本册综合测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 本册综合测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 对数型函数的定义域 用随机数表法抽取样本 利用指数函数、对数函数的单调性比较大小 互斥事件的概率加法公式 向量平行的坐标表示的应用 与指数函数有关的分段函数的最值问题 与幂函数、对数函数有关的函数图象的识别 共线向量基本定理的应用 对数型函数的性质及图象 根据频率分布直方图求频数、频率、众数、中位数 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 向量的线性运算；向量在平面几何中的应用 指数型函数的图象过定点问题 简单古典概型概率的计算 利用对数型函数的单调性、奇偶性求解不等式恒成立问题 事件独立性的性质；多个事件相互独立的概率 与对数函数有关的分段函数模型的实际应用 由频率分布直方图估计百分位数；分层抽样；古典概型 用基底表示向量；平面向量基本定理的应用 指数型函数的奇偶性、单调性、最值的综合应用 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C．(－1，2) D．[－1，2)∪(2，＋∞) 答案：B 解析：要使函数有意义，应满足所以x>－1且x≠2．故函数f(x)的定义域是(－1，2)∪(2，＋∞)． 2．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500．下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为(　　) A．206 B．212 C．217 D．245 答案：A 解析：由题意，根据简单随机抽样的方法，从随机数表第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206．由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．故选A． 3．已知a＝log52，b＝log0．91．1，c＝20．9，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c 答案：D 解析：因为函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，所以log51<log52<log55，所以0<a<1．因为函数y＝log0．9x在(0，＋∞)上单调递减，所以b＝log0．91．1<log0．91＝0，即b<0．因为函数y＝2x在R上单调递增，所以c＝20.9>20＝1，即c>1．所以b<0<a<1<c，即b<a<c．故选D． 4．已知随机事件A和B互斥，且P(A＋B)＝0．5，P(B)＝0．3，则P()＝(　　) A．0．2 B．0．5 C．0．7 D．0．8 答案：D 解析：因为随机事件A和B互斥，且P(A＋B)＝0．5，P(B)＝0．3，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋0．3，所以P(A)＝0．2，所以P()＝1－P(A)＝1－0．2＝0．8．故选D． 5．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，3)．若向量2a＋b与向量b平行，则x的值为(　　) A．－3 B．0 C． D．－ 答案：A 解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(－1，3)，∴2a＋b＝(1，2x＋3)．又2a＋b与向量b平行，∴3＝－2x－3，解得x＝－3．故选A． 6．已知函数f(x)＝存在最大值，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，2] D．(－2，2) 答案：C 解析：函数y＝2x在[0，3]上单调递增，所以当x∈[0，3]时，f(x)∈[1，8]；函数y＝－2x2＋a2在[－3，0)上单调递增，所以当x∈[－3，0)时，f(x)∈[a2－18，a2)．所以要使函数f(x)存在最大值，只需a2≤8，解得－2≤a≤2．故选C． 7．函数f(x)＝(x3＋2x)ln |x|的部分图象大致为(　　) 答案：C 解析：因为f(－x)＝－(x3＋2x)ln |x|＝－f(x)，所以函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以排除A，B；当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，所以排除D．故选C． 8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，满足＝4，＝3，连接EF交AC于点M，若＝2λ－3μ，则5λ－μ＝(　　) A．－ B．1 C． D．－3 答案：C 解析：∵＝4，＝3，∴＝5，＝．又＝＋，＝2λ－3μ，∴＝2λ－3μ(＋)＝(2λ－3μ)－3μ＝(2λ－3μ)×5－3μ×＝(10λ－15μ)－4μ．∵M，E，F三点共线，∴10λ－15μ－4μ＝1，∴5λ－μ＝． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数f(x)的最小值为－4 D．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案：ABC 解析：函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3的定义域为(0，＋∞)，则f(x)＝(log2x)2－2log2x－3．对于A，f(4)＝(log24)2－2log24－3＝－3，故A正确；对于B，由f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，即log2x＝－1或log2x＝3，解得x＝或x＝8，所以函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故B正确；对于C，显然f(x)＝(log2x－1)2－4，当log2x＝1，即x＝2时，函数f(x)取得最小值－4，故C正确；对于D，因为函数f(x)的定义域(0，＋∞)不关于直线x＝2对称，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故D错误．故选ABC． 10．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论正确的是(　　) A．得分在[40，60)的有40人 B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0．5 C．估计得分的众数为55 D．这100名参赛者得分的中位数为65 答案：ABC 解析：根据频率和为1，计算(a＋0．035＋0．030＋0．020＋0．010)×10＝1，解得a＝0．005，得分在[40，60)的频率是0．40，估计得分在[40，60)的有100×0．40＝40(人)，A正确；得分在[60，80)的频率为0．5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60，80)的概率为0．5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，即估计得分众数为55，C正确；得分在[40，60)的频率为0．4，在[40，70)的频率为0．7，所以中位数位于[60，70)，设中位数为x，则0．4＋(x－60)×0．030＝0．5，解得x≈63．3，故D错误．故选ABC． 11．已知O为△ABC所在平面内一点，2＋3＋4＝0，下列说法正确的是(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．直线AO必过BC的中点 D．S△AOC∶S△ABC＝1∶3 答案：ABD 解析：对于A，∵2＋3＋4＝0，∴2＝3＋3＋4＋4，∴＝＋，故A正确；对于B，∵2＋3＋4＝0，∴2＋2＋3＋3＋4＝0，∴＝＋，故B正确；对于C，若直线AO必过BC的中点D，则＝λ＝λ×(＋)，与A矛盾，故C错误；对于D，在AB，AC，BC上取M，N，H，K使得＝，＝，＝，＝， 如图，AN∶NH∶CH＝4∶3∶2，CK∶BK＝1∶2，AM∶BM＝1∶2，设S△COH＝a，则S△COK＝a，S△AON＝S△AOM＝2a，S△AOB＝3S△AOM＝6a，S△COA＝S△COH＝a，S△BOC＝3S△COK＝3a，因此S△AOC∶S△ABC＝∶＝1∶3，故D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知当a>0且a≠1时，函数f(x)＝a2x－4＋3的图象必过定点A，则点A的坐标是________． 答案：(2，4) 解析：令2x－4＝0，得x＝2．又f(2)＝a0＋3＝4，所以定点A的坐标是(2，4)． 13．(2024·广西钦州高一统考期末)一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中，一只是白兔，另一只是灰兔的概率是________． 答案： 解析：设3只白兔为a1，a2，a3，2只灰兔为b1，b2，则所有样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，其中先跑出笼子的两只兔子中，一只是白兔，另一只是灰兔的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个，所以所求事件的概率为＝． 14．设函数f(x)＝log2(－x)，若对任意的x∈(－1，＋∞)，不等式f(x－ln a)＋f(2x＋4)<0恒成立，则a的取值范围是________． 答案：(0，e] 解析：由题意知f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log21＝0，∴－f(x)＝f(－x)，∴f(x)为奇函数．令g(x)＝＋x，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(＋x)在[0，＋∞)上为减函数，从而f(x)在R上为减函数，于是f(x－ln a)＋f(2x＋4)<0等价于f(x－ln a)<－f(2x＋4)＝f(－2x－4)，∴x－ln a>－2x－4，即ln a<3x＋4．∵x∈(－1，＋∞)，∴3x＋4>1，∴ln a≤1，解得0<a≤e，故a的取值范围是(0，e]． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分13分)甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．记事件A＝“甲第一轮猜对”，事件B＝“乙第一轮猜对”，事件C＝“甲第二轮猜对”，事件D＝“乙第二轮猜对”． (1)求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率； (2)求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率． 解：(1)所求概率为P(B)＋P(A)＝×＋×＝． (2)所求概率为P(ABCD)＋P(CD)＋P(AB)＋P(BC)＋P(AD)＝×＋2×××2××＝． 16．(本小题满分15分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t(单位：min)之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数p＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当p≥80时听课效果最佳． (1)试求注意力指数p关于听课时间t的函数解析式； (2)一道数学难题讲解需要22 min，问老师能否在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 解：(1)当t∈(0，14]时，设p＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14，81)的坐标代入得c＝－， 所以当t∈(0，14]时，p＝－(t－12)2＋82； 当t∈[14，40]时，将点(14，81)的坐标代入p＝loga(t－5)＋83，得a＝． 所以p＝ (2)当t∈(0，14]时，令－(t－12)2＋82≥80， 解得12－2≤t≤12＋2， 所以t∈[12－2，14]； 当t∈(14，40]时，令log(t－5)＋83≥80， 解得5<t≤32，所以t∈(14，32]． 综上，当t∈[12－2，32]时学生听课效果最佳． 又32－(12－2)＝20＋2>22， 所以老师能在学生听课效果最佳时讲完． 17． (本小题满分15分)某大学有200名学生参加体育成绩测评，将他们的分数(单位：分)按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值及这组数据的第60百分位数； (2)按分层随机抽样的方法从分数在[50，60)和[90，100]内的学生中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩之差的绝对值大于10分的概率． 解：(1)由频率分布直方图可知，10×(0．01＋0．015＋a＋0．025＋0．03)＝1，解得a＝0．02，因为0．1＋0．15＋0．25＝0．5<0．6，0．5＋0．3＝0．8>0．6，所以这组数据的第60百分位数位于[80，90)，设这组数据的第60百分位数为x，则0．5＋(x－80)×0．03＝0．6， 解得x＝， 所以这组数据的第60百分位数为． (2)由题意可知，从分数在[50，60)内的学生中抽取6×＝2人，记为A，B，分数在[90，100]内的学生中抽取4人，记为a，b，c，d，从中任选2人，则所有可能结果有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15个， 满足这2人成绩之差的绝对值大于10分的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共8个，故所求的概率P＝． 18．(本小题满分17分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M．设＝a，＝b． (1)试用向量a，b表示； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设＝λ，＝μ，求证：＋＝7． 解：(1)不妨设＝ma＋nb． 由于A，D，M三点共线，则存在α(α≠－1)使得＝α， 于是－＝α(－)， 即＝． 又＝， 所以＝＝a＋b， 则 即m＋2n＝1．① 由于B，C，M三点共线， 则存在β(β≠－1)使得＝β， 于是＋＝β(＋)， 即＝． 又＝， 所以＝＝a＋b， 所以即4m＋n＝1．② 由①②可得m＝，n＝， 所以＝a＋b． (2)证明：由于E，M，F三点共线，所以存在实数η(η≠－1)使得＝η，＋＝η(＋)， 于是＝． 又＝λ，＝μ， 所以＝＝a＋b， 所以a＋b＝a＋b， 则消去η，得＋＝7． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝(t2－2t－2)ex－是定义域为R的奇函数． (1)求t的值，并写出f(x)的解析式； (2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明； (3)若函数g(x)＝e2x＋－2kf(x)在[0，＋∞)上的最小值为－2，求k的值． 解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0，即f(0)＝t2－2t－3＝0， 解得t＝3或t＝－1， 所以f(x)＝ex－， 又此时满足f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－． (2)f(x)在R上单调递增．证明如下： 设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1－－ex2＋＝(ex1－ex2)， 因为x1<x2，所以0<ex1<ex2， 所以ex1－ex2<0，1＋>0， 可得f(x1)－f(x2)<0， 因为当x1<x2时， 有f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x)在R上单调递增． (3)由(1)可知g(x)＝e2x＋－2k ＝－2k＋2， 令u＝f(x)＝ex－，则h(u)＝u2－2ku＋2， 因为f(x)在R上是增函数， 且x≥0，所以u≥f(0)＝0． 因为g(x)＝e2x＋－2kf(x)在[0，＋∞)上的最小值为－2， 所以h(u)在[0，＋∞)上的最小值为－2． 因为h(u)＝u2－2ku＋2＝(u－k)2＋2－k2， 所以当k≥0时，h(u)min＝h(k)＝2－k2＝－2， 解得k＝2或k＝－2(舍去)； 当k<0时，h(u)min＝h(0)＝2≠－2，不符合题意，舍去． 综上可知，k＝2． 11 学科网（北京）股份有限公司 $