热点05 填空压轴题（多空与逻辑推理3大题型）（热点专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点05 填空压轴题（多空与逻辑推理） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 表格信息逻辑推理题 题型02 图表信息逻辑推理题 题型03 文字信息逻辑推理题 第三部分 能力突破·限时练 近三年:填空压轴题考点高度稳定：2023年：为多函数结合判定，侧重代数综合 2024-2025年：考查实际应用的方案规划，含两问，第二问为策略性逻辑分析（如最优方案选择），强调在实际情境中运用数学思维。 2026年预测：延续"方案规划"风格，可能融入生活场景（如时间优化、资源分配、经济决策），要求提炼数学模型。逻辑推理要求提升：第二问强调策略分析而非单纯计算，考查严谨的论证能力。 可能出现新形式：参考2025年部分城区模拟题，填空压轴题可能与跨学科情境（如物理背景、社会调查数据）结合。 备考建议:1. 强化逻辑分析：练习"最优方案选择""最少步骤规划"类题目，养成"先分析、后计算"的习惯。 2. 关注情境应用：多接触利润、行程、资源配置等实际问题，训练提炼数学模型的能力。 题型01 表格信息逻辑推理题 解题策略 此类题考查了方程相关的逻辑推理题，利用表格找到等量关系，综合判断，最终选择最为合适的方案。找到问题的最优解。 例1（2025·九·北京石景山京源学校·零模）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表： 演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8 节目A √ √ √ √ √ 节目B √ √ √ 节目C √ √ √ 节目D √ √ 节目E √ √ 节目F √ √ 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）． 【答案】EBDC/ECDB 【来源】2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷 【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案． 【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7， 由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出 故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E； 第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C 第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C 所以，可确定第四个节目为节目D 综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF 故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）． 【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键． 【变式1】．（2025·北京汇文中学·三模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 54 28 【来源】2025年北京汇文中学中考三模数学试题 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 故答案为：54；28． 【变式2】．（2024·北京平谷·二模）某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要________名学生共同参与． 【答案】 21 4 【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 【变式3】．某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用_____元；若某班名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为_____元． 【答案】 【来源】北京市首都师范大学附属中学九年级中考三模数学试卷 【分析】本题考查了有理数运算的实际应用，解题关键是对船型进行分析，找出总费用最低的租船方案． 家庭3人想划船，四人船最划算；该班18名同学一起去该公园划船，八人船最划算，其次是六人船，计算出总费用最低的租船方案即可． 【详解】解：家庭3人想划船，四人船最划算，租船的总费用为（元）； 该班名同学一起去该公园划船， 可以租用：四人船、六人船、八人船各1艘， 租船的总费用为（元） 故答案为：，． 【变式4】．（2025·北京东城·二模）图为一个的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致_____个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按_____次开关． 【答案】 3 3 【来源】2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查数学逻辑，将位置分为三类：四个角位置(A、C、G、I)，中心位置E和靠正方形四边中点的位置，然后逐类分析即可知最受影响几个开关，按“按1次，按2次，按三次……”的思维顺序分析即可得解． 【详解】解：根据题意可知：导致改变状态的开关最少，应该按四个角的开关，即开关A、D、G、I，此时受影响的开关只有三个， 首先A，E，I的状态三者不相邻，因此一次是不可能的， 其次考虑按两次开关，分为3种情况，其他通过旋转对称可以同理推导视为一种，按一次后的三种情况如下图所示：其中改变状态的用阴影表示：      这三种情况都不可能再按一次就只改变A，E，I的状态， 三次是可行的，方法如下，其中相比上一步改变状态的用阴影表示： 说明：这三步的顺序可以任意交换，都可以完成要求． 综上所述：如果按任意一个开关一次，则至少导致3个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按3次开关． 故答案为：3；3． 题型02 图表信息逻辑推理题 解题策略 主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键．与图形结合增加了该题的趣味性，适当的作图可以帮助更好的找到该类题的解题思路。 例1（2025·北京三帆中学·三模）如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为______； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是______． 【答案】 【来源】2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷 【分析】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意． （1）根据圆的性质，当最佳距离时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解最大值； （2）根据以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合的最大值为，建立不等式求解，即可得最佳距离的范围． 【详解】（1）解：如图，轨道圆心记为点，立柱所在直线记为，作，与交于点，点，与交于点， 根据题意可知，， ∴， 当最佳距离时，， ∴， ∴， 的最大值为， 故答案为：． （2）解：当时，， 根据题意可得，， ∵，， ∴， ∴， 当的最大值为时， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（2025·北京海淀二十中学·模拟）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向． （1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行_____次该指令能回到坐标原点处； （2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，则应给机器人下达的指令是_____． 【答案】 4 【来源】2025年北京市海淀区第二十中学九年级数学中考模拟试卷 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意以及旋转的定义画出图形即可解答； （2）如图，先解直角三角形得到，再根据题意以及等边对等角、三角形外角的性质得到，再解直角三角形求得即可解答． 【详解】解：（1）如图，给机器人下达指令，第一次到达的位置，第二次到达的位置，第三次到达的位置，第四次到达的位置， ∴机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处， 故答案为：4． （2）如图： ∵场地圆心的坐标为， ∴， ∴，即， ∵机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴给机器人下达指令是． 故答案为：． 【变式2】．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为___________km； （2）小明骑行的最短距离为___________km． 【答案】 6.2 5.2 【来源】北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】（1）根据图示计算P→B→A→C→P的路线距离为km； （2）找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的． 【变式3】．（2025·北京文汇中学·模拟）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【来源】北京市文汇中学2024-2025学年九年级下学期模拟考试数学试题 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 【变式4】．（2024·北京东直门中学·三模）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 _____的位置，标注字母的卡片写有数字 ________ 【答案】 B 【来源】2024年北京市东直门中学中考三模数学试题 【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白，白，白，白的位置． 【详解】解：第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则左边不可能有张黑卡片， ∴白卡片数字摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字摆在了标注字母的位置； ∴第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则，只能是黑，黑， 而∵为黑，矛盾， ∴第一行中为白； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，此时黑在白右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白， ∴第二行中为黑，为黑； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，与为黑矛盾， ∴第二行中为． 故答案为：B；． 题型03 文字信息逻辑推理题 解题策略 考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法； 例1（24-25·北京朝阳人朝分实验学校·模拟）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为______元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为______元． 【答案】 【来源】北京市朝阳区人朝分实验学校2024-2025学年下学期九年级中考考前模拟数学试题 【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5. 根据配送成本公式计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和即可． 【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方案 方案1：配送 成本为元 方案2：配送 成本为元 方案3：配送 成本为元 ∴方案2成本最低为元 允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小， 站点3，包裹已经交付，则接下来，， 成本为元 故答案为：，22． 【变式1】．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 【答案】 426 206 【来源】2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为行列，则师生总数满足，即，而，据此计算即可求解． 【详解】解：设矩形方阵为行列， ∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师， ∴师生总数满足， 整理得， ∵、都是正整数，， ∵男生总数为，当男生人数最多时，需要最大， 此时，， 解得，， ∴， ∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生； 当，， 解得，， ∴， ∴此次团体操表演最少需要206名学生； 故答案为：426；206． 【变式2】．（2025·北京密云·一模）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 21 17 【来源】2025年北京市密云区中考一模数学试卷 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出甲当裁判9局，乙当裁判3局，丙当裁判5局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴甲当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 【变式3】．（2025·北京大兴·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 【答案】 （4，4，6，7，9，11，14） 10 【来源】2025年北京市大兴区中考数学一模试卷 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键． （1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题． （2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）； 第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）； 第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）； 第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）； 第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）； 第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）； ， （2，3，4，5，6，7，8，9，11）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； ， 所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆． 故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10． 【变式4】．（2025·北京延庆·一模）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． 【答案】 196 【来源】2025年北京市延庆区九年级中考零模数学试卷 【分析】①由题意列出算式即可； ②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可． 【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个； ②一个科技系统需个模块和个模块， 天两模块同时开发出数量最多， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， ∴每6天为一个循环，每6天组装套系统， ∵， ①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， ∴天最多能组装模块套系统． ②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， 天最多能组装模块套系统． ∵ ∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答． （20分钟限时练） 1．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 【答案】 5 15 【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，据此可得答案； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯， ∴每组有盏小灯 ∵一共有15盏灯亮，第一组有盏灯亮， ∴第一组有盏灯暗，第二组有盏灯亮， ∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多， ∴拍完灯后第一组有10盏灯亮， ∵要使拍灯盏数最少， ∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮， ∴最少需拍盏灯； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮， 因此拍完后选出组的亮灯数为， ∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多 ∴ 解得． 2．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 3．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为 ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点05 填空压轴题（多空与逻辑推理） 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 表格信息逻辑推理题 题型02 图表信息逻辑推理题 题型03 文字信息逻辑推理题 第三部分 能力突破·限时练 近三年:填空压轴题考点高度稳定：2023年：为多函数结合判定，侧重代数综合 2024-2025年：考查实际应用的方案规划，含两问，第二问为策略性逻辑分析（如最优方案选择），强调在实际情境中运用数学思维。 2026年预测：延续"方案规划"风格，可能融入生活场景（如时间优化、资源分配、经济决策），要求提炼数学模型。逻辑推理要求提升：第二问强调策略分析而非单纯计算，考查严谨的论证能力。 可能出现新形式：参考2025年部分城区模拟题，填空压轴题可能与跨学科情境（如物理背景、社会调查数据）结合。 备考建议:1. 强化逻辑分析：练习"最优方案选择""最少步骤规划"类题目，养成"先分析、后计算"的习惯。 2. 关注情境应用：多接触利润、行程、资源配置等实际问题，训练提炼数学模型的能力。 题型01 表格信息逻辑推理题 解题策略 此类题考查了方程相关的逻辑推理题，利用表格找到等量关系，综合判断，最终选择最为合适的方案。找到问题的最优解。 例1（2025·九·北京石景山京源学校·零模）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表： 演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8 节目A √ √ √ √ √ 节目B √ √ √ 节目C √ √ √ 节目D √ √ 节目E √ √ 节目F √ √ 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）． 【变式1】．（2025·北京汇文中学·三模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【变式2】．（2024·北京平谷·二模）某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要________名学生共同参与． 【变式3】．某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 若家庭3人想划船，最少需准备租船费用_____元；若某班名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为_____元． 【变式4】．（2025·北京东城·二模）图为一个的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致_____个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按_____次开关． 题型02 图表信息逻辑推理题 解题策略 主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键．与图形结合增加了该题的趣味性，适当的作图可以帮助更好的找到该类题的解题思路。 例1（2025·北京三帆中学·三模）如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为______； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是______． 【变式1】．（2025·北京海淀二十中学·模拟）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向． （1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行_____次该指令能回到坐标原点处； （2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，则应给机器人下达的指令是_____． 【变式2】．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为___________km； （2）小明骑行的最短距离为___________km． 【变式3】．（2025·北京文汇中学·模拟）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【变式4】．（2024·北京东直门中学·三模）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 _____的位置，标注字母的卡片写有数字 ________ 题型03 文字信息逻辑推理题 解题策略 考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法； 例1（24-25·北京朝阳人朝分实验学校·模拟）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为______元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为______元． 【变式1】．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 【变式2】．（2025·北京密云·一模）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【变式3】．（2025·北京大兴·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 【变式4】．（2025·北京延庆·一模）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． （20分钟限时练） 1．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 2．某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 3．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $