上海市松江区2026年中考数学二模模拟试卷

上海市松江区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律，“左加右减，上加下减”，先向左平移，再向下平移，逐步推导即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位， 抛物线解析式变为； 又向下平移2个单位， 则抛物线解析式变为． 故选：A． 3．若函数与函数的图象相交于点，则下列各点不在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查已知自变量值求函数值，待定系数法求反比例解析式．先求出交点P的坐标，确定反比例函数的解析式，再验证各选项是否满足该解析式． 【详解】解：∵函数与函数的图象相交于点， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数解析式为：， A选项：，即点在函数的图象上， B选项：，即点在函数的图象上， C选项：，即点在函数的图象上， D选项：，即点不在函数的图象上， 故选：D． 4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B．调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C．调查某市中学生课外阅读情况 D．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 【答案】D 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的识别，根据全面调查与抽样调查的概念结合选项判定即可． 【详解】解：A、调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌，适合运用抽样调查，不符合题意； B、调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意，适合运用抽样调查，不符合题意； C、调查某市中学生课外阅读情况，适合运用抽样调查，不符合题意； D、调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况，适合运用全面调查，符合题意； 故选：D． 5．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地处（如图所示），那么A,C两地的距离是（   ） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，平角的定义等知识．作出辅助线求出为是解题的关键．过B点作直线，根据平行线的性质，平角的定义，勾股定理即可得到结论； 【详解】解：如图，过B点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 6．科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时，利用时间关系列分式方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时， 根据题意得：， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程的解为________． 【答案】 【分析】将原无理方程两边平方，转化为一元二次方程求解，再对所得根进行检验，舍去增根即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时平方得：， 整理为一元二次方程一般式得：， 因式分解得：， 解得 ，， 检验：将代入原方程，左边，右边，左边右边，是增根，舍去， 将代入原方程，左边，右边，左边右边，符合原方程． 故原方程的解为． 8．在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点．当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：； 故答案为：． 9．方程组的解是______． 【答案】或． 【分析】本题考查了解二元二次方程，由①得③，将③代入②求出的值，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】 解：由①得： ③， 将③代入②得， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 原方程组的解为或． 故答案为：或． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据题意列出方程求解． 由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为 ． 11．如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【详解】解：∵的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为． 故答案为：． 12．将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上.随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是_________. 【答案】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能结果，其中恰好是3的整数倍的，有3种， ∴恰好是3的整数倍的概率是． 故答案为：． 13．某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点作，在中，米，，可得米，在中，，可得（米），再求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得四边形是矩形，米，，， 米，， 在中，米，， 米， 在中，， （米）， （米． 乙楼高为米． 故答案为： 14．如图，已知四边形是梯形，为的中点，．，试用向量、的线性组合表示向量____． 【答案】 【分析】先用向量表示向量，再根据四边形法则表示向量，即可表示，最后再用加法法则表示． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∴． 15．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的正弦．过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，，根据的面积即可求出，再根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积．连接，设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接． 设，， ∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，结合题意可得，，从而得出不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．在矩形中，，，平分，连接交于，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．延长交的延长线于，根据矩形的性质得到，得到，推出，根据勾股定理得到，求得，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】延长交的延长线于， 四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的正切值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后计算特殊角的正切值求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 20．解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解． 【答案】x≤4，-2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得： ， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为：， 不等式组的最小整数解为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； (2)求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】(1)60，图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”求出组的学生人数， 补全条形图即可； （2）利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 补全条形图如下图所示， 故答案为：60； （2）组部分所占的圆心角； （3）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 22．如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，要证明是的切线，只要证明即可； （2）连接，在中，求得，，在中，求得，证明，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， 即． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形等，注意准确作出辅助线是解此题的关键． 23．如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)的值是定值，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于，证明，可得，，由可得，即可得出结论； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为： 点，的横坐标分别为，， ，， 设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值是定值，； （3）解：当点在第二象限时，如图， 设．则， 点，点． 直线的解析式为， ， 轴， ∴轴， ， 点关于直线的对称点落在轴上， ，，， ， ， ， 解得或0（舍去）， 点的坐标为， 当点在第三象限时，如图， 同理得， ，解得或0（舍去）， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 25．已知，在中，． （1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系； （2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长； （3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值． 【答案】（1），理由见详解；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，则易证，然后根据全等三角形的性质可求解； （2）过点A作AH⊥BC于点H，由题意易得，，然后可得，进而根据勾股定理可得，设，则，易得，则有，所以，最后问题可求解； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，由题意易得，，则有，然后可得，设，，进而根据勾股定理可求解x的值，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴AF=5； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示： ∵，， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC， ∴四边形GMPN是矩形， ∴， 设， ∴， 在Rt△ANG中，， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴当时，易知与相矛盾， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在Rt△DTC中，， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市松江区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（  ） A． B． C． D． 3．若函数与函数的图象相交于点，则下列各点不在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B．调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C．调查某市中学生课外阅读情况 D．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 5．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地处（如图所示），那么A,C两地的距离是（   ） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 6．科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程的解为________． 8．在函数中，自变量的取值范围是_________． 9．方程组的解是______． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_____． 11．如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是____________． 12．将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上.随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是_________. 13．某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 14．如图，已知四边形是梯形，为的中点，．，试用向量、的线性组合表示向量____． 15．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为___________． 16．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是___________． 17．在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为__________． 18．在矩形中，，，平分，连接交于，则________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求代数式的值，其中． 20．（本题满分10分）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解． 21．（本题满分10分）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； (2)求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 22．（本题满分10分）如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（本题满分12分）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 24．（本题满分12分）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 25．（本题满分14分）已知，在中，． （1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系； （2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长； （3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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