热点04 尺规作图原理与几何推理（5大题型）（热点专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点04 尺规作图原理与几何推理 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 作已知角相等的角 题型02 角平分线 题型03 作垂线 题型04 作三角形 题型05 圆相关尺规作图 第三部分 能力突破·限时练 近三年:（2023-2025）尺规作图主要在选择题（通常第7题左右）考查，结构稳定且综合性强： 2024年：尺规作图与全等三角形判定结合，在菱形背景下考查作图痕迹的识别与性质推理。 2025年：延续“作图+证明”模式，通过作一个角等于已知角的过程，考查对全等三角形判定依据的理解。 2026年预测：综合度提升：作图题可能不再孤立考查，而是与四边形、圆等图形性质深度结合，在情境中考查作图原理。 原理理解是关键：不再满足于“会操作”，重点要求判断作图步骤背后的几何依据（如SSS全等、垂直平分线定理）。可能出现新形式：借鉴2025年趋势，网格中无刻度直尺作图或与其他知识点融合考查。 备考建议：吃透五种基本作图：特别是作一个角等于已知角（SSS全等）、作垂直平分线（到两端点距离相等）的原理。 规范痕迹与表达：能根据作图痕迹准确说出作图步骤，并补全证明过程。2，关联几何性质：练习时将作图与三角形全等、四边形判定串联，例如通过作图构造菱形、平行四边形。 题型01 作已知角相等的角 解题策略 作一角等于已知角：经典方法是作全等三角形（SSS）。先画一边，以顶点为圆心作弧交两边得两点，再以相同半径在新边上截弧，量取原两点间距离确定第三点。作角的和与差：先作一角，在其外部（和）或内部（差）续作另一角。注意差需要大角包含小角，若不相容则先作补角再处理。平行线转移角：过一点作已知直线的平行线，同位角、内错角相等，可将角“搬运”到目标位置。 圆周角转移：同弧所对圆周角相等。利用等腰三角形：底角相等；顶角的外角等于两底角和。 例1（2025·北京东城·一模）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 【变式1】．(24-25九下·北京东城区·一模)如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C．与的相似比为 D． 【答案】C 【详解】解：由作图过程可得， 故选项A正确； ， 故选项D正确； ， ， 故选项B正确； 与的相似比为， 不能确定， 故选项C错误； 故选：C． 【变式2】．（2025·北京房山·中考一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年北京市房山区中考一模数学试题 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3】．（2025·北京二十中学·模拟）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【来源】 北京市第二十中学2025年4月中考数学模拟试题 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 【变式4】．（2025·北京延庆·一模）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【答案】D 【详解】解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ①以为圆心，长为半径画，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②作射线，则， 故正确的顺序是④①③②， 故选：D． 【变式5】．（2024·北京·中考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【来源】2024年北京市中考数学试题 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 题型02 角平分线 解题策略 主要考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图． 例1（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 【变式1】．（2025·北京密云·一模）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：(1)如图2，在射线上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部； (2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是(   ) A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 【答案】D 【详解】解：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故A、B会用到，不符合题意； 以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P， ， （等边对等角）， ， 射线就是的平分线． 故C会用到，不符合题意； 综上所述，D不可能用到， 故选：D． 【变式2】．（2025·北京三帆中学·零模）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（   ） A．是的平分线 B． C．点D在线段的垂直平分线上 D． 【答案】D 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式3】．（2015·北京海淀·一模）如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 【答案】A 【来源】2015届北京市海淀区九年级一模数学试卷 【分析】本题考查了用尺规作角平分线的相关知识，理解题目所给的作图步骤是解题关键；根据作图步骤判断即可解题． 【详解】解：根据作图的步骤和图形可知：尺规作图实际上是平分了，所以射线是的平分线， 故选：A． 【变式4】．（2025北京东城·一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）    A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP 【答案】A 【来源】2025年北京市东城区中考数学一模试题 【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得． 【详解】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线， ∴∠AOP＝∠BOP， 故C正确，不符合题意； 由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP， ∴OP是CD的垂直平分线， ∴CD⊥OP， 故D正确，不符合题意； 由作图（2）可知：CD＝CP＝PD， ∴△CDP是等边三角形， ∵CD⊥OP， ∴CP＝2CQ， 故B正确，不符合题意； ∵∠AOP＝∠BOP， 当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴CP∥OB， 故A错误，符合题意； 故选：A． 【变式5】．（2025·九·北京石景山京源学校·零模）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线，射线即为所求． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【来源】2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质．如图，连接，．根据“边边边”证明三角形全等可得结论． 【详解】解：如图，连接，． 由作图知，， 在和中， ， ∴． ∴，即平分． 故选：A． 题型03 作垂线 解题策略 主要考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 例1（2024·北京海淀·模拟）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2024年北京市海淀区中考数学模拟练习试卷 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握根据尺规作图痕迹判断，以及勾股定理解直角三角形．连接，利用基本作图得到垂直平分，则，设，则， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得垂直平分，则， 点是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得 ， 即． 故选：C． 【变式1】．（2025·北京西城·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【来源】2025年北京市西城区九年级数学中考一模试卷 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键． 根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 【变式2】．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【来源】2025年北京市通州区中考数学一模试题 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 【变式3】．（2025·北师大实验中学·零模）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【答案】A 【来源】2025年北京市北京师范大学附属实验中学九年级中考零模数学试卷 【分析】本题考查了作图——作垂线，菱形的判定和性质，掌握基本作图方法是解题关键．由作法可知，从而得出四边形是菱形，，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知，， 四边形是菱形， ， 小红的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直， 故选：A． 【变式4】．（2024·北京顺义·一模）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）    A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60° 【答案】C 【来源】2024年北京市顺义区中考数学一模试题 【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：连接AQ，BP，如图， 由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ， ∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA， ∴△OAB≌△OPQ（SAS）； ∴∠ABO＝∠PQO， ∴PQ∥AB； ∵BQ垂直平分PA， ∴QP＝QA， 若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°． 故选：C．    【变式5】．（2025·北京大兴·二模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（   ） A．① B．② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：如下图， 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线， 因此点A是的中点，故①正确； ∵是的直径， ， ， ∴直线都是的切线，故②正确； ∵直线都是的切线， 根据切线长定理，可知，故③正确； ， ∴， ∴， ， ∵点A是的中点， ，故④错误． 故选：C． 题型04 作三角形 解题策略 当出现公共边、等边、定角等条件时，通过变换将分散条件集中到同一三角形中。 · 平移：已知两边及其中线长，可将中线平移构造平行四边形。 · 旋转：含等边条件（如 AB = CD）且位置分散时，尝试旋转三角形使等边重合，构造等腰或等边三角形。 · 对称：涉及角平分线、高线时，常作对称点将折线转化为直线段（如“在角两边找点使路径最短”类问题）。 例1（2025·北京朝阳·二模）如图，中，．甲、乙两人想在外部取一点D，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线l； ②以B为圆心，长为半径画弧，交l于D点，则D即为所求 乙：①过B作平行的直线l． ②过C作平行的直线m，交l于D点，则D即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【详解】甲：如解图①，∵，∴，∴，由甲的作法可知，，故和不可能全等，故甲的作法错误；乙：如解图②，∵，，∴，，在和中，，∴，∴乙的作法是正确的，故选D．    【变式1】．(2024·北京海淀区首都师范大学第二附属中学·二模)阅读下面材料： 已知线段a，b． 求作：，使得斜边，一条直角边． 作法： （1）作射线、，且． （2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C． （3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B． （4）连接．则就是所求作的三角形． 上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是． 故选：A． 【变式2】．（2025·北京丰台·二模）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 【变式3】．（2025·北京顺义·二模）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 【变式4】．（2025·北京燕山·一模）下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【来源】2025年北京市燕山区九年级中考一模数学试题 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 【变式5】．（2025·北京西城·二模）在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如图：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（　　） 作法： （1）如图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. A．根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB 【答案】A 【详解】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D' 故选A． 题型05 圆相关尺规作图 解题策略 本题考查圆相关尺规作图，需熟练掌握圆相关的性质，能够利用三个不在同一直线上三个点确定圆，圆的切线的性质及作法，以及正多边形与圆的相关性质。 例1（2025·北京门头沟·二模）如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【详解】解：由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线， ∴，， ∴， 故A，B，D的结论正确， 故选：C． 【变式1】．（2025·北京大兴·一模）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．AP＝BQ B．PQ∥AB C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180° 【答案】C 【分析】根据作图过程即可判断． 【详解】解：∵ ∴AP＝BQ， ∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA， ∴∠APQ+∠PAB＝180°． ∴∠APQ+∠ABQ＝180°． 所以A、B、D选项正确，C选项错误． 故选：C． 【变式2】．(2024·北京大兴区·二模)已知：不在同一直线上的三点A,B,C 求作：⊙O，使它经过点A,B,C 作法：如图， （1）连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE； （2）连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O； （3）以O为圆心，OB 长为半径作⊙O． ⊙O就是所求作的圆. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ）    A．连接AC, 则点O是△ABC的内心 B． C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙的半径 D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上 【答案】D 【详解】A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故 A错误； B: 根据题意无法证明，故 B错误； C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙的半径，故 C错误 D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故 D正确 故答案为：D. 【点睛】本题考查了三角形的确定即不在一条线上的三个点确定一个圆，这个圆是三角形的外接圆，o是三角形的外心. 【变式3】．(25-26九上·北京朝阳区·期末)如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【来源】北京市朝阳区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 【变式4】．（2024·北京东直门中学·三模）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【来源】专题3.21 圆内接正多边形（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版） 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式5】．（2025·北京文汇中学·模拟）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． （20分钟限时练） 1．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用等腰三角形的性质是解题的关键． 由作图可得是的垂直平分线，，利用等腰三角形的性质计算角度，逐一判断解答即可． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ，故A正确，不符合题意； ，， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 由作图可得， ， ， ，故B正确，不符合题意； 根据题意不可以得到，故D错误，符合题意， 故选：D 2．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（    ）    A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决． 【详解】由题意可得， OC为∠MAN的角平分线， ∵OA=OB，OC平分∠AOB， ∴OC⊥AB， 设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E， ∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB， ∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3， ∴CD=4， ∵， ∴， 解得，BE=， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 4．如图，是的外接圆，在上找一点，使点平分．以下是甲乙丙三种不同的作法，作法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线，线段的垂直平分线的作法，圆周角定理，圆心角、弦和弧的关系等内容，解题的关键是掌握基本的尺规作图． 利用圆周角定理，圆心角、弦和弧的关系等内容以及基本的尺规作图，逐项进行判断即可． 【详解】解：甲作的是的平分线，由，得点平分，甲的作法正确； 乙作的是的平分线，由，得点平分，乙的作法正确； 丙作的是的垂直平分线，平分及其所对的弧，所以点平分，丙的作法正确； 故选：D． 5．已知P是外一点，用直尺和圆规过点P作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于A，B两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点A．以点A为圆心，为半径画弧，交于点B． ②连接，就是的切线． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，等边三角形的判定与性质．甲：连接、，求得，即可证明、是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴、是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点04 尺规作图原理与几何推理 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 作已知角相等的角 题型02 角平分线 题型03 作垂线 题型04 作三角形 题型05 圆相关尺规作图 第三部分 能力突破·限时练 近三年:（2023-2025）尺规作图主要在选择题（通常第7题左右）考查，结构稳定且综合性强： 2024年：尺规作图与全等三角形判定结合，在菱形背景下考查作图痕迹的识别与性质推理。 2025年：延续“作图+证明”模式，通过作一个角等于已知角的过程，考查对全等三角形判定依据的理解。 2026年预测：综合度提升：作图题可能不再孤立考查，而是与四边形、圆等图形性质深度结合，在情境中考查作图原理。 原理理解是关键：不再满足于“会操作”，重点要求判断作图步骤背后的几何依据（如SSS全等、垂直平分线定理）。可能出现新形式：借鉴2025年趋势，网格中无刻度直尺作图或与其他知识点融合考查。 备考建议：吃透五种基本作图：特别是作一个角等于已知角（SSS全等）、作垂直平分线（到两端点距离相等）的原理。 规范痕迹与表达：能根据作图痕迹准确说出作图步骤，并补全证明过程。2，关联几何性质：练习时将作图与三角形全等、四边形判定串联，例如通过作图构造菱形、平行四边形。 题型01 作已知角相等的角 解题策略 作一角等于已知角：经典方法是作全等三角形（SSS）。先画一边，以顶点为圆心作弧交两边得两点，再以相同半径在新边上截弧，量取原两点间距离确定第三点。作角的和与差：先作一角，在其外部（和）或内部（差）续作另一角。注意差需要大角包含小角，若不相容则先作补角再处理。平行线转移角：过一点作已知直线的平行线，同位角、内错角相等，可将角“搬运”到目标位置。 圆周角转移：同弧所对圆周角相等。利用等腰三角形：底角相等；顶角的外角等于两底角和。 例1（2025·北京东城·一模）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．(24-25九下·北京东城区·一模)如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C．与的相似比为 D． 【变式2】．（2025·北京房山·中考一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2025·北京二十中学·模拟）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【变式4】．（2025·北京延庆·一模）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【变式5】．（2024·北京·中考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 题型02 角平分线 解题策略 主要考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图． 例1（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式1】．（2025·北京密云·一模）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：(1)如图2，在射线上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部； (2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是(   ) A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 【变式2】．（2025·北京三帆中学·零模）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（   ） A．是的平分线 B． C．点D在线段的垂直平分线上 D． 【变式3】．（2015·北京海淀·一模）如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 【变式4】．（2025北京东城·一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）    A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP 【变式5】．（2025·九·北京石景山京源学校·零模）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线，射线即为所求． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 题型03 作垂线 解题策略 主要考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 例1（2024·北京海淀·模拟）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·北京西城·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【变式2】．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式3】．（2025·北师大实验中学·零模）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【变式4】．（2024·北京顺义·一模）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点A，连接PA； （2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O； （3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q； （4）作直线PQ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）    A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60° 【变式5】．（2025·北京大兴·二模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（   ） A．① B．② C．①②③ D．①②③④ 题型04 作三角形 解题策略 当出现公共边、等边、定角等条件时，通过变换将分散条件集中到同一三角形中。 · 平移：已知两边及其中线长，可将中线平移构造平行四边形。 · 旋转：含等边条件（如 AB = CD）且位置分散时，尝试旋转三角形使等边重合，构造等腰或等边三角形。 · 对称：涉及角平分线、高线时，常作对称点将折线转化为直线段（如“在角两边找点使路径最短”类问题）。 例1（2025·北京朝阳·二模）如图，中，．甲、乙两人想在外部取一点D，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线l； ②以B为圆心，长为半径画弧，交l于D点，则D即为所求 乙：①过B作平行的直线l． ②过C作平行的直线m，交l于D点，则D即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【变式1】．(2024·北京海淀区首都师范大学第二附属中学·二模)阅读下面材料： 已知线段a，b． 求作：，使得斜边，一条直角边． 作法： （1）作射线、，且． （2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C． （3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B． （4）连接．则就是所求作的三角形． 上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·北京丰台·二模）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【变式3】．（2025·北京顺义·二模）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【变式4】．（2025·北京燕山·一模）下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式5】．（2025·北京西城·二模）在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如图：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（　　） 作法： （1）如图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. A．根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB 题型05 圆相关尺规作图 解题策略 本题考查圆相关尺规作图，需熟练掌握圆相关的性质，能够利用三个不在同一直线上三个点确定圆，圆的切线的性质及作法，以及正多边形与圆的相关性质。 例1（2025·北京门头沟·二模）如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 【变式1】．（2025·北京大兴·一模）已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．AP＝BQ B．PQ∥AB C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180° 【变式2】．(2024·北京大兴区·二模)已知：不在同一直线上的三点A,B,C 求作：⊙O，使它经过点A,B,C 作法：如图， （1）连接AB ,作线段AB的垂直平分线DE； （2）连接BC ,作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O； （3）以O为圆心，OB 长为半径作⊙O． ⊙O就是所求作的圆. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ）    A．连接AC, 则点O是△ABC的内心 B． C．连接OA,OC，则OA, OC不是⊙的半径 D．若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上 【变式3】．(25-26九上·北京朝阳区·期末)如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【变式4】．（2024·北京东直门中学·三模）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式5】．（2025·北京文汇中学·模拟）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （20分钟限时练） 1．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（    ）    A．5 B． C．4 D． 3．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4．如图，是的外接圆，在上找一点，使点平分．以下是甲乙丙三种不同的作法，作法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知P是外一点，用直尺和圆规过点P作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于A，B两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点A．以点A为圆心，为半径画弧，交于点B． ②连接，就是的切线． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $