第一次月考押题重难点学情评估卷（提高卷）（考试范围：相交线与平行线+实数全部内容）2025-2026学年七年级数学下册课时分层训练（人教版）

第一次月考押题重难点学情评估卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线+实数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在水平地面上放置一个平面镜，一束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，延长线交于点H．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 8．若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则整数n的值可能是________（写出一个即可）． 12．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 13．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为________． 14．已知，，，，则的立方根是________． 15．在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 三、解答题（7小题，共72分） 17．解方程与计算： (1) (2) (3) (4) 18．如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 19．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 20．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 21．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：，（已知） ，（____________________） 平分，（已知） _________．（角平分线的定义） （等量代换） （已知）， ___________．（_____________________） ． 22．定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”． (1)若是“等积和数对”，求的值． (2)若是“等积和数对”，求的取值范围． (3)若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值． 23．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点学情评估卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线+实数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 故选：C． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根及有理数乘方的计算，根据各运算的定义与性质逐项判断选项正误即可． 【详解】对于A，表示16的平方根，16的平方根为，故A正确，不符合题意； 对于B，，故B错误，符合题意； 对于C，，故C正确，不符合题意； 对于D，，故D正确，不符合题意． 故选：B． 3．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求得，结合，即可求得答案． 【详解】因为，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 5．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 6．如图，在水平地面上放置一个平面镜，一束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，延长线交于点H．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，则，由入射角等于反射角得，，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由入射角等于反射角得，， ∴． 7．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 8．若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键． 先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长． 【详解】解：∵每个小方格边长为1, ∴阴影部分面积， ∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等， ∴新正方形面积为5， ∴新正方形边长为， 故选：D． 9．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 10．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则整数n的值可能是________（写出一个即可）． 【答案】4（或5或6） 【分析】本题考查二次根式的估算，正确计算是解题的关键．先估算不等式左右两个无理数的取值范围，再确定该范围内的整数即可． 【详解】解：∵，， ∴ , 又∵，， ∴，即 由此可得， 因此满足条件的整数可以为中的任意一个． 12．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 13．如图，直线、相交于点，．若，则的大小为________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由垂直的定义得，然后结合平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 15．在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质、角的动态定义，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，根据题意画出所有可能情况是解题关键． 【详解】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 三、解答题（7小题，共72分） 17．解方程与计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2) (3) (4)6 【分析】（1）根据平方根的意义解答即可； （2）根据立方根的意义解答即可； （3）原式分别化简绝对值和开立方，再进行加减即可； （4）原式分别计算算术平方根和立方根，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：， ∴， 即或； （2）解：， ， 解得：； （3）解： ； （4）解： ． 18．如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 解得， ． 19．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 20．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 21．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：，（已知） ，（____________________） 平分，（已知） _________．（角平分线的定义） （等量代换） （已知）， ___________．（_____________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；2；，同旁内角互补，两直线平行． 【分析】根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，等量代换得，再由得出，进而可证结论成立． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵平分，（已知） ∴．（角平分线的定义） ∴．（等量代换） ∵（已知）， ∴．（同旁内角互补，两直线平行） ∴． ∴． 22．定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”． (1)若是“等积和数对”，求的值． (2)若是“等积和数对”，求的取值范围． (3)若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果； （2）根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果； （3）根据“等积和数对”的定义可得，从而得出，同理可得，，……，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是“等积和数对”， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是“等积和数对”， ∴， ∴， ∵对有解， ∴， ∴； （3）解：∵是“等积和数对”， ∴，且时， ∴， 同理可得：，，……， ∴ ． 23．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $