7.2.2 复数的乘、除运算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知复数z＝＋i，则z3＝ （ ） A．－i　　 B．－＋i　　 C．1　　 D．－1 2．已知复数z＝1＋2i，则的虚部为 （ ） A． B．i C．－i D．－ 3．已知(1＋3i)·(2－z)＝10，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则z＝ （ ） A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 4．已知i是虚数单位，复数z＝＋i2027在复平面内所对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．方程x2－2x＋k＝0有一个根为1＋2i，则实数k的值为 （ ） A．5 B．3 C．4 D．2 二、多项选择题 6．已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是 （ ） A．|z|＝ B．z＝2 C．|z(3＋4i)|＝10 D．z10＝32i 7．设复数z满足＝－i，则下列说法正确的是 （ ） A．z为纯虚数 B．在复平面内，对应的点位于第三象限 C．z的虚部为2i D．|z|＝ 三、填空题 8．若复数z＝＋i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝________． 9．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的根为________． 四、解答题 10．计算： （1）； （2）； （3）()6＋. 11．已知复数z＝1－2i. （1）若zz0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值． 能力提升练 12．据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数z＝的共轭复数为，则2等于 （ ） A．i B．－＋i C．1＋i D．－i 13．已知复数z1，z2是方程3x2－2x＋m＝0(m∈R)的两个复数根，且z1z2＝，则|z1－z2|＝________． 14．已知复数z1＝1－3i，z2＝a＋i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1·z2为“理想复数”． （1）求实数a； （2）定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝求z1⊗z2. 7.2.2 复数的乘、除运算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知复数z＝＋i，则z3＝ （ ） A．－i　　 B．－＋i　　 C．1　　 D．－1 解析：z3＝(＋i)2(＋i)＝(－＋i)(＋i)＝－1. 答案：D 2．已知复数z＝1＋2i，则的虚部为 （ ） A． B．i C．－i D．－ 解析：复数z＝1＋2i，则＝＝＝－i，所以的虚部为－. 答案：D 3．已知(1＋3i)·(2－z)＝10，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则z＝ （ ） A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以(1＋3i)(2－z)＝(1＋3i)(a－3bi)＝(a＋9b)＋(3a－3b)i＝10，所以解得则z＝1＋i. 答案：A 4．已知i是虚数单位，复数z＝＋i2027在复平面内所对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为z＝＋i2027＝＋(i4)506·i3＝－2－i，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(－2，－1)，位于第三象限． 答案：C 5．方程x2－2x＋k＝0有一个根为1＋2i，则实数k的值为 （ ） A．5 B．3 C．4 D．2 解析：解法一：方程x2－2x＋k＝0有一个根为1＋2i，则(1＋2i)2－2(1＋2i)＋k＝0，解得k＝5. 解法二：方程x2－2x＋k＝0有一个根为1＋2i，则方程x2－2x＋k＝0的另一个根为1－2i，故k＝(1＋2i)(1－2i)＝5. 答案：A 二、多项选择题 6．已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是 （ ） A．|z|＝ B．z＝2 C．|z(3＋4i)|＝10 D．z10＝32i 解析：|z|＝＝，故A正确；z＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2(或z＝|z|2＝2)，故B正确；因为z＝1＋i，所以z(3＋4i)＝(1＋i)(3＋4i)＝－1＋7i，所以|z(3＋4i)|＝＝5(或|z(3＋4i)|＝|z|·|3＋4i|＝5)，故C错误；因为z2＝(1＋i)2＝2i，所以z10＝(z2)5＝(2i)5＝25×i4+1＝32i，故D正确． 答案：ABD 7．设复数z满足＝－i，则下列说法正确的是 （ ） A．z为纯虚数 B．在复平面内，对应的点位于第三象限 C．z的虚部为2i D．|z|＝ 解析：由＝－i，得z＝＝＝－1＋2i，故z的虚部为2，|z|＝＝，＝－1－2i，则对应的点位于第三象限． 答案：BD 三、填空题 8．若复数z＝＋i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝________． 解析：z＝＋i＝＋i＝＋(＋1)i.由题意，知＋(＋1)＝0，解得a＝－. 答案：－ 9．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的根为________． 解析：因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 答案： 四、解答题 10．计算： （1）； （2）； （3）()6＋. 解：（1）＝＝－1－3i. （2） ＝ ＝＝＝＋i. （3）()6＋ ＝＋ ＝i6＋i＝－1＋i. 11．已知复数z＝1－2i. （1）若zz0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值． 解：（1）因为zz0＝2z＋z0，所以z0＝＝＝2＋i.所以复数z0的共轭复数为2－i. （2）因为z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，所以(1－2i)2－m(1－2i)＋5＝0，即(2－m)＋(2m－4)i＝0.又因为m是实数，所以2－m＝0，且2m－4＝0，所以m的值为2. 能力提升练 12．据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数z＝的共轭复数为，则2等于 （ ） A．i B．－＋i C．1＋i D．－i 解析：欧拉公式eix＝cos x＋isinx(x∈R)，则z＝＝cos ＋isin＝－＋i，根据共轭复数的定义可知＝－－i，则2＝(－－i)2＝i. 答案：A 13．已知复数z1，z2是方程3x2－2x＋m＝0(m∈R)的两个复数根，且z1z2＝，则|z1－z2|＝________． 解析：由题意知z1z2＝＝，解得m＝1，所以3x2－2x＋1＝0，即(x－)2＝－＝(±i)2，所以或所以z1－z2＝＋i－(－i)＝i或z1－z2＝－i－(＋i)＝－i，所以|z1－z2|＝. 答案： 14．已知复数z1＝1－3i，z2＝a＋i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1·z2为“理想复数”． （1）求实数a； （2）定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝求z1⊗z2. 解：（1）由题得z1＝1－3i，z2＝a＋i，z1·z2＝(1－3i)(a＋i)＝a＋3＋(1－3a)i，∵z1·z2是“理想复数”，∴(a＋3)＋(1－3a)＝0，∴a＝2. （2）由（1）知z1＝1－3i，z2＝2＋i，所以|z1|＝，|z2|＝，由|z1|＝>|z2|＝，得z1⊗z2＝＝＋1＝＋1＝＋1＝－i. 学科网（北京）股份有限公司 $