专题05 八年级下册期中（勾股定理、四边形）9种几何模型梳理（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材人教版

专题05 八年级下册期中几何模型梳理 【知识点一】蚂蚁爬行模型（**） 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求最短距离. 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短. 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离： 解题大招：长方体蚂蚁爬行的最短路径为 模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离： 解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形 易错点：圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 模型三：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离. 模型四：蚂蚁爬楼梯问题 解题大招：蚂蚁爬楼梯的最短路径为 【知识点二】含60°角的菱形（**） 【知识点三】正方形中的风车模型（**） 【知识点四】十字架模型（**） 【基础模型-两边过顶点】 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 【模型进阶-一边过顶点】 条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O， 图示： 辅助线作法：过点B作BM∥FG交CD于点M. 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【模型进阶-两边均不过顶点】 图示： 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【易错点】以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立. 【知识点五】垂美四边形（**） 【知识点六】中点四边形（***） 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 【知识点七】矩形的折叠模型（**） 【知识点八】半角模型（***） 题型清单 解 蚂蚁爬行模型（爬长方体表面）（共3小题） 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 蚂蚁爬行模型（爬圆柱表面）（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【变式3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 蚂蚁爬行模型（外壁+内壁爬行）（共3小题） 【例3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 蚂蚁爬行模型（蚂蚁爬楼梯）（共3小题） 【例4】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 【变式2】（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______． 矩形的折叠问题（共小题） 【例5】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【变式1】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为___________． 【变式4】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 含60°的菱形（共4小题） 【例6】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，分别为上的两个动点，，分别交于点．下列结论：①；②；③；④的最小值为其中正确的结论是_____．（请填写正确的序号） 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 正方形风车模型（共3小题） 【例7】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 垂美四边形（共3小题） 【例8】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·月考）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 中点四边形（共4小题） 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，分别是上的点．对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（   ） A．当是各边的中点，且时，四边形为菱形 B．当是各边的中点，且时，四边形为正方形 C．当不是各边的中点时，四边形可以为平行四边形 D．当不是各边的中点时，四边形不可能为菱形 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 十字架模型（共3小题） 【例10】（23-24九年级上·河南郑州·月考）(1)如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；    (2)如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【变式2】（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 半角模型（共4小题） 【例11】（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期中）探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； (2)方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）（1）问题背景：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，．直接写出线段，，的数量关系：________； （2）迁移应用：如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． （3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）（1）类比探究：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，探究线段，，的关系？直接写出结论． （2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当时，求证：； （3）如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 其他模型（共3小题） 【例12】（25-26八年级上·广东潮州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，△的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ．（知识链接：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在中，若，，，的对边分别为，，，则有 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米，C、D为两个村庄（看作两点），，且千米，千米． (1)求两个村庄之间的距离； (2)现要在线段上建造一个供应站P，使得，请求出的长； (3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 八年级下册期中几何模型梳理 【知识点一】蚂蚁爬行模型（**） 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求最短距离. 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短. 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离： 解题大招：长方体蚂蚁爬行的最短路径为 模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离： 解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形 易错点：圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 模型三：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离. 模型四：蚂蚁爬楼梯问题 解题大招：蚂蚁爬楼梯的最短路径为 【知识点二】含60°角的菱形（**） 【知识点三】正方形中的风车模型（**） 【知识点四】十字架模型（**） 【基础模型-两边过顶点】 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 【模型进阶-一边过顶点】 条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O， 图示： 辅助线作法：过点B作BM∥FG交CD于点M. 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【模型进阶-两边均不过顶点】 图示： 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【易错点】以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立. 【知识点五】垂美四边形（**） 【知识点六】中点四边形（***） 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 【知识点七】矩形的折叠模型（**） 【知识点八】半角模型（***） 题型清单 解 蚂蚁爬行模型（爬长方体表面）（共3小题） 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B到点C的距离为，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁需要爬行的最短距离为__________． 【答案】25 【分析】把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，利用勾股定理分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 把长方体的下表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 蚂蚁爬行模型（爬圆柱表面）（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆筒形灯罩装饰会场，然后圆筒壁缠绕红丝线，如图所示：已知圆筒的高为，其横截面圆的周长为，点在点的正上方，过点和点缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线至少（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图以及勾股定理与最短路径问题，掌握好相关知识是关键． 将圆柱的侧面展开得到一个矩形，则对角线为最短路径，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示： 由题意可知，，， 在直角中，， 由“两点之间，线段最短”可知，即为最短路径， ∴裁剪的红丝线至少． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开， 由条件可知米，米， （米， 则这串装饰彩灯至少长为米． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 【变式3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 蚂蚁爬行模型（外壁+内壁爬行）（共3小题） 【例3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为17，底面周长为16，在杯内壁离杯底6.5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B． C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题重点考查平面展开--最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则，求出，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点，使，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为线段的长，作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为17， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 蚂蚁爬行模型（蚂蚁爬楼梯）（共3小题） 【例4】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如下： 蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为的长度， 由展开图得， （）， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是______． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 矩形的折叠问题（共小题） 【例5】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【答案】/ 【分析】由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 【变式1】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 连接，交于，设交于点，利用全等三角形的性质证明，再证明共线，求出，设，，利用勾股定理构建方程组求解即可． 【详解】解：连接，交于，设交于点，如图： ∵四边形是长方形纸片， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 根据勾股定理可得，， 可得： 故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】1或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：是边的中点， ， 当时，如下图： ，， 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， 在矩形中，， ， ， ； 当时，如下图： 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或1． 【变式4】（25-26八年级上·山西临汾·期末）【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 【答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）图见解析，折痕上的点到点A的距离为 【分析】（1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论； （3）把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处，连接，则为等边三角形，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵四边形是长方形， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）①把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处， ②连接． 则为等边三角形． ∵是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 含60°的菱形（共4小题） 【例6】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，分别为上的两个动点，，分别交于点．下列结论：①；②；③；④的最小值为其中正确的结论是_____．（请填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】连接，过点作于点，如图所示，根据菱形的性质，证明，得出，判断①；由，得出，根据，判断②；根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③；根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④，从而得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， ∴错误，即③不符合题意； ∵，， ∴点到的距离， ∴的最小值为，当时，的值， ∵当时，， ∴此时， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了胡不归问题，涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用相关知识点推理证明是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)，等边三角形； (2)同意，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据点是边的中点，可得，等量代换可得，故，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （3）过点作于，连接，根据菱形的性质，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，即可求得的值，计算面积即可． 【详解】（1）解：，是等边三角形； 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ， ∴和都是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：同意． 理由如下：连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3）解：或（写成，也对） 同（2）可证， 过点A作于E，连接， ∵四边形是菱形，且，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， 当时，（或）， 当时，（或）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等，解题的关键是构造等边三角形以及全等三角形． 正方形风车模型（共3小题） 【例7】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式1】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据题意补全证明过程即可； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）如图4，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（1）的结论求解． 【详解】（1）证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又， ， 又， 且， ∴， ∴， ∴， 即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （2）解：由（1）的结论可得，， 故答案为：9； （3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点， 则， ， ∵， ∴， 由（1）可得，． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】（1）1；（2）不会，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质求解即可； （2）根据正方形的性质得到，然后得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后根据正六边形和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵正方形与正方形，面积均为4，当经过点B，经过点时， ∴两个正方形重叠部分的面积的面积； （2）不会，理由如下： 如图所示，连接，，设与交于点H，与交于点M ∵正方形与正方形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不会发生变化； （3）如图所示，当两个正六边形有两个顶点重合时， ∴， ∴； 如图所示，当和交于点Q，和交于点R时， ∵六边形和六边形都是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 综上所述，重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系为． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 垂美四边形（共3小题） 【例8】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·月考）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)证明见解析，面积为 (4) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果． （4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积的面积的面积 ∴； 故答案为：； （3）证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． （4）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 中点四边形（共4小题） 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，分别是上的点．对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（   ） A．当是各边的中点，且时，四边形为菱形 B．当是各边的中点，且时，四边形为正方形 C．当不是各边的中点时，四边形可以为平行四边形 D．当不是各边的中点时，四边形不可能为菱形 【答案】D 【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解 【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是各边中点，且时，故四边形EFGH为正方形，故B正确； C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【答案】（1）①相等；②相互垂直；（2）命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是假命题，理由见解析；（3）； 【分析】（1）由三角形中线的性质结合四边形的中点四边形一定是平行四边形，即可得出结论； （2）先写出逆命题，再画出示意图，结合（1）中所得结论即可说明； （3）先证明，进而证明，推出；结合（1）中所得结论，得到当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是；当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是；即可解答． 【详解】（1）解：如图：矩形中，分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，即对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； 同理，菱形的中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题，理由如下： 如图：四边形中，且，分别是的中点， 由题意知任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，则四边形是平行四边形， ∵， 由（1）对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形，则四边形是矩形， ∵， 由（1）对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形，则四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴只需满足对角线相等且互相垂直的四边形，它的中点四边形是正方形， ∴命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题； （3）解：设交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形； 根据中位线的性质知，， 四边形的面积周长为； 连接， ∴， ∵四边形是矩形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； ∴四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ∴四边形的周长为； ∵四边形是菱形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形， ∵， ∴根据中位线的性质知，， ∴四边形的面积为； 同理，四边形是菱形，周长为； 同理，四边形是矩形，四边形的面积是； ； ∴当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是； 当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是； ∴四边形的面积等于，四边形的周长等于． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，与三角形的中位线有关的证明等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 十字架模型（共3小题） 【例10】（23-24九年级上·河南郑州·月考）(1)如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；    (2)如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）过点作交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）如图1，过点作交于，则， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形． ，， ， ， ， ， ； （2）如图2，连接，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 【答案】（1）与是正方形的等垂线段，理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中定义是解答的关键． （1）过点作分别交，于点，，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，则，根据等垂线段定义可得结论； （2）过点D作于点N，交于点M，由（1）知．根据等角对等边得到．证明得到，则，进而可得，，根据等垂线段可得结论； （3）过点G作于M，则有，根据等垂线段可得．证明可得．设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可解答． 【详解】解：（1）与是正方形的等垂线段 理由：过点作分别交，于点，， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴与是正方形的等垂线段． （2）证明：过点D作于点N，交于点M， ∴由（1）知． ∵， ∴． ∴． ∴． 即． ∵四边形为正方形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴与是正方形的等垂线段； （3）解：过点G作于M，则有， ∵，为正方形的等垂线段， ∴． ∵在正方形中，有，， ∴， ∴， ∴． ∵，F是中点， ∴． 设，则，， 在中，， ． 即． （负值已舍去）． 即的长为． 半角模型（共4小题） 【例11】（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：见解析；知识迁移：，证明见解析；拓展应用：，证明见解析 【分析】问题解决：由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解； 知识迁移：将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解； 拓展应用：延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于，则，由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由知识迁移可得，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】问题解决：解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即，． 在和中， ， ， ． 又， 在中，． ，， ； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； 拓展应用：，证明如下： 如图，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知识迁移可得：， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期中）探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； (2)方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3) 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴． ∴， ∵， 又， ∴． ，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，；证明如下： 如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，， ， ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：当时，． 如图，延长至点Q，连接，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ， 当时，可使得． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）（1）问题背景：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，．直接写出线段，，的数量关系：________； （2）迁移应用：如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． （3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论； （3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，据此计算即可得出结论． 【详解】解：（1）， 延长到点使，连接， 正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作交于，交于，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，； （3），证明如下， 证明：如图，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接， ，， ， 四边形是矩形， ， 设， ， 矩形是正方形， ， 由（1）知，， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）（1）类比探究：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，探究线段，，的关系？直接写出结论． （2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当时，求证：； （3）如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），推理过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；     （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；     （3）把绕点顺时针旋转到的位置，连接，证明，则，得到是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：正方形中，，，     把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1，     由旋转可得，，，， ，     ，点、、共线，     ， ， ，即，     在和中，     ，     ，     ， ， ； （2）证明：，，     把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，         ，，，， ，，     ，     ，即， ，     ，     ，点、、共线，     在和中，     ，     ，     ，     ， ；     （3） ，证明如下： 把绕点顺时针旋转到的位置，连接，     则，，，，        ，，     ，     又，     ， ，     在和中，     ，     ，     ， ，， ，     ，     是直角三角形，     ，     ． 其他模型（共3小题） 【例12】（25-26八年级上·广东潮州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）的面积为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，△的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ．（知识链接：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在中，若，，，的对边分别为，，，则有 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）6 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米，C、D为两个村庄（看作两点），，且千米，千米． (1)求两个村庄之间的距离； (2)现要在线段上建造一个供应站P，使得，请求出的长； (3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)24千米； (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； ∴千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为：20． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $