．a2＝g C．a1＝272a2 D． 【解答】解：A．对地球表面物体有 对核心舱有 联立两式，代入数据解得a1g 故A错误； B．对地球表面物体有 地球赤道上物体随地球自转，有Gma2+mg赤 对比两式，可知a2＜g，故B错误； CD．对核心舱有 其中T1＝90min＝1.5h 对地球赤道上随地球自转的物体有 其中T2＝24h 联立两式，代入数据解得 a1＝272a2 故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练1-6】某星球的质量是地球的p倍，半径是地球的q倍。一运动员在地球上能够跳起的最大高度为h，假定运动员在地球上和该星球上起跳的最大初速度相同，则运动员在该星球上能够跳起的最大高度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g；球形星体的质量为M'，半径为R'，表面的重力加速度为g'，万有引力大小等于重力大小，则有 联立解得 运动员起跳上升过程中有 联立解得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式训练1-7】已知月球半径为R，假设某宇航员在月球表面以初速度v0竖直上抛一物体，测得物体上升最大高度为h。由此可估算出，月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度为（　　） A. B. C. D. 【参考答案】A 【名师解析】 在月球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，根据 解得月球表面的加速度g= 根据，解得月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度，故选A。 【变式训练1-8】已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示（不计空气阻力），M、N两星球的密度之比为（　　） A. 1∶1 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 【参考答案】B 【名师解析】 由竖直上抛运动和题图可知 ， 所以 根据 ， ， 得 所以 故选B。 【变式训练1-9】一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一物体的质量为m＝1.6kg，当检测仪器显示物体的视重为F＝9N时，火箭距离地面的高度h与地球半径R的关系为（　　）（取g＝10m/s2） A．h＝R B．h＝2R C．h＝3R D．h＝4R 【参考答案】C 【名师解析】设h高度处的重力加速度为g1，根据牛顿第二定律得： F﹣mg1＝ma g1＝＝＝0.625m/s2 根据万有引力提供向心力 在地球表面 ＝mg 在h高度处 ＝mg1 联立解得：＝＝16 得：R+h＝4R 解得：h＝3R，故C正确，ABD错误。 【变式训练1-10】已知月球中心到地球中心的距离是地球半径的60倍。则下列说法正确的是（　　） A. 月球绕地球做近似圆周运动向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的 B. 月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的 C. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的 D. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的 【参考答案】A 【名师解析】 根据，可得月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度 地面附近重力加速度大小，则，选项A正确，BCD错误； 【变式训练1-11】2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A. 在环月飞行时，样品所受合力为零 B. 若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C. 样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D. 样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【解析】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 【变式训练1-12】（多选）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（　　） A. 该行星表面的重力加速度大小为 B. 该行星第一宇宙速度为 C. “背罩分离”后瞬间，背罩加速度大小为 D. “背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW 【答案】AC 【解析】A．在星球表面，根据 可得 行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取，可得该行星表面的重力加速度大小 故A正确； B．在星球表面上空，根据万有引力提供向心力 可得星球的第一宇宙速度 行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度 地球的第一宇宙速度为，所以该行星的第一宇宙速度 故B错误； C．“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分子，可知探测器与保护背罩之间的作用力 “背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4000N，对背罩，根据牛顿第二定律 解得 故C正确； D．“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率 故D错误。 故选AC。 【变式训练1-13】牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有 月球绕地球公转有 r = 60R 联立有 故选C 【变式训练1-14】“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得 解得 根据题意可知，卫星的运行周期为 根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有 联立解得 故选C。 【变式训练1-15】火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50kg。求： （1）在火星上宇航员所受的重力为多少？（结果保留到小数点后一位） （2）宇航员在地球上可跳1.5m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？（地球表面的重力加速度g取10m/s2） 【解答】解：（1）质量是物体的固有属性，无论何时何地质量都不变． 所以地球上质量力50kg的人到火星上去，在火星表面的质量也是50kg． 根据星球表面的万有引力等于重力知道mg 得出：g； 所以火星与地球上重力加速度g地之比为4：9 人在火星上的重力：G＝mg火＝5010N≈222.2N （2）根据运动学公式得：v2＝2gh 宇航员在地球上可跳1.5m高，他一相同初速度在火星上可跳h′1.5m＝3.375m 1. 假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比p，火星的半径R火和地球的半径R地之比q，求它们表面处的重力加速度之比． 【解答】解：根据得，g， 因为火星与地球的质量之比为p，半径之比为q，则表面的重力加速度之比为． 题型02：地球两极和赤道重力 【典型例题1】若地球可看成质量均匀的球体，则关于万有引力和重力，下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体，在两极和赤道所受到的地球的万有引力大小不相等 B．质量为m的物体，在两极和赤道所受到的重力大小相等 C．若地球自转角速度变大，赤道上物体所受的重力大小不变 D．若地球自转角速度变大，赤道上物体所受的重力大小变小 【解答】解：A、设地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω。根据万有引力定律知物体在两极和赤道所受到的地球的万有引力大小相等，均为F＝G，故A错误； B、设物体在两极和赤道所受到的重力分别为G极和G赤。物体在两极时，所需要的向心力为零，则G极＝G； 在赤道，地球对物体的万有引力等于重力和向心力之和，即有GG赤+mω2R，得G赤＝Gmω2R，则G极＞G赤，故B错误； CD、由G赤＝Gmω2R，知若地球自转角速度变大，物体所需要的向心力变大，赤道上物体所受的重力大小变小，故C错误，D正确。 故选：D。 【典型例题2】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，自传周期为T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响，设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1 / F0的表达式，并就h =1.0 % R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2 / F0的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0 %，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 【名师解析】．(6分) 解：⑴设小物体质量为m a．在北极地面 在北极上空高出地面h处 得 当h =1.0%R时， b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 得 ⑵地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有 得 其中为太阳的密度。由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 【变式训练2-1】在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，己知地球半径为R，地球自转的周期为T，则地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为 【参考答案】D 【名师解析】在地球两极，万有引力等于重力，则有：=mg0，解得：g0=；根据向心加速度表达式，则知赤道上物体加速度：a=ω2R=，由牛顿第二定律：-mg=ma，解得g=-，则地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为g0-g0′=，故D正确； 【关键点拨】。 在两极地球表面上引力等于重力：； 在赤道上，根据向心加速度表达式，和牛顿第二定律。即可求解重力加速度； 解答此题的关键是弄清赤道上的物体万有引力提供重力的同时还提供物体的向心力。 【变式训练2-2】某人在地球极地用弹簧秤测量质量为m的物体的重力，示数为F1，在地球赤道用弹簧秤测量质重为m的物体的重力，示数为F2。已知地球自转的周期为T，将地球视为质量均匀分布的球体，则地球的半径为（ ） A. B. C. D. 【参考答案】C 【名师解析】设地球质量为M,地球半径为R，在地球极地：，在地球赤道：，解得：，选项C正确。 【变式训练2-3】已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为g)(　　) A．地球的自转周期为T＝2π B．地球的自转周期为T＝π C．地球同步卫星的轨道半径为 D．地球同步卫星的轨道半径为 【参考答案】AC 【名师解析】　在北极FN1＝G，在赤道G－FN2＝mR，根据题意，有FN1－FN2＝ΔN，联立计算得出：T＝2π ，所以A正确，B错误；万有引力提供同步卫星的向心力，则：G＝m′，联立可得：r3＝，又地球表面的重力加速度为g，则：mg＝G，得：r＝ R，C正确，D错误。 【变式训练2-4】已知地球的质量为M，半径为R，自转的周期为T，引力常量为G。赤道上地球表面附近的重力加速度用ge表示，北极处地球表面附近的重力加速度用gN表示，将地球视为均匀球体。 （1）用已知量写出gN的表达式； （2）请比较ge与gN的大小并求出二者的差值； （3）体育比赛中的田赛可分为跳跃、投掷两类项目，田赛成绩会受到纬度的影响。已知迄今男子跳高世界纪录为2.45m，铅球世界纪录为23.12m（铅球运动中最高点约8m）。请分析并说明在运动员体能和技巧都确定的情况下，比赛在高纬度地区和低纬度地区进行相比，哪里更容易创造世界纪录？对跳高和铅球这两项比赛来说，因纬度不同造成运动成绩的数值变化更大的是哪项？（不考虑空气阻力和海拔高度的影响） 【名师解析】. （10分） （1）由①， 得gN= （2）以静止于赤道地面上的物体m 为研究对象，设其受到地面的支持力为F，因其随地球自转做匀速圆周运动，因此有②，F=mge③， ①②③联立可知ge<gN；二者的差值为gN―ge=； （3）按竖直上抛运动来分析跳高，最大高度H =，可见，若起跳速度v不变，低纬度地区g小，则H大；铅球运动的竖直分运动为竖直上抛，低纬度地区g小，则铅球在空中运动的时间t长，于是水平射程x也长。因此，在低纬度地区，更容易创造世界纪录。 （重力加速度的影响也体现在运动员起跳或投掷获得初速度的做功过程中，g值小的地方，同一运动员以相同的体能可将同一质量的物体以更大的初速度抛出。） 由于铅球在空中运行的时间远大于跳高时人体在空中的时间，因此对于不同地区g 的相同差值，铅球在空中时间长，在不同纬度地区成绩的数值变化更大。 【变式训练2-5】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球看作是半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h=1.0%R的情形计算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度不变均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现在地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 【名师解析】在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0=G， 在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1=G=G， 解得：==0.98 (2) 在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，由牛顿第二定律，G- F2=mR 解得：F2= F0-mR， =1- (3) 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得，G =mr 而太阳质量M=πRs3ρ， 解得周期T=。 式中ρ为太阳的密度。 由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关，因此三者均减小为现在的1.0%，地球公转周期T不变，即仍为1地球年。 题型03：万有引力与向心力 【典型例题1】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A. 核心舱的质量和绕地半径 B. 核心舱的质量和绕地周期 C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期 D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径 【答案】D 【解析】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得 可得 可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。 故选D。 【典型例题2】宇航员在太空旅行中发现了一颗质量分布均匀的球形小行星。为了进一步的研究，宇航员登陆小行星，用弹簧测力计测量一个相对小行星静止的质量为m的物体的重量。第一次在该行星极点处，弹簧测力计的示数为F1；第二次在该行星的赤道上，弹簧测力计的示数为F2。已知小行星的半径为R，下列说法正确的是 A. 该小行星的自转角速度大小为 B. 该小行星的自转角速度大小为 C. 该小行星的同步卫星的轨道半径为 D. 该小行星的同步卫星的轨道半径为 【参考答案】AC 【名师解析】在该行星极点处:；在赤道上：；联立解得：，选项A正确，B错误；对小行星的同步卫星，其角速度等于行星自转的加速度，则： ，解得，选项C正确，D错误；故选AC. 【变式训练3-1】天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A. 0.001倍 B. 0.1倍 C. 10倍 D. 1000倍 【答案】B 【解析】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 【变式训练3-2】在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空。2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测。“天问一号”进入环绕轨道如图所示，离火星表面高度为h，火星半径为R，火星质量约地球的九分之一、已知地球半径为，地球表面重力加速度为求天问一号的线速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由万有引力提供向心力得，解得 ，由题可得，由黄金代换得，解得，联立解得，故选A。 【变式训练3-3】科学家重新分析了开普勒太空望远镜退役前收集到的数据，发现了一颗与地球大小基本相同的系外行星——Kepler-1649c，距离地球约300光年，围绕一颗红矮星运行。假设该行星的公转轨道半径是地球的k倍，行星质量是地球质量的q倍，红矮星质量是太阳的p倍，假设该行星的半径和地球的相等，则下列说法正确的是（　　） A. 该行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与地球的相等 B. 该行星的绕行周期是地球的倍 C. 该行星的第一宇宙速度是地球的q倍 D. 该行星表面的重力加速度是地球的倍 【参考答案】B 【名师解析】 根据开普勒第三定律可知，行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与中心天体的质量有关，结合题意可知A选项错误。天体绕行时，由万有引力提供向心力有 得，故该行星的绕行周期是地球的倍，B选项正确。 第一宇宙速度即卫星贴近行星表面绕行时的速度，有 得，该行星的第一宇宙速度是地球的倍，C选项错误。 行星表面的物体受到的重力约等于行星与物体间的万有引力，即 得，故该行星表面的重力加速度是地球的q倍，D选项错误。 【变式训练3-4】如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（    ）    A． 周期为 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 【答案】B 【详解】由图（b）可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为，则P的公转周期为，A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得，解得半径为，故B正确；P的角速度为，故C错误；P的加速度大小为，故D错误。故选B。 【变式训练3-5】（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”。宇航员乘坐该电梯可直达太空站，如图（a）所示。在图（b）中，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小a与宇航员距地心的距离r的关系；直线B为宇航员相对地面静止时的向心加速度大小a与r的关系。a0、r0、R均为已知量，R为地球半径，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．电梯停在r0处时，宇航员与电梯舱间的弹力不为零 B．从地面发射卫星的最小发射速度为 C．随着r增大，宇航员与电梯舱间的弹力增大 D．地球同步卫星的周期为 【解答】解：A．根据题意，由图（b）可知，电梯停在r0处时，加速度等于向心加速度，万有引力提供向心力，宇航员处于完全失重状态，宇航员与电梯舱间的弹力为零，故A错误； 宇航员相对地面静止，可以看作是地球的同步卫星，即r0为同步卫星的轨道半径，由图（b）可知，当距离为R时由万有引力定律可得， 当距离为r0时万有引力提供向心力有 联立解得周期，故A错误，D正确； B．根据题意，由牛顿第二定律有，万有引力提供向心力有，联立解得，则从地面发射卫星的最小发射速度为，故B正确； C．根据题意可知，宇航员的角速度与地球自转的角速度相等，受到的合力提供随地球做圆周运动的向心力，当r＜r0时，有ma﹣F＝mω2r，可知，随着r增大，F减小，当r＞r0时，有F﹣ma＝mω2r，则可知，随着r增大，F增大，即随着r增大，宇航员与电梯舱间的弹力先减小后增大，故C错误； D、电梯停在r0处时，宇航员相对地面静止，可以看作是地球的同步卫星，即r0为同步卫星的轨道半径，由图（b）可知，当距离为R时由万有引力定律可得， 当距离为r0时万有引力提供向心力有 联立解得周期，故D正确。 故选：BD。 【变式训练3-6】（多选）北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式在北京举行。如图乙所示为55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的图像，其中为卫星的周期，为卫星的轨道半径，1和2为其中的两颗卫星。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　）    A．卫星1和2运动的线速度满足为 B．地球质量为 C．地球的半径为 D．卫星1和2向心加速度大小之比为 【答案】BD 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有，解得，则有，则卫星1和2运动的线速度满足为，故A错误；根据题意，设地球质量为，由万有引力提供向心力有，整理可得，由图可知，当时，则有，可知，不是地球半径，又有，解得 故C错误，B正确；根据题意，由万有引力提供向心力有，解得，可知，卫星1和2向心加速度大小之比为，故D正确。故选BD。 【变式训练3-7】（多选）我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距地面高度为h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则（　　） A．空间站的线速度大小为 B．地球的质量可表示为 C．地球表面重力加速度为 D．空间站的向心加速度大小为 【解答】解：A、空间站绕地球轨道半径为r＝R+h，周期为T，根据线速度的定义式可得线速度大小为：v，故A正确； B、根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M，故B错误； C．地球的万有引力等于地球表面重力：mg，解得g，故C正确； D．由向心加速度公式，空间站向心加速度大小a＝ω2r＝（）2（R+h），故D错误。 故选：AC。 【变式训练3-7】某次科学实验中，将一个质量的物体和一颗卫星一起被火箭送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动的加速度大小，而称量物体的台秤显示物体受到的重力．已知地球表面重力加速度大小，地球半径，不计地球自转的影响． （1）求此时火箭离地面的高度h； （2）若卫星在（1）中所求高度上绕地球做匀速圆周运动，求卫星的速度大小v．（结果可保留根式） 【名师解析】：（1）由牛顿第二定律可知 （2分） 地球表面上物体受到的重力 （2分） （1分） 解得． （1分） （2）由万有引力提供向心力可知 （2分） 解得． （1分） 【变式训练3-8】某次科学实验中，将一个质量的物体和一颗卫星一起被火箭送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动的加速度大小，而称量物体的台秤显示物体受到的重力．已知地球表面重力加速度大小，地球半径，不计地球自转的影响． （1）求此时火箭离地面的高度h； （2）若卫星在（1）中所求高度上绕地球做匀速圆周运动，求卫星的速度大小v．（结果可保留根式） 【名师解析】：（1）由牛顿第二定律可知 （2分） 地球表面上物体受到的重力 （2分） （1分） 解得． （1分） （2）由万有引力提供向心力可知 （2分） 解得． （1分） 【变式训练3-9】某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求： (1)此处的重力加速度的大小g′； (2)此处离地面的高度H； (3)在此高度处运行的卫星速度v的大小． 【参考答案】(1)0.625 m/s2　；(2)1.92×107m；　(3)3.95 km/s； 【名师解析】 (1)由在地表仪器重160 N，可知仪器质量m＝16 kg① 根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma② 代入数据，得g′＝0.625m/s2③ (2)设此时飞船离地高度为H，地球质量为M，该高度处重力加速度 地表重力加速度 ⑤ 联立各式得 ⑥ (3)设该高度有人造卫星速度为v，其向心力由万有引力来提供，有 ⑦ 联立⑤⑦式得v＝3.95 km/s 【变式训练3-10】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，自传周期为T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响，设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1 / F0的表达式，并就h =1.0 % R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2 / F0的表达式。 （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0 %，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？ 【名师解析】．(6分) 解：⑴设小物体质量为m a．在北极地面 在北极上空高出地面h处 得 当h =1.0%R时， b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 得 ⑵地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有 得 其中为太阳的密度。由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 题型04：开普勒定律的应用 【典型例题1】木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则( ) A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为 C.周期T与之比为 D.木星质量与地球质量之比为 答案：D 解析：由题意可知木卫三的半径为，对木卫一和木卫三由开普勒第三定律得，解得，A错；对木卫二和木卫三由开普勒第三定律得，解得，B错；根据题中条件不能求出T和的比值，C错；对木卫三由牛顿第二定律得，解得，对月球由牛顿第二定律得，解得，整理得，D对。 【典型例题2】“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （　　） A. 在近火点的加速度比远火点的小 B. 在近火点的运行速度比远火点的小 C. 在近火点的机械能比远火点的小 D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动 【答案】D 【解析】A．根据牛顿第二定律有 解得 故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误； B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误； C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误； D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。 故选D。 【变式训练4-1】执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　） A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m 【答案】C 【解析】忽略火星自转则 ① 可知 设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知 ② 设近火点到火星中心 ③ 设远火点到火星中心为 ④ 由开普勒第三定律可知 ⑤ 由以上分析可得 故选C。 【变式训练4-2】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是 地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知 解得太阳的质量为 同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知 解得黑洞的质量为 综上可得 故选B。 【变式训练4-3】“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 故选D。 【变式训练4-4】图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。 （1）该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的______ A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 （2）已知太阳质量为M，引力常量为G。当慧日间距为时，彗星速度大小为。求慧日间距为时的慧星速度大小。（计算）______ 【答案】 ①. C ②. 【解析】（1）[1]根据开普勒第二定律可知，某慧星绕日运行的椭圆形轨道上近日点a点速度最大，远日点c点速度最小，根据对称性可知，从a点到c点所用时间为二分之一周期，且从a点到b点所用时间小于从b点到c点所用时间，则该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的bc之间。 故选C。 （2）[2]引力势能的表达式为 彗星在运动过程中满足机械能守恒，则有 解得 题型05：天体的质量和密度 （一）利用重力加速度求天体质量和密度 【典型例题1】搭载“神舟十五号”载人飞船的“长征二号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，三名航天员顺利进驻中国空间站，与“神舟十四号”航天员乘组首次实现“太空会师”，对我国空间站建造具有里程碑意义。已知空间站的离地高度为h，空间站的运行周期为T，地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则（　　） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【解答】解：AD．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力不等于地球上物体的向心力，即： 所以： 又因为： 所以地球密度为：，故AD错误； B．对地球上的物体进行分析，地球对其的万有引力几乎等于重力： 解得地球的质量为：，故B错误； C．对空间站进行受力分析，地球对其的万有引力提供向心力，则有： 可得地球的质量为： 根据质量和密度的关系可得： 所以地球密度为：，故C正确。 故选：C。 【典型例题2】在一个未知星球上研究平抛运动的规律。拍下了小球作平抛运动过程中的多张照片，经合成照片如（乙）图。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际的长度之比为1：4，则：    （1）该星球表面的重力加速度为 m/s2，小球在b点时的速度是 m/s。 （2）若已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地 = 1：4，则该星球的质量与地球质量之比M星：M地 = ，第一宇宙速度之比v星：v地 = ，（g地取10m/s2） 【答案】 8 1：20 【详解】（1）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4可得，乙图中每个正方形的实际边长L = 4cm 竖直方向上有y = 2L = g星T2 解得g星 = 8m/s2 水平方向上小球做匀速直线运动，则 在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可知 根据矢量合成的特点可得 （2）星球半径为R，根据万有引力与重力近似相等，有 解得GM = gR2 代入数据可得该星球与地球质量之比为 根据万有引力提供向心力，有 联立解得 代入数据解得 【变式训练5-1-1】火星是太阳系中与地球最为类似的行星，“天问一号”探测器成功着陆火星，标志着我国在深空探测领域的技术进入世界先进行列。若火星可视为均匀球体，已知火星表面的重力加速度大小为g，火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G，则可估算出（　　） A．火星的质量为 B．火星的第一宇宙速度为 C．火星的密度为 D．火星同步卫星到火星表面的高度为 【解答】解：A、对于近心卫星，设其运行周期为T′，则GmR 解得火星的质量为：M。火星的同步卫星周期等于火星自转的周期T，大于近心卫星的周期，则T′≠T，所以M，故A错误； B、火星表面得第一宇宙速度为v，故B错误； C、在火星表面上，根据Gm′g，可得火星的质量为M，火星的密度为，故C正确； D、火星的同步卫星周期等于火星自转的周期，则 解得火星同步卫星到火星表面的高度为：，故D错误。 故选：C。 【变式训练5-1-2】梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．组合体运行周期T为 B．地球的密度可表示为 C．组合体轨道处的重力加速度为 D．组合体的运行速度介于7.9km/s和11.2km/s之间 【解答】解：在地球表面，万有引力等于重力 A．万有引力提供向心力 得 故A错误； B．在地球表面，万有引力等于重力 则地球的质量 地球的体积 则地球密度 解得ρ 故B正确； C．万有引力提供向心力 得 故C错误； D．第一宇宙速度是环绕的最大速度，卫星围绕地球做圆周运动最大速度为7.9km/s，则组合体的运行速度小于7.9km/s，故D错误。 故选：B。 【变式训练5-1-3】宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为的星球A和星球B。在星球A上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度与弹簧的压缩量间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其关系如图（b）中虚线所示（图中未知）。已知两星球密度相等。星球A的质量为，引力常量为G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。 （1）求星球A和星球B的表面重力加速度的比值； （2）求星球B的质量M； （3）若将星球A和星球B看成是远离其他星球的双星模型，求两星球做匀速圆周运动的周期T。 【答案】 (1)；(2)；(3) 【详解】(1)对物体P受力分析，根据牛顿第二定律 可得 结合a−x图像可知，纵截距表示星球表面重力加速度， 则有 (2)设星球B的质量为M，根据黄金替换公式 根据质量与体积关系式 联立得 由于星球A和星球B密度相等，可见 可得 则星球B与星球A的质量比为 联系以上各式可得 (3)将星球A和星球B看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动，周期相同。研究星球A，有 研究星球B，有 又 联 【变式训练5-1-4】从莱特兄弟成功飞行到人类空间站的组建，历代科学家不断探索取得了优异成绩。在探测某星球的任务中，已知该星球的半径为R，如图甲所示，在星球表面上有一小物体以初速度沿内壁滑上半径为的光滑竖直圆轨道，恰好能不脱离轨道且沿原路径返回。假设某探测器A在距星球表面高度为R的轨道做圆周运动，如图乙所示，探测器A和空间站B均以相同的绕行方向沿不同轨道绕星球的中心O做匀速圆周运动，空间站B的周期为，从探测器和空间站某次相距最近时开始计时，忽略星球自转。求：（1）星球表面的重力加速度g； （2）探测器A和空间站B第一次相距最远时的时间t。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设小物体质量为m，恰好能不脱离轨道且沿原路径返回，有 星球表面的重力加速度 设星球的质量为M，探测器A质量为m′，在距星球表面高度为R的轨道做圆周运动，有 解得 探测器A和空间站B第一次相距最远时的时间为t，有 解得 立可得 （二）利用环绕法计算天体质量和密度 【典型例题1】为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内圈的半径为），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式，则太阳的密度可近似的表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设太阳的半径为R，地球到太阳的距离为d，则，地球绕太阳做圆周运动，太阳的密度，解得，故选C。 【典型例题2】我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道（如图所示的椭圆轨道）。若火星可视为半径为R的质量均匀分布球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1+L2≈18R，万有引力常量为G。则火星的密度约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设火星的近地卫星的周期为T0，天问一号的半长轴为 由开普勒第三定律可得 对近地卫星，万有引力提供向心力，则有 解得 火星的体积 则火星的密度约为 【典型例题3】（多选）长征四号丙运载火箭在太原卫星发射中心升空，将世界首颗具备二氧化碳激光探测能力的卫星——大气环境监测卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。如图，大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，运行周期为T。已知地球的半径为R，地球相对该卫星的张角为θ，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．大气环境监测卫星不处于平衡状态 B．大气环境监测卫星运动过程中机械能保持不变 C．大气环境监测卫星的轨道半径为Rsinθ D．地球的平均密度为 【解答】解：A、大气环境监测卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，是变速运动，故大气环境监测卫星处于不平衡状态，故A正确； B、大气环境监测卫星绕地球运动做匀速圆周运动时，动能和势能都不变，机械能守恒，故B正确； C、由几何关系可知大气环境监测卫星的轨道半径为：，故C错误； D、由万有引力提供向心力： 而地球的质量可表示为： 联立可得地球的平均密度为：，故D错误。 故选：AB。 【变式训练5-2-1】两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，a－关系图如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0.则(　　) A．S1的质量比S2的大 B．P1的质量比P2的大 C．P1比P2的第一宇宙速度大 D．P1的平均密度比P2的大 【答案】B 【名师解析】根据万有引力定律可知引力加速度a＝，由此可知图象的斜率为GM，P1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项A错，B对；两行星半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项C错；同理无法比较行星密度，选项D错． 【变式训练5-2-2】天体物理学中，通常利用观测到的环绕星的运动学量来推知中心星的质量。一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则恒星的质量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设行星绕恒星做圆周运动的半径为r，根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力 即 又由线速度公式 得 代入得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练5-2-3】宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的k倍，它的运动周期为T，引力常量为G，则地球的平均密度ρ的表达式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据万有引力提供向心力可得：mr，解得中心天体的质量为：M，其中r＝kR 根据密度的计算公式ρ，其中V 联立解得：，故A正确、BCD错误。 故选：A。 【变式训练5-2-4】（多选）如图所示，某航天器围绕一颗半径为R的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（　　）    A． 行星的质量为 B．行星的平均密度为 C．行星表面的重力加速度为 D．行星的第一宇宙速度为 【答案】BC 【详解】匀速圆周运动的周期为T，那么可以得到匀速圆周运动的线速度为，再根据万有引力提供向心力，解得，故A错误；球体积为，所以平均密度为，故B正确；行星表面，根据重力等于万有引力可知，解得，故C正确；行星的第一宇宙速度为，故D错误。故选BC。 【变式训练5-2-5】（多选）某宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，下列说法正确的是（　　） A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R B．地球的平均密度为 C．一天内飞船经历“日全食”的次数为 D．宇宙飞船的运行速度为 【解答】解：A、由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为t•T， 由于宇航员发现有T时间会经历“日全食”过程，则：，所以：α 设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得：sin可得：h＝R，故A错误； B、宇宙飞船的轨道半径r＝R+h＝2R；根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M。根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得地球的平均密度为，故B错误； C、地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为N，故C正确； D、宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，宇宙飞船的运行速度为：v，故D正确。 故选：CD。 【变式训练5-2-6】（多选）嫦娥月球探测器由长征五号运载火箭成功发射升空，并进入环月轨道飞行。假设嫦娥探测器环绕月球飞行时，距月球表面高度为h，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期为T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（　　） A．嫦娥探测器绕月球飞行的线速度大小等于 B．月球的质量等于 C．月球表面的重力加速度大小等于 D．嫦娥探测器绕月球飞行的向心加速度大小等于 【解答】解：A．嫦娥探测器绕月球飞行的飞行周期为T，故线速度大小为：，故A正确； B．嫦娥探测器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得：，解得月球质量为：，故B正确； C．对于月球表面质量为m的物体，根据万有引力和重力的关系可得：，结合，可得月球表面的重力加速度大小：，故C错误； D．嫦娥探测器绕月球飞行的向心加速度大小为：，故D错误。 故选：AB。 【变式训练5-2-7】（多选）某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求： (1)此处的重力加速度的大小g′； (2)此处离地面的高度H； (3)在此高度处运行的卫星速度v的大小． 【参考答案】(1)0.625 m/s2　；(2)1.92×107m；　(3)3.95 km/s； 【名师解析】 (1)由在地表仪器重160 N，可知仪器质量m＝16 kg① 根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma② 代入数据，得g′＝0.625m/s2③ (2)设此时飞船离地高度为H，地球质量为M，该高度处重力加速度 地表重力加速度 ⑤ 联立各式得 ⑥ (3)设该高度有人造卫星速度为v，其向心力由万有引力来提供，有 ⑦ 联立⑤⑦式得v＝3.95 km/s 题型06：天体参数 【典型例题1】如图所示，月球的半径为R，甲、乙两颗卫星分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲轨道的近月点距月球表面高度较低，可视为R，远月点与月面的距离为3R，乙轨道的半径为2R，图中A、B、C点为轨道上的三个点，当卫星经过这些点时受到的万有引力分别为、、，加速度分别为、、，速度为、、，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．>> D．>> 【答案】B 【详解】由万有引力定律可得，由题意可知，卫星在甲轨道的近月点距月球球心R，在远月点距月球球心4R，卫星在乙轨道距月球球心2R，即，但由于两颗卫星的质量关系未知，故万有引力关系无法确定，A错误；据牛顿第二定律可得，可得，可得，B错误；设过A点与椭圆相切的圆轨道的速率为v2，由高轨低速可知，v2<vB，且卫星从椭圆轨道到过A点与椭圆相切的圆轨道要加速，则v2>vA，所以，设近月圆轨道（与C点相切）上的运行速度为v1，从该圆轨道变轨到甲轨道需在C点加速，可知，由万有引力作为向心力可得，有，联立可得， 故CD错误。故选B。 【典型例题2】图甲为电影《流浪地球2》中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速电梯”是电影中一种可以在地球表面和太空空间站来回运输人员和物资的巨型结构。图乙为其模型简易图，固定在空间站和地球间的刚性“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，若“太空电梯”停在距地面高度为h的绳索上的某处，h大于零小于同步卫星轨道距地面的高度，已知，地球的自转不能忽略且地球视为均质球体，地球的第一宇宙速度为。对“太空电梯”里的航天员，则下列说法正确的是（    ）          A．航天员处于平衡状态 B．航天员绕地心做圆周运动的线速度大于 C．航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 D．若此时“绳索”断了，“太空电梯”会留在距地面h高处，绕地球做圆周运动，成为地球的一颗“卫星” 【答案】C 【详解】 “太空电梯”里的航天员绕地球做匀速圆周运动，不是处于平衡状态，选项A错误； 因第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知航天员绕地心做圆周运动的线速度小于，选项B错误； 根据a=ω2r，因航天员与地球同步卫星具有相同的角速度，可知航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度，选项C正确； 若此时“绳索”断了，“太空电梯”所受的引力将大于做圆周运动的需要的向心力，则会做近心运动，不会留在距地面h高处绕地球做圆周运动，选项D错误。故选C。 【变式训练6-1】两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，则月球对卫星的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，卫星的质量为m，则半径为r1的卫星有 半径为r2卫星有 再根据动能，可得两卫星动能和周期比值分别为 ， 故选A。 【变式训练6-2】潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A. a处最大 B. b处最大 C. c处最大 D. a、c处相等，b处最小 【答案】A 【解析】根据万有引力公式 可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大； 故选A。 【变式训练6-3】我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是（　　） A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为 B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于 C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【答案】A 【解析】A．因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确； B．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，故B错误； C．根据 可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误； D．“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。 故选A。 【变式训练6-4】网易科技消息，阿联酋宣布将设立总额约30亿迪拉姆（约合8.2亿美元）的专项基金，用于开发卫星并资助太空计划。计划将在三年内首次发射卫星并探索金星。金星是太阳系的八大行星中的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣。如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则（　　） A．金星质量为 B．金星质量为 C．太阳质量为 D．太阳质量为 【解答】解：CD．设金星质量为m，太阳质量为M，根据万有引力提供向心力有 （ r为轨道半径即火星的半径） 得：M 故C正确，D错误； AB．根据行星绕恒星运行的公转周期、轨道半径可以计算中心天体的质量，而不能计算行星质量可知，根据题中条件无法求出金星的质量，故AB错误。 故选：C。 【变式训练6-5】在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天体M和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m会解体分散。若M的半径为R，M和m的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（）。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（　　） A．200 B．160 C．120 D．80 【解答】解：地球绕太阳运动的周期T1＝365天，月球绕地球的运动周期T2＝30天，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400倍，即r1≈400r2 根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M 解得太阳质量与地球质量之比为：M1：M2≈432351 根据密度计算公式可得：ρ，其中V，已知太阳和地球的半径之比约为100，则太阳和地球的密度之比： ρ1：ρ2＝0.4323 洛希极限d＝1.26R（），月球的平均密度等于地球的平均密度，则太阳和地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值： d1：d2≈80，故D正确、ABC错误。 故选：D。 【变式训练6-6】在地球上观察，月球和太阳角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设月球绕地球运动轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据 可得 其中 联立可得 故选D。 【变式训练6-7】中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　） A. 所受地球引力的大小近似为零 B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 【答案】C 【解析】ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误； D．根据万有引力公式 可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。 故选C。 【变式训练6-8】“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大 C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小 【答案】D 【解析】由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期 C．根据可得 可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误； A．根据可得 结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误； B．根据可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误； D．根据可得 可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。 故选D。 【变式训练6-9】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（　　） A. 9∶1 B. 9∶2 C. 36∶1 D. 72∶1 【答案】B 【解析】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据 可得 故选B。 【变式训练6-10】黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其“魔掌”，所以黑洞无法直接被观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，某恒星绕银河系中心黑洞人马座A*的周期为n年，此恒星到人马座A*的平均距离为mA.U.（地球到太阳的平均距离为1A.U.），不考虑相对论效应，则人马座A*的质量与太阳质量的比值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：某恒星绕银河系中心黑洞人马座A*运动，设某恒星质量为m′，黑洞人马座A*质量为MA，对某恒星，根据万有引力提供向心力，有 m′•（mA.U.） 地球围绕太阳运动，设太阳质量为M，地球质量为m″，对地球，根据万有引力提供向心力，有 m″•（1A.U.） 联立两式解得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练6-11】（多选）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）    A．该卫星在L2点处于平衡状态 B．该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等 C．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 D．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 【答案】BD 【详解】据题意知，该卫星围绕太阳做圆周运动，速度方向时刻改变，处于非平衡状态，故A错误；该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等，故B正确；由题可知，卫星在L1点与在L2点的周期与角速度是相等的，根据向心力的公式F＝mω2r，可知在L1点处的轨道半径小，所以在L1点处所受的合力小，故C错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的轨道半径比地球的公转轨道半径大，根据公式，可知该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故D正确。故选BD。 【变式训练6-12】（多选）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（ ） A. 飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B. 飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C. 飞船在1轨道速度大于2轨道 D. 飞船在1轨道加速度大于2轨道 【答案】ACD 【解析】A．飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，选项A正确； BCD．根据 可得 可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故选项B错误，CD正确。 故选ACD。 题型07：冲日、凌日问题 【典型例题】2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（ ） A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【答案】B 【解析】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误； B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确； C．在星球表面根据万有引力定律有 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； D．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有 要发生下一次火星冲日则有 得 可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。 故选B。 【变式训练7-1】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为( ) A.火星365天 B.火星800天 C.天王星365天 D.天王星800天 答案：B 解析： 【变式训练7-2】（多选） 如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A. 火星的公转周期大约是地球的倍 B. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D. 在冲日处，火星相对于地球的速度最小 【答案】CD 【解析】A．由题意根据开普勒第三定律可知 火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得 故A错误； BC．根据 可得 由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确； D．由于火星和地球运动线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。 故选CD。 【变式训练7-3】 天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（　　） A. 地球与火星的动能之比 B. 地球与火星的自转周期之比 C. 地球表面与火星表面重力加速度大小之比 D. 地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比 【答案】D 【解析】A． 设地球和火星的公转周期分别为T1、T2 ，轨道半径分别为r1、r2，由开普勒第三定律可得 可求得地球与火星的轨道半径之比，由太阳的引力提供向心力，则有 得 即地球与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A错误； B．则有地球和火星的角速度分别为 由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则 由以上可解得 月 则地球与火星绕太阳的公转周期之比 T1∶T2 =7∶13 但不能求出两星球自转周期之比，B错误； C．由物体在地球和火星表面的重力等于各自对物体的引力，则有 得 由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度的关系不可求，C错误； D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度由太阳对地球和火星的引力产生，所以向心加速度大小则有 得 由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D正确。 故选D。 题型08：图像题 【典型例题】空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02-2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　） A. 绕地运行速度约为 B. 绕地运行速度约为 C. 在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 D. 在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 【答案】D 【解析】AB．卫星贴近地面做匀速圆周运动的线速度大小设为v1，此速度为第一宇宙速度，即v1=7.9km/s；地球半径约为6400km，则空间站离地高度在418km~421km之间。由 ， 解得 空间站距离地面的最小高度约为h=418km＜R=6400km，则 所以空间站绕地运行速度 故AB错误； C．在4月份轨道半径出现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误； D．在5月份轨道半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。 故选D 【变式训练8-1】螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 题型09：材料阅读题 【典型例题1】请阅读下述文字，完成下列小题。 哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图所示），轨道上P、Q两点分别为近日点和远日点。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。    5．哈雷彗星运行到P点时（　　） A．速度沿切线方向 B．速度沿彗星与太阳连线方向 C．加速度沿切线方向 D．受到太阳的引力沿切线方向 6．哈雷彗星由Q点向P点运动过程中（　　） A．速度越来越小 B．速度越来越大 C．速度大小保持不变 D．所受太阳引力与其速度共线 7．若哈雷彗星在P点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在Q点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，由开普勒定律可知下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】5．A 6．B 7．C 【解析】5．AB．哈雷彗星运行到P点时，速度沿切线方向，故A正确，B错误； CD．哈雷彗星运行到P点时，受到太阳的引力沿沿彗星与太阳连线方向，则加速度沿彗星与太阳连线方向，故CD错误。 故选A。 6．ABC．根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星由Q点向P点运动过程中，速度越来越大，故AC错误，B正确； D．哈雷彗星由Q点向P点运动过程中，所受太阳引力沿彗星与太阳连线方向，而彗星速度方向沿轨道切线方向，所以引力与速度不在同一直线上，故D错误。 故选B。 7．对于哈雷彗星在P和Q附近很小一段时间内的运动，根据开普勒第二定律有 解得 故选C。 【典型例题2】请阅读下述文字，完成下列小题。 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船在适当位置经短时加速变轨后，与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交汇对接构成组合体。航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。    8．在神舟十二号靠近天和核心舱的过程中，地球对神舟十二号的引力（  ） A．保持不变 B．先变大后变小 C．越来越大 D．越来越小 9．如图所示为神舟十二号环绕地球运动过程中的两条轨道的示意图，神舟十二号在1、2两条轨道上的运动均可视为匀速圆周运动。神舟十二号在轨道2上的（  ） A．线速度更小 B．向心加速度更大 C．运行周期更短 D．角速度更大 10．如图所示，假设神舟十二号在轨道2上环绕地球做匀速圆周运动的半径为r，运行周期为T，引力常量为G，根据以上信息可以求出（  ） A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．地球的第一宇宙速度 D．神舟十二号飞船的质量 11．神舟十二号与天和核心舱对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，运行周期为，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十二号飞船（  ）    A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相同 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断减小 C．在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ经过B点时所受万有引力不相等 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 【答案】8．D 9．A 10．A 11．B 【解析】8．由万有引力定律可知，在神舟十二号靠近天和核心舱的过程中，神舟十二号与地心的距离变大，则地球对神舟十二号的引力越来越小。 故选D。 9．由万有引力提供向心力有 得 、、、 由于轨道2的半径更大，则神舟十二号在轨道2的周期更大，线速度、角速度和向心加速度都更小。 故选A。 10．ABD．由万有引力提供向心力有 得 由于不知道地球的半径，则无法求出地球的密度，飞船的质量会约去，则无法求出飞船的质量，故A正确，BD错误； C．地球的第一宇宙速度 由于不知道地球的半径，则无法求出地球的第一宇宙速度，故C错误； 故选A。 11．A．飞船从轨道I到轨道II需要在A点加速做离心运动，则飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小不相同，故A错误； B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，由动能定理可知，飞船的动能减小，速度减小，故B正确； C．在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ经过B点时，飞船与地球间的距离相等，则所受万有引力相等，故C错误； D．由万有引力提供向心力有 得 由于 则飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误。 故选B。 【典型例题3】请阅读下述文字，完成下列3小题。 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船与天和核心舱成功对接，陈冬、蔡旭哲、刘洋三名航天员顺利进入天和核心舱。如图所示，对接后的组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知组合体的质量为，绕地球运动的轨道半径为，地球质量为，地球半径为，引力常量为。地球可视为质量分布均匀的球体。 1．组合体受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 2．组合体绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．场是一种客观存在的物质，组合体与地球之间的万有引力是通过引力场产生的。类比用电场线描述静电场，可以用引力场线描述引力场。不考虑其它天体的影响，地球周围的引力场线分布与下列电场的电场线分布相似的是（　　） A．匀强电场 B．孤立点电荷的电场 C．两个等量同种电荷的电场 D．两个等量异种电荷的电场 【答案】1．D 2．A 3．B 【解析】1．根据万有引力定律可知，组合体受到地球的万有引力大小为 故选D。 2．组合体绕地球做匀速圆周运动，则万有引力提供向心力，即 解得 故选A。 3．组合体与地球之间的万有引力是通过引力场产生的，即 带电体与孤立点电荷的引力即库仑力为 二者类似，则地球周围的引力场线分布与孤立点电荷的电场线分布相似。 故选B。 【变式训练9-1】请阅读下述文字，完成第1题、第2题、第3题。2020年10月12日00时57分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将“高分十三号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定机道。“高分十三号”卫星是高轨光学遥感卫星，主要用于国土普查、农作物估产、环境治理、气象预警预报和综合防灾减灾等领城。“高分十三号”卫星绕地球的运动可看做匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，“高分十三号”卫星在一定高度处静止不动。己知地球的半径为，“高分十三号”卫星轨道半径为。 (1)“高分十三号”卫星绕地球运转的周期约为（　　） A．6小时 B．12小时 C．24小时 D．36小时 (2)赤道上某点随地球自转的线速度大小为。“高分十三号”卫星运动的线速度大小为。则为（　　） A． B． C． D． (3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，5亿年前地球自传的周期约为22小时、假设这种趋势会不断地持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与“高分十三号”卫星相比（　　） A．轨道半径变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 【答案】(1)C (2)A (3)A 【详解】（1）[1]从地面上看，“高分十三号”卫星在一定高度处静止不动，则“高分十三号”卫星为地球的同步卫星，绕地球运转的周期约为24小时。 故选C。 （2）[2]“高分十三号”卫星与地球具有相同的角速度，根据公式 则 故选A。 （3）[3]地球自转在逐渐变慢，5亿年前地球自传的周期约为22小时、假设这种趋势会不断地持续下去，地球的其他条件都不变，则地球的自转周期边长，未来人类发射的地球同步卫星与“高分十三号”卫星相比周期变长 A．根据公式 则 可知周期变大，轨道半径r变大，故A正确； BCD．根据公式 可得 可得轨道半径r变大，均变小，故BCD错误。 故选A。 【变式训练9-2】开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间扫过的面积相等；所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示。    12．地球从冬至到春分的运行过程中，太阳对地球的引力（　　） A．越来越大 B．越来越小 C．保持不变 D．先变大后变小 13．地球从夏至到秋分的运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．运行时间大于从秋分到冬至的运行时间 B．运行时间等于从秋分到冬至的运行时间 C．地球在夏至的运行速率等于在秋分的运行速率 D．地球在夏至的运行速率大于在秋分的运行速率 14．实际上，行星的轨道与圆十分接近，我们也可按圆轨道处理。若用r代表轨道半径，T代表公转周期，，关于k的值，下列说法正确的是（　　） A．只与r有关 B．只与T有关 C．与r、T均无关 D．与r、T均有关 【答案】12．B 13．A 14．C 【解析】12．地球从冬至到春分的运行过程中，即地球从近日点向远日点运动，太阳对地球的引力减小。 故选B； 13．AB．地球从夏至到秋分的运行过程中，平均速度小于从秋分到冬至的运行的速度，所以运行时间大于从秋分到冬至的运行时间，故A正确，B错误； CD．根据开普勒第二定律可知，地球在夏至的运行速率小于在秋分的运行速率，故CD错误。 故选A； 14．k的值只跟太阳的质量有关，与行星的r、T均无关。 故选C。 【变式训练9-3】2023年5月17日10时49分，我国成功发射了第56颗北斗导航卫星。该卫星是北斗三号工程首颗备份卫星，属于地球静止轨道卫星。如图所示，发射时，火箭先将卫星送入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动；卫星在A点变轨后，进入椭圆轨道Ⅱ；在远地点B再次变轨后，进入静止轨道Ⅲ做匀速圆周运动。    15．关于第56颗北斗导航卫星，下列说法正确的是（　　） A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度 B．在轨道Ⅰ运行速度大于第一宇宙速度 C．在轨道Ⅲ运行时可能经过北京上空 D．在轨道Ⅲ运行的周期与地球自转周期相同 16．对比卫星在不同轨道的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅰ运行的速度小于在轨道Ⅲ运行的速度 B．在轨道Ⅰ的机械能大于在轨道Ⅲ的机械能 C．无论在轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ运行，经过A点的速度都相等 D．无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ运行，经过B点的加速度都相等 【答案】15．D 16．D 【解析】15．A．该卫星没有脱离地球引力范围，所以发射速度小于第二宇宙速度，故A错误； B．轨道Ⅰ是近地圆轨道，在轨道Ⅰ运行速度等于第一宇宙速度，故B错误； C．轨道Ⅲ是地球静止轨道卫星，只能在赤道上空，在轨道Ⅲ运行时不可能经过北京上空，故C错误； D．轨道Ⅲ是同步轨道，所以在轨道Ⅲ运行的周期与地球自转周期相同，故D正确。 故选D。 16．A．根据 可知在轨道Ⅰ运行的速度大于在轨道Ⅲ运行的速度，故A错误； B．由轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，分别在A、B两点加速，所以在轨道Ⅰ的机械能小于在轨道Ⅲ的机械能，故B错误； C．在轨道Ⅰ的A点点火加速进入轨道Ⅱ的A点，所以在轨道Ⅱ经过A点的速度较大，故C错误； D．无论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ运行，经过B点时受力相同，所以加速度都相等，故D正确。 故选D。 【变式训练9-4】请阅读下述文字，完成下列小题。 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，形成三舱三船组合体，对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知对接后的组合体质量为m，轨道半径为r；地球质量为M，半径为R。引力常量为G。    17．对接后的组合体受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 18．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 19．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 20．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 21．根据题目中的信息，下列说法正确的是（　　） A．可以计算出对接后组合体表面的重力加速度 B．可以计算出对接后组合体的第一宇宙速度 C．与地球质量M无关 D．对应物理量的单位与动能的单位相同 【答案】17．B 18．B 19．A 20．D 21．D 【解析】17．根据万有引力定律，可知对接后的组合体受到地球的万有引力大小为 ACD错误，B正确。 故选B。 18．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供向心力 ACD错误，B正确。 故选B。 19．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供向心力 BCD错误，A正确。 故选A。 20．根据角速度与周期的关系，可得对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的周期为 ABC错误，D正确。 故选D。 21．A．根据黄金代换，可知对接后组合体表面的重力加速度为 要想求组合体表面的重力加速度需要知道组合体的质量和半径，根据题意组合体的半径不确定，所以不能求出组合体表面的重力加速度，A错误； B．根据第一宇宙速度的意义可知 由于组合体的半径不确定，所以不能求组合体的第一宇宙速度，B错误； C．对接后的组合体绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供向心力 可知与地球质量M有关，C错误； D．根据G、M、m和r的单位分别为、kg、kg、m可知对应物理量的单位为，根据公式 可知此单位为功的单位，等效于J，与动能的单位相同，D正确。 故选D。 【变式训练9-5】请阅读下述文字，完成下列小题 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第56颗北斗导航卫星。这颗卫星属于地球静止轨道卫星，是我国北斗三号工程的首颗备份卫星，入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统。这颗卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，其轨道与地球赤道在同一平面内，从地面上看，卫星在一定高度处静止不动。已知地球半径为R，第56颗北斗导航卫星轨道半径为r。 (1)地球自转的周期为T1，第56颗北斗导航卫星的周期为T2，则（　　） A． B． C． D． (2)赤道上某点随地球自转的线速度大小为v1，第56颗北斗导航卫星运动的线速度大小为v2，则为（　　） A． B． C． D． (3)关于第56颗北斗导航卫星，下列说法正确的是（　　） A．该卫星可以停留在北京的上空 B．该卫星绕地球运行时处于平衡状态 C．该卫星的运行速度一定大于第二宇宙速度 D．该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度 【答案】(1)C (2)A (3)D 【详解】（1）第56颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星，故卫星的周期与地球的自转周期是相同的，即 故选C。 （2）赤道上某点随地球自转的角速度与第56颗北斗导航卫星的角速度相同，由 得 故选A。 （3）A．由于第56颗北斗导航卫星是地球静止轨道卫星，运行轨道与赤道平面共面，不可以停留在北京的上空，A错误； B．该卫星绕地球运行时处于匀速圆周运动状态，合力提供向心力，受力不平衡，不是平衡状态，B错误； CD．由卫星绕地球运动过程，由地球的万有引力提供向心力 得卫星的运行速度 随着轨道半径的增大，运行速度减小，故该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度，又由于第二宇宙速度大于第一宇宙速度，故该卫星的运行速度一定小于第二宇宙速度，C错误，D正确。 故选D。 1 学科网（北京）股份有限公司 $