专题1.6 导数双变量与极值点偏移 专项突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.6 导数双变量与极值点偏移专项——2026届高考数学二轮复习专题突破 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2026高三上·湖南月考）已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（　　） A．0 B． C． D．1 2．（2025高三上·泊头月考）已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2025高三下·三台月考）已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025高三下·山东月考）已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（　　） A． B． C． D． 7．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3题；共18分） 9．（2025·长沙模拟）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（　　） A． B． C． D． 10．（2025高三上·广州月考）设是函数的三个零点，则（　　） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 11．（2025高三上·岳麓月考）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同的直线与相切 D．函数有5个零点 三、填空题（共3题；共15分） 12．（2024高三上·深圳月考）已知函数有两个零点，则的取值范围为　 　． 13．（2025高三上·蓟州期中）已知函数.若，且，则的取值范围是　 　． 14．（2023·浦东模拟）已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 　 　 ． 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2024高三上·长春模拟）已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 16．（2020高三上·潮州月考）已知函数 ， . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围. 17．（2017·福州模拟）已知函数f（x）=mex+x+1． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞0． 18．（2024高三上·澄海月考）已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 19．（2022·北京）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性； （III）证明：对任意的 ，有 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】解：由，可得， 因为在上恰有两个不同的零点， 所以函数与在上恰有两个不同的交点， 又因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 作出两函数的图象， 可得， 由图可知，， 可得，则. 故答案为：C． 由题意，将问题转化为函数与在上恰有两个不同的交点，利用函数的单调性和端点、极值，从而作出函数的图象，再利用函数的图象得出实数m的取值范围，从而得到，进而得出，再结合余弦型函数的单调性，从而得出的取值范围. 2．【答案】A 【解析】解：由， 可得， 因此在区间上有两个零点， 可等价转化为与在有两个交点， 设函数， 则 ，即. 由恒成立结合， 则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则当时，的最大值为， 又因为且时，， 所以要使函数与函数在上有两个交点， 则， 故答案为：A. 利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，先将函数的零点问题转化为常函数与函数的交点问题，再通过两个函数图象在上有两个交点得出实数a的取值范围. 3．【答案】D 【解析】解：当时，，， 则， ∵在上单调递减，∴在上单调递减， ∵，满足， ∴在上单调递增， ∵，，，，， 由，得， 令，则， 令，则， 则图象如图所示， 结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间， 所以， 又∵， ∴ 故答案为：D. 根据已知条件得出函数在上的解析式，判断函数单调性，从而画出分段函数的图象，令，再结合函数图象把问题转化为中需提供一个根，且该根位于之间，从而求出实数的取值范围. 4．【答案】C 【解析】解：函数， 由题意可知：有两个实数根， 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示： 函数定义域为，求导可得，当时，，， 则函数在处的切线方程为； 函数定义域为，求导可得，当时，，， 则函数在的切线方程为； 即函数与只有一个公共点， 由图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 则实数的取值范围为． 故答案为：C. 由题意可得有两个实数根，分解方程可得和，在同一坐标系下，作出函数，和的图象，再分别对、求导，利用导数的几何意义求切线方程，可得 函数与只有一个公共点， 结合函数图象讨论求解即可. 5．【答案】B 【解析】解：是的根， ， 则，① 是的根， ， 则， 存在函数使得， ，② 是定义在上的增函数， 在上单调递增， 由①②可得， ， 又因为， 所以， ， 则. 故答案为：B. 利用已知条件和方程根代入法，从而分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，再借助函数的单调性得出的值. 6．【答案】B 【解析】解：因为对于任意，，，的范围恒定，所以只需考虑的情况， 设对应的切点为，，， 设对应的切点为，，， 因为，所以，， 所以只需考虑，，其中的情况， 则， ，其中， 所以； 又因为，， 所以，； 令，则， 所以在上单调递增，， 设， 所以，又因为，所以， 所以； 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，所以， 即，在上单调递减，所以， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：B. 根据结论恒成立只考虑的情况，假设切点坐标，则只需要考虑，，其中的情况，可将表示为，构造函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，从而对进行放缩求范围即可. 7．【答案】B 【解析】由于 ， 所以 ， 要使 在 上恰有两个不同的极值点， 则 在 上有两个不同的解， 令 ， 即二次函数 在 上有两个不同的解， 所以 ，解得 。 故答案为：B 由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。 8．【答案】B 【解析】由题设， 且 ，由 有两个极值点， ∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ， ∴ ， ，且 ，得 . 又 ，且 ， ∴ ， ，即 ， ∴ ， 令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立， ∴ ，即 递增，故 ， ∴ 。 故答案为：B 由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。 9．【答案】A，B，D 【解析】解：因为， 数形结合得到在内的大致图象为如图所示： 所以，则，故A正确； 由，得， 则 由题意，则， 所以， ，则，故B正确； 因为，故D正确； 因为，故C错误. 故答案为：ABD. 先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A；根据角之间的关系式和两角和与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出，则判断出选项B；再利用对数函数的单调性，则判断出选项D；再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C，从而找出正确的选项. 10．【答案】A，C，D 【解析】解：A、当时，，显然不符合题意； 当时，分别画出与的图像，如图所示： 显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确； B、令，可得，设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最小值为， 要使得有两个大于0的零点，则，故B错误； C、由题意，所以， 由于成等差数列，所以，所以， 所以，所以成等比数列，故C正确； D、由，得，所以， 由于，解得， 又，则，故， 则，又故舍去， 因为，所以，故D正确. 故答案为：ACD. 将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项： 1. 分析时与的交点，判断的范围； 2. 构造函数求的取值范围； 3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。 11．【答案】A，B，D 【解析】解：对于A，由函数， 可得， 因为是函数的一个极值点， 所以， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B，由， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确： 对于C，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 因为切点满足直线方程， 则， 整理得，解得， 所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D，令，则的根有三个，如图所示， 则， 所以方程有3个不同根， 则方程和均有1个根， 所以有5个零点，所以D正确. 故答案为：ABD. 先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项. 12．【答案】 【解析】解：易知函数的定义域为， 令，则， 令，，作出函数的图象，如图所示： 因为函数有两个零点，由图易知，， 且，得到， 所以，令， 则，又易知在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为， 故答案为：. 先求函数的定义域，令，得到，构造函数，作出函数的图象，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围即可. 13．【答案】 【解析】解：如图， 由，知，且， 得，即，得， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以的取值范围为. 故答案为： 画出函数图象，由易得且，可以化为再判断等号成立条件即可. 14．【答案】 【解析】， 令， 则， 因为，所以， 令得或，令得，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 因为，，其中， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 且在和内下凹，在内上凸， 的几何意义是点和点连线的斜率， 当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增， 因此当时，严格递增， 而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在， 曲线须在直线下方，曲线须在直线上方， 故需使点都在处的切线上或切线上方即可， 从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可， ，， 故曲线在处的切线方程为， 令，化简得， ，因此，即， 令，则，即， 其中，画出及的图象，如下： 由图可知，，即 故答案为： 利用已知条件结合导数的运算法则得出，令，再利用，所以，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出在和上单调递增，在上单调递减，再利用，，其中，再结合求导的方法判断函数W（x）的单调性，且在和内下凹，在内上凸，再利用的几何意义是点和点连线的斜率，当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，因此当时，严格递增，而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，故需使点都在处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，再结合求导的方法求出曲线在处的切线方程为，令，化简得，再利用，因此，令，则，其中，画出及的图象，由图可知t的取值范围，进而得出 的取值范围。 15．【答案】解：（1） 则， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的极小值为，无极大值； （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点. ， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 时，取得极小值， 又时，；时，，. 【解析】（1）对函数进行求导，判断正负，得函数的单调性即可求得极值； （2），即函数有两个零点，即方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解，利用曲线与直线有两个交点，构造函数，求导判单调性，利用数形结合及值域求解即可 16．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 当 时，若 时， ， 单调递增，若 时， ， 单调递减， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 综上： 时， 在 上单调递增， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； （Ⅱ）因为存在 ，使得不等式 成立， 所以存在 ，使得不等式 成立， 令 ， ，且 ， 所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以 在 上递减，所以 ，满足条件； 当 时， ，所以 ， 所以 在 上递增，所以 ，不满足条件； 当 时，若 ， ， 单调递增， 若 ， ， 单调递减， 所以存在 使得 ，满足条件， 综上可知： . 【解析】（Ⅰ）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； （Ⅱ）将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m的取值范围. 17．【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=mex+1， m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增， m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣ ）， 令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣ ）， 故f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））递增，在（ln（﹣ ），+∞）递减； （Ⅱ）证明：若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）， 由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（﹣ ））=ln（﹣ ）＞0， 解得：﹣1＜m＜0， 由f（x1）=f（x2）得：m= ①， m（ ﹣ ）+（x1﹣x2）=0②， 将①代入②整理得： x1= +1， 故x2+x1= +1+x2， 由m= = 得：﹣1＜ ＜0， 解得：﹣1＜x2＜0， 令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0）， 则g′（x）=1﹣xe﹣x＞0， 故g（x）在（﹣1，0）递增， g（x）＞g（﹣1）=0， 故x2+x1= +1+x2＞0． 【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出x2+x1= +1+x2，由m= = ，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），根据函数的单调性证明即可． 18．【答案】解：（1）由得，在上单调递增，， 的取值范围是. （2）存在，使不等式成立，存在， 使不等式成立.令，从而，， ，在上单调递增， . 实数的取值范围为. 【解析】（1） 先通过导数求单调递增区间，再根据已知单调区间的包含关系确定的范围，进而求取值范围. （2） 将存在性不等式转化为与新函数最值的关系，构造新函数后用导数研究其单调性，求出最小值，确定的取值范围. 19．【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ， 故所求切线方程为 （Ⅱ） ， 又 ， 故 对 成立， 在 上单调递增 （III）证明：不妨设 ， 由拉格朗日中值定理可得： 其中 ，即 ，其中 ，即 由 在 上单调递增，故 ∴ ∴ 证毕 【解析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程； （2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性； （3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $