专题16 一次函数中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题16 一次函数中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1. 定义条件：一次函数必须满足y = kx + b ( k≠ 0)，且x次数为1，是整式形式. 2. 列式求解：根据x指数为1、系数k≠ 0，列出关于参数的方程与不等式求解. 解题技巧 1. 系数非零：确保k（x 的系数）不为0，此为易忽略条件. 2. 化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y = kx + b再判断 例1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若函数是一次函数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）关于的函数是一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义即可求解，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且是常数的函数叫做一次函数． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的函数为一次函数，则值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【详解】由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知 是关于x的一次函数，则______________，当时， y的取值范围是________________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的定义，函数中的指数必须为1，且系数，由此求出的值；再代入得到一次函数解析式，根据的取值范围，利用一次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴且， 解得：或且， ∴； 此时函数为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为，． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 方法总结 1. 图象定位：根据图象经过的象限、与坐标轴的交点位置，确定k与b的符号或取值范围。 2. 性质列式：利用增减性（k正负）、平行（k相等）、过定点等条件，列出关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 画图助判：画出符合图象特征的草图，直观判断k、b的正负。 2. 代入验证：求出参数后，代回原函数验证是否满足图象与性质要求。 例2．（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或/或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 【变式2-1】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 【变式2-2】（2026·山西吕梁·一模）若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用一次函数的性质确定的取值范围，即可写出符合条件的值． 【详解】解：一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大， ， 一次函数图象不经过第二象限， ，解得， ， 的值可以是（答案不唯一）． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可． 【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，即时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 综上所述，和 故答案为：或6． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 方法总结 1. 参变分离：将函数解析式整理成y=k(a)x+b(a)形式，明确参数如何影响k和b。 2. 动态分析：根据参数的变化范围，讨论k、b的符号变化，从而确定图象的象限分布、增减性等。 解题技巧 1. 抓临界值：令参数取特殊值（如a=0、边界点），观察函数图象的突变情况。 2. 分类讨论：当参数导致k或b符号不确定时，需按不同符号范围分类讨论。 例3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．它的图象必过点 D．它的图象与轴的交点为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，分析各个选项即可． 【详解】解：∵函数为，其中，， 对于A：图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； 对于B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 对于C：当时，，∴图象过点，故C正确； 对于D：当时，，∴与y轴交点为，故D错误； 故选C． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）关于一次函数的图象与性质，下列说法中正确的个数是（   ） ①随的增大而增大；②当时，该图象与函数的图像是两条平行线；③不论取何值，图象都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的增减性由k的符号决定、两直线平行需k相同且b不同、图象必过象限由k的符号决定、不经过第四象限需且，由此问题可求解． 【详解】解：∵函数中，，， ①∵，∴y随x的增大而增大，正确； ②当时，，与的k相同但b不同，∴图象平行，正确； ③∵，∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，正确； ④若图象不经过第四象限，则需，即，∴，但说法为，错误； ∴正确说法有3个， 故选B． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得． 【详解】A、∵令，得， ∵， ∴，交点为， 故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大， 当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立， 但不恒成立， 故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k， ∴ 两直线平行， 故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限， 故可能同时经过第二象限（时）， 故D错误． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①若点，在函数图象上，且， ∵，即，， ∴随增大而增大， ∴，故①符合题意； ②若函数不经过第四象限， ∴且，即，故②不符合题意； ③函数向上平移2个单位得，与坐标轴交于点和， 围成的三角形面积为， 令，得，即或，故③不符合题意； ④当时，， ∴函数恒过定点，故④符合题意； 综上，符合题意的是①④， 故选：C． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 方法总结 1. 系数关联：多个含参一次函数图象在同一坐标系中，其k、b由同一参数决定，需满足符号一致性。 2. 代入检验：取参数特定值（如a=1、a=-1）画出草图，检查图象位置是否矛盾。 解题技巧 1. 先定范围：根据一个图象的位置，确定参数的初步取值范围。 2. 同步验证：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数与正比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：当时，正比例函数与一次函数的图象都经过第一、三象限，且，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A符合题意； 当时，正比例函数与一次函数的图象都经过第二、四象限，且，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限； 故选A． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：当正比例函数中，，即该函数图象经过第一、三象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、二、四象限； 当正比例函数中，，即该函数图象经过第二、四象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、三、四象限； ∴符合题意的只有A选项； 故选：A． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图像性质，理解参数符号对图像的影响是解题关键． 先判断出两个函数的斜率相同、图像平行，再通过分类讨论参数的符号，确定直线的升降趋势与截距位置，最后结合选项验证得出答案． 【详解】解：正比例函数与一次函数的斜率都是，则两条直线互相平行， 选项：据图可知，则一次函数与轴的交点应在负半轴，而不是正半轴，错误； 选项：据图可知，两条直线的函数值均随着值增加而增大，且一次函数与轴的交点在正半轴，正确； 选项：两条直线不平行，错误； 选项：两条直线不平行，错误． 故选：． 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 方法总结 1. 参变分析：用参数表示k与b，讨论参数变化对图象象限、增减性、交点的影响。 2. 分类整合：根据参数取值范围分类讨论，将各类情况下的图象与性质综合归纳。 解题技巧 1. 抓临界值：令参数取边界值，观察图象的突变点（如过象限变化、平行）。 2. 数形结合：画出不同参数下的草图，直观判断性质变化，再代数验证。 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，点在一次函数图象上，求的值． (2)若，求一次函数图象与轴的交点坐标． (3)若，，点，在一次函数图象上，且，判断q，n的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）将，点代入一次函数解析式即可求出的值； （2）把代入，令可求出即可得解； （3）分别求出，的取值范围，根据一次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：把代入得， 又点在一次函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∵， ∴， 解得：， 所以，一次函数与轴的交点坐标为； （3）解：由已知得，， ∴， 又， ∴， ∴； ∴一次函数中，函数值随的增大而减小， ∵点，在一次函数图象上，且， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由见解析 (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． （2）解：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，，即； 因为，所以； 因为，所以，即； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，即， 观察选项，只有选项D中的0满足． 2．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： ∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴． 故选A． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 6．（25-26八年级上·福建宁德·月考）小明在探究直线l：的性质时，得到如下结论： ①直线l必经过点； ②直线l的图像经过一、三、四象限； ③若点，在直线l上，，则； ④点O到直线l的距离的最大值为5． 则以上结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理． 将代入解析式得到，可知直线必经过点，根据，可知直线经过一、二、四象限，根据可知一次函数中随的增大而减小，即当时，，根据垂线段最短可知点到直线的距离，根据勾股定理可知点到直线的距离的最大值为5． 【详解】①∵直线可变形为， ∴当时，，与取值无关， ∴直线必经过点，结论①正确； ②∵， ∴ ∴， ∵， ∴直线经过一、二、四象限，结论②错误； ③∵，一次函数中随的增大而减小， ∴当时，，结论③正确； ④∵直线恒过定点，根据垂线段最短，点到直线的距离（当时取等号）， ∵， ∴点到直线的距离的最大值为5，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·江西九江·期中）如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性．将点坐标代入函数解析式求出k，再根据一次函数的比例系数k的符号，即可判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∴y 的值随 x 的增大而减小． 故答案为：减小 8．（25-26八年级上·河北保定·期中）是关于的一次函数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义，x 的指数必须为 1 且系数不为 0，据此解答即可． 【详解】解：由一次函数的定义，得 解方程， ， 或 ． 当 时，，系数为 0，不符合一次函数定义， 当 时，，符合一次函数定义． 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的斜率的正负进行分类讨论，当斜率大于零、小于零时，分别求函数在区间上值大于零的条件，综合得出的取值范围，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数为， 当，即时，一次函数为增函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 当，即时，一次函数为减函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知一次函数（是常数且）． （1）若该一次函数是正比例函数，则____________； （2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________． 【答案】 2 0或 【分析】本题考查了一次函数的性质，包括正比例函数的定义和一次函数增减性问题． 对于（1），根据正比例函数要求常数项为零求解即可； 对于（2），分类讨论，根据一次函数的增减性确定最大值点求解即可． 【详解】（1）因为该一次函数是正比例函数， 所以常数项为零，即， 解得． 故答案为：2； （2）当时，即，函数随x的增大而增大，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 当时，即，函数随x的增大而减小，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 综上，m的值为0或． 故答案为：0或． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______． 【答案】 8 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念． （1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可； （2）先求出的对称函数，再求出的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数是， 当时，， 一次函数在轴上的截距为， 故答案为：； （2）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数为， 当时，， 点坐标为， ， ， 当时，， 点坐标为， ， 三角形的面积为8， ， 解得或（舍， 故答案为：8． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，当时，，求k的值． 【答案】 【分析】把，代入，解关于k的方程即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴， 解得：． 14．（25-26八年级上·四川达州·月考）（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点 ①请判断的大小关系，并说明理由． ②当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数表达式的求解、一次函数的增减性以及根据函数值的范围求自变量的取值范围，熟练掌握一次函数的性质与待定系数法是解题的关键． （1）先利用点在正比例函数上求出点的坐标，再将点和点的坐标代入一次函数，解方程组求出、的值，从而得到一次函数表达式． （2）①根据一次函数的值判断函数的增减性，再比较与的大小，进而判断与的大小关系．②先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， 解得， ∴， ∵过和， ∴， 解得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：①∵， ∴中，随的增大而减小， ∵， ∴； ②∵， ， ∴，即， ∵中，随的增大而减小， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见详解；②或 【分析】本题考查一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的最值问题，关键是利用恒过定点得到这一核心关系式． （1）利用待定系数法，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到函数表达式； （2）①根据点在函数图象上的性质，将两点坐标分别代入对应函数解析式，得到关于的两个等式，结合的关系对等式变形，从而证明； ②先化简的表达式，再代入得到只含参数的一次函数，根据一次函数的单调性，分和两种情况讨论函数在给定区间内的最大值，进而求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①证明：∵点在的图象上， ∴； ∵点在的图象上， ∴； ∴， 又∵恒过， ∴，即， ∴，移项化简得， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 分两种情况讨论： 当时，， ∴在上随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 当时，， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 综上，的值为或． 18．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，坐标和图形，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据轴，轴，得出，，，根据题意得出，，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，在一次函数图象上， ∴； （2）解：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，当时，函数有最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 综上，； （3）解：；理由如下 ∵轴，轴， ∴，，， 根据题意可得：， ， ∴， ∵， ∴，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16一次函数中含参数问题的五类综合题型 月录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1.定义条件：一次函数必须满足y=a+b(k≠O),且x次数为1，是整式形式 2.列式求解：根据x指数为1、系数k≠0，列出关于参数的方程与不等式求解 解题技巧 1.系数非零：确保k(x的系数)不为0，此为易忽略条件 2.化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y=a+b再判断 例1.(25-26七年级上山东烟台期末)若函数y=(k-3)x2-3是一次函数，则k的值为 【变式1-1】(25-26八年级上安徽合肥月考)关于x的函数y=(3-m)x4m+5是一次函数，则m的值为 【变式1-2】(25-26八年级上重庆期中)若关于x的函数y=(m+2)x3+m+7为一次函数，则m值为 【变式1-3】(25-26八年级上安徽马鞍山期中)已知y=(m-2)x㎡-3+1是关于x的一次函数，则m= ,当-3≤x<1时，y的取值范围是 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 方法总结 1.图象定位：根据图象经过的象限、与坐标轴的交点位置，确定k与b的符号或取值范围。 2.性质列式：利用增减性(k正负)、平行(k相等)、过定点等条件，列出关于参数的方程或不等式求解 解题技巧 1.画图助判：画出符合图象特征的草图，直观判断k、b的正负。 2.代入验证：求出参数后，代回原函数验证是否满足图象与性质要求。 例2.(25-26八年级下·重庆开学考试)已知一次函数y=kc-4,当-1≤x≤4时，y的最大值为4，则k的 值为 【变式2-1】(25-26八年级下·上海·月考)已知一次函数y=(3-m)x+1,且y的值随x值的增大而减小， 则m的取值范围为 【变式2-2】(2026山西吕梁.一模)若一次函数y=c+k-2(k是常数，k≠0)的函数值y随自变量x的 增大而增大，且其图象不经过第二象限，则k的值可以是 (写出一个即可) 【变式2-3】(25-26八年级上浙江台州期末)己知一次函数y=(k-1)x+2k-3,其中k为常数，且k≠1.当 -3≤x≤2时，函数y的最小值为-6，则k的值为 类型三、含参数的一次函数的图像和性质 方法总结 1. 参变分离：将函数解析式整理成y=(ax+b(a)形式，明确参数如何影响k和b。 2.动态分析：根据参数的变化范围，讨论k、b的符号变化，从而确定图象的象限分布、增减性等。 解题技巧 1.抓临界值：令参数取特殊值（如a0、边界点），观察函数图象的突变情况。 2.分类讨论：当参数导致k或b符号不确定时，需按不同符号范围分类讨论。 例3.(25-26八年级上·陕西西安期中)关于一次函数y=k2+1)x-1的图象，下列说法正确的是() A.它的图象经过二、三、四象限 B.y随x的增大而减小 C.它的图象必过点1，k2) D.它的图象与y轴的交点为(0，) 【变式3-1】(25-26八年级上·江苏无锡·月考)关于一次函数y=3x+m-2的图象与性质，下列说法中正确 的个数是() ①y随x的增大而增大；②当m≠2时，该图象与函数y=3x的图像是两条平行线；③不论m取何值，图象 都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则m>2· 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式3-2】(25-26八年级上·山东济南·期中)关于一次函数yx4(k0)的图象，下列说法正确的是() A.与x轴交点坐标为(0,4) B.若Ax,1),B(x2,y2为图象上两点，当x>x2时，乃<2 C.与一次函数y=c的图象平行 D.不会同时经过第一象限和第二象限 【变式3-3】(25-26八年级上全国·单元测试)关于一次函数y=x+k-2(k≠0)，给出下列说法正确的是 () ①若点Am-1,y),B(m+3,y2)在该函数图象上，且乃<y2,则k>0; ②若该函数不经过第四象限，则k>2; ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k=4: ④该函数恒过定点(-1，-2). A.①② B.①③ C.①④ D.②③④ 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 方法总结 1.系数关联：多个含参一次函数图象在同一坐标系中，其k、b由同一参数决定，需满足符号一致性。 2.代入检验：取参数特定值（如a=1、=-1)画出草图，检查图象位置是否矛盾。 解题技巧 1.先定范围：根据一个图象的位置，确定参数的初步取值范围。 2.同步验证：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 例4.(25-26八年级上陕西咸阳·期末)在平面直角坐标系中，正比例函数y=x与一次函数 y=kx-k(k≠O)的图象可能是() 是六 【变式4-1】(25-26八年级上江苏无锡月考)正比例函数y=c与一次函数y=-kx+k的大致图象是() 3/8 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人冷 【变式4-2】(25-26八年级上陕西西安期末)正比例函数y=mnx(mn≠0)的一次函数y=mx+n在同一平 面直角坐标系中的图象可能是() 【变式4-3】(25-26八年级上山东青岛期末)正比例函数y=ax与一次函数y=ax+2a在同一平面直角坐 标系中的图象可能是() 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 方法总结 1.参变分析：用参数表示k与b,讨论参数变化对图象象限、增减性、交点的影响。 2.分类整合：根据参数取值范围分类讨论，将各类情况下的图象与性质综合归纳。 解题技巧 1.抓临界值：令参数取边界值，观察图象的突变点（如过象限变化、平行）。 2. 数形结合：画出不同参数下的草图，直观判断性质变化，再代数验证。 例5.(25-26八年级下.全国课后作业)已知直线y=(3m-10)x+2-m,当m为何值时： (1)此直线与直线y=-x-4平行 (2)此直线与直线y=2x-4交于点(a,2). (3)此直线不经过第三象限 (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方. 【变式5-1】(25-26八年级上浙江杭州期末)已知一次函数y=c+b(k,b是常数，且k≠0). (1)若k=2,点A(2,3)在一次函数图象上，求b的值， 4/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若k=b,求一次函数图象与x轴的交点坐标. (3)若k+b<0,-k+b>0,点B(p,9),C(m,n在一次函数图象上，且p>m,判断q,n的大小关系. 【变式5-2】(25-26八年级上浙江宁波期末)已知一次函数y1=ax+b(a≠0)过定点(2,0)，另一个一次函 数为y2=bx+a. (I)请你判断y,=bx+a是否过定点 并说明理由. (2)点A(m,p)和点B(n,p分别在一次函数片和的图象上，求证：m+2n=3. (3)设函数y=y-2,当-1≤x≤5时，函数y有最大值12，求a的值. 【变式5-3】(25-26八年级上江苏泰州期末)己知一次函数片=kx+2-k,y2=x+b(k≠0，k,b为常 数)的图象分别记为4，马，当x=1时，少=y2: (1)求b的值； (2)若点A(m,p)在Z上，点B(n,q)在Z上. ①当n=m时，若k>1,m<1,比较p、q大小，并说明理由： ②当n=m+2时，p=9.若k,m都为整数，求q的最大值. 压轴专练 一、单选题 1.(2026陕西咸阳一模)已知一次函数y=5x+a-3(a为常数)的图象过第一、三、四象限，则a的值 可以是() A.8 B.5 C.3 D.0 2.(2026安徽阜阳一模)已知一次函数y=(3m-7)x+1-m(m为常数)的图象与y轴的负半轴相交，y随 x的增大而减小，且m为整数，则当-1<y<3时，x的取值范围为() A.-4<x<0B.-4<x<1 C.0<x<2 D.-1<x<3 3.(25-26八年级下全国课后作业)若关于x的函数y=(k+3列x2+4x-5是一次函数，则k的值为（) 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1或-3 B.1或 C.-3或对 D.1或-3或号 4.（24-25八年级下·全国单元测试)规定：「k,b]是一次函数y=+b(kb为实数，k≠0)的特征数”.若 “特征数”是[4，m-4]的一次函数是正比例函数，则m的值是（) A.4 B.-4 C.2 D.-2 b 5.(25-26八年级下·安徽合肥开学考试)一次函数y=x+b与y=二x（k,b为常数，且kb≠0)，它们在 k 同一坐标系内的图象可能为() D 6.(25-26八年级上福建宁德·月考)小明在探究直线：y=x-4k+3(k<0)的性质时，得到如下结论： ①直线1必经过点(4,3)： ②直线1的图像经过一、三、四象限； ③若点Ax,),B(x2,y2)在直线1上，x>2,则y<2: ④点O到直线1的距离的最大值为5. 则以上结论正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题 7.(25-26八年级上江西九江·期中)如果一次函数y=x+2（k为常数，k≠0)的图象经过点1,0，那 么y的值随x的增大而 ·(填“增大”或“减小”) 8.(25-26八年级上河北保定期中)y=(m-3)x-2+3m是y关于x的一次函数，则m= 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(25-26八年级上浙江丽水期末)若点(-1，y),(2,y2)在一次函数y=3x+b的图象上，则y,，的大小 关系是_（填“>”或“<”). 10.(25-26八年级上江苏苏州月考)当1≤x≤5时，一次函数y=(a+1)x-3a-1(a为常数)，图象在x轴 上方，则a的取值范围 11.(25-26八年级上·安微毫州月考)已知一次函数y=m+1)x-2m+4(m是常数且m≠-1). (1)若该一次函数是正比例函数，则1= (2)当-1≤x≤4时，该一次函数有最大值8，则m的值为 12.（25-26八年级上·安徽准北期末)定义：在函数中，我们把关于x的一次函数y=mx+n与y=nx+m称 为一组对称函数，例如y=-2x+3与y=3x-2是一组对称函数.请完成下列问题： (1)一次函数y=-7x+5的对称函数在y轴上的截距为； (2)若一次函数y=-+4k>0)的对称函数与x轴交于点A,与y轴交于点B,且A0B的面积为8，则 k的值为 三、解答题 13.（25-26八年级上陕西西安期中)已知一次函数y=-4x+k+3,当x=1时，y=-3,求k的值. 14.(25-26八年级上四川达州月考)(1)若函数y=x+m+1是正比例函数，求m的值； (2)若函数y=m-2)x-3+m+1是一次函数，求m的值. 15.(25-26八年级下全国课后作业)已知一次函数y=(2m+4)x+m-3. (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点. 16.(25-26八年级上浙江杭州期末)己知一次函数y=x+b的图象经过点(0,2)和点B(-a,3),且点B在正 比例函数y=-3x的图象上. (①)求该一次函数的表达式. (2)若P(m,y),Q(m-1,y2)是该一次函数图象上的两点 ①请判断y,y2的大小关系，并说明理由. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当0≤2<5时，求片函数值的取值范围。 17.(25-26八年级上·安徽安庆期末)一次函数y1=ax+b(a≠0)恒过定点(1,0). (I)若一次函数y=ax+b还经过2,3)点，求y的表达式： (2)若有另一个一次函数y,=bx+a. ①点Am,p)和点B(n,p分别在一次函数y和的图象上，求证：m+n=2; ②设函数y=y-2,当-1≤x≤3时，函数y有最大值8，求a的值. 18.(25-26八年级上浙江台州·期末)如图1，若一次函数y=x+b图象经过P(x,),Q(x2,y2)，则有 k=上.例如：一次函数y=-1的图象经过(4,3到和2,1，则有k=3-=1. x1-X2 4-2 y=kx+b A y2=k2x+b. P(,y) D O(x2,y2) 图1 图2 (1)若点A(4,-2),B(1,4)在一次函数y=x+b图象上，则k= (②)若一次函数y=c+b在m≤x≤m+2范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值： (3)如图2，点A,B在直线y=kx+b上，点C,D在直线y2=k,x+b上，已知AC∥BD∥y轴，BC∥x轴， 且AC=2BD,求k与k满足的数量关系，并说明理由. 8/8