8.2 立方根&重难题型专练 平方根中非负数应用的常见题型-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（人教版2024）

8.2 知识要点扫描 ------------------------0 1.立方根与开立方 名称 定义 表示方法 示例 一 般地，如果 一个数a的立 一个数x的 方根记为 如(-5)3= 立方等于a, “a”,读作 立 -125,则一5 方 即x3=a,那 “三次根号 根 叫作一125的 么这个数x a”,其中a是 立方根 叫作a的立方 被开方数，3 根或三次方根 是根指数 求一个数的立 开 a开立方用符 43=64, 方根的运算， 分 号“a”表示 .64=4 叫作开立方 2.立方根的性质 性质 摘要 ①正数的立方根是正数；②负数的立方根 性质1 是负数；③0的立方根是0 一a=一a,即一个数的立方根等于它的 性质2 相反数的立方根的相反数 3.立方根与平方根的区别 名称 不同点 平方根 立方根 一个正数有一个 一个正数有两个 正的立方根，一 平方根，负数没 个数不同 个负数有一个负 有平方根，0的 的立方根，0的立 平方根是0 方根是0 表示方 表示为士√a,根 表示为a,根指 法不同 指数2省略了 数3不能省略 平方根士√a中， 立方根a中，被 被开方数的取 被开方数a必须 开方数a可以是 值范围不同 是非负数 任意数 立方根 经典例题剖析 ------------------------ 【例】求下列各式的值： (1)- 8:233(. 1 3 【解11)---- (3)(15)3=15. 【点拨】利用“一a=一a”可以把求一个 负数的立方根转化为求一个正数的立方根的 相反数. 已基础对点训练 知识点①立方根的概念及性质 1.下列说法正确的是 A.0没有立方根 B.负数没有立方根 C.一个正数有一个负的立方根 D.一个正数只有一个立方根 2.下列各数中，立方根一定是负数的是() A.-a B.-a2 C.-a2-1 D.-a2+1 3.(教材变式)下列说法不正确的是 A.-0.064的立方根是-0.4 B.8的立方根是士2 C.立方根是6的数是216 D.7的立方根是号 4.要使(4-m)下=4-m成立，则m的取值范 围是 ( ) A.m=4 B.m<4或m=4 C.m>4 D.任意数 5.下列式子不正确的是 A.a=-a B.Va-a C.(a)3=a D.(-a)3=a 27 下册第八章 知识点② 求立方根 6.下列计算正确的是 A./0.0125=0.5 827=3 B.√-644 c-1日 D.一N 8 2 -125= 7.(2024黄山期中)如果2.37≈1.333， 8/23.7≈2.872，那么323700≈ A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3 8.(2024新余期中)如图，二阶魔 方为2×2×2的正方体结构， 本身只有8个方块，没有其他 结构的方块.已知二阶魔方的 第8题图 体积约为64cm3(方块之间的缝隙忽略不 计)，那么每个方块的棱长为 cm. 9.已知3十3的小数部分是，3一3的小数部 分是n,则m十n的立方根是 10.(教材变式)求下列各式中x的值： (1)8x3+125=0; (2)(x十3)3+27=0. 知识点③估算立方根的大小 11.下列各数中，在2和3之间的是() A.元 B.π-2 C.9/25 D./28 12.一块正方体水晶砖的体积为100，它的棱长 在 () A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 128 七年级数学RJ版 知识点④立方根与平方根的综合 13.下列叙述中，错误的是 A.0只有一个平方根 B.若x2=3,则x=士√3 C.√64的立方根是2 D.512的立方根是士8 14.一8的立方根与4的算术平方根的和是 () A.0 B.4 C.-4D.0或-4 15.已知a的算术平方根是3，b的立方根是2， 则a一b的值为 16.若立方根等于本身的数的个数为a,平方根 等于本身的数的个数为b,算术平方根等于 本身的数的个数为c,则a十b十c的值为 17.运算能力求下列各式的值： 0.1西-36+-8)： 得++ /1 18.（2024淮南凤台月考)已知a十8的平方根 是士√17,3a十b-1的算术平方根是6，求： (1)a与b的值； (2)4-2a一5b的立方根. 重难题型专练 平方根中非负数应用的常见题型 题型个√ā中a≥0的应用 8.若|x-1|+(y十3)2+√/x+y+z=0,求4x 1.如果a满足|2024一a+√a-2025=a,那 -2y+3z的平方根. 么a-2024的值为 A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 2.(教材变式)若式子1有意义，化简： √x-1 |1-x+|x+2. 9.已知a,b满足关系式√a-3+|b-4|= 0,求： (1)a,b的值： （2)a2+b的算术平方根. 3.已知x,y都是有理数，且y=√x一3十 √3一x+8,求x+3y的立方根. 题型③算术平方根的双重非负性的应用 10.若a十√a-6=6,求-√9a+10的立方根. 4.已知a为有理数，求式子√a+2-√/2-4a+ √-a的值. 11.已知a,b为有理数，且√1十a-(b 题型②√a≥0的应用 1)√/1-b=0,求a2024一b025的值. 5.(2024成都)若(m十4)2+√n-5=0,则(m 十n)2的值为 6.已知√a+3+|b+4|+(c-5)2=0,那么2a 十b+c的值为 7.(2024新余期中)若√5一x十√3x一y=0,则 √Jx+y的整数部分是 下册第八章 29△15.解：(1)证明：AB∥FD,.∠B=∠CDF. ,∠1=∠B,.∠1=∠CDF,.EF∥BC. (2)由(1)知，∠1=∠B=∠CDF=48°. :FD平分∠EFC,.∠CFD=∠1=48. AB∥DF,∠A=∠CFD=48°. 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 1.B2.D3.B4.B5.C6.A7.D8.19.9 10.D11.C12.A13.B14.±16.1 15解：1根据题意，得-得=士√愿=士异 (2)由题意，得(x-1)2=16, .x-1=±√16，即x-1=±4，解得x=5或-3. 16.解：，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm的 正方形，.剪掉的正方形边长为5cm. 设原正方形铁皮的边长为xcm. 由题意，得5(x一10)=180， .(x-10)2=36,.x-10=±6， 解得x=16或x=4(不合题意，舍去)， .原正方形铁皮的边长为16cm. 17.解：(1)，正数x的平方根是a和a十b,∴.a十a十b 0,即2a+b=0. b=6,.2a+6=0,解得a=-3. (2),正数x的平方根是a和a+b, ..(a+b)2=x,a=x a2x+(a+b)2x=6,x2+x2=6,.x2=3. x>0,x=5. 第2课时算术平方根 1.D2.C3.B4.C5.C6.27.10 8解：原式=5-9+号×14=5-9+22=18， 9.解：由题意，得2m+2=16,3m+n十1=25， 解得m=7,n=3, ∴.m+3n=7+3×3=16, 10.解：根据题意，得a一2=0,3a十b一1=25，解得a=2 b=20,∴.√6-a=20-2=√16=4. 11.B12.-113.C14.C 15.解：(1)设长方形信封的长为3xcm,宽为2xcm. 由题意，得3x·2x=420, x=√70（负值已舍去） 故长方形信封的长为3√7而cm,宽为2√0cm. (2)面积为256cm的正方形贺卡的边长是16cm. .70>64,./70>8, .2√/70>16，即信封的宽大于正方形贺卡的边长. 故小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 8.2立方根 1.D2.C3.B4.D5.D6.C7.A8.29.1 10.解：(1)由8x2+125=0,得x=-125 8 i.I=N 8 (2)由(x+3)3+27=0,得(x+3)3=-27, 13439 164 七年级数学RJ版 ∴.x+3=-27=-3, .x=-6. 11.C12.A13.D14.A15.116.6 17.解，D原式=5-号+ =-1. (2)原式=号+ 4 18.解：(1)，a+8的平方根是士√17,3a+b-1的算术 平方根是6， .a+8=17,3a+b-1=36, ∴.a=9,b=10. (2)由(1)可知，a=9,b=10, .4-2a-5b=4-18-50=-64, ∴.4-2a-5b的立方根是一64=-4. 重难题型专练平方根中非负数应用的常见题型 1.C 2.解：：1有意义，x>1, Vx-l ∴.|1-x+|x+2=(x-1)+(x+2)=2x+1. 3.解：由题意，得x-3≥0且3-x≥0， x=3,…y=8, .x+3y的立方根为x+3y=27=3. 4.解：.-a2≥0，.a=0, ∴原式=√2-√2+√6=0 5.16.-57.4 8.解：由题意，得x-1=0,y十3=0，x十y十x=0, 解得x=1,y=-3,x=2, ∴.4x-2y+3x=4×1-2×(-3)+3×2=4+6+6= 16,.4x-2y+3z的平方根是士4. 9.解：(1)由题意，得a-3=0,b一4=0，解得a=3,b=4. (2)由(1)可知，a=3,b=4, ∴.a2+b2=32+42=25, .a2+b的算术平方根为5. 10.解：根据题意，得a-6≥0，∴.a≥6. 由a+/a-6=6,得/a-6=6-a. 根据算术平方根的非负性，得6一a≥0， ∴.a6,.∴.a=6, ∴.-√/9a+10=-√9X6+10=-√64=-8. :3一8=-2，.-√9a+10的立方根是-2. 11.解：√/1+a-(b-1)1-b=0, ∴.√/1+a+(1-b)√1-b=0. /1+a≥0,1-b≥0，.1+a=0,1-b=0, 解得a=-1,b=1, ∴.a2024-825=(-1)2024-1225=1-1=0. 阶段综合训练平方根与立方根 1.C2.B3.D4.D5.C6.C7.√/78.22.36 9.√210.√1011.012.2037 13.解：(0原式=+2-1-31=}+2-2=号