专题1.1 函数核心性质与导数基础应用专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

专题1.1函数核心性质与导数基础应用——2026届高考数学二轮复习专题突破 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共8题；共40分） 1．（2026高三上·张家口期末）已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025高一上·彭山月考）设，，，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．（2026高一上·贵港期末）设，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2026高一上·贵港期末）函数的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 5．（2025高二下·会东期中）已知函数在处的导数为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 6．（2025高二下·广州期中）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（　　） A． B． C． D． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 7．（2025高二上·长沙期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025高三上·岳阳期末）下列函数在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 三、多项选择题（共3题；共18分） 9．（2026高一上·成都期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（　　） A． B．函数的一个周期为4 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 10．（2026高三上·张家口期末）已知动圆的圆心在曲线上运动，是原点，则下列结论正确的是（　　） A．存在两个不同的实数满足圆经过点 B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为 C．当时，存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等 D．若点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为 11．（2026高二上·沧州期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递减 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 二、填空题（共3题；共15分） 12．（2025高一上·上海月考）若函数为R上的奇函数，则实数　 　. 13．（2025高二下·嘉兴期中）设曲线的图象在点（1，）处的切线斜率为2，则实数a的值为　 　． 14．（2026高三上·广州期末）已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则　 　 若，对于任意都成立，则的最大值为　 　 . 四、解答题（共5题；共77分） 15．（2024高三上·深圳月考）已知且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 16．（2025高二上·西湖期末）已知函数 （1）当 时，求函数 的单调递增区间； （2）若函数 在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 17．（2025高二下·会东期中）设函数． （1）若在点处的切线斜率为，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求证：在时，． 18．（2025高三上·甘肃期末）已知函数 （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19．（2025高二下·澄海期中）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】奇偶函数图象的对称性；正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质 【解析】解：由于函数的对称轴为直线， 令，解得， 因为，取，可得，则的最小值为 故答案为：A． 函数为偶函数，可得对称轴为直线，令，并令k=1得解. 2．【答案】C 【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小 【解析】解：， 函数在R上单调递增， ，则，所以； ，函数在上单调递增， ，则，所以， ． 故答案为：C． 利用指数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出的大小关系． 3．【答案】B 【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小 【解析】解：因为，， ，， 故答案为：B 根据指数函数、对数函数运算得，，由余弦函数的性质，得解. 4．【答案】C 【知识点】函数零点存在定理 【解析】解：因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为 故答案为：C. 确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性. 5．【答案】A 【知识点】导数的几何意义；极限及其运算 【解析】解：因为， 又函数在处的导数为，所以， 故答案为：A. 根据导数的定义，将所求极限式变形，与已知导数f'（x0​）=6建立联系. 6．【答案】B 【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率 【解析】解：由， 得， 所以， 则该物体在时的瞬间速度为 故答案为：B. 根据导数的物理意义对函数求导，再将代入得出该物体在时的瞬间速度. 7．【答案】B 【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式 【解析】解：A、，该选项错误，不合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不合题意； D、，该选项错误，不合题意； 故答案为：B． 代入基本初等函数的导数公式计算可判断A；同理，可判断BCD. 8．【答案】B 【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性 【解析】解：A，，，A错误； B，在上恒成立，B正确； C，，，C错误； D，，，D错误. 故答案为：B. 通过求函数的导数，判断导数在上是否恒大于0，以此确定函数的单调性. 9．【答案】A,B,D 【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性 【解析】解：由函数为奇函数， 令，可得， 所以， 则函数关于点对称， 由， 可得， 则函数关于对称， 由且， 可得， 所以， 则， 所以， 可得函数的周期为 对于A，由关于点对称，可得， 由函数的周期为， 可得，故A正确； 对于B，由， 可得函数的周期为，故B正确； 对于C、D，由且， 可得， 将中的代换为， 可得， 所以， 则， 所以关于原点对称，不一定关于对称，故C错误、D正确. 故答案为：ABD. 根据题意和函数的奇偶性、对称性、周期性，从而得出函数的周期，则判断出选项B；再利用函数的周期性得出函数的值，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法一定正确的选项. 10．【答案】A,B,D 【知识点】指数函数的图象与性质；导数的几何意义；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用 【解析】解：A、若圆经过原点，则，即， 由函数的性质得出有两个不同的交点，即存在两个不同的实数满足圆经过点，该选项正确，符合题意； B、当且仅当直线经过圆心时平分圆，所以，解得，圆心为，该选项正确，符合题意； C、当时，，圆的方程中令，得， 则被轴截得的弦长为；令，得， 则被轴截得的弦长为； 方程等价于，即，但， 所以方程无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，该选项错误，不合题意； D、设，则，令可得，圆心在（0，1）处时的切线的斜率为1， 圆心到直线的距离，此时圆上的点到直线的距离的最小值是，该选项正确，符合题意 故答案为：ABD． 假设圆经过原点，则，即，由函数的性质得出有两个不同的交点，可判断A正确；直线平分圆则圆心必定在直线上，得，解得可得圆心，可判断B正确；当时，及时，分别求得被、y轴截得的弦长分别为和；经检验方无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，可判断C不正确； 根据圆心到直线距离计算 ，可判断D正确， 11．【答案】A,D 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值 【解析】解：由图可知， 所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确； 由图可知时，， 所以函数在上单调递增，故B错误； 由图可知时，， 所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误； 由选项C可知函数在上单调递增， 由图可知时，， 所以函数在上单调递减， 则是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 故答案为：AD. 根据导函数的图象与原函数的关系，再结合导数的几何意义、导数判断函数单调性的方法、导数求极值点和极值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项. 12．【答案】3 【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算 【解析】解：因为函数， 可得， 所以，切线的斜率为， 解得 故答案为：3. 先对函数求导，再根据导数的几何意义求解即可. 13．【答案】0；e 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值 【解析】解：函数定义域为，求导可得， 函数定义域为，求导可得， 依题意得，即，， 则； ， 即时，对于任意都成立， 令，，则在上单调递增， 又因为，所以， 由函数的单调性，可得对于任意恒成立， 又因为， 即为在上恒成立，所以， 令，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，且，则， 即的最大值为 故答案为： 分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值. 14．【答案】（1）解：由题意知，， 所以， 则， 所以 （2）解：由（1）知，， 得函数在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 则恒成立， 设， 则，，当且仅当时，即当时取等号， 所以， 则实数a的取值范围是 （3）解：因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 又因为在上单调递增， 所以，当时，， 又因为的对称轴为，， 当时，在上单调递增， 则， 解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 解得， 所以； 当时，在上单调递减， 则， 解得， 所以， 综上可知，实数m的取值范围是 ​​​​ 【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）根据和函数的解析式，再利用代入法计算可得k的值，从而得出函数的解析式. （2）根据函数单调性得，再分离参数结合函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围. （3）对任意的，存在，使得，等价于，先求出函数的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于或等于1的条件，从而求解得出实数m的取值范围. （1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数a的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数m的取值范围是 15．【答案】（1）解：因为函数为指数函数，且，所以，解得， 又因为，所以，解得； （2）解：由（1）可得：函数，不等式，即， 设，则原不等式化为，解得或， 因为，所以，所以，则， 故原不等式的解集为． 【知识点】指数函数的概念与表示；指数式与对数式的互化；一元二次不等式及其解法 【解析】（1）根据函数为指数函数，求解m的值；再由求a的值即可； （2）由（1）可知，不等式转化为，利用换元法，结合二次不等式的解法求解即可. （1）由题意得，，解得或 （不符合题意，舍去），由，且，得． （2）由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为解得或， ∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为． 16．【答案】（1）解：当时，， 则， 由， 可得或， 则函数 的单调递增区间为和 （2）解：由， 求导得：， 依题意，得， 解得 ​​​​​​​ 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）利用a的值得出函数的解析式，利用导数的运算法则求出导函数，再由导函数大于0解出不等式，从而得出函数 的单调递增区间. （2）先求出，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由得出实数 a 的值. （1）当时，，则， 由可得或， 故函数 的单调递增区间为和； （2）由求导得，， 依题意，，解得 17．【答案】（1）解：函数，则， 因为在点处的切线斜率为， 所以，解得 （2）解：由（1）知：， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：， 令，则， 因为，所以， 则在上单调递增，又，所以恒成立，即； 令，，时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即， 即​​​​​​​ 【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值 【解析】（1）先求导得到切线斜率表达式，代入已知斜率解方程. （2）根据导数的符号，对 分区间讨论函数单调性. （3）构造辅助函数 ，利用常见不等式 和 证明 （1）解：函数，则， 因为在点处的切线斜率为， 所以，解得 （2）由（1）知：， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）， 令，则， 因为，所以， 则在上单调递增，又，所以恒成立，即； 令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即， 所以，得证. 18．【答案】（1）解：因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为 （2）解： 因为，所以可转化为，即恒成立.令，则， 令，可得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为 【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【解析】（1）先求导函数，利用极值点处导数为0且左右导数变号的性质，求解参数； （2）将恒成立问题转化为参数分离后的函数最值问题，构造新函数，通过导数分析其单调性，进而求出参数的取值范围. （1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得 ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为 （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为 19．【答案】（1）解：导数：， ，； ， 则 （2）解：构造函数，，由（1）可知， 当时，由，，函数在上单调递增， 对，，即恒成立，因此； 当时，令，，求导得， 而函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 因此，函数在上单调递增， 而，，则存在唯一，使得， 当时，，函数在内单调递减， 对任意，，即，不符合题意， 故实数a的取值范围为 （3）解：令函数，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 当时，由（2）知，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 于是，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 又， 函数为偶函数，在内单调递减，因此， 故函数的最小值为0. 【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值 【解析】（1） 类比三角函数的导数关系 ，结合双曲余弦、正弦函数化简证明即可； （2）构造函数，，由（1）可知，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合基本不等式，隐零点，求解即可； （3）构造函数，多次求导，结合（2）中结论，先得到在上单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出，即可得的最小值. （1）导数：， ，； 依题意， ， 所以 （2）构造函数，，由（1）可知， 当时，由，，函数在上单调递增， 对，，即恒成立，因此； 当时，令，，求导得， 而函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 因此，函数在上单调递增， 而，，则存在唯一，使得， 当时，，函数在内单调递减， 对任意，，即，不符合题意， 所以实数a的取值范围为． （3）令函数，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 当时，由（2）知，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 于是，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 又， 函数为偶函数，在内单调递减，因此， 所以函数的最小值为0. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $