3.1 公因数、最大公因数 第2课时-【七彩课堂】2025-2026学年五年级数学下册同步教学设计（青岛版）

1 公因数、最大公因数 第二课时 · 教学内容 教材29—30页，求最大公因数的方法。 · 教学提示 为了突出重难点，教学设计中专门安排了用短除法的方法求最大公因数，并且习题中也设计了用两种方法求最大公因数的例子，让学生明确求最大公因数用短除法是最简便的，同时也突破了本课教学的重点。 · 教学目标 知识与能力 学会求最大公因数的方法。 过程与方法 会用公因数、最大公因数的知识解决简单的实际问题。 情感、态度与价值观 培养对数学学习的兴趣和逻辑推理能力。 · 重点、难点 重点 会用公因数、最大公因数的知识解决简单的实际问题。 难点 会用公因数、最大公因数的知识解决简单的实际问题。 · 教学准备 教师准备：多媒体课件 学生准备： · 教学过程 （一）新课导入：回顾旧知，引入新课 1. 课件出示：找出10和4的公因数和最大公因数 学生独立解答，集体订正 结合此题，教师提出问题：你用什么方法求这两个数的最大公因数？什么是公因数、最大公因数？ 设计意图：回忆上节课学习的知识，检查孩子的掌握情况。 （二）探究新知： 1.学习用短除法求最大公因数。 师：上节课我们用列举法、画图法求最大公因数，今天我们求最大公因数的另一种方法。 课件出示：用短除法求出27和18的最大公因数 3 27 18 3 9 6 3 2 27和18的最大公因数就是3×3=9 引导学生观察，3是27和18的公因数， 3是9和6的公因数，除到公因数只有1为止。 说明：教师讲解时，要先让学生明确先用27和18的公有的因数3去除，除得的商如果还有公因数就要继续除，再用公因数3去除，一直除到公因数只有1为止。注意除时两个数都要除以公因数。 师：比较我们学过的三种方法，哪一种简便一些。 学生讨论 师小结：我们在求连个数的最大公因数时，通常使用短除法。 2.倍数的关系的两个数的最大公因数 师：大家掌握了求最大公因数的方法，老师想考考大家。准备好你们的纸和笔，看谁先找出每组数的最大公因数。（出示课件） 找出每组数的最大公因数6和12 18和54 24和72 （1）师：用你喜欢的方法找到每组数的最大公因数 学生独立解答，指名板演，教师巡视，全班进行交流 （2）师：仔细观察，每组数的最大公因数与这组数有什么关系？你发现了什么？ 生1：我发现每组数中的小数就是这两个数的最大公因数。 生2：我发现一个数是另一个数的倍数，那它们的最大公因数是那个小数。 (3)师：可以再举例验证一下吗？ (4)师生共同总结：如果一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是那个小数。 3.互质数关系的两个数的最大公因数。 课件出示第二组数：8和9、17和28、15和32 (1) 找出每组数的最大公因数 学生独立解答，发现这些数的公因数只有1，那么它们的最大公因数就是1。 (2)师：像上面这组数，它们只有公因数1，我们可以说公因数只有1的两个数也叫做互质数。8和9是互质数，17和28是互质数。还能举出几组互质数吗？ （3）共同总结：如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1。 设计意图：有一般到特殊，教学中培养学生自主学习和合作交流的态度，让学生在老师的引导下，主动去获取知识，并且尊重学生的差异，让学生选择自己喜欢的方式去解决数学问题，在体验中总结出规律，归纳出方法。 （三）巩固新知，拓展提升： 教材31页自主练习第8题 学生独立思考并解答 “可以选择边长是多少分米的正方形地板砖”使学生明确，要求的地板砖的边长必须是微机室长和宽的公因数，也就是找90和60的公因数。 设计意图：公因数与最大公因数在解决实际问题中的应用，其实是对公因数的深度理解的过程，选择这个练习题，主要是使学生感受最大公因数的应用，体会到这些现实问题虽然背景信息不一样，但是都可以用最大公因数来解决，培养学生的抽象概括能力，形成模型思想。 （四）达标反馈 1.甲、乙是两个相邻的自然数，甲、乙两数的最大公因数是（ ） A 1 B 甲 C 乙 D 甲乙两数的积 2. 13和26的最大公因数是（ ）。 3.求下面每组数的最大公因数。 27和36 16和20 4.将边长80cm、宽60cm的纸板裁成同样大小的正方形而没有剩余，可以裁成边长最大的正方形多少块？ 答案：1.A 2. 13 3. 9 4 4.12(块) （五）课堂小结 学生交流本节课的体会和收获。 （六）布置作业 1.m和n是相邻的两个不为零的自然数，它们的最大公因数是（ ）。 2.所有非零自然数的公因数是（ ）。 3.所有偶数（0除外）的最大公因数是（ ），所有奇数的最大公因数是（ ）。 4.已知A=2×3×5，B=2×4×5，那么A和B的最大公因数是（ ）。 5.数a是数b的倍数，那么a和b的最大公因数是（ ）。 A. a B. b C. 1 D. ab 6.下列叙述的几组数中，（ ）的最大公因数是1。 A.两个不同的数 B.两个不同的奇数 C.一个质数和一个合数 D.一个奇数和一个偶数 7.在公因数只有1的一组下面画“ ” 5和11 13和26 12和21 32和33 8.求下列各组数的最大公因数。 65和39 16和38 72和36 88和121 答案：1. 1 2. 1 3. 2 1 4.10 5.B 6.D 7.略8略 · 板书设计 公因数、最大公因数 3 27 18 ……用公因数3去除 3 9 6 ……用公因数3去除 3 2 ……除到公因数只有1为止 27和18的最大公因数是：3×3=9 · 教学资料包 教学资源 　1、按要求，使填出的两个数成为互质数． 　　　①质数（　）和合数（　）， 　　　②质数（　）和质数（　）， 　　　③合数（　）和合数（　）， 　　　④奇数（　）和奇数（　）， 　　　⑤奇数（　）和偶数（　）． 2.求出下面各组数的最大公因数。 48和108 144和36 28和98 3.把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？ 答案：1.（答案不唯一）2. 12 36 14 3. 6 资料链接 最大公因数 最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。 一、基本概念 如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。 "倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。 几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为(12、16)=4。12、15、18的最大公约数是3，记为(12、15、18)=3。 二、求最大公因数的方法。 （一）列举法：就是把几个数的所有因数都写出来，通过对比、观察、找出公因数——最大公因数。 求（12，18）。 12的因数有：1、2、3、4、6、12. 18的因数有：1、2、3、6、9、18. 12和18的公因数有：1、2、3、6. （12，18）=6 （二）分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公因数相乘得出最大公因数。 求（12，18）。 12=2×2×3 18=2×3×3 （12，18）=2×3=6 （三）短除法的做法 短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后 后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求24、48、60的最大公约数。 (24、48、60)=2×3×2=12 无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。 （四）直接观察法 ①两个数成倍数关系的： 如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例：96是16的倍数，96是96和16的最小公倍数。 ②两个数是互质关系的： 如果两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积。例：7和13的最小公倍数是 7×13=91。 学科网（北京）股份有限公司 $