专题06 数列（5大考点）（山东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 数列 5大考点概览 考点01递推公式 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04数列求和 考点05创新融合 ( 递推公式 考点1 )1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 ( 等差数列 考点2 ) 1．（2026·山东东营·一模）已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （    ） A．30 B．60 C．90 D．120 2．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 4．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（多选）（2026·山东泰安·一模）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． ( 等比数列 考点3 ) 1．（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，，则（   ） A．243 B．81 C．27 D．9 2．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．（2026·山东烟台·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 4．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·一模）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______． 6.（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． ( 数列求和 考点4 ) 1.（2026·山东济南·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记为数列的前项和，证明：. 2．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 3．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． ( 创新融合 考点 5 ) 1．（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·山东德州·一模）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 3．（多选）（2026·山东菏泽·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余两项的积，则称该子列为数列的“”子列.则下列说法正确的有（    ） A．数列的所有“”子列的个数为4 B．若，则数列不存在“”子列 C．数列的所有“”子列的个数为 D．若是公差为的等差数列，，则存在“”子列的充要条件是或 4．（多选）（2026·山东东营·一模）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 5．（2026·山东泰安·一模）按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指.    6．（2026·山东淄博·一模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 7．（2026·山东烟台·一模）若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 8．（2026·山东烟台·一模）已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，. (1)求数列的通项公式； (2)设圆的面积为，求证：. 9．（2026·山东临沂·一模）对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，． (1)设，求函数的解析式，并求的值； (2)记，，并设． （ⅰ）求证：； （ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大考点概览 考点01递推公式 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04数列求和 考点05创新融合 ( 递推公式 考点1 )1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【解析】由题意可得：， 令，则可得：，所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以，所以. ( 等差数列 考点2 ) 1．（2026·山东东营·一模）已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 2．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 由题意得，，则. 3．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，即数列为等差数列，公差为，首项为， 所以，，所以，，，，， 所以，故选：B. 4．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ，解得． 5．（多选）（2026·山东泰安·一模）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，， 由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为， 所以，故，B错误； C选项，当时，当时，， 时，， 当时，当时，， 时，，综上，C正确； D选项，若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 综上，D正确，故选ACD 6．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 【答案】/ 【解析】因为是等差数列，且，设的公差为， 则有，整理得， 经验证，则成立， ， 则. ( 等比数列 考点3 ) 1．（2026·山东枣庄·一模）记正项等比数列的前项和为，且，，则（   ） A．243 B．81 C．27 D．9 【答案】A 【解析】设正项等比数列的公比为， 且，则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以.故选：A. 2．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 3．（2026·山东烟台·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【解析】因为，所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以，故选：C 4．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，， 故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 5．（2026·山东日照·一模）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______． 【答案】4 【解析】由题意，. 6.（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【解】（1）由题意得，则， 则，整理得， ，解得， ，解得，故， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）因为，迭代得， 两式相减得，即， 令，则， 当时，（常数），且， 故是以4为首项，3为公比的等比数列， 取，共7个奇数，可得 ， ， ， 将以上各式相加，可得， 易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和， 则有，其中， 则. ( 数列求和 考点4 ) 1.（2026·山东济南·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记为数列的前项和，证明：. 【解】（1）当时，， 当时，，作差得： ， 即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2）， ， 所以， 所以， 命题得证. 2．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 3．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . ( 创新融合 考点 5 ) 1．（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设方程的四个实根，，，， 可得方程，即或，如图， 所以， 因为，，，成等差数列， 所以，即， 可得，即.故选：A 2．（多选）（2026·山东德州·一模）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 【答案】BCD 【解析】对于A.由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D.当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确. 3．（多选）（2026·山东菏泽·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余两项的积，则称该子列为数列的“”子列.则下列说法正确的有（    ） A．数列的所有“”子列的个数为4 B．若，则数列不存在“”子列 C．数列的所有“”子列的个数为 D．若是公差为的等差数列，，则存在“”子列的充要条件是或 【答案】ABC 【解析】对于A，从数列中，找出所有满足“一项等于另两项乘积”的三元组合： 、、、，共4个，故A正确. 对于B，，假设数列中存在“”子列， 则，化简得，左边是3的整数次幂，不可能等于2，矛盾，因此假设不成立，即不存在“”子列，故B正确. 对于C，设数列中的“”子列为，则，所以， 当时，可取2到中的任意一个数，共个“”子列； 当时，可取3到中的任意一个数，共个“”子列； ； 当时，可取，中的任意一个数，共2个“”子列， 综上，共有个“”子列，故C正确. 对于D，，若，则，满足，即构成一个 “”子列，但不是，因此充要条件不成立，故D错误. 4．（多选）（2026·山东东营·一模）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意得当时，，满足，成立， 假设当时，，当时，由已知得， 可得，因为，所以， 令，可得，且， 则在上单调递增，得到，故， 综上可得，对于任意，， 因为，所以， 可得数列为递增数列，故A正确， 对于B，因为，且数列为递增数列， 所以，，故B正确， 对于C，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，得到，即， 故在上单调递增，而，可得， 则，即，故C正确， 对于D，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则，可得在上单调递减， 且，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，即零点， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 此时不满足，故D错误. 5．（2026·山东泰安·一模）按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指.    【答案】507 【解析】由图中数字可知， 中指对应的数分别为3，7，11，15，19…… ∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列， 其通项公式为：； 因为，所以数到2027时，对应的指头是第507次数到中指. 所以数到2026时，对应的指头是第507次数到食指. 6．（2026·山东淄博·一模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 【答案】 【解析】依题意，， ， 因此，即，而， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，， 所以. 7．（2026·山东烟台·一模）若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 【答案】 16 86 【解析】因为数列为“数列”，且，， 所以当时，； 当时，，又，所以； 当时，. 所以的最小值为16. 因为数列为“数列”，所以， 又，所以数列为递增数列. 问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值. 此时： 设，则； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； …… 归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，. 又. 若，， 由， 即； 若，， 由 ，即. 此时，，. 又，所以数列应该是在第85项之后，突然改变增长速度，使得. 故的最大值为86. 8．（2026·山东烟台·一模）已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，. (1)求数列的通项公式； (2)设圆的面积为，求证：. 【解】（1）因为点在抛物线上，所以且， 因为圆和圆外切且圆均与轴相切， 所以， 所以， 整理得， 因为，所以， 即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）知，， 因为， 所以， 即，原题得证. 9．（2026·山东临沂·一模）对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，． (1)设，求函数的解析式，并求的值； (2)记，，并设． （ⅰ）求证：； （ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，． 【解】（1）由题意得，则， 则有， 令，则， 取，则， 则， （2）（i），， 易得是的两个根， 则有，且， 由， 则， 因为，则有， 则 ， 因为，则有， 则， 于是，得证； （ii），迭代得， 即，， 其中，且， 若存在正整数m，n，使得，，成等比数列， 即，结合，可得， 因为， 所以， 同时除以得， 因为，则可设， 则有，即， 易得等号左边为偶数之差，结果为偶数，右边为奇数1，矛盾， 故无正整数解满足， 因此，不存在这样的正整数m，n，使得，，成等比数列. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $