2025-2026学年北师大版九年级下册数学月考模拟试卷

2026年北师大版九下数学月考模拟试卷 一、选择题： 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 绝对值是 B. 相反数是 C. 倒数是 D. 平方是2 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将△ABC各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 5. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A. 1≤m≤3 B. 3≤m≤5 C. 3≤m≤6 D. m≥3 二、填空题 11. 计算：______． 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 13. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 三、尺规作图 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：△ABC为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 四、解答题 18. （1）解不等式组：，并写出它的所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 20. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，．随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是___________．； （2）补全图2中的频数分布直方图；在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是___________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 表3 （4）若该校八年级共有300人，在展演阶段90及90分以上为优秀，估计该年级共有多少人优秀？ 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠EAC=∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF． （1）求证：OF⊥AC； （2）当∠BAC与∠ACB满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 24. 问题提出：如图（1），△ABC中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在△ABC中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 25. 爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 （1）根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． （2）通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． （3）小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 26. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s；点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为0.5cm/s；点P、Q、E同时出发．对角线AC的中点为O，连接AP、PQ、QE．设运动时间为t(s)(0＜t≤4)，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． （2）连接OP、OE，设四边形OPQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式； （3）在直线AD上作点E关于CD的轴对称点F，是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点共线？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由． 2026年北师大版九下数学月考模拟试卷解析 一、选择题： 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. “慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较小的数的方法． 根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法求解． 【详解】解：米 =米， 故选：D． 3. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 绝对值是 B. 相反数是 C. 倒数是 D. 平方是2 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查实数的运算，包括绝对值，相反数、倒数及平方，熟练掌握这些基础性质是解题关键． 【详解】解：A、绝对值是，选项正确，不符合题意；． B、相反数是，选项正确，不符合题意； C、倒数是，选项不正确，符合题意； D、平方是2，选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将△ABC各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、旋转变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似图形的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质求出位似变换后点的对应点的坐标，再根据旋转变换的性质求出旋转变换后的点的对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将△ABC各边扩大为原来的倍，， ∴点的对应点的坐标为，即， 绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为， 故选：D． 5. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 8. 同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车休息前速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A. 若，即，又， ∴ ∴ ∴，故A选项正确， B. 若，，， ∴是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故B选项正确， C. ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，故C选项正确； D. 若，则四边形是菱形， 由，且时， 可得垂直平分， ∵ ∴，故D选项不正确 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A. 1≤m≤3 B. 3≤m≤5 C. 3≤m≤6 D. m≥3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点， 设完美点的坐标为(n,n)， ∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根， ∴， ∴a=-1， ∴二次函数y=ax2+6x-5的解析式为：y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4， ∴当x=3时，函数有最大值为4， 又∵当0≤x≤m时，函数最小值为-5， 令-x2+6x-5=-5， 则x=0或6， ∴要使函数最小值为-5，最大值为4， 则3≤m≤6， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键． 二、填空题 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂运算、算术平方根等知识，先分别计算负整数指数幂、算术平方根，再由有理数减法运算求解即可得到答案．熟记负整数指数幂运算、算术平方根是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】k≤4且k≠0 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0， 即k≤4， 原方程为一元二次方程， k≠0， 综上：k的取值范围是k≤4且k≠0 故答案为k≤4且k≠0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程有两个实数根，则”是解题的关键. 13. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 【答案】## 【解析】 【分析】设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 【详解】解：设七巧板的边长为，则，， ∴矩形区域的面积， ∴空白部分的面积， ∴这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 15. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积-△AOC的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积-△AOC的面积的面积 ， 故答案为：． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 三、尺规作图 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：△ABC为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 在是上方作，过点C作于点即可． 【详解】图形如图所示： 四、解答题 18. （1）解不等式组：，并写出它的所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，及其整数解，分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可； （2）先进行括号内分式减法计算，再将除法化为乘法，再代入求值． 【详解】解：（1）由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：； （2） ， 当时，原式． 19. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率． 【答案】2，3；这两只球颜色不同的概率为． 【解析】 【分析】此题考查频率估计概率，树状图或列表法求概率，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数；列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【详解】解：当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以可估计口袋中白球个数（个），黑球（个）． 