6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是 （ ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝ （ ） A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105° 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于 （ ） A．4∶1∶1 B．2∶1∶1 C．∶1∶1 D．∶1∶1 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，则c＝ （ ） A．4 B．3 C． D． 5．在△ABC中，若sin C＝2sin B cos B，且B∈，则的取值范围为 （ ） A．(，)　B．(，2)　C．(0，2)　D．(，2) 二、多项选择题 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，则△ABC是 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ） A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 三、填空题 8．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________． 四、解答题 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； （2）b＝3，c＝3，B＝30°. 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B. （1）求B的值； （2）若b＝3，sin C＝sin A，求a，c的值． 能力提升练 12．（多选）下列说法中正确的是 （ ） A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D．在△ABC中，＝ 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________． 14．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围． 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是 （ ） A． B． C． D． 解析：由正弦定理＝，得＝＝. 答案：A 2．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝ （ ） A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105° 解析：因为AB＝AC，由正弦定理得＝，又因为B＝30°，所以sin C＝，又因为AB>AC，所以C＝45°或C＝135°. 答案：C 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于 （ ） A．4∶1∶1 B．2∶1∶1 C．∶1∶1 D．∶1∶1 解析：∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1，故选D. 答案：D 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，则c＝ （ ） A．4 B．3 C． D． 解析：sin C＝sin (A＋B)＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C. 答案：C 5．在△ABC中，若sin C＝2sin B cos B，且B∈，则的取值范围为 （ ） A．(，)　B．(，2)　C．(0，2)　D．(，2) 解析：由正弦定理得＝＝＝2cos B．又<B<，余弦函数在此范围内单调递减，故<cos B<，∴∈(，). 答案：A 二、多项选择题 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，则△ABC是 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由正弦定理＝，得＝.又a cos A＝b cos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 答案：AC 7．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ） A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 解析：A中，∵＝，∴sin B＝＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b<a，∴只有一解． 答案：ABD 三、填空题 8．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________． 解析：由正弦定理得＝，所以sin B＝.又a>b，所以A>B，所以B＝，所以C＝π－＝. 答案： 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________． 解析：在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝，又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. 答案：　 四、解答题 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； （2）b＝3，c＝3，B＝30°. 解：（1）∵A＝30°，C＝105°， ∴B＝180°－(A＋C)＝45°. ∵＝＝， ∴b＝＝＝2， c＝＝＝＋. ∴B＝45°，b＝2，c＝＋. （2）由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. ∵c>b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6. ②当C＝120°时，A＝180°－(B＋C)＝30°＝B，∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B. （1）求B的值； （2）若b＝3，sin C＝sin A，求a，c的值． 解：（1）由b sin A＝a cos B及正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B．在△ABC中，sin A≠0，所以sin B＝cos B．所以tan B＝.因为0<B<π，所以B＝. （2）由sin C＝sin A及正弦定理，得c＝a①，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝9②，联立①②，解得a＝3，c＝3(负值舍去). 能力提升练 12．（多选）下列说法中正确的是 （ ） A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D．在△ABC中，＝ 解析：对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故正确． 答案：ACD 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________． 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>c sin B，即2>b>，故b的取值范围为(，2). 答案：(，2) 14．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围． 解：由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C，∴△ABC的周长为 L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin ， 又B∈，∴B＋∈， ∴sin ∈(，1]，∴L∈(2，3]. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $