第一次学情自测卷（考试范围：第一、二章）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

2025-2026学年七年级数学下学期学情自测卷（北师大版） （考试范围：第一、二章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 4．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 5．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 6．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点只能画一条直线 B．两点之间，直线最短 C．若两个角相等，则它们是对顶角 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 7．如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 8．如图，点A在点O北偏东的方向上，当时，则射线的方向是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东 9．的两边分别与的两边互相平行，则与的数量关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 10．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．，，则______． 12．已知，，则___________． 13．若是一个完全平方式，则的值为 ______． 14．某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 15．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 16．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算 (1) (2) (3) (4)． 18．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 19．先化简再求值：，其中，． 20．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 21．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段的长度是点P到直线___________的距离，线段的长度是点C到直线___________的距离，线段这三条线段大小关系是___________．（用“<”号连接），理由是___________． 23．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期学情自测卷（北师大版） （考试范围：第一、二章） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查小于的正数的科学记数法表示，科学记数法的形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前的个数，据此确定和即可． 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∴A选项中，A错误． ∵与不是同类项，不能合并． ∴B选项错误． ∵积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∴C选项中，C错误． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∴D选项中，D正确． 3．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 5．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 6．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点只能画一条直线 B．两点之间，直线最短 C．若两个角相等，则它们是对顶角 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】D 【分析】根据直线的定义，线段的性质，对顶角和平行线的定义，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵ 过一点可以画出无数条直线，∴ 选项A错误； ∵ 两点之间线段最短，∴ 选项B错误； ∵ 相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，∴ 选项C错误； ∵ 由平行线的定义可知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，∴ 选项D正确. 7．如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 【答案】B 【分析】设，，根据周长和面积知，，利用求出的值即可得出答案． 【详解】解：设，， 由题意得，，， ，， ， ， 则长方形的面积是15平方米． 8．如图，点A在点O北偏东的方向上，当时，则射线的方向是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出度数是解题关键．利用已知得出的度数，进而得出的方向角． 【详解】解：如图 是北偏东方向的一条射线，， ． 的方向角是北偏西． 故选：B． 9．的两边分别与的两边互相平行，则与的数量关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补的性质解答． 【详解】解：如图1所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的数量关系为相等或互补． 10．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质；根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形两底角相等得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，建立等式即可求出与之间的数量关系. 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．，，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴． 12．已知，，则___________． 【答案】3 【分析】先将代数式展开，再代入和计算结果． 【详解】原式 ， ∵，， ∴原式． 13．若是一个完全平方式，则的值为 ______． 【答案】30或 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：由题意得：， 因为多项式是完全平方式， 所以， 即， 解得：或． 故答案为：30或． 14．某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为__________． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 15．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 16．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1），根据平方差公式计算，再合并同类项； （2），根据完全平方公式和整式乘法法则计算，再根据整式的加减法计算； （3），先根据积的乘方计算，再根据单项式的乘法和除法计算； （4），先整理为平方差公式的形式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 19．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式，合并同类项对括号内的式子进行化简，再计算整式的除法，最后代入x，y的值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【答案】；；；；；同角的补角相等； 【分析】先利用平角的定义求出的度数，再根据互补的定义求出的度数，最后通过平角减去已知的、、，得到的度数． 【详解】解：∵点在直线上， (平角的定义)， ， ， ∴， ∵与互补， ， (同角的补角相等)， ， ． 21．已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 22．如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段的长度是点P到直线___________的距离，线段的长度是点C到直线___________的距离，线段这三条线段大小关系是___________．（用“<”号连接），理由是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，，理由见解析 【分析】（1）（2）根据垂线的作法作图即可求解； （3）根据利用点到直线的距离的概念，结合垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：线段的长度是点P到直线的距离，线段的长度是点C到 直线的距离，线段这三条线段大小关系是， 理由：， 线段的长度是点P到直线的距离，， ， 线段的长度是点到直线的距离，， 综上，． 23．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $