精品解析：2026年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试数学测试题（五）

2026 年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试 数学试卷（五） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 10. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 11. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 12. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是____________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 完成下列各题： （1）求不等式组 解集； （2）先化简，再求值：，其中 ． 14. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 15. 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 16. 已知的两边与相切于点，，的半径为． （1）如图 1，点C 在点A，B 之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点C 在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形， 度数应为多少？请说明理由； （3）若交 于点 D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)． 17. 【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 （1）如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 （2）已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 （3）如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． （4）将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试 数学试卷（五） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 3. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 5. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 6. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 8. 如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 10. 如图，用热气球探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到，的关系式，再利用求得，值，则点坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 详解】解：设，， 由题意得：． 正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质和相似三角形的判定与性质，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 完成下列各题： （1）求不等式组 的解集； （2）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，然后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组解集为：； 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴原式． 14. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】（1），； （2）； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断． （1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； （2）用频率公式可得； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：实践组摸到黄球的频率； 【小问3详解】 解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 15. 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低30元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意得，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低30元． 16. 已知的两边与相切于点，，的半径为． （1）如图 1，点C 在点A，B 之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点C 在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形， 的度数应为多少？请说明理由； （3）若交 于点 D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)． 【答案】（1） （2）当时，四边形为菱形 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质和多边形内角和定理可得，然后结合已知求得，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接，先观察发现当时，四边形可能为菱形；然后利用，结合（1）的解答过程可得，再根据点C运动到的延长线上时最大，即经过圆心，进而推导出，得到，则，即可得到四边形为菱形； （3）由于的半径为r，则，可得、，进而求出，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图①，连接，． ，为的切线， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图2：连接， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点C运动到的延长线上时最大， ∴经过圆心， ∵为的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 解：的半径为， ， ，， ，， ∴，， ， 阴影部分的周长． 17. 【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 （1）如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 （2）已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 （3）如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． （4）将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （3）连接，，，，和相交于点，证明，推出四边形是垂美四边形，利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （4）利用圆的切线的性质和垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可． 【小问1详解】 解：，理由如下: 由题得， ， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， （负值舍去）； 【小问3详解】 解：如图，连接，，，，和相交于点， 矩形与矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， ， ，、、三点共线， ， ， ，， ， ； 【小问4详解】 解：将矩形绕点逆时针旋转， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时最大， ， ， 由（3）得， ， ． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． 【小问3详解】 解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $