3.1 公因数、最大公因数 第1课时-【七彩课堂】2025-2026学年五年级数学下册同步教学设计（青岛版）

第三单元 剪纸中的数学 ——分数加减法（一） · 教材分析 本单元是在学生已经理解和掌握因数和倍数、分数的意义与性质以及简单的同分母分数加减法的基础上进行教学的。这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习异分母分数及分数乘除法的基础。教师要尊重学生的认知基础，结合教材创设的情境，联系学生的生活实际，组织丰富、有效的教学活动，促进学生在自主探究、合作交流的过程中掌握知识，提高能力。 本单元的教学主要分为以下几个部分：（1）公因数和最大公因数的意义，找两个数的最大公因数；（2）同分母分数的连加、连减、连加减运算、约分；（3）公倍数和最小公倍数的意义，找两个数的最小公倍数；（4）分数与小数的互化等。教材所安排的这些内容彼此联系十分密切，使前后知识贯穿成为一个整体。通过本单元的学习，学生能掌握公因数、公倍数的相关概念，能够把握同分母分数加减法、求最大公因数和最小公倍数的相关知识，并能够利用所学知识解决一些生活中的实际问题。 教材的主要编写特点： 1.选出了具有现实性和趣味性的教材，激发学生的学习兴趣。 本单元以剪纸为素材，创设了“裁纸”、“剪纸”、“作品统计”、“展板布置”等一系列的情境,形成了一个情境串。这样更贴近生活的实际，有助于激发学生探索学习兴趣。 2.优化知识结构，使数学学习更符合学生的认知规律。 传统教材将有关因数和倍数的所有知识集合在同一个单元进行学习，给学生的学习带来一定的困难。本教材对这些知识进行了较大的改变：一是将因数和倍数的初步认识安排在了五年级上册，有效的分散了难点。二是将公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数、约分以及分数加减法的学习穿插进行：要解决实际问题需要学习分数加减法，而要进行分数加减法的运算则需要学习约分和通分，要进行约分和通分，则需要学习公因数、公倍数、最大公因数、和最小公倍数。这样编排知识结构，突出学习的必要性和知识间的内在联系，降低了学生了学习难度，有利于学生掌握知识。 3.重视直观操作在探索活动中的作用。 引导学生借助学具操作，直观的理解公因数和公倍数的意义是本单元的教材编写的重要特点。比如：在学习公因数和最大公因数时，重视在教学过程中的引导学生用边长不同的正方形纸片去拼、去摆、通过操作，发现边长分别是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形纸片才能摆满，且没有剩余，找到正方形的边长和长方形的长和宽之间的内在联系，理解公因数和最大公因数的意义。同样，教材在学习公倍数和最小公倍数时，也有类似的安排，这样的编排，使学生在操作中积累感性经验，在几何直观的作用下，深刻理解相关的概念。 4.给学生独立思考的空间，注重让学生自主探索方法。 本单元教材在探索找两个数的公因数和最大公因数与找两个数的公倍数和最小公倍数的方法时，注重给学生充足的思考空间。教材中呈现了学生的多种方法，体现了学生的主体地位，有利于培养学生的创新意识。 · 教学目标 1. 结合解决问题，通过具体操作和交流活动，认识公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数；学会找100以内两个数的最大公因数和100以内最小公倍数的方法。 2、现实情境与数学知识相结合，理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数，能比较熟练地进行约分。 3. 掌握约分的方法，会计算同分母分数加减法以及加减混合运算。会进行分数与小数的互化。 4. 在探索公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数和约分等知识的过程中，积累观察、猜测、归纳等数学活动经验；发展初步的推理能力，会用所学的新知解决简单的现实问题，并能在解决问题的过程中，进行有条理，有根据的思考。 5. 加强数学知识与现实生活的联系，培养学习数学的兴趣，获得学习的成功体验，增进学好数学的信心。 · 重点、难点 重点：1.找两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。 2.同分母分数加减法。 3.掌握约分的方法。 难点：1.找两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。 2.同分母分数加减法。 3.掌握约分的方法。 · 教学建议 1.借助直观活动，经历概念的形成过程。 在本单元教学公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数意义的过程，是形成新的数学概念的过程。教材在编写上重视引导学生通过拼摆图形等活动，直观的理解和探索的含义。因此在教学中，教师要组织好操作、探索及交流的活动，充分的体现编者的意图。完成由形象到抽象的过程，把感性认识提升到理性的认识。 2.鼓励学生动手操作，用自己的方法求出两个数的最大公因数和最小公倍数，感受解决问题的策略的多样性。 根据数学新课标的要求，教材不再强调学生需用分解质因数的方法（短除法）求两个数的最大公因数和最小公倍数，而是引导学生利用已有的知识和经验用列举的方法找出两个数的最大公因数和最小公倍数，这样就为学生自主探索提供了足够的空间，学生解决问题的方法也必然会呈现出多样化的结果。 3.注意引导学生将现实问题转化为数学问题。 教学中，教师要善于联系学生的实际，引导学生将现实问题转化为数学问题，建立数学模型。比如：把正方形的边长可以是几厘米？最长是几厘米 4.重视类比、比较、明晰知识间的联系和区别。 类比和比较都是很重要的数学思想方法。本单元的知识点多，内在的联系密切。教学中，教师要引导学生学习以因数、倍数为基础，探究公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数及约分等知识的内在联系。 · 课时安排 本单元用11课时完成教学。 课题 课时 公因数、最大公因数 2 同分母分数加减法、约分 2 同分母分数的连加和连减 2 公倍数和最小公倍数 2 最大公因数与最小公倍数的练习 1 分数与小数的互化 1 我学会了吗 1 总计 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 1 公因数、最大公因数 第一课时 · 教学内容 教材28-29页，公因数和最大公因数。 · 教学提示 《公因数、最大公因数》一课是在学生已经学过因数、倍数，初步学会找一个数的倍数和因数，知道一个数的倍数和因数的特点的基础上进行教学的。这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习约分和分数四则计算的基础。 本节课的设计由学生喜闻乐见的剪纸活动入手，提出问题并引出新课，充分激发了学生的学习热情。在教学中，教师要刘多数时间留给学生，让学生自己去获取知识，首先让学生利用自己的学具摆一摆，拼一拼，得出什么样的情况能够正合适，什么样的情况有剩余。通过学生小组交流，得出出现这种现象的原因并总结出公因数和最大公因数的概念。 · 教学目标 知识与能力：结合解决实际问题，理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。 过程与方法：在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。 情感、态度与价值观：在学生探索新知的过程中，体验学习和探索的乐趣，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。 · 重点、难点 重点 理解公因数和最大公因数的意义 难点 选用恰当的方法求两个数的最大公因数的方法。 · 教学准备 教师准备：多媒体课件 学生准备： · 教学过程 （一）新课导入： 创设情境，提出问题。 师：剪纸是我国的一种民间艺术，剪纸具有装饰性，它可以美化环境，陶冶情操。老师带来了几幅剪纸作品，大家请看大屏幕。 师：观察这些美丽的剪纸，他们都是用什么形状的彩纸剪出来的？（正方形） 师：剪纸的第一步是裁纸。裁纸可不简单啊！请看，这些剪纸小组的同学，他们下裁纸的过程中就遇到了一些问题。（课件出示情境图） 师：仔细阅读里面的信息，你能说出同学们遇到了哪些问题吗? 生：他们把一张长24厘米，宽18厘米的长方形剪成边长是整厘米的正方形。剪完后没有剩余。想知道正方形的边长可以是几厘米，最长是几厘米。 师：再认真读一遍看同学们对剪纸有什么要求？ 让学生注意“整厘米数”“没有剩余”谈谈自己的想法。 师：下面我们就一起帮助他们解决这个问题。 设计意图：把一张长方形纸剪成边长是整厘米且没有剩余的小正方形纸，这是“公因数和最大公因数”在生活中的一个原型，为更好的揭示概念提供了一个实例，同时更重要的是让学生明白了这节课要解决的问题。 （二）合作交流、探究新知： （1）尝试猜想。 师：正方形的边长可能是几厘米？请同学们大胆的猜测一下。 （2厘米） 师：怎样想到的是2厘米的？ 生：因为24和18都是2的倍数。 师：你的猜想有道理，还有其他的猜想吗？ 这时学生就会猜测正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米， 师：刚才同学们能根据我们以前学过的知识进行猜想，非常好，但是，猜想知识成功的开始，究竟正方形的边长可能是多少呢?我们还需要怎么办？ 生：验证。 设计意图：引导学生根据以前学过的知识，进行猜想，为下一步的验证做好铺垫。 （2）操作验证。 师：口说无凭，你们想用什么方法来验证呢？ 老师为大家准备了材料，小组合作验证我们的猜想。 （出示操作素材和操作记录单） 操作素材 1.长24厘米，宽18厘米的长方形纸8张。 2.边长是1—7厘米的小正方形纸。 3.直尺 操作记录 正方形的边长是（ ）厘米，没有剩余。 正方形的边长是（ ）厘米，有剩余。 （学生动手操作，教师巡回指导） 设计意图：验证可以有很多方法，本节课的验证采用动手操作的方式。可以摆一摆，也可以画一画的方法，使学生更好的领会到“没有剩余”“有剩余” （3）交流展示。 师：通过操作，找到符合要求的正方形了吗？哪个小组汇报一下你们的探究结果。 小组汇报交流。 小组1：我们小组用摆一摆的方法，用边长1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形纸片摆都正好摆满，没有剩余，用4厘米、5厘米、7厘米的正方形纸片摆，有剩余。 小组2：我们小组用了画一画的方法，也得到了同样的结论。 师：通过摆一摆、画一画的方法，同学们找出了正方形的边长可能是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，现在我们回顾一下操作的过程，（课件演示） 设计意图：本环节学生通过亲自动手操作，得出结论，让学生经历了验证的过程。 （4）揭示公因数和最大公因数的意义。 师：大家看这里，教师指黑板上的学生的猜测。 为什么正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米？1、2、3、6这些数字与24和18什么关系呢？ 先独立思考，再小组内交流一下你的想法。 师：1、2、3、6是24的因数，1、2、3、6也都是18的因数。（板书既是24的因数，又是18的因数） 师：是这样吗？你也用他们说的方法找一找。（学生自主找） 师：怎样我们才能形象的看出1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数呢？我们可以用集合的形式表示出来。（出示多媒体课件） 24的因数 18的因数 师：想一想，中间的重合部分应该填哪些数？ 引导学生试着填一填。（课件出示公因数的韦恩图） 师：1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数，是他们公有的因数，叫做这两个数的公因数。其中6是最大的，叫做这两个数的最大公因数。这就是我们这节课学习的内容—— （板书：公因数和最大公因数） 师：回到我们最初研究的问题，通过裁纸我们认识了公因数和最大公因数，他们把一张长24厘米，宽18厘米的长方形剪成边长是整厘米的正方形。剪完后没有剩余。想知道正方形的边长可以是几厘米，其实就是求什么？ 生：24和18的公因数。 师：现在我们为了好设计图案，要裁成尽量大的正方形纸，可以选择边长是几厘米的正方形呢？其实就是求什么？ 生：24和18的最大公因数。 师：那我们还用不用摆一摆，画一画了。 生：不用了。 师：看来，同学们已经很好的将生活中的问题转化成数学问题了。 设计意图：这一环节的设计，体现了《课程标准中所提出的课程内容的组织要重视过程，处理要过程与结果的关系。，教师引导学生从正方形的边长为什么是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米这一实际问题抽象出数学问题：1、2、3、6这些数字与24和18什么关系呢？ 通过小组合作交流，并通过韦恩图，让学生经历观察、思考、归纳、总结的过程。同时与课一开始创设的问题情境相呼应，帮助学生感受到公因数和最大公因数的现实意义。 （三）巩固新知： 1.牛刀小试 王叔叔家最近买了一套新房子，正考虑装修，他请我们帮忙设计一下。我们家的储藏室长16分米，宽12分米，，如果要用边长整分米的正方形的地砖把储藏室的地面铺满，可以选择边长是几分米的地砖，边长最大是几分米？ 请你想出简单的方案。 2.大显身手，我是优秀策划师。 光明小学五（2）班学生24名男生和30名女生参加了“争做环保小卫士”活动，如果男、女分别进行分组，每组的人数一样多，每组可以有几人？最多有几人？ 小组讨论解决方案，如果你选择，你认为每组几个人比较合适？说说你的理由。 设计意图： 这一组练习的设计不仅紧紧的围绕教学目标和教学重难点，还体现了练习的层次性、趣味性、拓展性。照顾到学生的个体差异，激发学生的思维，学生参与度高，能够很好的巩固深化新知。 （四）达标反馈 1.48的因数有：（ ） 2.72的因数有:（ ） 3.48和72的公因数有：（ ） 4.48和72的最大公因数是：（ ） 答案：1. 1、 2、 3、4、6、8、12、16 、 24、 48 2. 1、2、3、4 、6、8、9、12、18、24、36、72 3. 1、2、3、4、6、8、12、24 4.24 （五）体验成功、升华新知。 师：刚才大家是应用什么知识解决生活中的问题的？什么叫公因数？什么叫最多公因数？ 师：你们是怎样学会公因数和最大公因数的知识的？你认为小组合作学习有什么好处？以后我们在进行小组合作学习时还要注意什么？ 师：在生活中还有哪些问题解决时需要用到公因数和最大公因数的知识？根据学生回答出示知识树。（多媒体出示） 师：同学们，当设计师的感觉怎么样？如果你们家或亲戚家的新房子需要装修，铺地砖，贴墙纸，想让你帮助设计，你敢拿下这个活吗？ 师：看到大家这么自信，老师真的特别高兴！希望同学们活学活用，能把所学的数学知识灵活运用到生活中去！下课！ 设计意图：这一环节结合练习题自然而然进行总结，然后根据学生回答出示知识树，引领学生对本节课整体建构-----梳理知识，反思学法，应用于生活，增强自信心。课末回归角色激励话题，引导学生用数学的眼光去观察生活，使学生能够成为数学资源的开发者，有助于进一步提高学生学习数学的兴趣。 （六）布置作业 1.几个数（ ），叫做这几个数的公因数。其中，（ ）叫做这几个数的最大公因数。 2.16的因数有（ ），18的因数有（ ），16和18的公因数有（ ），16和18的最大公因数是（ ）。 3.在3、5、7、8中，只有公因数1的有（ ）对。 A.3 B.4 C.5 D.6 4.最大公因数是1的一组数是（ ）。 A.7和14 B.12和20 C.15和35 D.13和5 5.在集合圈内填两个数的公因数，并写出公因数和最大公因数。 9的因数 18的因数 9和18的公因数（ ） 9和18的公因数（ ） 9和18的最大公因数（ ） 6. 在集合圈内填两个数的公因数，并写出公因数和最大公因数。 24的因数 32的因数 24和32的公因数（ ） 24和32的公因数（ ） 24和32的最大公因数（ ） 7.按要求回答下列各题。 25和45的公因数和最大公因数。 25的因数：（ ） 45的因数：（ ） 25和45的公因数：（ ） 25和45的最大公因数：（ ） 8.按要求填表。 公因数 最大公因数 12和16 18和27 24和16 你有什么发现？ 答案：1.共同的因数 共同的因数中最大的一个 2.1、 2、 4、 8、 16 1、 2 、3 、6、9 、18 1、2 2 3. D 4. D 5. 9和18的公因数:1、3、9 9和18的最大公因数9 6. 24和32的公因数：1、2、4、8、24和32的最大公因数8 7. 25的因数：1、5、25 45的因数：1 3 5 9 15 45 25和45的公因数：1、5 25和45的最大公因数：5 8. 公因数 最大公因数 12和16 1、2、4 4 18和27 1、3、9 9 24和16 1、2、4、8 8 我的发现：（1）公因数是最大公因数的因数。 （2）最大公因数是公因数的倍数。 （3）公因数的个数不止一个，而最大公因数一定是其中最大的一个。（答案不唯一） · 板书设计 公因数、最大公因数 24的因数 18的因数 4、8 1、2、 9、18 12、24 3、6 18和24公有的因数，最大的是6,是他们的最大公因数 · 教学资料包 （一）教学精彩片段 （以装修房子选地砖导入的） 小组合作，探究新知 师：“请同学们想一想，按杨老师的要求，可以选择边长是几分米的地砖呢？...看来，一下子解决这个问题有些困难，我们可以借助学具来完成。” 准备：长方形方格纸、边长分别为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、6厘米、8厘米的正方形、水彩笔。每小组一份。 1、小组合作：摆一摆、画一画。 汇报：你们小组采用的什么方法，找到的结果是什么？ （同时课件分别展示铺的过程，和画的过程。） 师小结：同学们通过摆一摆，画一画的方法找出了边长是1分米、2分米、和4分米的正方形地砖正好把贮藏室铺满，那么如果用1分米的地砖，沿着贮藏室的长边要铺几块？宽边要铺几块？2分米和4分米呢？ 课件展示：1×16＝16 1×12＝12 2×8＝16 2×6＝12 4×4＝16 4×3＝12 师：如果只考虑长边，我们还可以选择边长是几分米的地砖，如果只考虑宽边呢？ “为什么我们没有选择这些方砖，而选择了边长是1、2、4分米的呢？” 生说出自己的想法。 师：“请同学们想一想，正方形的边长1、2、4和长方形的长和宽有什么关系？ 小组讨论，说说你的发现。（引导学生发现公因数和最大公因数） 师：同学们真了不起，发现里面有我们学过的因数的知识，要使正方形的地砖是整块的，它的边长必须既是16的因数又是12的因数，下面，就让我们用因数的知识来研究为什么要用边长是1分米、2分米、和4分米的方砖，请同学们说，我来写： 板书：16的因数：1、2、4、8、16 12的因数：1、2、3、4、6、12 1、2、4是16的因数，也是12的因数，谁能用一句简洁的话来说说，他们是16和12的什么数呢？ 板书：公因数 16和12的公因数有：1、2、4 我们还可以用不同的形式来表示两个数的因数，请同学们看： 课件展示： 16的因数 12的因数（集合圈形式） 师：在16和12的公因数中，最大的是几？ 板书：16和12的最大公因数是4. 师：通过帮助杨老师解决铺地砖的问题，我们认识了公因数和最大公因数，如果杨老师想用尽量少的地砖，应该选择边长是几分米的地砖呢？” 4是16和12的最大公因数，就是我们要探讨的问题， 板书：最大公因数。 师：如果现在让我们解决边长用几分米的地砖，我们还用不用再动手摆一摆、画一画了？可以怎么办？” 这一环节的设计通过求方砖的边长及最大值，抽象出公因数、最大公因数的概念。这一解决问题，引出概念的过程，使公因数、最大公因数这两个抽象的概念，变得非常具体、直观，学生摸得着，看得见。从而增强了感知事实、建立概念的效果。 学科网（北京）股份有限公司 $