专题04 导数及其应用（7大考点）（山东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 导数及其应用 7大考点概览 考点01导数的几何意义 考点02利用导数研究函数的单调性及极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04利用导数研究函数的零点 考点05利用导数研究恒成立问题 考点06利用导数证明不等式 考点07导数与其他知识的交汇及新定义 ( 导数的几何意义 考点1 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程是______. 2．（2026·山东临沂·一模）已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． ( 利用导数研究函数的 单调性及 极值 考点2 ) 1.（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 2.（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·一模）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的，有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·山东淄博·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 ( 利用导数研究函数的最值 考点3 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2.（2026·山东烟台·一模）已知函数的最小值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 6．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. ( 利用导数研究函数的零点 考点4 ) 1．（2026·山东青岛·一模）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 2．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 3．（2026·山东淄博·一模）设、为实数，且，函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. ( 利用导数研究恒成立问题 考点 5 ) 1．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．曲线在点处的切线方程为 C．恒成立 D．恒成立 2．（2026·山东滨州·一模）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（2026·山东东营·一模） 已知函数 (1)当时， 求函数在处的切线方程； (2)若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 4．（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. ( 利用导数证明不等式 考点 6 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围； (3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且． 3．（2026·山东泰安·一模）已知函数. (1)曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； (2)若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 4．（2026·山东威海·一模）已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． ( 导数与其他知识的交汇及新定义 考点 7 ) 1．（2026·山东日照·一模）作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ） A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 3．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 4．（2026·山东枣庄·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； 5．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 6．（2026·山东日照·一模）设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求的最大值； (3)已知数列满足： ①；②且． 设，求证：． 注：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其应用 7大考点概览 考点01导数的几何意义 考点02利用导数研究函数的单调性及极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04利用导数研究函数的零点 考点05利用导数研究恒成立问题 考点06利用导数证明不等式 考点07导数与其他知识的交汇及新定义 ( 导数的几何意义 考点1 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】，点在曲线上，，，所以切线方程为， 即切线方程为. 2．（2026·山东临沂·一模）已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 【答案】/ 【解析】设，则，则， 则在处的切线的方程为，即， 联立，得， 因为直线与抛物线也相切， 则有，解得. ( 利用导数研究函数的 单调性及 极值 考点2 ) 1.（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 2.（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是.故选：D. 3．（2026·山东烟台·一模）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的，有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得函数的图象关于直线对称， 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由，则， 即， 所以或， 则或恒成立. 当时，恒成立； 当时，，则或， 而，则不可能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为.故选：A 4．（多选）（2026·山东淄博·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. ( 利用导数研究函数的最值 考点3 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 2.（2026·山东烟台·一模）已知函数的最小值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等号，此时解得， 此时的最小值为，符合题意，当时，可得， 由题意得的最小值为，则，即恒成立， 可得恒成立，令，解得， 令，解得，令，解得， 当时，可得恒成立，令， 则恒成立，可得在上单调递增， 此时，得到， 当时，恒成立，符合题意，此时， 当时，恒成立，由已知得， 则在上单调递增，当时，，此时， 综上，可得，即的取值范围为，故C正确. 故选：C 3．（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 4．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 5．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以，所以的取值范围为. 6．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 【解】（1）由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. ( 利用导数研究函数的零点 考点4 ) 1．（2026·山东青岛·一模）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 2．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 3．（2026·山东淄博·一模）设、为实数，且，函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【解】（1）当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，， 设， 则， 由于，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. （3）设， 由题意，曲线与直线有且仅有两个交点， 则函数有且仅有2个零点， 而， 令，得，而，则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 要使函数有且仅有2个零点， 则，即， 设，则， 当时，，则，不满足题意； 当时，设，则， 则函数在上单调递减，又， 则时，，即， 则的取值范围为. ( 利用导数研究恒成立问题 考点 5 ) 1．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．曲线在点处的切线方程为 C．恒成立 D．恒成立 【答案】BCD 【解析】由，得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增，故A错误； 由，, 可得在点处的切线方程为，故B正确； 由， 构造，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即，故恒成立，故C正确； 由，求导得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即，则， 当时,上式两边取对数可得:， 则由，可知恒成立，故D正确. 故选：BCD 2．（2026·山东滨州·一模）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，.其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 3．（2026·山东东营·一模） 已知函数 (1)当时， 求函数在处的切线方程； (2)若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 【解】（1）当时，，， ， ， 函数在处的切线方程为， 化简得：. （2）(i)函数在处取得极值，， ， ， ， ，， ， 令，解得：或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 函数在处取得极小值， 函数在处取得极值时 (ii) 由(i)得， ，且，在恒成立， ，即， ，整理得：， 即， 令， ， ， ， 化简得： ， 令，则， 时，， 在单调递增， ， 当时，， 解得：， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 是极小值点，也是最小值点， ， ， 实数的取值范围是. 4．（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 【解】（1）当时，，， 时，，故； 时，，故，又， 所以1是的极值点. （2）当时，只需证明， ①当时，，，不等式显然成立； ②当时，令 ，， 令，则， 因为，，， 所以，所以单调递减， 所以，所以单调递减， 所以， 所以， 综上，原不等式得证. （3）任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时， 由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， ， 令， ，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以， 所以的最大值是. ( 利用导数证明不等式 考点 6 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 2．（2026·山东聊城·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围； (3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且． 【解】（1）， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，恒成立，即，移项可得， 令， ， 令，，， ①时，又，所以， 令，， 令，， 在单调递减，，即， 在单调递减，， 即，故时符合题意； ②当时，， 故，时，，单调递增，， 时，，单调递增，， 故时不符合题意； 综上，的取值范围是； （3）证明：因为有最大值，所以， ，解得． 当时，，， 已知曲线在点处的切线方程为， 则切线斜率，又， 根据点斜式方程可得切线方程为， 即． 令，则． ， 令，， 当时，又，，， 即，在单调递增，， 故此时不存在使； 当时，，解得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又时，，，， ，使得， 则当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 又时，，，， 使得，即， 综上，当时，存在使，且． 3．（2026·山东泰安·一模）已知函数. (1)曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； (2)若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【解】（1）的定义域 求导得， 则，又， 则切线的方程为，即 于是，点到的距离为 当且仅当时，等号成立，由可得，解得. （2）（i）法一：设 则 设，则 因为，可得，则在上单调递增 故当时，， 则当时，在上恒成立，即在上恒成立 故在上单调递增，则，即，满足题意； 当时，， 故，使得 当时，，则，则在上单调递减， 则，即，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 法二：对任意恒成立 在上恒成立 当时，； 当时， 令，则且 设，则， 设，则，则在上单调递增， 又，则，即，故在上单调递增， 当时，，即也即 故得 综上所述，. （ii）由（i）知，当时，对任意恒成立，当且仅当时，等号成立， ，即 ∴当时， 分别取，得 4．（2026·山东威海·一模）已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． 【解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以，     可得，即， 整理得，所以，解得． （2）设切线与曲线的切点为，因为，    所以切线的方程为，      令，可得，     令，可得，     因为， 所以与直线围成的三角形的面积与切点无关． （3）解法一：令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以在上单调递减，      因为，所以， 若，由，可得，则， 与矛盾，所以． 当时，，即， ，所以，可得， 即，所以，即， 所以；      当时，，即， ，所以，可得， 即，所以，即，所以．     综上可得，．     由,可得，     所以． 解法二：令，则，且，      所以，   因为，所以， 若，由，可得，则，与矛盾， 所以，因此， 又， 当时，，可得， 所以；      当时，，可得， 所以．      综上可得，，即．     可得，所以， 即． ( 导数与其他知识的交汇及新定义 考点 7 ) 1．（2026·山东日照·一模）作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解】由题知，，令， 根据绝对值的几何意义可知，表示数轴上到的距离，表示数轴上到的距离， 所以可以表示为数轴上所对应的点到数轴上与所对应的点的距离的和. 由数轴上两点间距离的性质可知，当位于和之间时，取得最小值，即， 令，则，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 故在处取得极小值也是最小值，， 故，即， 所以的最小值为1. 2．（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ） A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 【解】选项A， ，A正确； 选项B，解方程得：， 二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得， 时，递增；时，递减； 最大值，且，因此一个零点； 又，因此另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为或，均小于，因此可将按每个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， 时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和； 每组（第组，）的和为，因此时总和： ， ，D错误. 3．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. (1)若，比较与的大小； (2)从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） (3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值. 【解】（1）令，得， 因为为的变号零点，所以. 当时，，且. ， . 故. （2）选择①， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，. 故单调递减，从而有， 即， 即，从而数列为递减数列. 选择②， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，， 故单调递增，从而有， 即， 即，从而数列为递增数列. （3）由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为. 对任意，都有成立， 当且仅当. 因为为正整数，所以当时，令， 则， 注意到，且， 从而有， 故单调递增. 故，即，故. 从而的最小值为1. 4．（2026·山东枣庄·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； 【解】（1）因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为，即． （2）（ⅰ）因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．， 此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以． 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以， 即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 5．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 【解】（1）因为 当时，则， 所以， 可得，且， 则， 即， 可得，所以函数在上单调递增， （2）（2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在，处取到最大值，在，处取到最小值， 可得， 综上所述： （ii） 方法一：数学归纳法证明不等式 成立， 当时，左边，右边，因为，所以不等式成立， 假设当时不等式成立， 即成立， 则当时， 左边 所以当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式. 令， 所以， 即 ， 综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三： ， 6．（2026·山东日照·一模）设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求的最大值； (3)已知数列满足： ①；②且． 设，求证：． 注：． 【解】（1） 故， 又， 故曲线在处的切线方程为； （2）由题意，对任意恒成立， 则，令， 则， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， 令，注意到， 则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故，所以． 下面证明时，在上不成立， 若，使得时，在单调递减， 所以当时，，即在单调递减， 所以时， 故在上不成立． 综上所述，的最大值为. （3）令，则， 均大于0，设， 因为， 所以， 若，上式不成立，所以， 由于在上单调递增， 故， 故为等差数列，首项和公差均为，故， 故， 由（2）当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，由于，所以在上恒成立， 即，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 ，所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $