23.4实际问题与一次函数（第3课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

23.4 实际问题与一次函数 第二十三章 一次函数 第3课时 最值优化问题 第二十三章 一次函数 章节导读 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与性质 待定系数法求解析式 23. 2 一次函数的图像和性质 23. 1 一次函数的概念 23. 3 一次函数与方程（组）、不等式 23. 4 实际问题与一次函数 1 2 3 掌握 “定变量→找约束→建函数→求范围→定最值” 的完整建模流程，深化一次函数的决策应用价值； 能结合一次函数图像与增减性，直观理解最值的取值逻辑，落实数形结合思想； 经历从实际问题中提取约束条件、结合函数性质推导最优方案的过程，发展合情推理与演绎推理能力. 学习目标 导入新课 同学们在生活中一定遇到过这样的问题： （2）工厂采购原材料，要在满足生产需求的前提下，让采购成本最低. （1）学校组织研学旅行，要在总预算内租车，既要保证所有师生都有座位，还要让租车总费用最少； 要解决这类问题，我们需要用到哪些关键知识？ 一次函数的增减性、一元一次不等式组、一次函数建模 增减性： ，的增大而增大；时，的增大而减小 接下来，我们就研究这类问题——最值优化问题 新知探究 步骤一：拆解多重约束条件 问题 某学校计划在总费用不超过2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. 客车种类 载客量（人 / 辆） 租金（元 / 辆） 甲种客车 乙种客车 （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. 这些方案选择问题，有什么共同的特点？ ①总人数要求：234 名学生 + 6 名教师，合计240 名师生； ②教师数量要求：共 6 名教师，每辆车上至少要有 1 名教师； ③费用要求：租车总费用不超过 2300 . 新知探究 步骤二：解决 “共需租多少辆客车” 的问题 问题 双向推导租车总辆数的上下限： 利用两条不同的信息进行推导. “总载客量≥240 人” 240÷45≈5.33辆（假设全部用甲），最少需要 6 辆。 “每辆车至少 1 名教师，共 6 名教师” 所以最多只能租 6 辆。 故共需租 6 辆客车。 设租用甲种客车辆，则乙种客车数量为()辆. 新知探究 步骤三：建立目标函数与自变量的取值范围 问题 我们的目标是让租车总费用最少，那总费用（元）和甲种客车数量（辆）之间有什么关系？ 甲种客车总租金：元； 乙种客车总租金：元； 租车总费用： 总载客量≥240 人 总费用≤2300 元 整合得到一元一次不等式组： 新知探究 解第一个不等式得： 解第二个不等式： 确定不等式组的解集为： 因为是租车的辆数，必须是非负整数，所以的可取值只有和两个。 新知探究 步骤四：建立目标函数与自变量的取值范围 问题 我们的目标是让租车总费用最少，那总费用（元）和甲种客车数量（辆）之间有什么关系？ 当时，元 此时租甲种客车 4 辆，乙种客车6-4=2辆； 新知探究 当时，元 此时租甲种客车 5 辆，乙种客车6-5=1辆 确定最优方案： 因为2160<2280,所以租用甲种客车 4辆，乙种客车 2 辆时，租车总费用最少，为 2160元，是最节省费用的租车方案。 新知总结 分段计费问题解题步骤 一审：审清题意，标记所有约束条件 二定：用含自变量的式子表示相关的量 三建：建立因变量关于自变量的一次函数解析式 四求：列一元一次不等式组，求解自变量的取值范围 五析：分析一次函数的增减性，确定最值对应的自变量取值方向 六定：计算函数最值，验证方案的可行性，给出最终的最优方案 即时训练 1.某班级计划购买笔笔记本和钢笔作为期末奖品，预算不超过 200 元。已知笔记本每本 5 元，钢笔每支 15 元，需要购买的奖品总数为 20 件，且钢笔数量不少于笔记本数量的一半。 (1) 设购买钢笔 支，写出总费用 关于 的函数解析式； (2) 求出自变量 的取值范围； (3) 如何购买能让总费用最少？最少费用是多少？ 【分析】先依据计费规则建立两种方式的一次函数，再通过联立方程与函数值比较，确定费用相同点及最优计费方案. （1）设购买钢笔x支，则笔记本数量为本。 总费用由钢笔和笔记本费用组成： 即时训练 因此，总费用关于的函数解析式为： （2）钢笔数量不少于笔记本数量的一半： 解得：，即（为整数） 总费用不超过200元： 解得：。 综合以上条件，自变量的取值范围为： 即时训练 (3)函数中， 因此随的增大而单调递增。 要使总费用最少，需取的最小值 购买钢笔7支，笔记本本。 最少总费用： 巩固练习 1.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 巩固练习 【分析】(1)设购进型图书套，则购进型图书套，可得型图书利润为元，型图书利润为元，总利润为； （1）解：设购进型图书套，则购进型图书套， 则型图书利润为元，型图书利润为元， 总利润为； 【分析】(2)根据购进两种图书的总费用不超过元，可得不等式，解不等式可得：，根据一次函数的性质可知当时，利润最大． 巩固练习 （2）解：由题意得：， 解得： ， ． 一次函数中，， 当时，利润最大， 购进型图书套，型图书50套，最大利润为元． 巩固练习 【分析】先由利润关系建立一次函数，再通过约束条件确定自变量范围，最后利用函数单调性求出利润最大的生产方案. 2.某工厂生产 A、B 两种产品，每生产 1件 A产品需耗材 8kg, 利润 100 元；每生产 1 件 B 产品需耗材 5kg 利润 80 元。工厂现有耗材 200kg,计划生产两种产品共 30 件，且 A产品数量不少于 10 件。如何安排生产，能让总利润最大？最大利润是多少？ 解：求总利润函数解析式 设生产 A 产品 件，则 B 产品为 件，总利润： 求自变量 的取值范围 根据题意列不等式组： 巩固练习 解第一个不等式： 结合 且 为整数，得： ( 为整数) 函数中，，故随增大而增大，因此取最大值166时利润最大： 此时 B 产品数量：件。 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 课堂小结 一次函数与最值优化 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 建立函数模型 解决实际问题时，首先要分析变量间的关系，建立一次函数解析式： y = kx + b 其中 x 是自变量，y 是因变量。 在实际问题中，必须考虑自变量 x 的 取值范围。 最值确定原理 利用一次函数的 增减性 来确定最值： 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而 增大。 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而 减小。 最值通常在自变量取值范围的 端点处 取得。 易错点警示 忽略自变量的实际意义 在实际问题中，自变量 x 往往受到现实条件的限制。例如： 人数、车辆数等必须为 正整数。 长度、质量、时间等必须为 非负数。 若计算出的最优解不是整数，需结合实际采用“进一法”或“去尾法”讨论。 忽视分段函数的情况 当收费标准或优惠政策发生变化时，函数解析式往往是 分段 的。此时需要： 分别求出各段的解析式。 在各自的自变量范围内比较函数值的大小。 解题技巧 “三步走”建模法 设：设出合适的自变量 x 和因变量 y。 列：根据等量关系列出解析式，并根据不等关系确定 x 的范围。 选：利用函数性质（增减性）或通过计算比较，选出最优方案。 数形结合思想 当涉及两种方案选择时，可以画出两个函数的图象： 交点坐标代表两种方案 代价相等。 图象在下方的部分代表该方案 更省钱/更优。 示例：若方案 A 为 y = 2x + 10，方案 B 为 y = 3x。当 x = 10 时，两者相等；当 x > 10 时，方案 A 更优。 $