高一下学期数学20个易混易错全归纳（知识清单，三角函数与平面向量、解三角形、复数、立体几何初步）高一数学下学期人教A版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期数学20个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错2 易混易错02诱导公式认识不深导致变形致错。…4 易混易错03三角求值不能深挖角的范围致错6 易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数0的符号致错…。 9 易混易错05混淆函数图象变换的规律而致错。 .11 易混易错06参数问题不能准确判断临界点致错， .14 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 .16 易混易错08忽略平面向量夹角的范围与方向性致错， ..18 易混易错09忽略向量共线时的两种情况致错 .20 易混易错10错用平面向量的运算律致错.22 易混易错11解三角形时错判解的个数致错.25 易混易借12忽略边角互化条件致错27 易混易错13忽略三角形中的隐含条件致错 .30 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错。 .34 易混易错15复数的几何意义应用陷阱… .35 易混易错16对斜二测法规则掌握不牢致错， .37 易混易错17不能确定棱锥的外接（内切、棱切)球球心致错.….39 易混易错18线面位置关系考虑不全面致错4们 易混易错19对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错.………44 1/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 易混易错20忽略异面直线所成角的范围致错 48 易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 避坑指南 辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 (1)已知角a的终边上一点P的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解 (2)已知角的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知 数，从而求解问题 (3)己知角的终边所在的直线方程(y=,k≠0)，求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点P(a,k@,a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意a的 符号，对α进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值. 【典例1】(24-25高三·全国·专题练习)已知角的终边在直线3x+y=0上，则cos的值为 【答案】± 10 【解析】，角Q的终边在直线3x+y=0上，∴.角的终边在第二象限或第四象限（易错点). 易错之处是只考虑终边在第二象限 当角的终边在第二象限时，在角a的终边上取一点P(-1,3), 则点P到原点的距离r=√1+3=0，“cos==1=-0 rV1010 当角a的终边在第四象限时，在角4的终边上取一点P'(1,-3), 则点P到原点的距离/-V+(3)=0,∴cosa=人=0 1010 综上，cos0= 0或cosa&:-0 10 10 【典例2】(2525高三·全国·专题练习)已知角u的终边过点4〔-3网且sna=号则m=（) A.3 B.4 C.3 D.±4 【答案】B 21 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【解折】角a的终边过点4(-3心且血a=号 4 所以V+m且m>0,解得m=4 故选：B 【跟踪训练1】(2025·福建福州·模拟预测)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落 在直线y=2x上，则( ) A.sina=- 2W5 5 B.cosa= 5 4 C.tang=2 D.sin2a=- 【答案】C 【解析】因为角a的终边落在直线y=2x上， 当角的终边在第一象限时，终边过点L,2), 此时sina= ，cosa=5 2W5 ，tand=2,sin2c=2 sinacosa=2×7 25√54 55-5 当角α的终边在第三象限时，终边过点(-1，-2)， 此时sina=- 2 5，cosa=-V5 tana=2,sin2a=2sinacosa=2x(- 5 95 25、 51 故选：C. 【跟踪训练2】（多选）(25-26高三上·湖南郴州·期末)己知角a的终边经过点P(√3，m)(≠0)，将角 :的终边绕坐标原点O逆时针旋转亚得到角B的终边，则下列说法正确的有(） 3 A.cosa=- 3 2 B.cos(B-a)= C.若m>0,则sinB 7π=-5 6 2 D.对任意m≠0，sinB=1 【答案】BC V3m V3m√5 【解析】对于A: V3m)+m2m2或 ,故A错误； 2 对于B:因为角B是由角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转)得到， 31 函学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 所以P-a=子co(B-a-故B正确： 1 对于C:若m>0,则点P在第一象限且cosa=5 所以a=+2a,k∈Z, 2 又因为B-a=3 7π 正确； 对于D;由C可知，当m>0时，sinB=sin 2k=si=1, 63 当m<0时，点P在第三象限，cosa= 则a-2石4e么.此时血日=mg2骨 =sin3=-1, (6 2 所以对于任意≠0，sinB=1或-1，故D错误 故选：BC 易混易错02诱导公式认识不深导致变形致错 避坑指南 辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给 角与特珠角或条件角与待求角之间的关系。看看它们的和或差是否为5的整数信：二是要记牢诱导公式， 做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心. 【典例1】(25-26高三上·山东菏泽·期末)已知sin A. C.25 5 0.-25 5 【答案】A 【折1令6m-2-m是小-m+4（易错点>。 利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号 41 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 故选：A. 【典例2】(2025·北京·高考真题)已知x,Be[0,2π列]，且sin(au+)=sin(a-,cos(a+)≠cos(a-).写出 满足条件的一组x,B的值“= ,B= 【答案】（答案不唯一若（答案不唯-） 【解析】因为sin(a+B)=sin(au-B),cos(a+B)≠cos(a-B), 所以+B,-B的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故a+B+Q-B=+2keZ且a+B≠5+m,le乙 2+kkZ, 即e= 故取a-受0-君可清足题设要求 6 【跟踪训练1】(2026·陕西商洛·二模)已知0<a<元， sin 5π 3 -Q 2 则sin2a-sinacosa= 3 a B.2-V C.2+2W5 2 D. 3 3 【答案】B 【解析】因为sin 可得co3a= .又0<a<元， 3 所以sina=厂cos'a= ,所以tana=sa=√2. 3 cosa 所以sin2a-sinacosa sin'au--sinacosa_tan'a-tana&_2-√2_2-√2 sin'a+cos2a tan2+12+13 【假毫签2】6合一-上周成都复未)已如如[存小-29，且子a分则 年a的 值为() A.-⑤ B. 5 D. 5 5 5 【答案】B 【解析】因为-、 .3π 4 5/ 可学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 所以w*a-m日a-5 面m[任小o任】w任+a 所以m小 易混易错03三角求值不能深挖角的范围致错 避坑指南 辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的 范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围 【典例1】(24-25高三上江苏常州期中)已知a,B∈(0，)，且cosa= ma+E)=S则cwe={) √5 5 10 A.1o B. V10 c.910 D._9W10 10 10 50 50 【答案】B 【解析】由ae(0,元)，则sina=-cos2a=, cos 2a=cos'a-sin'a=-3 sin 2a=2sin acosa=4 由a∈0，） 易知2x∈ 2 解得a任到 由Be(0,m,a+B∈42 π3π 且如a>0.则u(骨 可得cos(a+P)=土V-in(a+p)=士75 10 COS B=cos(a+B-a)=cos(a+B)cosa+sin (a+B)sina =±75x5+22520±70 105105 50 当on-2o时，A0Bwa-1 50 50 此时cosa+BP)=750.则a+pe年 10 61 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 44 117 cos 28=cos2B-sin2B=- sin 28=2sin B cos B= 125 125 0易如0 兀π 解得B∈ (易错点) 注意缩小角的范围 cosB≠9Wf0 50 10 10 此时cos(a+B)= 7W2 <0,则a+B∈ (易错点) 10 由cos(x+B)<0缩小角的范围 cos26=cosB-sinB=-4 sin 2B -2sin B cos =3 易知202 第得到 cosB=-v10 10 故选：B 【典制21252高三上山东泽期末)已知u升sn2ma+则ema+ () A.-5 B.v5 c._v1o D.V10 5 10 10 【答案】D 【解1因为ae(到52a+引-a-】 a con a <0, ,0,即sina+4 4 所以cos2 +π）- 则cosa+4)10 故选：D. 【跟踪训练1（25-26高一上安微合肥期末)已知“、Pe(Q川，且tm(B-a）号，ma=,则 2B-a的值是() B. c D.-7π 4 7/ 可学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】B 【1图为m-m- 11 所以a=m-网a-m(0-oma1 tan(B-a)+tana 27 1√5 3 3· 又因为u、B∈(0，)，所以延<a<,0<B<, 6 6 则0<20< 3-<-a< 5亚，所以-<2B-a<- 6 2 1 2 因为tan2p= 2tan B 3 1-tanB 3.1 tan 28-tan a 47 4 4(7 故选：B 【跟察训练2】（2425商-下江苏南京月考)若子<<a受.且c燃口1)=- 10 ,血20， 则-B=() A牙 B. 2 2 D. 4 【答案】C 【解折】因为骨<6<元，所以<20<2L,又n20-号0， 5 所以7<20<元，则cos2B=--sm26- 51 因为a空子0子所以 4+B<2玩， 又me- a+< ,所以π 所以sn(a+p)=-cos(a+月=-7V5 10 因为牙a+经--20子所以a-x, cos(a-B)=cos(a+B-2B)=cos(a+B)cos2B+sin(a+B)sin2B 81 函学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 =-5×37x4 105105-2 3 所以a-B= 4 故选：C 易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数@的符号致错 避坑指南 辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y=sin(ωx十o)、y=cos(oωx十p)小、 y=tan(ox十p)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数 y=As(ax+p)来说，当o>0时，由于内层函数u=@x+P是单调递增的，所以函数y=Asin(ax+p) 的单调性与函数y=x的单调性相同，故可完全按照函数y=sx的单调性来解决；但当ω<0时，内 层函数u=ar+P是单调递减的，所以函数y=Asi(ax+p)的单调性与函数y=snx的单调性正好相反， 就不能按照函数y=x的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于 带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 【典例1】(2026高三·全国·专题练习)函数y=-in 2.x+ 的单调递减区间是() 6 A. 2m-,2m+ (k∈Z) B M-亚，m+ (k∈Z) 21 2 3 C. 5π 6 (k∈Z) 0 2k 6 -2+ez 【答案】B 【解析】因为y=-sin -2+)-m2- (易错点)， 注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间 2k-5≤2x-≤2m+ ,k∈Z, 6 2 解得kπ- ≤x≤km+5,keZ, 6 3 所以函数的单调递减区间为机一匹，m+k∈乙. 6 3 故选：B 91 可学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【典例2】(25-26高三上河南驻马店阶段练习)函数y=3-2c0-2x-的单调递增区间是（) 3 A[ z(keZ) B. k-，+ 6 6 3(kEz) c. 2+2+ 3 (k∈Z) D. 2kπ- 6 【答案】B 【解折】由题得v-32a(2-引-32o-2x+写引3-2ca个2x+引 要求y的递增区间即求y=cos2x+3的递减区间， 当2π≤2x+ ≤π+2机，k∈Z,即k饥- x≤ 2 6 +k,keZ时， 3 y=c(2x+单调减，即v=3-co2x+到单调增，放B正确 故选：B 【跟踪训练1】(2004·天津·高考真题)函数y=sin 匹-2x,x∈(0，m的增区间是（) 6 a.到 B 兀7π 12'12 π5π c.36】 D. 【答案】C 【解折】由超意，得=n〔石2-n2x-君司 令2m+≤2x-匹s2m+k∈Z,解得m+5sx≤m+死，k∈Z 6 2 3 6 所以函数y=sm怎2x的单调增区间为 5π m++ k∈Z) 6 因为x@功，所以冬太=0，侧得酒数r=如[合2，（位）的单调增区何为 [ 故选：C 【跟踪训练2】(2025全国二卷高考真题)己知函数f(y)=c0s(2x+p)0≤p<,f(0)=2 (1)求9； ②设函数=+/-君， 求g(x)的值域和单调区间. 【解折】（山）由慰意f0)=cos0-20≤0<网，所以0-牙： 2)由①可知f)=co2x+写) 10/ 高一下学期数学20个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 2 易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 3 易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 3 易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 4 易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 5 易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 6 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 7 易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 8 易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 9 易混易错10 错用平面向量的运算律致错 10 易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 11 易混易错12 忽略边角互化条件致错 12 易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 13 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 14 易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 15 易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 15 易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 16 易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 17 易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 18 易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 20 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 （1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解. （2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题. （3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值. 【典例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ． 【典例2】(25-26高三·全国·专题练习)已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【跟踪训练1】（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】 (多选)（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心. 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围. 【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数，的增区间是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 【典例1】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位 【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为，且图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为 易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解. 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况． 【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角； （2）向量的夹角是指向量方向的夹角； （3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分. 【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D．当时，在上的投影向量的坐标为 易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况 【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 易混易错10 错用平面向量的运算律致错 辨析：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出． （2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有． （3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量． 【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D.∥ 【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为 【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．非零向量、，满足且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数. 【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）． A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（   ） A．命题的否定是 B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，则有两解 易混易错12 忽略边角互化条件致错 辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换. 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数的实部为__________. 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半. 【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离. 【典例1】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） 【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______ 【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。 【典例1】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） 【典例2】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（    ）. A．若是一对异面直线，且，则. B．若，则. C．若，，，，则. D．若，，则. 【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件. 2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面. 【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．    (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.    (1)求证：平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点． (1)若，证明：平面； (2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围. 【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期数学20个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 2 易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 4 易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 6 易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 9 易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 11 易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 14 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 16 易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 18 易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 20 易混易错10 错用平面向量的运算律致错 22 易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 25 易混易错12 忽略边角互化条件致错 27 易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 30 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 34 易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 35 易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 37 易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 39 易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 41 易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 44 易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 48 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 （1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解. （2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题. （3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值. 【典例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限（易错点）． 易错之处是只考虑终边在第二象限 当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点， 则点P到原点的距离，∴． 当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点， 则点到原点的距离，∴． 综上，或． 【典例2】(25-26高三·全国·专题练习)已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 【跟踪训练1】（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边落在直线上， 当角的终边在第一象限时，终边过点， 此时，，，， 当角的终边在第三象限时，终边过点， 此时，，，， 故选：C. 【跟踪训练2】 (多选)（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 【答案】BC 【解析】对于A：或，故A错误； 对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到， 所以，，故B正确； 对于C：若，则点在第一象限且，所以， 又因为， 所以，故C正确； 对于D；由C可知，当时，， 当时，点在第三象限，， 则，此时， 所以对于任意，或，故D错误. 故选：BC 易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心. 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（易错点）， 利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号 又， 所以. 故选：A. 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】（答案不唯一）， （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求. 【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 而，故， 所以， 而， 所以. 易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围. 【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， ，， 由，易知，解得， 由，，且，则， 可得， 所以 ， 当时，，， 此时，则， 由，， 则，易知，解得，此时（易错点） 注意缩小角的范围 ； 当时，，， 此时，则（易错点）， 由缩小角的范围 由，， 则，易知，解得，； 故选：B. 【典例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，且，即， 所以，且， 则. 故选：D. 【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为(易错点)， 注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为． 故选：B 【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 要求的递增区间即求的递减区间， 当，，即，时， 单调递减，即单调递增，故B正确. 故选：B. 【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数，的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得. 令，解得. 所以函数的单调增区间为. 因为，所以令，则得函数，的单调增区间为 . 故选：C. 【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【解析】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 【典例1】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位 【答案】C 【解析】（易错点）， 利用诱导公式转化时特别要注意符号 将函数的图象各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位，即可 得出函数的图象(易错点)， 注意：左右平移是针对x而言的 故选：C． 【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】因为函数，又函数， 所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象. 故选：D 【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象. 【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为，且图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为 【答案】D 【解析】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为， 因为， 故函数的图象不关于直线对称，A错； 对于B选项，因为， 所以函数的图象不关于点中心对称， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，将的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为，故函数的图象不关于直线对称， C错； 对于D选项，由可得， 当时，，所以或，解得或， 所以函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为，D对. 易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解. 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得， 因为，所以当时，，且 因为在单调递增，所以（易错点）， 实质是 又，解得. 故选：B 【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值， 所以, 所以, 解得， 解得. 又因为. 故选：B. 【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为在区间上单调递增，所以 解得 由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间 可以覆盖该区间，因此，解得 又，所以 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况． 【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)； 注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）； 向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】CD 【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确． 故选：CD 【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角； （2）向量的夹角是指向量方向的夹角； （3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分. 【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由向量与向量的夹角为钝角， 得，且向量与向量不共线， 所以，即， 由有，解得，(易错点) 忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角 所以的取值范围是． 故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件， 故选：A． 【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由题意知，，不共线，所以， 所以与的夹角为锐角， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件； 故选：C. 【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D．当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当与夹角为锐角时，则，解得， 又时，，此时向量夹角为0， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误； 对于D：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD． 易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况 【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 【答案】或. 【解析】由题意，单位向量与向量共线， 则向量（易错点）， 此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量 即向量的坐标是或. 【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】A 【解析】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【答案】BCD 【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； 对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； 对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确； 对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确. 故选：BCD. 【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 【答案】BD 【解析】对于A：若且，，则，所以A错误； 对于B：若共线，则或，所以，所以B正确； 对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确； 对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中， 为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图： 即在上的投影向量为，所以，所以D正确. 故选：BD 易混易错10 错用平面向量的运算律致错 辨析：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出． （2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有． （3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量． 【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D.∥ 【答案】C 【解析】由已知，所以，即（易错点）， 要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法 所以，故选C. 【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为 【答案】CD 【解析】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确； 对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确； 对于C选项，，所以选项C正确； 对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确， 故选：CD. 【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．非零向量、，满足且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 【答案】BD 【解析】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数. 【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或（易错点）， 此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）． A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】对于A，由正弦定理得，则， 所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角， 所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC 【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（   ） A．命题的否定是 B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，则有两解 【答案】BD 【解析】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，，不符合题意， 此时三角形无解，故D错误. 故选：BD . 易混易错12 忽略边角互化条件致错 辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换. 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【解析】（1）易得， 由正弦定理得（易错点）， 易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【解析】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即（易错点）， 注意锐角三角形的每个角都必须是锐角 解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【解析】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【解析】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1，（易错点）， 注意虚部也是实数，不能带着i 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则的虚部是，故选：C. 【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数的实部为__________. 【答案】8 【解析】，所以复数实部为8. 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 【答案】 【解析】由， 则，故复数的虚部为. 易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，（易错点）， 本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【典例2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 【答案】3 【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 【答案】/ 【解析】设，，对应的点为， 取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半. 【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【答案】 【解析】因为轴，所以在中，（易错点）， 对斜二测画法规则理解不透，不能判断出 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以（易错点）. 平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半 如图作于， 因为，所以. 所以. 秒解：因为，所以的面积为 . 【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【答案】D 【解析】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【答案】4 【解析】由题意，作出直观图对应的原图， 可得， 所以的面积等于. 易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离. 【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） 【答案】 【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点). 需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直 取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即 在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选. 【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______ 【答案】 【解析】在三棱锥中，， 则AB，AC，AP两两垂直， 三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球， 因此球半径， 所以球的表面积为. 【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径， 设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，， 则，，故二面角的平面角为. 设，，，，， 则，，又，， 则， 又，，解得，即球的表面积为. 易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。 【典例1】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） 【答案】A 【解析】对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，，则，故正确； 对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）； 若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或 对于，若，，，则或与相交，故错误. 【典例2】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确.    对于D，若，则与相交或异面，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（    ）. A．若是一对异面直线，且，则. B．若，则. C．若，，，，则. D．若，，则. 【答案】A 【解析】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：， 即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得， 因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确； B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误； C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误； D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误. 【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 【答案】BC 【解析】对于A：若，则或，故A错误； 对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线， 则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。 对于C：若，则或， 若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以； 若，又，所以， 综上可得，故C正确； 对于D：若且，此时与所成角均为，相等， 此时，故D错误. 故选：BC 易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件. 2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面. 【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．    (1)证明； (2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值． 【解析】（1）过点作⊥于点，连接， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面，（易错点） 两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面 因为平面，所以⊥(易错点) 因为，所以， 又，所以， 又，在中， 由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又三棱台中，，所以；    （2）过点作⊥于点，连接， 三棱台中，， 所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面（易错点）， 注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直 所以为直线与平面DBC所成的角， 由（1）知，，， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 由勾股定理得， 所以， 所以 直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为 【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.    (1)求证：平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【解析】（1）取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以，且， 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. （2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角梯形中，，，可得， 在中，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面.    【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点． (1)若，证明：平面； (2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【解析】（1）连接，，且，连接， 因为在正三棱柱中， 底面边长为2，， 所以侧面都是边长为2的正方形， 所以在正方形中，， 又因为，为中点， 所以为等腰三角形，是底边中线， 所以， 又因为，面，且， 所以面. （2）法一：几何法 连接，由可得：， 记与平面所成角为，由于平面， 是在平面上的投影，则， 根据线面角的定义，， 在中，由且，则， 由勾股定理得：， 所以. 易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围. 【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意，设，则， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以，， 设直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）． 本题容易错将答案写成或 【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【答案】或 【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在直线上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得； 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得. 综上：直线与所成角的余弦值为或. 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期数学20个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错2 易混易错02诱导公式认识不深导致变形致错3 易混易借03三角求值不能深挖角的范围致错.3 易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数0的符号致错… 4 易混易错05混淆函数图象变换的规律而致错。 5 易混易错06参数问题不能准确判断临界点致错】 …6 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱… 7 易混易错08忽略平面向量夹角的范围与方向性致错， 8 易混易错09忽略向量共线时的两种情况致错.… 易混易错10错用平面向量的运算律致错.10 易混易错11解三角形时错判解的个数致错。1们 易混易错12忽略边角互化条件致情12 易混易错13忽略三角形中的隐含条件致错。13 易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 …14 易混易错15复数的几何意义应用陷阱… .15 易混易错16对斜二测法规则掌握不牢致错 .15 易混易错17不能确定棱锥的外接（内切、棱切)球球心致错.……16 易混易错18线面位置关系考虑不全面致错.17 易混易错19对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错.………18 1/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 易混易错20忽略异面直线所成角的范围致错 .20 易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的过论而致错 避坑指南 辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 (1)已知角a的终边上一点P的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解 (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角，有关的三角函数值 方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据己知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知 数，从而求解问题. (3)已知角的终边所在的直线方程(y=x,k≠0)，求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点P(a,@,a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意a的 符号，对a进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值 【典例1】(24-25高三·全国·专题练习)已知角的终边在直线3x+y=0上，则cos的值为 【典例2】(25-26高三·全国·专题练习)已知角a的终边过点A(-3,m且sina= 4 :则m=() A.3 B.4 C.3 D.±4 【跟踪训练1】(2025·福建福州·模拟预测)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落 在直线y=2x上，则( A.sina= 25 5 B.cosa5 D.sin2a=- 4 C.tana=2 5 【跟踪训练2】（多选）(25-26高三上·湖南郴州·期末)已知角α的终边经过点P(V3m,m(m≠0)，将角 α的终边绕坐标原点O逆时针旋转得到角B的终边，则下列说法正确的有() A.cosa= B.cos(B-a)= C.若m>0, 则m-得-9 21 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 D.对任意m≠0，sinB=1 易混易错02诱导公式认识不深导致变形致错 避坑指南 辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给 角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为；的整数倍：二是要记牢诱导公式， 做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心 【典例1】(25-26高三上·山东菏泽·期末)已知sin A.5 5 B.-5 C.2v5 5 5 D.-25 【典例2】(2025·北京·高考真题)已知o,B∈[0,2]，且sin(a+B)=sin(a-),cos(c+B)≠cos(a-).写出 满足条件的一组o,B的值=一，B= 【跟踪训练1】(2026·陕西商洛·二模)已知0<a<元，sim5π-a=5 3，则sin2c=sinacoso号 B.2-V C.2+2W2 D. 3 3 3 【跟紧练2】25-5-上四设耶未)已加m行25，月分a号，则n任。]的 值为() A.5 B. 5 c.- 5 D. 易混易错03三角求值不能深挖角的范围致错 避坑指南 辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的 范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围 【奥12425高三上江苏常州期中)E知aAc@.且cosa-9m(e+A)治则mB=() 10 A.0 B.v10 c.9W10 D.-910 10 10 50 50 31 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【奥例2】(s26高三上山东泽期未)已知ue（头-引n2a+引}ma+则ca+ 4 () A.-5 B.5 c._v10 D.Vio 10 10 限踪训练(25-26高-上安徽合肥期末)已知Q、Be0,而，且am(B-Q)专，ama=,则 2B-x的值是() A月 B.-3n 4 C.Sn 4 D.-7π 4 【跟察训练2】(2425高-下江苏南京月考)若B<<a<经，且c0s(a+)=点 4 2 10 5 则-B=() B. 2 c D. 易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数@的符号致错 避坑指南 辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y=sin(ox十p)、y=cos(o.x十p)、 y=tan(ωx十)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数 y=Asin(ax+p)来说，当o>0时，由于内层函数u=ar+P是单调递增的，所以函数y=Asin(ax+p) 的单调性与函数y=Sx的单调性相同，故可完全按照函数y=Sx的单调性来解决；但当)<0时，内 层函数u=ax+p是单调递减的，所以函数y=Asn(ax+p)的单调性与函数y=x的单调性正好相反， 就不能按照函数y=x的单调性来解决一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于 带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决 【典例1】(2026高三·全国专题练习)函数y=-s1n -2x+ 的单调递减区间是( 2() 2k-，2km+ (k∈Z) 6 3 5π C. 机+ 3k (EZ) -2k- 6-2+5k∈2 【奥例2】（25-26高三上河南驻马店阶段练习)函数y-320-2x罗的单调递增区间是（) A.-(k) 6 6 41 函学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 c. 2+2版]ez D. 2kn-,2k(kEZ) 31 6 【跟踪训练1】(2004天津高考真题)函数y=$i匹-2x,x∈(0，)的增区间是() 6 A. π7π B.1212 π5π c.36 D. 【跟踪训练2】 (2025全国=卷高考真题)已知函数f()-c0s(2x+p0s9<.f0)-号 (1)求9： 设函数g)=+/-君 求g(x)的值域和单调区间. 易混易错05混淆函数图象变换的规律而致错 小避玩指南 辨析：在进行图象变换时要注意两点：(1)化简解析式：即将函数解析式化为y=Asi(ωx+o)(或 y=Acos(x+))形式：(2)统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为 同名形式：(3)变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目 中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图象变换要 看“变量x”发生多大变化，而不是“角x+0”变化多少， 【典例1】(25-26高三上河南南阳期末)想要得到函数f(x)=c02x- 的图象，只需将函数 g(x)=sinx+的图象(） 4 A.各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移正个单位 12 B。各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移没个单位 12 C,各点横坐标变为原来的；倍，再把图象向右平移元个单位 24 D.各点横坐标变为原来的；倍，再把图象向右平移 24 个单位 【典例2】(25-26高三上山西临汾期末)为了得到函数y=sim2x- 的图象，只需将函数y=cos2x的图 4 5/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 象() A.向左平移君个单位 B.向右平移智个单位 C.向左平移3亚个单位 D.向右平移3亚个单位 8 【跟察训练1】(2026-山西晋中模拟模测）已知函数f()-血2x+a心2x的一个零点是背为了得到函 数y=2cos2x的图象，只需将f(x)的图象() A.向左平移汇个单位长度 B.向左平移个单位长度 12 6 C.向右平移汇个单位长度 D.向右平移”个单位长度 12 6 【跟踪训练2(25-26商三下天津河西开学考试)已知丙数了)-m2x君5co2x,则下列 6 结论正确的是() A.f(y)的最小正周期为2m,且图象关于直线x=背对称 B.w)的图象关于点〔君0中心对称，月在区向周 上单调递增 C.将f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线x=匹对称 2 6 D.西数e)在区间[Q可上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为智 易混易错06参数问题不能准确判断临界点致错 避坑指南 辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为y=Asn(ox+B)的形式；根据题设给出 限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范 围；在求出⊙x+日的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点， 列出不等式求解 【典例1！(2526高三上广东阶段练习)将函数/)=nom+写》~0)的图象向右平移g个单位长度， 6 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的}，纵坐标不变，得到函数8)的图象若8()在0)上单 调递增，则~的取值范围为() 61 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 B. D. 【典例2】(2025·北京·高考真题)设函数f(x)=sin ax+cosx(o>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x) 在0， 上存在零点，则⊙的最小值为() 4 A.8 B.6 C.4 D.3 【跟踪训练1】(2026：福建龙岩·一模)己知函数f(x)=2sin /ax+(o>0)的图象关于直线x=5对称，且 6 在区同 上单调递减，则ω的值为() A, 7 B.1 C. D.4 6 【跟踪训练2】(25-26高三下·浙江开学考试)已知函数f(x)=sin 2'3 递增，则o取值范围为() A.0 3 B.(0,1] D.[1+w) 易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 避坑指南 辨析：1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且0=0：(2)单位向量有无数个，它们的模相 等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因 此在解题时要注意它们的特殊性；（④）任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5)向量平行与向量共线 是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直 线平行不包含直线重合的情况 【典例1】(25-26高三上·湖南益阳·开学考试)关于向量ā，b下列说法中，正确的是() A.若=b,则a=b B.若a∥b,b∥c,则a∥c c.若>，则a>b D.若a=-b,则a∥b 【典例2】(24-25高一下·广东汕头·期中)关于平面向量，下列正确的是() 7/ 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.若a是单位向量，0零向量，则ld=0=0 B.若向量a与b不共线，则存在一对实数x,y,使c=xa+yb C.海拔、温度、角度都是向量 D.若AD=BC,则四边形ABCD是菱形 【跟踪训练1】（多选）(2025高三·全国专题练习)下列命题中，正确的是() A.若a与b都是单位向量，则a=b B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 C.若用有向线段表示的向量M与AN不相等，则点M与N不重合 D.海拔、温度、角度都不是向量 【跟踪训练2】（多选）(25-26高三上四川成都期中)关于非零向量á，b,下列命题中，正确的是 () A.若d=b,则a=b B.若a=-b,则a/b C.若a/1b,b/1c,则a11e D.若4>，则a>b 易混易错08忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 避坑指南 辨析：(1)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角： (2)向量的夹角是指向量方向的夹角： (3)向量的夹角范围是[0，π]，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分. 【典例】24-25高三上广东月考)已知向量ā=(m-,b=L,2,则“m<,是“a与6的夹角为钟 角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】(25-26高三上·北京顺义·期中)设点A,B,C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是 “|AB+ACAB-AC1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 8/ 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【眼踪训练2】（多选）2526病三上重庆沙坪坝摄已知平面向量a=(z),6=(1引：eR),则下 列说法正确的有() A.若a1b,则t=3 4 B.若a6:则1=号 C.若a与b的夹角为锐角，则实数t的范围为 -02 1 1 D.当t=二时，b在a上的投影向量的坐标为 44 易混易错09忽略向量共线时的两种情况致错 避坑指南 辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求 解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情 况 【典例1】(24-25高二上·安徽马鞍山阶段练习)已知单位向量ā与向量b=(1,2)共线，则侧向量ā的坐标 是 【典例2】(25-26高三上广东梅州期末)已知向量a,6不共线，且c=2a+b,d=a+(22-1)b,若c与 d同向共线，则实数的值为() 1 A.1 B.- 1 C.1或- 2 D.-1或-1 2 【跟踪训练1】(24-25高三上·湖北随州·期末)下列命题正确的是() A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 Q老5为专同妆，则控同局0应的东作。与6反问天 a D.若a=b,b=c则a=c 【跟踪训练2】（多选）(25-26高一上·广东广州期末)下列命题中，正确的是() 9/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.若a.b=0,则a=0或b=0 B.若a,6共线，则a.b=±b C.若a.b=a.c且a≠0，则b=c D.若向量a,b满足d=b,且6在a-b上的投影向量为单位向量，则la-b=2 易混易错10错用平面向量的运算律致错 避坑指南 辨析：(1)在实数中：若a≠0，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若a≠0，且a-b=0,不 能推出b=0, (2)已知实数a,b,c(b≠0)，且ab=bc,则c,但在向量的数量积中没有a-b=b·c→a·c (3)在实数中有(ab)c=a(bc),但是在向量数量积中(ab)c≠a:(bc),这是因为左边 是与c共线的向量，而右边是与ā共线的向量. 【典例1】(24-25高二上山东青岛·期中)已知b=bc,下列关系一定正确的是() A.b=0 B.a=c C.(a-c)LB D.(a-c)llb 【典例2】（多选)(24-25高三·河北石家庄期末)已知α，b,c均为非零向量，则下列结论中正确的有 () A.若ab-ac=0,则b=c B.若|a-c=b-c,则a=b C.若|ab,则(a+b)(a-b)>0 D.若2a=b上2，ab=0,且|a+b-2c=1,则|c|的最大值与最小值之和为√5 【跟踪训练1】(25-26高三上·福建福州·期中)已知ā、b、c是任意的非零向量，则下列结论正确的是 () A.非零向量a、b,满足同>且a与b同向，则a>b 10/