列表得： 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 （黑1，黑2） （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，白3） 黑2 （黑2，黑1） （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，白3） 白1 （白1，黑1） （白1，黑2） （白2，白2） （白1，白3） 白2 （白2，黑1） （白2，黑2） （白2，白1） （白2，白3） 白3 （白3，黑1） （白3，黑2） （白3，白1） （白3，白2） 共有20种等可能结果， 这两只球颜色不同的概率是：． 故答案为：2，3； 20. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：，，，，，．随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是___________．； （2）补全图2中的频数分布直方图；在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是___________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 表3 （4）若该校八年级共有300人，在展演阶段90及90分以上为优秀，估计该年级共有多少人优秀？ 【答案】（1） （2）见解析； （3）乙将获得“环保之星”称号；理由见解析 （4）60 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，用样本估计总体，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． （）直接即可； （）根据“”组求出n的值，然后求出展演成绩中B组人数，再补全条形统计图即可，根据中位数定义求出结果即可； （）根据加权平均数的公式求出甲、乙两位同学的成绩，然后进行判断即可； （）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“组”所对应的扇形的圆心角是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 展演成绩中B组学生人数为： （人）， 补全频数分布直方图，如图所示： 将抽取的名学生的笔试成绩从小到大进行排序，排在第，位的平均数为， 即n名学生笔试成绩的中位数是； 【小问3详解】 解：甲：， 乙：， ∵， ∴乙将获得“环保之星”称号． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该年级共有60人优秀． 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 【详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 22. 已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动． （1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式； （2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是_____ （3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的倍，求小明返回到A地所需时间． 【答案】（1） （2）12：00 （3）8小时 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间列出函数关系式即可； （2）根据题意可知，据此根据（1）所求求出即可得到答案． （3）设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时，然后根据返回的速度比他出发的速度每小时快10千米列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：∵从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴， ∴， ∴， ∴小明从A地到B地最少需要4小时， ∴小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是8+4=12点， 故答案为：12：00 【小问3详解】 解：设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为小时， 由题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴小明返回A地的时间为8小时． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠EAC=∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE、OF． （1）求证：OF⊥AC； （2）当∠BAC与∠ACB满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见详解； （2）当∠BAC=2∠ACB时，四边形AODE是菱形，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）根据CE⊥AE，得出∠AEC=90°，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ABC=90°，AD∥BC，可证△AEC≌△ABC（AAS），再证AF=CF即可； （2）先证△ABO为等边三角形，∠DAO=∠ADO=∠ACB=30°，得出AB=AO，由（1）知△AEC≌△ABC，得出AE=AB=AO=DO，∠EAC=∠BAC=60°，再证AE∥OD，得出四边形AODE为平行四边形即可． 【小问1详解】 证明：∵CE⊥AE， ∴∠AEC=90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=90°，AD∥BC， 在△AEC和△ABC中， ， ∴△AEC≌△ABC（AAS）， ∴∠ECA=∠BCA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA=∠ECA, ∴AF=CF， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴AO=CO， ∴OF⊥AC； 【小问2详解】 解：∠BAC=2∠ACB， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∵∠BAC=2∠ACB， ∴2∠ACB+∠ACB=90°， ∴∠ACB=30°， ∴∠BAC=2∠ACB=60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AO=CO=BO=DO， ∴△ABO为等边三角形，∠DAO=∠ADO=∠ACB=30°， ∴AB=AO， 由（1）知△AEC≌△ABC， ∴AE=AB=AO=DO，∠EAC=∠BAC=60°， ∴∠EAD=∠EAC-DAO=60°-30°=30°， ∴∠EAD=∠ADO=30°， ∴AE∥OD， ∵AE=OD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∵AE=AO， ∴四边形AODE为菱形， ∴当∠BAC=2∠ACB时，四边形AODE是菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，菱形的判定，掌握以上知识点是解题关键． 24. 问题提出：如图（1），△ABC中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在△ABC中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）[问题提出]（1）；（2）见解析 （2）[问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【小问1详解】 [问题探究]：（1）如图， △ABC中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 [问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 （1）根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． （2）通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． （3）小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据题意，设与函数关系式为，将代入计算即可； （2）将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征来求解即可． 【小问1详解】 解：由表格，可知抛物线顶点坐标为； 设与之间的函数关系式为． 将代入，得 ， 解得， 经检验，表格中其他数据也满足上述关系． 排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：； 【小问2详解】 能，理由如下： 当时，． ， 小华这次发球能过网； 【小问3详解】 设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 小华的击球点高度的取值范围是． 26. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s；点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为0.5cm/s；点P、Q、E同时出发．对角线AC的中点为O，连接AP、PQ、QE．设运动时间为t(s)(0＜t≤4)，解答下列问题： （1）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． （2）连接OP、OE，设四边形OPQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式； （3）在直线AD上作点E关于CD的轴对称点F，是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点共线？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，t＝2 （2） （3）存在，t的值为10﹣2 【解析】 【分析】(1)存在．证明△QDE∽△ABP，推出，由此构建方程求出t即可； (2)根据，求解即可； (3)存在．过点P作PG⊥AD于G．证明△QDF∽△PGF推出，由此构建方程求解即可 【小问1详解】 解：存在． 理由如下： BP=t，CQ=2t，DQ=8-2t，DE=05t， ∵， ∴∠DEQ＝∠DAP， ∵， ∴∠APB＝∠DAP， ∴∠DEQ＝∠APB， 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴△ABP∽△QDE， ∴， ∴ ， 解得t＝2． 故当t＝2时，使； 【小问2详解】 解：延长PO，交AD于点K；过点O，作OH⊥AD于H， ∵O是AC的中点， ∴OA=OC， ∵， ∴∠OAK＝∠OCP， 在△AOK与△COP中， ∴△AOK≌△COP(ASA)， ∴AK=CP， ∴DK＝BP＝t． ∵， ∴ ． 故y与t的函数关系式为 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 过点P作PG⊥AD于G． ∴， ∵点E与点F关于CD对称， ∴， ∵P、Q、F三点共线，， ∴△QDF∽△PGF ∴， ∴， 整理得：， 解得：(舍弃)或． ∴满足条件的t的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $