6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝3，c＝5，则a＝ （ ） A．3 B．4 C． D．2 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 （ ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，bc＝12，A＝，则b＋c＝ （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．在△ABC中，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC是 （ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．△ABC为钝角三角形，a＝2，b＝3，则边c的长度可以为 （ ） A．2 B．3 C． D．4 三、填空题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是________． 9．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 四、解答题 10．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 11．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0. （1）求角A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值． 能力提升练 12．（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 （ ） A．若a2＋b2<c2，则C> B．若ab>c2，则C≥ C．若a3＋b3＝c3，则C< D．若a＋b＝2c，则C> 13．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”可用公式S＝(其中a，b，c为三角形的三边，S为三角形面积)表示．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝3，且b cos C－c cos B＝，则△ABC面积的最大值为________． 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．在下面三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答． ①2a－b＝2c cos B，②sin ＝cos C＋， ③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n. （1）求角C； （2）若c＝，求△ABC周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝3，c＝5，则a＝ （ ） A．3 B．4 C． D．2 解析：∵cos A＝，b＝3，c＝5，∴由余弦定理得a＝＝.故选C. 答案：C 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 （ ） A． B． C． D． 解析：因为a>b>c，所以△ABC的最小角为C，所以cos C＝＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝. 答案：C 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，bc＝12，A＝，则b＋c＝ （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2×12×＝13，所以b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝49，所以b＋c＝7. 答案：B 4．在△ABC中，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC是 （ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：由c2＝ab，C＝60°及余弦定理，得cos 60°＝＝，所以(a－b)2＝0，所以a＝b，因此A＝B，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC是等边三角形． 答案：D 5．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 解析：设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长均为2x(如图)，由余弦定理得cos A＝＝，故选D. 答案：D 二、多项选择题 6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 答案：BD 7．△ABC为钝角三角形，a＝2，b＝3，则边c的长度可以为 （ ） A．2 B．3 C． D．4 解析：由三角形的边长能构成三角形，得1<c<5.又a<b，所以△ABC中为钝角的可能为角B或角C.则cos B＝<0或cos C＝<0，所以4＋c2－9<0或4＋9－c2<0，解得1<c<或<c<5.所以选项A、D满足．故选AD. 答案：AD 三、填空题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是________． 解析：因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理，得cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. 答案： 9．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 答案： 四、解答题 10．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解：根据余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝ ＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，∴A＝，B＝，C＝. 11．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0. （1）求角A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值． 解：（1）∵cos2＝， 2cos2＋cosA＝0， ∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， 又∵A∈(0，π)，∴A＝120°. （2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， ∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 能力提升练 12．（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 （ ） A．若a2＋b2<c2，则C> B．若ab>c2，则C≥ C．若a3＋b3＝c3，则C< D．若a＋b＝2c，则C> 解析：A选项，由a2＋b2<c2，可以得出cos C＝<0，所以C>，故正确；B选项，由ab>c2，得cos C＝>＝，得0<C<，故错误；C选项，假设C≥，则c>a，c>b，cos C＝≤0，则c2≥a2＋b2，即c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，与a3＋b3＝c3矛盾，所以C<，故正确；D选项，取a＝b＝c＝2，满足a＋b＝2c，此时C＝，故错误．故选AC. 答案：AC 13．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”可用公式S＝(其中a，b，c为三角形的三边，S为三角形面积)表示．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝3，且b cos C－c cos B＝，则△ABC面积的最大值为________． 解析：因为b cos C－c cos B＝，所以2c2＝3b cos C－3c cos B＝ab cos C－ac cos B＝ab·－ac·＝b2－c2，可得b2＝3c2，所以S＝＝＝＝≤×＝，当且仅当c＝3时等号成立．因此，△ABC面积的最大值为. 答案： 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．在下面三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答． ①2a－b＝2c cos B，②sin ＝cos C＋， ③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n. （1）求角C； （2）若c＝，求△ABC周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选条件①. 由题意得2a－b＝2c·， 化简得a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝. 又C∈(0，π)，所以C＝. 选条件②.由sin ＝cos C＋， 得sin C＋cos C＝cos C＋， 即sin C－cos C＝，所以sin ＝. 因为C∈(0，π)，所以C－∈， 所以C－＝，所以C＝. 选条件③. 因为m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n， 所以(a－c)·(a＋c)＋(b－a)·b＝0， 化简得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝. 又C∈(0，π)，所以C＝. （2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab. 又≥， 所以ab≤，当且仅当a＝b时等号成立， 所以3ab＝(a＋b)2－3≤(a＋b)2， 所以0<a＋b≤2，当且仅当a＝b＝时等号成立． 所以a＋b＋c≤2＋＝3. 又a＋b>c，所以a＋b＋c>2c＝2. 所以△ABC周长的取值范围为(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $