第02讲 万有引力定律 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高中物理满分练万有引力专题（新高考通用）

第02讲 万有引力定律 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：万有引力定律的内容、推导及适用范围 10 题型02：万有引力的四个特性 22 题型03：万有引力常量的测量 26 题型04：万有引力的计算 30 题型05：空壳球体的万有引力 40 题型06：地表下万有引力 49 题型06: 开普勒三定律的理解和应用 53 一. 分值与题型 高考必考考点，分值6–12分；以选择题（4–6分） 为主（单独考定律应用/结合天体参量比较），计算题（6–8分） 多作为大题第一问（定律推导/天体质量计算），极少单独出压轴题，属于基础必得分模块。 二. 高频考查方向 1.万有引力定律的公式理解与直接应用； 2. 定律的推导与适用条件（质点/均匀球体、r为球心距，常考易错判断）； 3.结合重力与万有引力的关系（黄金代换的推导与应用）； 4. 定律核心应用：天体运动建模（万有引力提供向心力，推导卫星v/ω/T/a与r的关系）； 5.实际情境应用：近地卫星、同步卫星、行星探测（中国航天背景）的受力与参量分析。 三. 命题特点 1.重基础，轻复杂推导：核心考查公式记忆、物理量辨析，无偏题怪题； 2. 情境化，贴近科技：常以嫦娥、天问、天宫、行星探测为背景，提取核心模型即可解题； 3.易设陷阱：混淆“r（轨道半径/球心距）与R（天体半径）”、“表面物体与卫星的受力差异”、“定律适用条件”； 4强综合，衔接核心模型：单独考定律极少，多与“天体质量/密度计算”“卫星变轨”“宇宙速度”结合考查。 四. 考频与趋势 近5年全国卷/新高考卷覆盖率100%，属于基础保底考点；命题趋势偏向“情境提取+公式应用+易错规避”，弱化纯理论推导，强化实际建模能力。 一. 基础目标（必会，保底得分） 1.熟记万有引力定律公式，明确G（引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）、M/m（两物体质量）、r（球心距/质点间距）的物理意义； 2. 掌握定律的适用条件：仅适用于质点或质量均匀分布的球体（非均匀物体不可直接用）； 3. 理解重力与万有引力的关系：天体表面物体重力近似等于万有引力，能推导黄金代换式GM=gR²； 4. 能区分核心物理量：轨道半径r、天体半径R、天体表面高度h（r=R+h）。 二. 能力目标（熟练，应对中档题） 1. 能利用万有引力定律计算两物体间的引力，解决近地/天体表面的受力基础问题； 2. 能通过“万有引力提供向心力”，推导卫星运行参量公式（v/ω/T/a与r的关系），理解“高轨低速长周期”结论； 3. 能结合黄金代换，实现GM与gR²的灵活代换，简化天体运动计算（消去未知量GM）； 4.能从航天实际情境中提取核心模型，判断受力特点（万有引力唯一向心力），排除无关情境干扰。 三. 素养目标（提升，避免失分，衔接综合题） 1.建立天体运动核心建模思维：凡天体/卫星的匀速圆周运动，均归为“万有引力提供向心力”模型； 2.养成审题标量+条件判断习惯：圈出r/R/h、T/v/g等关键量，先判断是否符合定律适用条件； 3.掌握公式灵活变形技巧：根据已知量选择最优公式（如已知T优先用周期公式，已知g优先用黄金代换）； 4. 能区分易混模型：天体表面赤道物体（万有引力≠向心力）与近地卫星（万有引力=向心力）、均匀球体与非均匀物体的受力差异。 知识点一：行星与太阳间的引力 许多科学家都对运动的原因提出了各种猜想。牛顿在前人对惯性研究的基础上，认为：以任何方式改变速度（包括方向）都需要力。因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力，所以，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。 1.建立理想化模型 (1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。 简化成 (2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。 2.太阳对行星的引力 假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力．设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知 ， ① ． ② 由①②得 ． ③ 又由开普勒第三定律 ， ④ 由③④式得 ， ⑤ 即 ． ⑥ 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比． 3.行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F． 即 ． ⑦ 4.太阳与行星间的引力 比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关． 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的． 5.引力公式 1.公式表明，太阳与行星间的引力大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。 2.式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。 3.太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线方向。 4.我们沿着牛顿的足迹，一直是在已有的观测结果（开普勒行星运动定律）和理论引导（牛顿运动定律）下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立，这还不是万有引力定律。 万有引力定律的得出过程 知识点二：月—地检验 1.猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G. 地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G. 由于r＝60R，所以＝. 2.验证：（1）苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2. （2）月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108 m.月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s 则a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字)＝2.8×10－4(数值)≈(比例). 3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律. 知识点三：万有引力定律 由上面的结论推广：引力存在于任何两个物体之间，也正因为此，这个引力称做万有引力。 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.――1687年发表在《自然哲学的数学原理》上。 2.表达式：F＝G，其中G叫作引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 3适用条件 (1)万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。r指两个质点之间的距离 (2)当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间距离。 (3)当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） 特别：当两物体距离r趋于为零时，F万并不是趋于无穷大，因为r趋于0时，万有引力公式不在适用。 4.万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点四：引力常量 1686年牛顿发现万有引力，但由于当时实验条件和技术的限制，很难精确地测定上述比例式中比例系数．直到1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙地利用了扭秤装置，第一次在实验室里对两个物体间的引力大小作了精确的测量和计算，比较准确地测出了引力常量． 1．卡文迪许扭秤实验 扭秤的主要部分是：一个T字形轻而结实的框架，倒挂在一根石英丝下。在T形架的两端各固定一个小球，再在每个小球的附近各放一个大球，根据万有引力定律，大球会对小球产生引力，T形架会随之扭转，只要测出其扭转的角度，就可以测出引力的大小。 由于引力很小，这个扭转的角度会很小。怎样才能把这个角度测出来呢？卡文迪许在T形架上装了一面小镜子，用一束光射向镜子，经镜子反射后的光射向远处的刻度尺，当镜子与T形架一起发生一个很小的转动时，刻度尺上的光斑会发生较大的移动。这样，就起到一个化小为大的效果，通过测定光斑的移动，测定了T形架在放置大球前后扭转的角度，从而测定了此时大球对小球的引力。 扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度又通过光标的移动来反映（二次放大）．从而确定物体间的万有引力． 2引力常量 3测定引力常量G的重要意义 （1）证明了万有引力的存在． （2）扭秤实验的物理思想和科学方法“开创了测量弱力的新时代”……英国物理学家玻印廷语． 知识点五：重力和万有引力的关系 重力只是物体所受万有引力的一个分力，只是由于另一个分力F向特别小，所以一般近似认为地球表面（附近）上的物体，所受重力等于万有引力。 物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体的万有引力F可分解为：重力G=mg；提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示. 1.当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G. 2.当物体在赤道上时：F向＝mω2R最大，此时重力最小 Gmin＝G－mω2R 3.在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小（忽略地球自转时），常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 4.从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2R减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.因为F向、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G. 重力与高度的关系——星球上空的重力加速度g′ 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.＝ 1.特别说明 ①重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力. ②在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G. ③区别两种距离：①卫星轨道（环绕）半径 天体半径R②距地面高度 与天体中心的距离 2.两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 3、万有引力定律发现的重要意义 ①万有引力定律的发现, 是17世纪自然科学最伟大的成果之一。把地面上物体运动的规律和天体的运动规律统一了起来。 ②万有引力定律的发现, 对以后物理学的发展和天文学的发展具有深远的影响, 它第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的规律。 ③万有引力定律的发现, 解放了人们的思想，对科学文化的发展起到了积极的推动作用。 2. 通用解题步骤（4步走，不丢步骤分，适配所有题型） 1. 定模型+判条件：判断研究对象（质点/均匀球体/卫星/表面物体），确认是否符合万有引力定律适用条件； 2. 析受力：明确核心受力——卫星/天体：万有引力=唯一向心力；天体表面物体：万有引力≈重力（赤道物体除外）； 3. 选公式：根据已知量选最优公式（已知g/R用黄金代换；已知T/v/ω用向心力公式；求引力直接用定律基础公式）； 4. 代值计算+验结论：统一单位（长度转m，时间转s），代入公式计算；结合“高轨低速长周期”验证结果合理性。 题型01：万有引力定律的内容、推导及适用范围 【典型例题1】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．自然界中任意两个物体之间都存在万有引力 D．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的 2倍 【答案】C 【详解】AC．自然界中任意两个物体之间都存在万有引力。故A错误；C正确； B．万有引力公式只适用于两个看成质点的物体，当r趋近于0时，物体不能看作质点，该公式不再适用。故B错误； D．根据万有引力公式 可知相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力会增加到原来的4倍。故D错误。 故选C。 【典型例题2】关于引力常量，下列说法正确的是（　　） A．引力常量是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力 B．牛顿发现了万有引力定律，给出了引力常量的值 C．引力常量的测定，进一步证明了万有引力定律的正确性 D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量 【答案】CD 【详解】A．引力常量的大小等于两个质量为1kg的质点相距1m时的万有引力的数值，而引力常量不是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力，故A错误； B．牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量的值，引力常量的值是卡文迪什巧妙地利用扭秤装置在实验室中测出的，故B错误； CD．引力常量的测定，成了万有引力定律正确性的证据，而且也可以帮助人们测量天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在，故CD正确。 故选CD。 【典型例题3】关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿测量出了G值，使万有引力定律真正得以应用 B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律 C．由可知，与的乘积越大，相互作用的两个天体间的万有引力越大 D．引力常量G值大小与中心天体选择有关 【答案】B 【详解】A．最早测出G值的是卡文迪许，不是牛顿，故A错误； B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故B正确； C．由公式可知，G为常量，r一定时，与的乘积越大，F越大，故C错误； D．引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误。 故选B。 【典型例题4】关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿通过“月-地检验”发现地球对月球的引力与太阳对地球的引力是同一性质的力 B．小张与同桌之间因为相距很近，所以两者之间万有引力非常大 C．万有引力定律只适用于天体与天体之间 D．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，一般质量大的物体受到的引力也大 【答案】A 【详解】A．根据物理学史可知，牛顿通过“月-地”检验验证了重力与地球对月球的引力是同一性质的力，故A正确； B．小张与同桌之间因为相距很近，小张和同桌不能看成质点，则万有引力定律不适用，故B错误； C．牛顿提出的万有引力定律适用于任意两个物体之间，故C错误； D．两物体各自受到对方的引力的大小遵循牛顿第三定律，大小相等，故D错误。 故选A。 【典型例题5】任何有质量的物体周围都存在引力场，万有引力是通过引力场发生作用的．引入“引力场强度”A来表示引力场的强弱和方向，质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力为F，则地球在该处产生的引力场强度A=，以下说法正确的是（    ） A．A的单位与加速度的单位相同 B．A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致 C．r越大，A越大 D．m越大，A越小 【答案】AB 【详解】AB、F为质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力，则A=表示的就是物体的加速度，根据牛顿第二定律定律，A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致，故AB正确． CD、由万有引力定律F=G知，r越大，引力F越小，则A越小；由A=知，A与m无关，故CD错误． 【变式训练1-1】第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。下列有关万有引力定律的说法中正确的是（　　） A．开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆 B．太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星 C．伽利略利用实验较为准确地测出了引力常量的数值 D．牛顿在发现万有引力定律的过程中没有利用牛顿第三定律的知识 【答案】A 【详解】A．开普勒第一定律的内容是，行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳在椭圆的焦点处即开普勒观察总结的。故A正确； B．太阳与行星之间引力的规律也适用于行星与它的卫星。故B错误； C．卡文迪许利用实验较为准确地测出了引力常量的数值。故C错误； D．牛顿在发现万有引力定律的过程中想到了A吸引B那么B也吸引A且应该质量越大力越大，即引力应该正比于两个质量的乘积，利用了牛顿第三定律的知识。故D错误。 故选A。 【变式训练1-2】下列说法错误的是（　　） A．开普勒系统地总结了行星绕日运动的规律，并解释了行星在各自轨道上运动的原因 B．牛顿用“月－地检验”证实了万有引力定律的正确性 C．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 D．钱学森被称为“中国航天之父” 【答案】A 【详解】A．开普勒总结了行星运动定律，并没有解释行星为什么这样运动；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，故A错误，符合题意； B．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面重力加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”， 得出天上和地面引力遵循相同规律，故B正确，不符合题意； C．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量，故C正确，不符合题意； D．被誉为“中国航天之父”的人是钱学森，故D正确，不符合题意。 故选A。 【变式训练1-3】以下关于万有引力的说法正确的是（　　） A．牛顿发现万有引力并推出万有引力定律与开普勒等科学家的研究无关 B．万有引力只存在于天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力 C．万有引力存在于自然界任意两个物体之间 D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，而太阳是中心天体，行星对它无万有引力的作用 【答案】C 【详解】A．开普勒等科学家对天体运动的研究为万有引力定律的发现做了准备，故A错误； BC．所有的物体之间都有万有引力的作用，故B错误，C正确； D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，根据牛顿第三定律，太阳也受到行星对它的万有引力，故D错误。 故选C。 【变式训练1-4】对于质量为和质量为的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 C．只有质量巨大的物体间才有万有引力 D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【答案】A 【详解】A．公式中的G是引力常量，它是由卡文迪许通过实验得出的，而不是人为规定的，选项A正确； B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力定律不再适用，选项B错误； C．任何两物体之间都存在万有引力，选项C错误； D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，选项D错误。 故选A。 【变式训练1-5】对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．r是两物体间最近的距离 B．G是引力常量，是人为规定的 C．当r等于零时，万有引力为无穷大 D．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 【答案】D 【详解】A．r是两质点间的距离，质量分布均匀的球体可视为质点时，r是两球心间的距离，故A错误； B．G是引力常量，是卡文迪什在实验室用扭秤实验测定出来的，故B错误； C．当r等于零时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，故D正确。 故选D。 【变式训练1-6】地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗？为了回答这个问题，牛顿进行了著名的“月—地检验”。“月—地检验”比较的是（　　） A．月球公转的向心加速度和地球公转的向心加速度 B．月球表面上物体的重力加速度和地球公转的向心加速度 C．月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度 D．月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度 【答案】C 【详解】在牛顿所处的时代，人们已经能够比较精确地测定重力加速度，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度。牛顿深入思考了月球所受引力与地面物体所受引力的关系，得出天上的力和地上的力是统一的。 故选C。 【变式训练1-7】在人类对万有引力定律的认识过程中，物理学家大胆猜想、勇于质疑，取得了辉煌的成就。下列有关该定律的说法正确的是（　　） A．伽利略进行了“月—地检验”，将天体间的引力和地球上物体的重力统一起来 B．表达式中，物体间的r趋近于0则F趋于无穷大 C．卡文迪什用扭秤实验测出了引力常量G的大小 D．万有引力定律只适用于天体间的引力，不适用于地面上物体间的引力 【答案】C 【详解】A．牛顿进行了“月—地检验”，将天体间的引力和地球上物体的重力统一起来，故A错误； B．表达式中，物体间的r趋近于0时，公式不适用，故B错误； C．卡文迪什用扭秤实验测出了引力常量G的大小，故C正确； D．万有引力定律适用于任何两个物体间，故D错误。 故选C。 【变式训练1-8】下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　） A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力只存在于质量大的天体之间 【解答】解：A、万有引力存在于一切物体之间，两个质点之间存在万有引力，即使不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力，故A错误； B、万有引力定律的公式适用于质点间的万有引力，非质点间的引力也可以用这个公式来算，但是不能直接得到引力，需要用微分的思想来对物体分割计算万有引力，故B错误； C、由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，故C正确； D、万有引力存在于任何两个有质量的物体之间，并不是只存在于质量大的天体之间，故D错误。 故选：C。 【变式训练1-9】关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（　　） A．不能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B．分析常见的质量不太大的物体受力时，物体间万有引力可以忽略不计 C．由F＝G知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 D．两球体间的引力可用F＝G计算，r是两球心间距离 【解答】解：A．自然界中任何两个物体都存在相互作用的引力，故A错误； B．根据万有引力定律可知，分析常见的质量不太大的物体受力时，由于物体间万有引力非常小，因此可用忽略不计，故B正确； C．万有引力定律适用于两个质点间万有引力大小的计算，当两物体紧靠在一起时，r→0，万有引力定律不再适用，故C错误； D．只有质量分布均匀的分离的球体之间的引力可用计算，r是两球心间距离，故D错误。 故选：B。 【变式训练1-10】结合万有引力定律（F＝G）和向心力相关知识，可推得开普勒第三定律（k）中k的表达式。下面关于k的说法中正确的是（　　） A．k就是G B．k与G无关 C．k与中心天体的质量M有关 D．太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值相同 【解答】解：ABC、根据万有引力提供向心力有： 解得： 由开普勒第三定律得：k，故AB错误，C正确； D、根据前面分析可知k与中心天体的质量M有关，所以太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值不相同，故D错误。 故选：C。 【变式训练1-11】关于万有引力，下列说法中正确的是（         ） A．万有引力定律是卡文迪许提出的 B．万有引力常量是牛顿通过实验测出的 C．万有引力定律是伽利略提出的 D．万有引力常量是卡文迪许通过实验测出的 【答案】D 【详解】AC. 万有引力定律是牛顿提出的，故AC错误； BD、万有引力恒量是由卡文迪许通过实验测定的，故B错；D正确； 本题选：D 【变式训练1-12】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【答案】B 【详解】设月球的质量为，地球的质量为，苹果的质量为，地球的半径为，月球半径为 A．地球吸引月球的力为 苹果受到的万有引力为 由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误； B．由万有引力提供向心力可得，月球公转的加速度约为 苹果落向地面加速度 整理可知 故B正确； C．由万有引力等于重力，在地球表面有 在月球表面有 由于地球、月球本身的半径大小、质量大小关系未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误； D．由C可知，无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故D错误。 故选B。 【变式训练1-13】下列说法正确的是（　　） A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是牛顿第二定律的公式，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得到的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的 【答案】AB 【详解】A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是牛顿第二定律的公式，是可以在实验室中得到验证的，故A正确； B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得到的，故B正确； C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是开普勒第三定律，是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的，不可以在实验室中得到验证的，故C错误； D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式来源于开普勒定律，不可以在实验室中得到验证的，故D错误。 故选AB。 【变式训练1-14】下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律的数学表达式适用于两质点间的作用力计算 B．据，当r→0时，物体、间引力F趋于无穷大 C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心外，则大球与小球间万有引力 D．两个质量分布均匀的、分离的球体视为质量集中在球心，它们之间的相互作用力可以用计算，r是两球体球心间的距离 【答案】AD 【详解】A．万有引力定律的数学表达式适用于两质点间的作用力计算，是正确的，故选项A正确； B．当r→0时，物体已经不能看做质点，物体、间引力不能用公式计算，故选项B错误； C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心外，此时两球心距离大于R，故选项C错误； D.两个质量分布均匀的、分离的球体视为质量集中在球心，它们之间的相互作用力可以用计算，r是两球体球心间的距离，所以选项D正确。 故选AD。 【变式训练1-15】1687年牛顿提出了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是（　　）    A．只有天体间才存在万有引力 B．利用万有引力定律不能准确计算相距0.5m的两个学生之间的万有引力 C．这个实验装置巧妙地利用放大原理提高了测量精度 D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小 【答案】BCD 【详解】A．自然界中任何两个物体之间都存在万有引力，选项A错误； B．万有引力定律表达式F=G中，r是指两质点间的距离，当两个学生相距0.5m时，他们都不能视为质点，此时万有引力定律表达式不适用，因此不能用其准确计算相距0.5m的两个学生之间的万有引力，选项B正确； C．卡文迪许所用的扭秤装置，巧妙地将石英丝的扭转角度转化为反射光点在刻度尺上移动的距离，利用放大原理提高了测量精度，选项C正确； D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，选项D正确。 故选BCD。 【变式训练1-16】如图，有一卫星绕地球沿椭圆轨道运行。卫星从远地点向近地点运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．速率保持不变 B．速率越来越大 C．所受引力越来越大 D．所受万有引力大小不变 【答案】BC 【详解】AB．卫星从远地点向近地点运动时，万有引力与速度成锐角，卫星做加速运动，速度越来越大，故A错误，B正确； CD．卫星从远地点向近地点运动时，卫星和地球的距离 逐渐变小，由 则所受引力越来越大，故C正确，D错误； 故选BC。 【变式训练1-17】下列四幅图中，相应的说法正确的是（   ） A．图甲中多次实验两球均同时落地，表明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动 B．图乙运动员要想射中靶心，必须将前头沿水平方向瞄准靶心射出 C．图丙水杯随转盘一起匀速转动，杯中水减少时，水杯仍然不会发生相对滑动 D．图丁为牛顿通过扭秤实验测出万有引力常量 【答案】AC 【详解】A．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落，两球同时落地，可知平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，A正确； B．射出的箭具有水平的初速度，只受重力作用，在空中做平抛运动，箭在空中运动时，竖直方向要下落一段距离，所以不能正对靶心水平射出，应高于靶心射出，才能射中靶心，B错误； C．水杯随转盘一起匀速转动，则有 f = mrω2 f为静摩擦力，其在0到μmg之间，则当m减小f和mrω2均减小，则水杯仍然不会发生相对滑动，C正确； D．卡文迪许通过扭秤实验测出万有引力常量，D错误。 故选AC。 【变式训练1-18】在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（　　） A．伽利略发现了行星运动的规律 B．卡文迪许通过实验测出了引力常量 C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因 D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献 【答案】BD 【详解】A．行星运动定律由开普勒、牛顿等人发现，选项A错误； B．卡文迪许通过实验测出了引力常量，选项B正确； C．伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，选项C错误； D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献，选项D正确。 故选BD。 【点睛】 【变式训练1-19】如图所示，在月球附近圆轨道上运行的“嫦娥二号”，到A点时变为椭圆轨道，B点是近月点，则（ ） A．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然加速 B．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然减速 C．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”受到月球的引力减小 D．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”速率增大 【答案】BD 【详解】AB.在A点变轨时，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，故A错误，B正确； C.根据万有引力定律得，，r越来越小，则引力越来越大，故C错误； D.从A到B运动的过程中，万有引力做正功，根据动能定理，则动能增大，即速率增大，故D正确。 故选BD。 【变式训练1-20】2018年12月8日，我国探月工程“嫦娥叫号”探测器在四川西昌卫星发射中心发射成功。经历地月转移、环月飞行、近月制动，约27天的奔月旅程后，最终实现人类首次在月球背面软着陆，开展月球背面就位探测及巡视探测。下列说法正确的是（    ） A．从地面发射升空的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态 B．环月飞行的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态 C．从环月飞行到在月球背面着陆的过程中，月球对“嫦娥四号”探测器的引力不断增大 D．在地月转移轨道上，地球对“嫦娥四号”探测器的引力不断减小且对“嫦娥四号”探测器不做功 【答案】BC 【详解】考查环绕速度和功能关系。升空时，“嫦娥四号”加速上升处于超重状态；环绕月球时引力提供向心力，处于完全失重状态；着陆过程中，高度变小，由万有引力公式知引力变大；地月转移过程中地球对“嫦娥四号”的引力虽变小，但引力方向上有位移，故引力做功。 故选BC。 题型02： 万有引力的四个特性 【典型例题1】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离 D．卡文迪许测出了引力常量G 【解答】解：A、万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误； B、根据万有引力公式，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，当r小到一定程度，物体不能看成质点，公式不再适用，故B错误； C、计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球球心的距离，故C错误； D，引力常量G是英国的物理学家卡文迪许在是实验室中测量出来的，故D正确。 故选：D。 【典型例题2】关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（　　） A．不能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B．分析常见的质量不太大的物体受力时，物体间万有引力可以忽略不计 C．由F＝G知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 D．两球体间的引力可用F＝G计算，r是两球心间距离 【解答】解：A．自然界中任何两个物体都存在相互作用的引力，故A错误； B．根据万有引力定律可知，分析常见的质量不太大的物体受力时，由于物体间万有引力非常小，因此可用忽略不计，故B正确； C．万有引力定律适用于两个质点间万有引力大小的计算，当两物体紧靠在一起时，r→0，万有引力定律不再适用，故C错误； D．只有质量分布均匀的分离的球体之间的引力可用计算，r是两球心间距离，故D错误。 故选：B。 【变式训练2-1】万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它向人们揭示，复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律。下列关于万有引力定律的理解正确的是（　　） A．自然界中任何两个物体间都存在万有引力 B．引力常量G没有单位 C．两个物体质量发生改变，万有引力一定改变 D．万有引力与两物体间距离成反比 【解答】解：A、万有引力定律具有普遍的意义，自然界中任何两个物体间都存在万有引力，故A正确； B、根据万有引力定律：F，可得：G，所以引力常量的单位是N•m2/kg2，故B错误； C、根据万有引力定律：F，可知两个物体质量发生改变，若它们之间的距离也发生变化，万有引力不一定改变，故C错误； D、根据万有引力定律：F，可知万有引力与两个物体之间距离的平方成反比，故D错误。 故选：A。 【变式训练2-2】结合万有引力定律（F＝G）和向心力相关知识，可推得开普勒第三定律（k）中k的表达式。下面关于k的说法中正确的是（　　） A．k就是G B．k与G无关 C．k与中心天体的质量M有关 D．太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值相同 【解答】解：ABC、根据万有引力提供向心力有： 解得： 由开普勒第三定律得：k，故AB错误，C正确； D、根据前面分析可知k与中心天体的质量M有关，所以太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值不相同，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-3】万有引力定律的表达式，关于万有引力，下列说法中正确的是（　　） A．公式中G为引力常量，是由牛顿测得 B．当r趋于零时，万有引力趋于无限大 C．两物体间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【解答】解：A、公式中的G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，为引力常量，它是卡文迪许通过扭秤实验测得的，故A错误。 B、万有引力定律公式适用于质点间的万有引力，当距离r趋向于0时，公式不再适用。故B错误。 CD、两个物体之间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对相互作用力，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练2-4】关于万有引力定律的数学表达式，下列说法正确的是（　　） A．公式中G为引力常数，是人为规定的 B．r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力 D．卡文迪什用“扭秤实验”测定了G的值，在数值上等于两个质量都为1kg的物体相距1m时的相互作用力 【解答】解：A、万有引力公式中G为引力常量，是由卡文迪许通过实验测得的，不是人为规定的，故A错误； B、根据万有引力公式的形式，中从数学角度讲：当r趋近于零时其值是趋于无穷大，然而这是物理公式，所以R不可能为零。万有引力公式只适合于两个可以看作质点的物体，即，物体（原子）的自身半径相对两者的间距可以忽略时适用。而当距离无穷小时，相邻的两个原子的半径远大于这个距离，它们不再适用万有引力公式。故B错误； C、m1、m2之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律，总是大小相等，并不是一对平衡力，故C错误； D、根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-5】下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　） A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力只存在于质量大的天体之间 【解答】解：A、万有引力存在于一切物体之间，两个质点之间存在万有引力，即使不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力，故A错误； B、万有引力定律的公式适用于质点间的万有引力，非质点间的引力也可以用这个公式来算，但是不能直接得到引力，需要用微分的思想来对物体分割计算万有引力，故B错误； C、由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，故C正确； D、万有引力存在于任何两个有质量的物体之间，并不是只存在于质量大的天体之间，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-6】关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知1，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．引力常量G的数值是理论推导出来的 【答案】C 【详解】A．万有引力定律适应于两个质点之间的作用，即使不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力，选项A错误； B．万有引力定律的公式适用于质点间的万有引力，非质点间的引力也可以用这个公式来算，但是不能直接得到引力，需要用微分的思想来对物体分割计算万有引力，故B错误； C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，选项C正确； D．引力常量G的数值是根据实验测得的，不是理论推导出来的，选项D错误。 故选C。 【变式训练2-7】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【解答】解：A．使两物体的质量各减小一半，距离不变，根据知，万有引力变为原来的，故A错误； B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变，根据知，万有引力变为原来的，故B错误； C．使两物体的质量和距离都减小为原来的，根据知，万有引力不变，故C错误； D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍，根据知，万有引力变为原来的，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-8】牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力常量G。在1798年，卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次比较准确地测出了引力常量G的值，实验装置如图所示，在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是（　　） A．微元法 B．控制变量法 C．理想模型法 D．微小形变放大法 【解答】解：在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是微小形变放大法，具体做法是：利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，采用镜尺法显示扭秤的偏转情况，故D正确，ABC错误。 故选：D。 题型03：万有引力常量的测量 【典型例题1】如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A．牛顿通过该装置测出了引力常量G B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想 C．开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D．牛顿被称为第一个称量地球的人 【答案】B 【详解】AD．卡文迪什通过该装置测出了引力常量G，也因此被称为第一个称量地球的人，故A、D错误； B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想，故B正确； C．牛顿先提出万有引力定律，卡文迪什之后用扭秤实验测出引力常量，验证万有引力定律的正确性，故C错误。 故选B。 【典型例题2】下列关于几幅书本插图的说法中错误的是（　　）    A．甲图中，牛顿测定引力常量的实验运用了放大法测微小量 B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法 C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法 D．丁图中，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用 【答案】A 【详解】A．甲图中，卡文迪什测定引力常量的实验运用了放大法测微小量，故A错误，符合题意； B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法，故B正确，不符合题意； C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法，故C正确，不符合题意； D．火车转弯超过规定速度行驶时，火车有离心运动的趋势，所以外轨对外轮缘会有挤压作用，以帮助提供向心力，故D正确，不符合题意。 故选A。 【变式训练3-1】在粤教版必修2的物理课本中出现很多插图，关于这些插图，下列说法中错误的是（　　）        A．甲图中，卡文迪许测定引力常量的实验运用了放大法测微小量 B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法 C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法 D．丁图中，汽车在水平路面转弯时发生侧滑是因为离心力大于最大静摩擦力 【答案】D 【详解】A．甲图中，卡文迪许测定引力常量的实验运用了放大法测微小量，选项A正确； B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法，选项B正确； C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法，选项C正确； D．丁图中，转弯时因速度过大导致发生侧弯是因为汽车所需的向心力大于最大静摩擦力，选项D错误； 本题选错误的，故选D。 【变式训练3-2】下列说法正确的是（　　） A．开普勒研究行星运动得出了开普勒三大定律，并发现了万有引力定律 B．卡文迪许用扭秤实验测出了引力常量的大小，引力常量G值的大小与中心天体的选择有关 C．由万有引力定律表达式可知，两物体间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 D．由开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】C 【详解】A．开普勒研究了行星运动得出了开普勒三大定律，牛顿发现了万有引力定律，故A错误； B．卡文迪许用扭秤实验测出了引力常量的大小，引力常量G值是恒量其大小与中心天体的选择无关，故B错误； C．两物体间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，遵循牛顿第三定律，故C正确； D．根据第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，是对同一个行星而言，对不同的行星，太阳与其连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选C。 【变式训练3-3】关于如图a、图b、图c、图d所示的四种情况，下列说法中正确的是（　　） A．图a中，火车以小于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车对外轨有压力 B．图b中，卡文迪什运用了放大法测微小量测出了引力常量 C．图c中，牛顿根据第谷的观测数据提出了关于行星运动的三大定律 D．图d中，实验中不计一切阻力，实验中两个小球同时落地，说明平抛运动在水平方向上为匀速直线运动 【答案】B 【详解】A．图a中，火车以小于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车需要的向心力小于火车重力和轨道对火车的支持力的合力，此时内轨对火车有压力，根据牛顿第三定律可知火车对内轨有压力，故A错误； B．图b中，卡文迪什运用了放大法测微小量测出了引力常量，故B正确； C．图c中，开普勒根据第谷的观测数据提出了关于行星运动的三大定律，故C错误； D．图d中，实验中不计一切阻力，实验中两个小球同时落地，说明两球在竖直方向的运动相同，即平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动，选项D错误。 故选B。 【变式训练3-4】如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A．牛顿通过该装置测出了引力常量G B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想 C．开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D．牛顿被称为第一个称量地球的人 【答案】B 【详解】AD．卡文迪什通过该装置测出了引力常量G，也因此被称为第一个称量地球的人，故A、D错误； B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想，故B正确； C．牛顿先提出万有引力定律，卡文迪什之后用扭秤实验测出引力常量，验证万有引力定律的正确性，故C错误。 故选B。 【变式训练3-5】如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所施加的力为万有引力，即 根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度 根据 得到 故选D。 【变式训练3-6】牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力常量G。在1798年，卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次比较准确地测出了引力常量G的值，实验装置如图所示，在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是（　　） A．微元法 B．控制变量法 C．理想模型法 D．微小形变放大法 【解答】解：在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是微小形变放大法，具体做法是：利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，采用镜尺法显示扭秤的偏转情况，故D正确，ABC错误。 故选：D。 题型04：万有引力的计算 【典型例题1】万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用。现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据万有引力定律公式F＝G 可知将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，则万有引力的大小F′F．故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．2012年2月25日，我国成功发射了第11颗北斗导航卫星，标志着北斗卫星导航系统建设又迈出了坚实一步．若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由万有引力公式，两者间的距离为R+h，因此引力为，D正确 【典型例题2】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【解答】解：A．使两物体的质量各减小一半，距离不变，根据知，万有引力变为原来的，故A错误； B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变，根据知，万有引力变为原来的，故B错误； C．使两物体的质量和距离都减小为原来的，根据知，万有引力不变，故C错误； D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍，根据知，万有引力变为原来的，故D正确。 故选：D。 【典型例题3】两个质量均为m的星体,其连线的垂直平分线为MN,O为两星体连线的中点,如图所示.一个质量也为m的物体从O沿OM方向运动,则它受到的万有引力大小变化情况是 (　　) A.一直增大 B.一直减小 C.先减小,后增大 D.先增大,后减小 解析:质量为m的物体在O点时,所受两星体万有引力的合力为0,运动到无限远时,万有引力为0,在距O点不远的任一点,万有引力都不为0,选项D正确. 答案:D 【典型例题4】从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，地球半径为，汽车质量为，根据万有引力定律可得 故选C。 【变式训练4-1】一物体从某行星表面某高度处自由下落,从物体开始下落计时,得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示.不计行星的自转,忽略高度变化引起的重力加速度变化,不计阻力.则根据h-t图像可以计算出 (　　) A.行星的质量 B.行星的半径 C.行星表面重力加速度的大小 D.物体受到的行星引力大小 解析:根据图像可得物体下落25 m用的总时间为2.5 s,根据运动学公式可求得行星表面的重力加速度,选项C正确;根据物体在行星表面的万有引力约等于重力,只能求出行星质量与行星半径二次方的比值,不能求出行星的质量和半径,选项A、B错误;因为物体质量未知,所以不能确定物体受到行星的引力大小,选项D错误. 答案:C 【变式训练4-2】假设有质量相等的A、B两颗地球卫星，已知地球半径为R，卫星A距地面高度为R，卫星B距地面高度为2R，卫星B受到地球的万有引力大小为F，则卫星A受到地球的万有引力大小为（    ） A．F B．2F C．F D．4F 【答案】C 【详解】设地球的质量为，卫星的质量为，则对B由万有引力公式可得 对A由万有引力公式可得 可知卫星A受到地球的万有引力大小为 故选C。 【变式训练4-3】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【答案】D 【详解】要使两物体间的万有引力减小到原来的，根据 A．使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A错误； B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，B错误； C．使两物体的质量和距离都减小为原来的，则万有引力不变，C错误； D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍，则万有引力变为原来的，D正确。 故选D。 【变式训练4-4】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（  ） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍 D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则 【答案】D 【详解】A．任意两个物体之间都存在万有引力，故A错误； B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误； C．由万有引力公式 当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误； D．在地面上，有 h处有 联立解得 故D正确。故选D。 【变式训练4-5】“天问一号” 探测器进入火星停泊轨道，并于5月15日成功着陆于火星乌托邦平原。若火星半径为R，质量为M，引力常量为G，着陆前质量为m的“天问一号” 距火星表面高度h，则此时火星对“天问一号”的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由万有引力公式可得火星对“天问一号”的万有引力大小为 故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练4-6】如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，导弹在引力作用下，沿着椭圆轨道飞行击中地面目标，为轨道的远地点，距离地面高度为h。已知地球半径为，地球质量为，引力常量为。设距离地面高度为的圆轨道上卫星运动周期为，下列说法正确的是（　　） A．导弹在点的加速度小于 B．导弹在点的速度大于 C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 D．导弹从点到点的时间一定小于 【答案】CD 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 解得导弹在点的加速度为 A错误； B．导弹在点做近心运动，受到的万有引力大于所需向心力，则有 可得 B错误； C．根据开普勒第一定律可知，地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点，C正确； D．由题意可知导弹椭圆轨道的半长轴小于距离地面高度为的圆轨道半径，根据开普勒第三定律 可知导弹在椭圆轨道运行的周期小于，故导弹从点到点的时间一定小于，D正确。 故选CD。 【变式训练4-7】如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）大致正确的是图中的（　　）    A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】由 可知物体在连线的中点时所受的两个万有引力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为零（因为距离无穷大时万有引力为零），而物体在其他位置时所受的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀。 故选B。 【变式训练4-8】地球质量大约是月球质量的81倍，一颗卫星在地球和月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小之比为4：1时，该卫星距地心距离与距月心距离之比为（　　） A． B．9：2 C．1：81 D．81：1 【答案】B 【详解】设地球质量为81m，月球质量为m，卫星距离地心的距离为a，距离月心的距离为b，则 可得 故选B。 【变式训练4-9】开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据万有引力定律可得，地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为 故选D。 【变式训练4-10】 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物块在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的（　　） A．5倍 B．20倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】物体在地球表面受到地球万有引力为 物体在月球表面受到月球万有引力为 联立可得 故选A。 【变式训练4-11】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零现假设地球是一半径为、质量分布均匀的实心球体，为球心，以为原点建立坐标轴，如图所示一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在轴上各位置受到的引力大小用表示，则选项所示的四个随变化的关系图中正确的是（　　）    A．  B．  C．D．   【答案】A 【详解】因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心处物体所受的引力为 当时 故选A。 【变式训练4-12】图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R2。当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T。当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】人靠在外管壁上随圆管一起做圆周运动，由题意可知 解得 故选B。 【变式训练4-13】如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为、，半径大小分别为、，则两球间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力大小为 故选D。 【变式训练4-14】地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道则是一个非常扁的椭圆，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r1、线速度大小为v1，远日点与太阳中心的距离为r2、线速度大小为v2，则哈雷彗星（　　） A．线速度v1<v2 B．近日点与远日点的机械能相等 C．近日点与远日点的加速度大小之比为 D．远日点的加速度大小为 【答案】BC 【详解】A．根据开普勒第二定律可知 故A错误； B．哈雷彗星运动过程中，只有引力做功，机械能守恒，故B正确； C．根据 近日点与远日点的加速度大小之比为 开普勒第二定律可知 故C正确； D．若哈雷彗星在与太阳中心的距离为的轨道上做匀速圆周运动，则其加速度大小 根据 哈雷彗星在远日点时，与太阳中心的距离为，则其加速度也为 哈雷彗星在远日点由圆轨道转移至椭圆轨道过程中，需要减速，则 故近日点的加速度大小不等于，D错误。 故选BC。 【变式训练4-15】火星半径约为地球半径的一半,火星质量约为地球质量的.一位航天员(连同航天服)在地球上的质量为90 kg,地球表面的重力加速度g取10 m/s2. (1)求在火星上航天员所受的重力. (2)航天员在地球上可跳1.5 m高,他以相同初速度在火星上可跳多高? 解析:(1)忽略星球自转的影响, mg=G,得g=. 在地球上有g=,在火星上有g'=, 解得g'= m/s2, 航天员在火星上所受的重力mg'=400 N. (2)在地球上,航天员跳起的高度为h=, 在火星上,航天员跳起的高度h'=, 代入数据得h'=3.375 m. 答案:(1)400 N　(2)3.375 m 题型05：空壳球体的万有引力 【典型例题1】如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为 （　　）    A． B． C． D．F 【答案】C 【详解】设球心点与球外质点的距离为，没挖去前球体质量为，球外质点质量为，挖去部分的质量为，根据 ， 由于，可知 则没挖去前，球体对质点的万有引力 挖去的部分对球外质点的万有引力 则球体剩余部分对球外质点的引力 故选C。 【典型例题2】有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在小球内部挖去一个半径为R的球体，挖去小球的质量为：m′， 挖去小球前球与质点的万有引力：F″， 被挖部分对质点的引力为：F′， 则剩余部分对m的万有引力F＝F″﹣F′。 故选：A。 【变式训练5-1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球体质量为，挖去的中央球体的质量为，球体的密度为，质点P的质量为，质点P距球心的距离为，则根据题意可得 ， 可知 两个球体对质点的万有引力分别为 ， 可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P的万有引力大小为 故选D。 【变式训练5-2】有一质量为 M，半径为R、密度均匀球体，在距离其球心O为2R处有一质量为m的质点，现从球体中挖去一半径为的球体如图，然后又在挖空部分填充另一种密度为原来n倍的物质，引力常量为G。则填充后实心球体对质点m的万有引力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，未挖去小球体时，大球体对质点的引力为 设大球体的密度为，则 挖去的小球体的质量为 则小球体对质点的引力为 挖空部分填充另一种密度为原来n倍的物质，则填充后的小球对质点的引力为 则填充后实心球体对质点m的万有引力大小为 故选B。 【变式训练5-3】如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心间距离为，则下列说法错误的是（    ） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 【答案】B 【详解】D．在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为的球，根据质量与体积的关系可知被挖去部分的质量为 故D正确； AB．未挖去的球体对A的万有引力为 挖去的球体对A的万有引力为 剩余部分对A的万有引力为 方向在OA连线上 故A正确，B错误； C．在空腔中任取一点P，令，则P点受到的引力分解为第一步先将空腔填满的引力，第二步在减掉挖去部分的引力，如图所示 即合力为 其中 ， 可得 可知引力是相同的，C正确。 本题选择错误选项；故选B。 【变式训练5-4】场是物理学中的重要概念。物体之间的万有引力是通过引力场发生的，地球附近的引力场又叫重力场。若某点与地心相距x，类比电场强度的定义，该点的重力场强度用E表示。已知质量均分布均匀的球壳对壳内任一物体的万有引力为零，地球半径为R。则能正确反应E与x关系的图像是 【参考答案】C 【名师解析】电场中F=Eq，类比电场强度定义，当x＞R时，E引==g=，即在球外E引与x2成反比；当x＜R时，由于质量均分布均匀的球壳对壳内任一物体的万有引力为零，距地心r处的引力场强是有半径为x的“地球”产生的。设半径为x的“地球”质量为Mx，则Mx=，则E引=； 综上C选项正确。 【变式训练5-5】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，假设地球是质量分布均匀的球体，如图若在地球内挖一球形内切空腔，有一小球自切点A自由释放，则小球在球形空腔内将做（　　）    A．自由落体运动 B．加速度越来越大的直线运动 C．匀加速直线运动 D．加速度越来越小的直线运动 【答案】C 【详解】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，那么在地球内挖一球形内切空腔后，小球在下落过程中在任意位置受力，都等于该点到地球球心形成的新球形对小球的万有引力减去该点到空腔球体求新形成新球的万有引力；设地球密度为ρ，小球下落过程中任意点到空腔球心距离为，到地球中心距离为，当小球在空心球心上时，则两球心的距离为，那么小球受到的合外力 则小球的加速度为 当小球在空心球心下时，则两球心的距离为，那么小球受到的合外力 则小球的加速度为 所以小球向球心运动，加速度不变，即小球在球形空腔内做匀加速直线运动。 故选C。 【变式训练5-6】如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，并在空心球内某点放置一个质量为的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由点指向连线上某点 B．方向与连线平行 C．大小为 D．大小为 【答案】BC 【详解】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为 由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为 故以为半径的实心小球对P点的引力为 同理，以为半径的实心小球的质量为 则以为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如图 由几何关系可知 故 A错误，B正确； CD．由上述分析可知 解得 C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练5-7】如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　） A．F1的大小为 B．F2的大小为 C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同 D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同 【答案】AC 【详解】A．设半径为的小球体的质量为，球体的密度为，则有 联立可得 由补偿法可知，其余部分对P处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力，则大球剩余部分对m的万有引力为 代入数据解得 A正确； B．由质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0可知，大球不挖走小球时，大球对点的质点的引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即 由补偿法可知，其余部分对处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，故挖走的小球对该点的引力为0，所以其余部分对该点的引力等于实心大球对该点的引力。B错误； CD．半径为、的小球质量分别为 由B选项分析可知，若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即 同理挖走的小球对该点的引力为以点为圆心，为半径的小球对该点的引力 故其余部分对该点的引力为 C正确，D错误。 故选AC。 题型06：地表下万有引力 【典型例题1】假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。从隧道口P点由静止释放一小球，下列说法正确的是（提示：一个带电金属圆球达到静电平衡时，电荷均匀分布在球外表面，球内部场强处处为0，外部某点场强与一个位于球心、与球所带电荷量相等的点电荷在该点产生的场强相同。）（　　） A. 小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 B. 小球在O点受到地球的引力最大 C. 小球以O点为平衡位置做简谐运动 D. 小球与地球组成系统的引力势能先增加后减少 【参考答案】C 【名师解析】设小球距圆心距离为，地球的密度为，小球的质量为，根据题意，由万有引力公式可得，小球下落过程中，受到的引力为 则小球下落过程中所受引力的大小与到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动。故C正确；根据牛顿定律有，可得 可知，当小球下落时，在点上方时，越来越小，则越来越小，到达点时，则 即此时引力为，引力最小，在点下方时，越来越大，则越来越大，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误；由C分析可知，小球下落过程中，引力先做正功，再做负功，则小球与地球组成系统的引力势能先减小后增大故D错误。 【典型例题2】已知物体放在质量分布均匀的球壳内部的时候受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个孔。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度时间图像下列正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，当小球运动至A处，由题意可知，A处以外的地球部分对小球作用力为零，A处以内的地球部分对小球作用力产生加速度，满足 又有 联立解得 小球靠近地球球心过程，r减小，a减小，做加速度减小的加速运动，到球心另一侧时，由对称性可知，小球做加速度增大的减速运动，A正确。 故选A。 【变式训练6-1】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为、质量分布均匀的球体，假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中，B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应，则下列说法正确的是（    ） A．人在A点速度最大 B．人在B点速度最大 C．人在C点速度最大 D．人在D点速度最大 【答案】B 【详解】根据万有引力的推论，在匀质的空腔内任意位置处，质点受到球壳的引力合力为零，即人往下运动的过程中，球壳越来越厚，对人有引力的中间球体部分越来越小。设人下落过程中离地心的距离为R，根据牛顿第二定律有 得加速度 可知人在往地心掉落的过程中，中间球体部分的半径R减小，加速度减小，在地心处加速度为零，速度最大。 故选B。 【变式训练6-2】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，根据万有引力定律求解。 【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，由万有引力定律有 解得球形空腔的体积 故选D。 【变式训练6-3】如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（　　） A．列车在隧道中A点的合力大小为mg B．列车在P点的重力加速度小于g C．列车在P点的加速度 D．列车在P点的加速度 【答案】BD 【详解】A．列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示 则有 ，， 解得 A错误； B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有 由于质量均匀分布，则有 解得 B正确； CD．令，根据上述，则有 ， 解得 C错误，D正确。 故选BD。 题型06:开普勒三定律的理解和应用 【典型例题1】如图是太阳系中两小行星的轨道示意图，已知两小行星的轨道在同一平面内，其中Amors轨道的半长轴大于1AU，Atiras轨道的半长轴小于0.98AU，可知（　　） A．Amors和Atiras在同一平面内绕太阳沿圆轨道运行 B．Amors和Atiras绕太阳运行的角速度大小始终相等 C．相同时间内，Amors与太阳连线扫过的面积等于Atiras与太阳连线扫过的面积 D．Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方 【解答】解：A、根据开普勒第一定律可知Amors和Atiras两行星在同一平面内绕太阳沿椭圆轨道运行，故A错误； B、根据开普勒第二定律可知Amors和Atiras绕太阳运行过程中线速度大小时刻变化，在近日点的线速度最大，在远日点线速度最小，由v＝ωr可知角速度大小也在变化，故B错误； C、根据开普勒第二定律可知相同时间内，Amors与Atiras各自与太阳连线扫过的面积相等，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故D正确。 故选：D。 【变式训练7-1】对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（　　） A．开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动 B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越大 C．月亮绕地球运动的轨道是一个标准的圆，地球处在该圆的圆心上 D．开普勒第三定律中，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同 【解答】解：A．开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动，也适合于宇宙中其他天体的运动，故A错误； B．开普勒第二定律表明，从近日点到远日点速度越来越小，所以行星离太阳越远，速度越小，故B错误； C．月亮绕地球运动的轨道是一个椭圆，地球处在椭圆的其中一个焦点上，故C错误； D．k值与中心天体的质量有关，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同，故D正确。 故选：D。 【变式训练7-2】地球公转轨道接近圆，但彗星运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，它最近出现的时间为1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。如图为地球与哈雷彗星绕日运动的示意图，且图中M点为两轨迹的交点。则下列分析正确的是（　　） A．哈雷彗星在M点时的速度与地球在M点时的速度相同 B．哈雷彗星在M点时的加速度与地球在M点时的加速度相同 C．根据已知数据可估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 D．地球与太阳的连线和哈雷彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等 【解答】解：A．哈雷彗星在M点时的速度与地球在M点时的速度方向不同，但是速度的大小关系由题设条件无法判定，故A错误； B．根据牛顿第二定律可知：，哈雷彗星在M点时的加速度大小等于地球在M点时的加速度大小相同，方向也相同，即哈雷彗星在M点时的加速度与地球在M点时的加速度相同，故B正确； C．根据开普勒第三定律可知： 则： 代入数据有：，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知：同一颗行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。所以地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积与哈雷彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选：B。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 万有引力定律 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：万有引力定律的内容、推导及适用范围 10 题型02：万有引力的四个特性 16 题型03：万有引力常量的测量 18 题型04：万有引力的计算 21 题型05：空壳球体的万有引力 26 题型06：地表下万有引力 30 题型06: 开普勒三定律的理解和应用 33 一. 分值与题型 高考必考考点，分值6–12分；以选择题（4–6分） 为主（单独考定律应用/结合天体参量比较），计算题（6–8分） 多作为大题第一问（定律推导/天体质量计算），极少单独出压轴题，属于基础必得分模块。 二. 高频考查方向 1.万有引力定律的公式理解与直接应用（中各物理量含义、r的取值）； 2. 定律的推导与适用条件（质点/均匀球体、r为球心距，常考易错判断）； 3.结合重力与万有引力的关系（黄金代换的推导与应用）； 4. 定律核心应用：天体运动建模（万有引力提供向心力，推导卫星v/ω/T/a与r的关系）； 5.实际情境应用：近地卫星、同步卫星、行星探测（中国航天背景）的受力与参量分析。 三. 命题特点 1.重基础，轻复杂推导：核心考查公式记忆、物理量辨析，无偏题怪题； 2. 情境化，贴近科技：常以嫦娥、天问、天宫、行星探测为背景，提取核心模型即可解题； 3.易设陷阱：混淆“r（轨道半径/球心距）与R（天体半径）”、“表面物体与卫星的受力差异”、“定律适用条件”； 4强综合，衔接核心模型：单独考定律极少，多与“天体质量/密度计算”“卫星变轨”“宇宙速度”结合考查。 四. 考频与趋势 近5年全国卷/新高考卷覆盖率100%，属于基础保底考点；命题趋势偏向“情境提取+公式应用+易错规避”，弱化纯理论推导，强化实际建模能力。 一. 基础目标（必会，保底得分） 1.熟记万有引力定律公式，明确G（引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）、M/m（两物体质量）、r（球心距/质点间距）的物理意义； 2. 掌握定律的适用条件：仅适用于质点或质量均匀分布的球体（非均匀物体不可直接用）； 3. 理解重力与万有引力的关系：天体表面物体重力近似等于万有引力，能推导黄金代换式GM=gR²； 4. 能区分核心物理量：轨道半径r、天体半径R、天体表面高度h（r=R+h）。 二. 能力目标（熟练，应对中档题） 1. 能利用万有引力定律计算两物体间的引力，解决近地/天体表面的受力基础问题； 2. 能通过“万有引力提供向心力”，推导卫星运行参量公式（v/ω/T/a与r的关系），理解“高轨低速长周期”结论； 3. 能结合黄金代换，实现GM与gR²的灵活代换，简化天体运动计算（消去未知量GM）； 4.能从航天实际情境中提取核心模型，判断受力特点（万有引力唯一向心力），排除无关情境干扰。 三. 素养目标（提升，避免失分，衔接综合题） 1.建立天体运动核心建模思维：凡天体/卫星的匀速圆周运动，均归为“万有引力提供向心力”模型； 2.养成审题标量+条件判断习惯：圈出r/R/h、T/v/g等关键量，先判断是否符合定律适用条件； 3.掌握公式灵活变形技巧：根据已知量选择最优公式（如已知T优先用周期公式，已知g优先用黄金代换）； 4. 能区分易混模型：天体表面赤道物体（万有引力≠向心力）与近地卫星（万有引力=向心力）、均匀球体与非均匀物体的受力差异。 知识点一：行星与太阳间的引力 许多科学家都对运动的原因提出了各种猜想。牛顿在前人对惯性研究的基础上，认为：以任何方式改变速度（包括方向）都需要力。因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力，所以，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。 1.建立理想化模型 (1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。 简化成 (2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。 2.太阳对行星的引力 假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力．设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知 ， ① ． ② 由①②得 ． ③ 又由开普勒第三定律 ， ④ 由③④式得 ， ⑤ 即 ． ⑥ 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比． 3.行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F． 即 ． ⑦ 4.太阳与行星间的引力 比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关． 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的． 5.引力公式 1.公式表明，太阳与行星间的引力大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。 2.式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。 3.太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线方向。 4.我们沿着牛顿的足迹，一直是在已有的观测结果（开普勒行星运动定律）和理论引导（牛顿运动定律）下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立，这还不是万有引力定律。 万有引力定律的得出过程 知识点二：月—地检验 1.猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G. 地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G. 由于r＝60R，所以＝. 2.验证：（1）苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2. （2）月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108 m.月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s 则a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字)＝2.8×10－4(数值)≈(比例). 3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律. 知识点三：万有引力定律 由上面的结论推广：引力存在于任何两个物体之间，也正因为此，这个引力称做万有引力。 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.――1687年发表在《自然哲学的数学原理》上。 2.表达式：F＝G，其中G叫作引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 3适用条件 (1)万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。r指两个质点之间的距离 (2)当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间距离。 (3)当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） 特别：当两物体距离r趋于为零时，F万并不是趋于无穷大，因为r趋于0时，万有引力公式不在适用。 4.万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点四：引力常量 1686年牛顿发现万有引力，但由于当时实验条件和技术的限制，很难精确地测定上述比例式中比例系数．直到1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙地利用了扭秤装置，第一次在实验室里对两个物体间的引力大小作了精确的测量和计算，比较准确地测出了引力常量． 1．卡文迪许扭秤实验 扭秤的主要部分是：一个T字形轻而结实的框架，倒挂在一根石英丝下。在T形架的两端各固定一个小球，再在每个小球的附近各放一个大球，根据万有引力定律，大球会对小球产生引力，T形架会随之扭转，只要测出其扭转的角度，就可以测出引力的大小。 由于引力很小，这个扭转的角度会很小。怎样才能把这个角度测出来呢？卡文迪许在T形架上装了一面小镜子，用一束光射向镜子，经镜子反射后的光射向远处的刻度尺，当镜子与T形架一起发生一个很小的转动时，刻度尺上的光斑会发生较大的移动。这样，就起到一个化小为大的效果，通过测定光斑的移动，测定了T形架在放置大球前后扭转的角度，从而测定了此时大球对小球的引力。 扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度又通过光标的移动来反映（二次放大）．从而确定物体间的万有引力． 2引力常量 3测定引力常量G的重要意义 （1）证明了万有引力的存在． （2）扭秤实验的物理思想和科学方法“开创了测量弱力的新时代”……英国物理学家玻印廷语． 知识点五：重力和万有引力的关系 重力只是物体所受万有引力的一个分力，只是由于另一个分力F向特别小，所以一般近似认为地球表面（附近）上的物体，所受重力等于万有引力。 物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体的万有引力F可分解为：重力G=mg；提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示. 1.当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G. 2.当物体在赤道上时：F向＝mω2R最大，此时重力最小 Gmin＝G－mω2R 3.在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小（忽略地球自转时），常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 4.从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2R减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.因为F向、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G. 重力与高度的关系——星球上空的重力加速度g′ 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.＝ 1.特别说明 ①重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力. ②在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G. ③区别两种距离：①卫星轨道（环绕）半径 天体半径R②距地面高度 与天体中心的距离 2.两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 3、万有引力定律发现的重要意义 ①万有引力定律的发现, 是17世纪自然科学最伟大的成果之一。把地面上物体运动的规律和天体的运动规律统一了起来。 ②万有引力定律的发现, 对以后物理学的发展和天文学的发展具有深远的影响, 它第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的规律。 ③万有引力定律的发现, 解放了人们的思想，对科学文化的发展起到了积极的推动作用。 2. 通用解题步骤（4步走，不丢步骤分，适配所有题型） 1. 定模型+判条件：判断研究对象（质点/均匀球体/卫星/表面物体），确认是否符合万有引力定律适用条件； 2. 析受力：明确核心受力——卫星/天体：万有引力=唯一向心力；天体表面物体：万有引力≈重力（赤道物体除外）； 3. 选公式：根据已知量选最优公式（已知g/R用黄金代换；已知T/v/ω用向心力公式；求引力直接用定律基础公式）； 4. 代值计算+验结论：统一单位（长度转m，时间转s），代入公式计算；结合“高轨低速长周期”验证结果合理性。 题型01：万有引力定律的内容、推导及适用范围 【典型例题1】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．自然界中任意两个物体之间都存在万有引力 D．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的 2倍 【答案】C 【详解】AC．自然界中任意两个物体之间都存在万有引力。故A错误；C正确； B．万有引力公式只适用于两个看成质点的物体，当r趋近于0时，物体不能看作质点，该公式不再适用。故B错误； D．根据万有引力公式 可知相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力会增加到原来的4倍。故D错误。 故选C。 【典型例题2】关于引力常量，下列说法正确的是（　　） A．引力常量是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力 B．牛顿发现了万有引力定律，给出了引力常量的值 C．引力常量的测定，进一步证明了万有引力定律的正确性 D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量 【答案】CD 【详解】A．引力常量的大小等于两个质量为1kg的质点相距1m时的万有引力的数值，而引力常量不是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力，故A错误； B．牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量的值，引力常量的值是卡文迪什巧妙地利用扭秤装置在实验室中测出的，故B错误； CD．引力常量的测定，成了万有引力定律正确性的证据，而且也可以帮助人们测量天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在，故CD正确。 故选CD。 【典型例题3】关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿测量出了G值，使万有引力定律真正得以应用 B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律 C．由可知，与的乘积越大，相互作用的两个天体间的万有引力越大 D．引力常量G值大小与中心天体选择有关 【答案】B 【详解】A．最早测出G值的是卡文迪许，不是牛顿，故A错误； B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故B正确； C．由公式可知，G为常量，r一定时，与的乘积越大，F越大，故C错误； D．引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误。 故选B。 【典型例题4】关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿通过“月-地检验”发现地球对月球的引力与太阳对地球的引力是同一性质的力 B．小张与同桌之间因为相距很近，所以两者之间万有引力非常大 C．万有引力定律只适用于天体与天体之间 D．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，一般质量大的物体受到的引力也大 【答案】A 【详解】A．根据物理学史可知，牛顿通过“月-地”检验验证了重力与地球对月球的引力是同一性质的力，故A正确； B．小张与同桌之间因为相距很近，小张和同桌不能看成质点，则万有引力定律不适用，故B错误； C．牛顿提出的万有引力定律适用于任意两个物体之间，故C错误； D．两物体各自受到对方的引力的大小遵循牛顿第三定律，大小相等，故D错误。 故选A。 【典型例题5】任何有质量的物体周围都存在引力场，万有引力是通过引力场发生作用的．引入“引力场强度”A来表示引力场的强弱和方向，质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力为F，则地球在该处产生的引力场强度A=，以下说法正确的是（    ） A．A的单位与加速度的单位相同 B．A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致 C．r越大，A越大 D．m越大，A越小 【答案】AB 【详解】AB、F为质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力，则A=表示的就是物体的加速度，根据牛顿第二定律定律，A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致，故AB正确． CD、由万有引力定律F=G知，r越大，引力F越小，则A越小；由A=知，A与m无关，故CD错误． 【变式训练1-1】第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。下列有关万有引力定律的说法中正确的是（　　） A．开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆 B．太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星 C．伽利略利用实验较为准确地测出了引力常量的数值 D．牛顿在发现万有引力定律的过程中没有利用牛顿第三定律的知识 【变式训练1-2】下列说法错误的是（　　） A．开普勒系统地总结了行星绕日运动的规律，并解释了行星在各自轨道上运动的原因 B．牛顿用“月－地检验”证实了万有引力定律的正确性 C．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 D．钱学森被称为“中国航天之父” 【变式训练1-3】以下关于万有引力的说法正确的是（　　） A．牛顿发现万有引力并推出万有引力定律与开普勒等科学家的研究无关 B．万有引力只存在于天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力 C．万有引力存在于自然界任意两个物体之间 D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，而太阳是中心天体，行星对它无万有引力的作用 【变式训练1-4】对于质量为和质量为的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 C．只有质量巨大的物体间才有万有引力 D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【变式训练1-5】对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．r是两物体间最近的距离 B．G是引力常量，是人为规定的 C．当r等于零时，万有引力为无穷大 D．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 【变式训练1-6】地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗？为了回答这个问题，牛顿进行了著名的“月—地检验”。“月—地检验”比较的是（　　） A．月球公转的向心加速度和地球公转的向心加速度 B．月球表面上物体的重力加速度和地球公转的向心加速度 C．月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度 D．月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度 【变式训练1-7】在人类对万有引力定律的认识过程中，物理学家大胆猜想、勇于质疑，取得了辉煌的成就。下列有关该定律的说法正确的是（　　） A．伽利略进行了“月—地检验”，将天体间的引力和地球上物体的重力统一起来 B．表达式中，物体间的r趋近于0则F趋于无穷大 C．卡文迪什用扭秤实验测出了引力常量G的大小 D．万有引力定律只适用于天体间的引力，不适用于地面上物体间的引力 【变式训练1-8】下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　） A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力只存在于质量大的天体之间 【变式训练1-9】关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（　　） A．不能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B．分析常见的质量不太大的物体受力时，物体间万有引力可以忽略不计 C．由F＝G知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 D．两球体间的引力可用F＝G计算，r是两球心间距离 【变式训练1-10】结合万有引力定律（F＝G）和向心力相关知识，可推得开普勒第三定律（k）中k的表达式。下面关于k的说法中正确的是（　　） A．k就是G B．k与G无关 C．k与中心天体的质量M有关 D．太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值相同 【变式训练1-11】关于万有引力，下列说法中正确的是（         ） A．万有引力定律是卡文迪许提出的 B．万有引力常量是牛顿通过实验测出的 C．万有引力定律是伽利略提出的 D．万有引力常量是卡文迪许通过实验测出的 【变式训练1-12】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【变式训练1-13】下列说法正确的是（　　） A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是牛顿第二定律的公式，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得到的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了，这个关系式实际上是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的 【变式训练1-14】下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律的数学表达式适用于两质点间的作用力计算 B．据，当r→0时，物体、间引力F趋于无穷大 C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心外，则大球与小球间万有引力 D．两个质量分布均匀的、分离的球体视为质量集中在球心，它们之间的相互作用力可以用计算，r是两球体球心间的距离 【变式训练1-15】1687年牛顿提出了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是（　　）    A．只有天体间才存在万有引力 B．利用万有引力定律不能准确计算相距0.5m的两个学生之间的万有引力 C．这个实验装置巧妙地利用放大原理提高了测量精度 D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小 【变式训练1-16】如图，有一卫星绕地球沿椭圆轨道运行。卫星从远地点向近地点运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．速率保持不变 B．速率越来越大 C．所受引力越来越大 D．所受万有引力大小不变 【变式训练1-17】下列四幅图中，相应的说法正确的是（   ） A．图甲中多次实验两球均同时落地，表明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动 B．图乙运动员要想射中靶心，必须将前头沿水平方向瞄准靶心射出 C．图丙水杯随转盘一起匀速转动，杯中水减少时，水杯仍然不会发生相对滑动 D．图丁为牛顿通过扭秤实验测出万有引力常量 【变式训练1-18】在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（　　） A．伽利略发现了行星运动的规律 B．卡文迪许通过实验测出了引力常量 C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因 D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献 【变式训练1-19】如图所示，在月球附近圆轨道上运行的“嫦娥二号”，到A点时变为椭圆轨道，B点是近月点，则（ ） A．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然加速 B．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然减速 C．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”受到月球的引力减小 D．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”速率增大 【变式训练1-20】2018年12月8日，我国探月工程“嫦娥叫号”探测器在四川西昌卫星发射中心发射成功。经历地月转移、环月飞行、近月制动，约27天的奔月旅程后，最终实现人类首次在月球背面软着陆，开展月球背面就位探测及巡视探测。下列说法正确的是（    ） A．从地面发射升空的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态 B．环月飞行的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态 C．从环月飞行到在月球背面着陆的过程中，月球对“嫦娥四号”探测器的引力不断增大 D．在地月转移轨道上，地球对“嫦娥四号”探测器的引力不断减小且对“嫦娥四号”探测器不做功 题型02： 万有引力的四个特性 【典型例题1】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离 D．卡文迪许测出了引力常量G 【典型例题2】关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（　　） A．不能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B．分析常见的质量不太大的物体受力时，物体间万有引力可以忽略不计 C．由F＝G知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 D．两球体间的引力可用F＝G计算，r是两球心间距离 【变式训练2-1】万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它向人们揭示，复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律。下列关于万有引力定律的理解正确的是（　　） A．自然界中任何两个物体间都存在万有引力 B．引力常量G没有单位 C．两个物体质量发生改变，万有引力一定改变 D．万有引力与两物体间距离成反比 【变式训练2-2】结合万有引力定律（F＝G）和向心力相关知识，可推得开普勒第三定律（k）中k的表达式。下面关于k的说法中正确的是（　　） A．k就是G B．k与G无关 C．k与中心天体的质量M有关 D．太阳行星系统的k值与地球卫星系统的k值相同 【变式训练2-3】万有引力定律的表达式，关于万有引力，下列说法中正确的是（　　） A．公式中G为引力常量，是由牛顿测得 B．当r趋于零时，万有引力趋于无限大 C．两物体间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【变式训练2-4】关于万有引力定律的数学表达式，下列说法正确的是（　　） A．公式中G为引力常数，是人为规定的 B．r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力 D．卡文迪什用“扭秤实验”测定了G的值，在数值上等于两个质量都为1kg的物体相距1m时的相互作用力 【变式训练2-5】下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（　　） A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力只存在于质量大的天体之间 【变式训练2-6】关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知1，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．引力常量G的数值是理论推导出来的 【变式训练2-7】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【变式训练2-8】牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力常量G。在1798年，卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次比较准确地测出了引力常量G的值，实验装置如图所示，在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是（　　） A．微元法 B．控制变量法 C．理想模型法 D．微小形变放大法 题型03：万有引力常量的测量 【典型例题1】如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A．牛顿通过该装置测出了引力常量G B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想 C．开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D．牛顿被称为第一个称量地球的人 【答案】B 【详解】AD．卡文迪什通过该装置测出了引力常量G，也因此被称为第一个称量地球的人，故A、D错误； B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想，故B正确； C．牛顿先提出万有引力定律，卡文迪什之后用扭秤实验测出引力常量，验证万有引力定律的正确性，故C错误。 故选B。 【典型例题2】下列关于几幅书本插图的说法中错误的是（　　）    A．甲图中，牛顿测定引力常量的实验运用了放大法测微小量 B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法 C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法 D．丁图中，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用 【答案】A 【详解】A．甲图中，卡文迪什测定引力常量的实验运用了放大法测微小量，故A错误，符合题意； B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法，故B正确，不符合题意； C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法，故C正确，不符合题意； D．火车转弯超过规定速度行驶时，火车有离心运动的趋势，所以外轨对外轮缘会有挤压作用，以帮助提供向心力，故D正确，不符合题意。 故选A。 【变式训练3-1】在粤教版必修2的物理课本中出现很多插图，关于这些插图，下列说法中错误的是（　　）        A．甲图中，卡文迪许测定引力常量的实验运用了放大法测微小量 B．乙图中，研究小船渡河问题时，主要运用了等效法 C．丙图中，探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时运用了控制变量法 D．丁图中，汽车在水平路面转弯时发生侧滑是因为离心力大于最大静摩擦力 【变式训练3-2】下列说法正确的是（　　） A．开普勒研究行星运动得出了开普勒三大定律，并发现了万有引力定律 B．卡文迪许用扭秤实验测出了引力常量的大小，引力常量G值的大小与中心天体的选择有关 C．由万有引力定律表达式可知，两物体间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 D．由开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【变式训练3-3】关于如图a、图b、图c、图d所示的四种情况，下列说法中正确的是（　　） A．图a中，火车以小于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车对外轨有压力 B．图b中，卡文迪什运用了放大法测微小量测出了引力常量 C．图c中，牛顿根据第谷的观测数据提出了关于行星运动的三大定律 D．图d中，实验中不计一切阻力，实验中两个小球同时落地，说明平抛运动在水平方向上为匀速直线运动 【变式训练3-4】如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A．牛顿通过该装置测出了引力常量G B．该实验巧妙地利用了微小量放大思想 C．开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D．牛顿被称为第一个称量地球的人 【变式训练3-5】如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-6】牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力常量G。在1798年，卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次比较准确地测出了引力常量G的值，实验装置如图所示，在实验中卡文迪许主要运用的科学研究方法是（　　） A．微元法 B．控制变量法 C．理想模型法 D．微小形变放大法 题型04：万有引力的计算 【典型例题1】万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用。现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据万有引力定律公式F＝G 可知将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，则万有引力的大小F′F．故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．2012年2月25日，我国成功发射了第11颗北斗导航卫星，标志着北斗卫星导航系统建设又迈出了坚实一步．若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由万有引力公式，两者间的距离为R+h，因此引力为，D正确 【典型例题2】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【解答】解：A．使两物体的质量各减小一半，距离不变，根据知，万有引力变为原来的，故A错误； B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变，根据知，万有引力变为原来的，故B错误； C．使两物体的质量和距离都减小为原来的，根据知，万有引力不变，故C错误； D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍，根据知，万有引力变为原来的，故D正确。 故选：D。 【典型例题3】两个质量均为m的星体,其连线的垂直平分线为MN,O为两星体连线的中点,如图所示.一个质量也为m的物体从O沿OM方向运动,则它受到的万有引力大小变化情况是 (　　) A.一直增大 B.一直减小 C.先减小,后增大 D.先增大,后减小 解析:质量为m的物体在O点时,所受两星体万有引力的合力为0,运动到无限远时,万有引力为0,在距O点不远的任一点,万有引力都不为0,选项D正确. 答案:D 【典型例题4】从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，地球半径为，汽车质量为，根据万有引力定律可得 故选C。 【变式训练4-1】一物体从某行星表面某高度处自由下落,从物体开始下落计时,得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示.不计行星的自转,忽略高度变化引起的重力加速度变化,不计阻力.则根据h-t图像可以计算出 (　　) A.行星的质量 B.行星的半径 C.行星表面重力加速度的大小 D.物体受到的行星引力大小 【变式训练4-2】假设有质量相等的A、B两颗地球卫星，已知地球半径为R，卫星A距地面高度为R，卫星B距地面高度为2R，卫星B受到地球的万有引力大小为F，则卫星A受到地球的万有引力大小为（    ） A．F B．2F C．F D．4F 【变式训练4-3】要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可采用的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离不变 B．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 C．使两物体的质量和距离都减小为原来的 D．使其中一个物体的质量及距离增大到原来的2倍 【变式训练4-4】关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（  ） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍 D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则 【变式训练4-5】“天问一号” 探测器进入火星停泊轨道，并于5月15日成功着陆于火星乌托邦平原。若火星半径为R，质量为M，引力常量为G，着陆前质量为m的“天问一号” 距火星表面高度h，则此时火星对“天问一号”的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-6】如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，导弹在引力作用下，沿着椭圆轨道飞行击中地面目标，为轨道的远地点，距离地面高度为h。已知地球半径为，地球质量为，引力常量为。设距离地面高度为的圆轨道上卫星运动周期为，下列说法正确的是（　　） A．导弹在点的加速度小于 B．导弹在点的速度大于 C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 D．导弹从点到点的时间一定小于 【变式训练4-7】如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）大致正确的是图中的（　　）    A．  B．  C．   D．   【变式训练4-8】地球质量大约是月球质量的81倍，一颗卫星在地球和月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小之比为4：1时，该卫星距地心距离与距月心距离之比为（　　） A． B．9：2 C．1：81 D．81：1 【变式训练4-9】开普勒认为所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的焦点上。如图所示，地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆，太阳处在焦点F上，OF距离为d，OB距离为R称为长半轴，OC距离为r称为短半轴，A点离太阳距离较近称为近日点，B点离太阳距离较远称为远日点。若已知太阳的质量为M，地球质量为m，万有引力常量为G，当地球在远日点B时，受到太阳的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-10】 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物块在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的（　　） A．5倍 B．20倍 C．倍 D．倍 【变式训练4-11】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零现假设地球是一半径为、质量分布均匀的实心球体，为球心，以为原点建立坐标轴，如图所示一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在轴上各位置受到的引力大小用表示，则选项所示的四个随变化的关系图中正确的是（　　）    A．  B．  C．D．   【变式训练4-12】图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R2。当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T。当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-13】如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为、，半径大小分别为、，则两球间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-14】地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道则是一个非常扁的椭圆，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r1、线速度大小为v1，远日点与太阳中心的距离为r2、线速度大小为v2，则哈雷彗星（　　） A．线速度v1<v2 B．近日点与远日点的机械能相等 C．近日点与远日点的加速度大小之比为 D．远日点的加速度大小为。 【变式训练4-15】火星半径约为地球半径的一半,火星质量约为地球质量的.一位航天员(连同航天服)在地球上的质量为90 kg,地球表面的重力加速度g取10 m/s2. (1)求在火星上航天员所受的重力. (2)航天员在地球上可跳1.5 m高,他以相同初速度在火星上可跳多高? 题型05：空壳球体的万有引力 【典型例题1】如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为 （　　）    A． B． C． D．F 【答案】C 【详解】设球心点与球外质点的距离为，没挖去前球体质量为，球外质点质量为，挖去部分的质量为，根据 ， 由于，可知 则没挖去前，球体对质点的万有引力 挖去的部分对球外质点的万有引力 则球体剩余部分对球外质点的引力 故选C。 【典型例题2】有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在小球内部挖去一个半径为R的球体，挖去小球的质量为：m′， 挖去小球前球与质点的万有引力：F″， 被挖部分对质点的引力为：F′， 则剩余部分对m的万有引力F＝F″﹣F′。 故选：A。 【变式训练5-1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】有一质量为 M，半径为R、密度均匀球体，在距离其球心O为2R处有一质量为m的质点，现从球体中挖去一半径为的球体如图，然后又在挖空部分填充另一种密度为原来n倍的物质，引力常量为G。则填充后实心球体对质点m的万有引力大小为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心间距离为，则下列说法错误的是（    ） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 【变式训练5-4】场是物理学中的重要概念。物体之间的万有引力是通过引力场发生的，地球附近的引力场又叫重力场。若某点与地心相距x，类比电场强度的定义，该点的重力场强度用E表示。已知质量均分布均匀的球壳对壳内任一物体的万有引力为零，地球半径为R。则能正确反应E与x关系的图像是 【变式训练5-5】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，假设地球是质量分布均匀的球体，如图若在地球内挖一球形内切空腔，有一小球自切点A自由释放，则小球在球形空腔内将做（　　）    A．自由落体运动 B．加速度越来越大的直线运动 C．匀加速直线运动 D．加速度越来越小的直线运动 【变式训练5-6】如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，并在空心球内某点放置一个质量为的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由点指向连线上某点 B．方向与连线平行 C．大小为 D．大小为 【变式训练5-7】如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　） A．F1的大小为 B．F2的大小为 C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同 D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同 题型06：地表下万有引力 【典型例题1】假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。从隧道口P点由静止释放一小球，下列说法正确的是（提示：一个带电金属圆球达到静电平衡时，电荷均匀分布在球外表面，球内部场强处处为0，外部某点场强与一个位于球心、与球所带电荷量相等的点电荷在该点产生的场强相同。）（　　） A. 小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 B. 小球在O点受到地球的引力最大 C. 小球以O点为平衡位置做简谐运动 D. 小球与地球组成系统的引力势能先增加后减少 【参考答案】C 【名师解析】设小球距圆心距离为，地球的密度为，小球的质量为，根据题意，由万有引力公式可得，小球下落过程中，受到的引力为 则小球下落过程中所受引力的大小与到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动。故C正确；根据牛顿定律有，可得 可知，当小球下落时，在点上方时，越来越小，则越来越小，到达点时，则 即此时引力为，引力最小，在点下方时，越来越大，则越来越大，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误；由C分析可知，小球下落过程中，引力先做正功，再做负功，则小球与地球组成系统的引力势能先减小后增大故D错误。 【典型例题2】已知物体放在质量分布均匀的球壳内部的时候受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个孔。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度时间图像下列正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，当小球运动至A处，由题意可知，A处以外的地球部分对小球作用力为零，A处以内的地球部分对小球作用力产生加速度，满足 又有 联立解得 小球靠近地球球心过程，r减小，a减小，做加速度减小的加速运动，到球心另一侧时，由对称性可知，小球做加速度增大的减速运动，A正确。 故选A。 【变式训练6-1】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为、质量分布均匀的球体，假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中，B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应，则下列说法正确的是（    ） A．人在A点速度最大 B．人在B点速度最大 C．人在C点速度最大 D．人在D点速度最大 【变式训练6-2】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（　　） A．列车在隧道中A点的合力大小为mg B．列车在P点的重力加速度小于g C．列车在P点的加速度 D．列车在P点的加速度 题型06:开普勒三定律的理解和应用 【典型例题1】如图是太阳系中两小行星的轨道示意图，已知两小行星的轨道在同一平面内，其中Amors轨道的半长轴大于1AU，Atiras轨道的半长轴小于0.98AU，可知（　　） A．Amors和Atiras在同一平面内绕太阳沿圆轨道运行 B．Amors和Atiras绕太阳运行的角速度大小始终相等 C．相同时间内，Amors与太阳连线扫过的面积等于Atiras与太阳连线扫过的面积 D．Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方 【解答】解：A、根据开普勒第一定律可知Amors和Atiras两行星在同一平面内绕太阳沿椭圆轨道运行，故A错误； B、根据开普勒第二定律可知Amors和Atiras绕太阳运行过程中线速度大小时刻变化，在近日点的线速度最大，在远日点线速度最小，由v＝ωr可知角速度大小也在变化，故B错误； C、根据开普勒第二定律可知相同时间内，Amors与Atiras各自与太阳连线扫过的面积相等，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故D正确。 故选：D。 【变式训练7-1】对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（　　） A．开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动 B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越大 C．月亮绕地球运动的轨道是一个标准的圆，地球处在该圆的圆心上 D．开普勒第三定律中，月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同 【变式训练7-2】地球公转轨道接近圆，但彗星运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，它最近出现的时间为1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。如图为地球与哈雷彗星绕日运动的示意图，且图中M点为两轨迹的交点。则下列分析正确的是（　　） A．哈雷彗星在M点时的速度与地球在M点时的速度相同 B．哈雷彗星在M点时的加速度与地球在M点时的加速度相同 C．根据已知数据可估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 D．地球与太阳的连线和哈雷彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $