专题02 相交线与平行线中的“拐点”问题分类训练（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级下册

专题02 相交线与平行线中的“拐点”问题分类训练 （5种类型40道） 1．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．地 城 类型01 “M”模型和“铅笔头”模型 (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 2．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 3．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 4．如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 5．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 6．如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 7．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点作平行线，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可； （2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图②，过点作． （两直线平行，内错角相等） ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ． （2）如图③，过点作． ， ∵， ∴， ， ． （3）当点在过点和点的直线的左侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在过点和点的直线的右侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 8．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 9．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．地 城 类型02 “拐点”在平行线外 (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 11．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； ②∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．    ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴∴ 如图2，    同理可得，， 则 如图3，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 如图4，    同理可得，， ∴ 如图5，    同理可得，， ∴ 如图6，    同理可得，， ∴ 综上可知，的大小为或或或 12．已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解； （2）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可得解； （3）过点E作直线，则，由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 13．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 14．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质得出，进而根据角平分线的定义，即可得出 （2）过点作 ，根据平行线的性质得出，根据（1）得出，根据，即可求解． （3）当在线段上时，当在的延长线上时，分别画出图形，根据已知得出，，结合图形，即可求解． 【详解】（1） 平分 （2）过点作 ， 由（1）可得， ∴ （3）如图，当在线段上时 由（1）可得， ∵ ， 如图，当在的延长线上时 同理可得，， ∴． 15．如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出； （2）①过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可； ②过点M作，根据平行公理得出，证明，设，，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①成立；理由见解析： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②如图，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， 根据解析①可知：， ∴， 即． 16．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线，对顶角，平行公理的应用，角平分线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17．综合与实践地 城 类型03 三角板相关“拐点”问题 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 18．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2) (3)存在，射线与相交所夹锐角的度数为或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）由，得，再由得，由此根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点作，依题意得，，证，根据平行线的性质得，，进而得，由此可求出，然后根据邻补角的定义可得的度数； （3）分两种情况讨论如下：①当点在上方时，设交于点，设，则，根据得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数；②当点在下方时，延长交于点，设，则，进而得，由得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数，综上所述即可得出射线与相交所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：，， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （邻补角概念）； （3）解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3)②正确，不变值为2 【分析】（1）证明，再利用角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，而，可得，可得，，证明，可得，，再进一步可得答案； （3）设，可得，同理可得：，则，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：； （3）解：②的值不变，理由如下： 设， ∴， 同理可得：， ∴, ∴；； ∴①的值变化；②的值不变． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的含义，角的和差倍分关系，作出合适的辅助线是解本题的关键. 20．数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．小明同学在“数学实验与探究”课上借助三根足够长的细木棒、、和一个含角的直角三角板探索相关结论．小明首先使木棒，然后将直角三角板角的顶点放在上，角的顶点放在上 ， 设，． (1)如图1，三角板直角顶点在、之间，猜想此时的数量关系并说明理由； (2)实验时，若始终保持木棒，点在上，点在上 ． ①画图探索，点是否有可能在上方或下方？如果没有，请说明理由；如果有，请在图形旁边直接写出的数量关系． ②如图2，小明放置木棒时，使与均相交，且使．试求出当直线与直角三角板的一边所在直线平行时，求，的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①当点在上方时，；当点在下方时， ②当时，，；当时，，；当时，， 【分析】本题主要考查的是平行线的性质和角度的计算，熟悉平行线的性质，画出相应的图是解题的关键． （1）根据平行线的性质，直接角度计算求解即可． （2）画出对应的图，根据平行线的性质，直接角度计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：①如图，当点在上方时，，理由如下： ∵， ∴， ∵，， 又∴，即，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即． 如图，当点在下方时，，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，即，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． ②如图，当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，，； 如图，当时，则， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，，； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∴ ∴，即， ∴当时，，． 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，． 21．(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是______． (2)将图1中的三角板和三角板分别绕点，按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中平分，求的度数． (3)将图1位置的三角板绕点顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板不动，在此过程中，经过______秒边与边互相平行．    【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）根据三角形尺的角度，根据三角形内角和可得 ，求得 ，根据对顶角相等求得； （2）过点作，根据平行线的性质，进而求得，即可求解； （3）根据题意分类讨论，根据平行线的性质求得，根据旋转角度除以旋转的速度即可求解． 【详解】解：（1） 由三角板可知， ， 故答案为：； （2）∵平分，， ∴， 如图，过点作.    ∵， ∴， ∴，. ∵， ∴， ∴. （3）分两种情况讨论， ①如图，在、之间    由(1)可知 旋转时间为：秒 ②如图所示在上面，    则旋转的度数为： 旋转时间为 综上所述，经过秒或秒，与边互相平行． 故答案为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角尺中角度的计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． 22．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？（直接写出答案） 【答案】(1)90 (2)①；②5，35或65 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握平行线的判定和性质以及分类讨论的数学思想． （1）过点作，利用平行线的性质，找出相等角，再利用角的和差计算即可； （2）①利用平行线的性质得出，利用角平分线的性质得出，最后利用角的和差计算即可； ②根据题意先计算出的取值范围，然后分三种情况进行讨论，利用平行线的判定定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ∴， ， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴； ②射线旋转一周所用的时间为， ∴， 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 综上，或或． 23．如图，直线，一副直角三角板（）如图1所示放置．    (1) °； (2)将三角板绕点C逆时针旋转得，探究当ɑ为多少度时，的一条边与平行，请画出简单的示意图，并直接写出答案； (3)如图2，将三角板绕点C逆时针旋转得，若的边所在的直线交直线于点E，探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1) (2)、、 (3)；； 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，三角板中的角度计算，解题的关键是画出对应的图形． （1）过点O作，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）分为当时，当时，当时，分别画图求解即可； （3）设与交于点H，分为当点E在线段时，当点E在线段延长线上时，当点E在线段延长线上时，分别画图求解 【详解】（1）过点O作，    ∵， ∴， ∴， ； （2）解：如图①，当时，   ． 如图②，当时，   ， ． 如图③，当时，   ， ， ． 综上所述：． （3）设与交于点H， 如图④，当点E在线段时，   ， ， 即． 如图⑤，当点E在线段延长线上时，   ， 即． 如图⑥，当点E在线段延长线上时，   ， ， 即． 24．直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数 (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①10；②或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①由得到由得到，则，解得即可． ②分两种情况，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①解：如图②中，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图，当时，延长交于R．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，延长交于R．．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 25．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．地 城 类型04 多“拐点”问题 (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①，②见解析， 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键． 26．已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键． （1）过点H作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点N作，过点H作，则，可设，由得到，，，，故，，因此得到，即：； （3）设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故． 【详解】（1）解：过点H作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点N作，过点H作， ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 即：； （3）解：过点P作，过点H作，过点Q作， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即． 27．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 28．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)详见解析 (2)当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，； (3) 【分析】（1）如图1中，过点E作．利用平行线的性质证明即可 （2）分两种情形：当点E在CA的延长线上时，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可． （3）利用（1）中结论，可得，由此解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过点E作．由平移可得， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，，理由如下： 如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴． 如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，； （3）解：如图，设， ∵， ∴与（1）同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又与（1）同理可得：， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 29．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 30．如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行公理的推论可得，进而得到，，从而求解； （2）过点作，进而证明，根据（1）可得，从而得到的度数，进而求解； （3）根据题意，作，，，得到，进而得到，从而求解； 【详解】（1）解：过点作， ， ， 则，， ， ， 故； 故答案为： （2）解：根据题意，作图如下： 过点作， ， ， 根据（1）可得； ， ； （3）解：根据题意，作，， ，，，， ， ， ， ， 则； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 故答案为： 31．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 32．【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明， 【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．    【推广应用】 （1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，，则______°； （2）如图④，，点M与直线CD分别在AB的两侧，的平分线与的平分线交于点N，，则______°； （3）如图⑤，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______°．    【答案】【问题原型】见解析；【问题迁移】；【推广应用】（1）48；（2）50；（3）39 【分析】【问题原型】作，根据平行线的性质解答即可； 【问题迁移】根据平行线的性质解答即可； 【推广应用】（1）由【问题原型】的结论可得：，然后结合角平分线的定义和等量代换即可解答； （2）由【问题迁移】的结论可得：，然后结合角平分线的定义和等量代换即可解答； （3）如图，延长交于点N，先判定，可得，再由（1）题的结论可得：． 【问题原型】如图，作，则， ∵， ∴， ∴， ∴；    【问题迁移】，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴；    【推广应用】 （1）由【问题原型】的结论可得：， ∵的平分线与的平分线交于点N， ∴， ∴， ∴； （2）由【问题迁移】的结论可得：， ∵的平分线与的平分线交于点N， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则由（1）题的结论可得：．    【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 33．在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动．地 城 类型05 实际问题相关“拐点”问题 (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 34．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 35．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．世界上每一个会飞的物体都有对称性，但科学家设计了如图所示的双斜翼飞机，通过调整机翼角度，改变飞行阻力，获得更快速度，将其抽象成数学模型后如图1，，直线交分别于E、F两点，为的角平分线，为的三等分线且，射线与交于点． (1)______； (2)飞机尾翼能保持飞机平衡，在测试过程中如图2，若直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的三等分线且，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示，并说明理由； (3)因某种特殊飞行姿态需要，在飞行过程中需要同时调整机翼和尾翼，使它们的夹角大小不变，如图3在（2）的条件下，直线同时绕点E以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的角平分线，若在转动的过程大小不变，求出x的值． 【答案】(1)10 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角分线和三等分线的定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）利用平行线性质、角平分线和三等分线定义，通过作辅助线平行于和，根据平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系求出为； （2）结合旋转后的角度变化，依据角平分线和三等分线性质，用含t的式子表示出即可； （3）根据和同时旋转时大小不变的条件，列出方程求解得x的值． 【详解】（1）解：， ， ∴， ， 为的角平分线， 过点P作， ， ， ； 故答案为：10 （2），理由如下： 直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒， 始终为的三等分线且， ∴， ， ∴， ∵为的角平分线， 过点P作， ， ∴， ； （3）直线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒．则， 是的角平分线， ， 始终为的三等分线且， ∴， 过点P作， ， ， ∴， 在转动过程中大小不变，即与t无关， 解得 37．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 【答案】（1）（2）【拓展与探究】或或 或 【迁移与应用】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，作，利用平行线的性质，求出和的度数，即可得到结果； （2）根据题意，仿照（1）的解答，即可得到结果； 【拓展与探究】根据题意，画出图形，利用平行线的性质，得到或或 或； 【迁移与应用】利用上一题的结论，证得即可． 【详解】解：（1）如图①，过点，作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：20； （2）如图①，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【拓展与探究】如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如下图，过点，作， ， ， ， ， ， ； 如图，， ， ； 如下图， ， ； 如下图，延长交于， ， ， ； 综上所述，或或 或； 【迁移与应用】已知：如图④，四边形， 求证：， 证明：分别过、两点，作， 由【拓展与探究】知：，， 即， ， ， ， ， 即． 38．【综合与实践】 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”抓法及示意图，，交于点，，垂足为点，若．则______； (2)图2为“传统式”抓法及其示意图，，为上一点，射线交于点，射线交于点．若，请判定直线与之间的位置关系，并说明理由； (3)图3为“丁字形”抓法及示意图，，射线交于点，交于点，交于点，射线交于点．若，垂足为点，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得到，结合，计算出．利用对等角相等，得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补，结合，证明即可； （3）设，根据平行线的性质，三角形内角和定理，构造方程组，解答即可． 本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理的应用，方程组的应用，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 故答案为：70； （2）证明：．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 39．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆始终和桌面平行，灯脚始终和桌面垂直，    (1)当时，求． (2)连杆、可以绕着、和进行旋转，灯头始终在左侧，设，，的度数分别为，，，请求出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】（1）过点作，过点作，则，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据即可得； （2）如图（见解析），分六种情况，参考题（1），利用平行线的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， 分以下六种情况： ①如图，过点作，过点作，   ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 即； ②如图，过点作，过点作，    同理可得：， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 即； ③如图，过点作，过点作，   ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 即； ④如图，过点作，过点作，      同理可得：，， ， ， ， ， 即； ⑤如图，过点作，过点作，    同理可得：， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 即； ⑥如图，过点作，过点作，    同理可得：， ， ， 又， ， ， ， 即； 综上，或或或或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并正确分情况讨论是解题关键． 40．如图1是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线中的“拐点”问题分类训练 （5种类型40道） 1．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．地 城 类型01 “M”模型和“铅笔头”模型 (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 2．如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 3．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 4．如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 5．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 6．如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 7．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 8．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 9．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．地 城 类型02 “拐点”在平行线外 (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 10．如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 11．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 12．已知，点M、N分别在、上． (1)、间有一点E，点E在直线左侧，如图1．求证：． (2)当、间的点E在直线右侧时，如图2．之间有什么关系？ (3)如图3，当点E在、外侧时，探索之间有何关系？ 13．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 14．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 15．如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 16．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 17．综合与实践地 城 类型03 三角板相关“拐点”问题 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 18．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 19．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 20．数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．小明同学在“数学实验与探究”课上借助三根足够长的细木棒、、和一个含角的直角三角板探索相关结论．小明首先使木棒，然后将直角三角板角的顶点放在上，角的顶点放在上 ， 设，． (1)如图1，三角板直角顶点在、之间，猜想此时的数量关系并说明理由； (2)实验时，若始终保持木棒，点在上，点在上 ． ①画图探索，点是否有可能在上方或下方？如果没有，请说明理由；如果有，请在图形旁边直接写出的数量关系． ②如图2，小明放置木棒时，使与均相交，且使．试求出当直线与直角三角板的一边所在直线平行时，求，的度数． 21．(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是______． (2)将图1中的三角板和三角板分别绕点，按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中平分，求的度数． (3)将图1位置的三角板绕点顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板不动，在此过程中，经过______秒边与边互相平行．    22．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？（直接写出答案） 23．如图，直线，一副直角三角板（）如图1所示放置．    (1) °； (2)将三角板绕点C逆时针旋转得，探究当ɑ为多少度时，的一条边与平行，请画出简单的示意图，并直接写出答案； (3)如图2，将三角板绕点C逆时针旋转得，若的边所在的直线交直线于点E，探究与的数量关系，直接写出答案． 24．直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数 (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 25．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．地 城 类型04 多“拐点”问题 (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 26．已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 27．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 28．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 29．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 30．如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 31．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 32．【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明， 【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．    【推广应用】 （1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，，则______°； （2）如图④，，点M与直线CD分别在AB的两侧，的平分线与的平分线交于点N，，则______°； （3）如图⑤，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______°．    33．在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动．地 城 类型05 实际问题相关“拐点”问题 (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 34．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 35．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 36．世界上每一个会飞的物体都有对称性，但科学家设计了如图所示的双斜翼飞机，通过调整机翼角度，改变飞行阻力，获得更快速度，将其抽象成数学模型后如图1，，直线交分别于E、F两点，为的角平分线，为的三等分线且，射线与交于点． (1)______； (2)飞机尾翼能保持飞机平衡，在测试过程中如图2，若直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的三等分线且，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示，并说明理由； (3)因某种特殊飞行姿态需要，在飞行过程中需要同时调整机翼和尾翼，使它们的夹角大小不变，如图3在（2）的条件下，直线同时绕点E以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的角平分线，若在转动的过程大小不变，求出x的值． 37．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证．年5月日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录． 【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题． 如图①，已知， （1）若，则__________°． （2）若，则__________．（用含、的代数式表示） 【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线、，若，点为、外一点（不同于图①），连接、．请补全图形，并探究与、之间的数量关系． 【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是”． （要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程） 38．【综合与实践】 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”抓法及示意图，，交于点，，垂足为点，若．则______； (2)图2为“传统式”抓法及其示意图，，为上一点，射线交于点，射线交于点．若，请判定直线与之间的位置关系，并说明理由； (3)图3为“丁字形”抓法及示意图，，射线交于点，交于点，交于点，射线交于点．若，垂足为点，，，求的度数． 39．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆始终和桌面平行，灯脚始终和桌面垂直，    (1)当时，求． (2)连杆、可以绕着、和进行旋转，灯头始终在左侧，设，，的度数分别为，，，请求出，，之间的数量关系． 40．如图1是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $