5.3.4 频率与概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

5.3.4 频率与概率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.本节课的重点是了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，理解概率的含义. 2.本节课的难点是理解频率与概率的区别与联系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　对概率概念的理解 逐点清(二)　用频率估计概率 逐点清(三)　由频率分布直方图 估计概率 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　对概率概念的理解 01 多维理解 (1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的______，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. (2)概率是一个确定的数，与每一次的试验次数无关. 概率 微点练明 1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明 (　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% √ 解析：对于A，该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误； 对于B，该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件，故B错误； 对于C，该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品，故C错误； 对于D，该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确.故选D. 2.下列说法正确的是 (　　) A.随机事件的频率等于概率 B.随机事件A的概率P(A)=2 C.一个随机事件的频率是固定的 D.当重复试验次数足够大时，可用频率估计概率 √ 解析：对于A、D，当重复试验次数足够大时，可用频率来估计概率，所以A错误，D正确； 对于B，随机事件A的概率P(A)∈(0，1)， 所以B错误； 对于C，一个随机事件的频率与试验次数有关，不是固定的，所以C错误. 3.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为 (　　) A.200颗 B.300颗 C.400颗 D.500颗 √ 解析：设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得=， 解得n=300，即白色围棋子的数目大约有300颗. 逐点清(二)　用频率估计概率 02 多维理解 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为___.此时也有0≤P(A)≤1. 微点练明 1.一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是550 mL，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为(单位：mL)： 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在547.5 mL~ 552.5 mL之间的概率估计为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 √ 解析：从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在547.5 mL~ 552.5 mL之间的瓶数为7，频率为=0.7，由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的概率为0.7.故选D. 2.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃)内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x= (　　) A.100 B.300 C.400 D.600 √ 解析：由题表数据知，最高气温低于25 ℃的频率为=0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 3.从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是 (　　) A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 √ 解析：由题意知，∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，∴总次数是100，由题表可以看出取到号码为奇数有13+5+6+18+11 =53种结果，故所求频率为=0.53. 逐点清(三)　由频率分布直方图 估计概率 03 [典例]　某超市每年的7月份开始销售西瓜，在7月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克0.8元，销售价格为每千克1.2元，当天超出需求量的部分，以每千克0.5元全部卖出.根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温(℃)有关，若最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克，若最高气温位于[25，30)(℃)之间，需求量为2 000千克，若最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克.为了制订2026年7月份的订购计划，统计了近三年7月份各天的最高气温数据，得到右栏的频率分布直方图.以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于各区间的概率. (1)估计2026年7月份西瓜一天的需求量不超过2 000千克的概率； 解：当最高气温低于30 ℃时，西瓜一天的需求量不超过2 000千克，由频率分布直方图可知，最高气温低于30 ℃的频率为(0.008 9+0.031 1+0.080 0)×5=0.6， ∴估计2026年7月份西瓜一天的需求量不超过2 000千克的概率为0.6. (2)设7月份西瓜一天的销售利润为Y(单位：元)，当7月份西瓜一天的进货量为2 500千克时，写出Y的所有可能取值，并估计Y大于零的概率. 解：依题意进货量为2 500千克，若最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克，则利润Y=1 000×1.2+1 500×0.5-2 500×0.8=-50(元)； 若最高气温位于[25，30)(℃)之间，需求量为2 000千克，则利润Y=2 000 ×1.2+500×0.5-2 500×0.8=650(元) ；若最高气温不低于30 ℃，需求量为2 500千克，则利润Y=2 500×1.2-2 500×0.8=1 000(元). ∴Y的所有可能取值为-50，650，1 000，故Y大于零，即最高气温不低于25 ℃时， 由频率分布直方图可知，最高气温不低于25 ℃的概率为 (0.080 0+0.046 7+0.033 3)×5=0.8， 故Y大于零的概率为0.8. |思|维|建|模| (1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的. (2)两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立. 针对训练 为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组(每组包含左端值，不包含右端值)，画出频率分布直方图，如下栏图所示. (1)根据直方图作频率分布表； 解：根据频率分布直方图可知，频率=组距×，故可得下表 分组 频率 [1.00，1.05) 0.05 [1.05，1.10) 0.20 [1.10，1.15) 0.28 [1.15，1.20) 0.30 [1.20，1.25) 0.15 [1.25，1.30) 0.02 续表 (2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少； 解：0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47. (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数. 解：设鱼塘中鱼的总条数约为x，则=， 即x==2 000，所以鱼塘中鱼的总条数约为2 000. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大 (　　) A.至少一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都是正面向上 D.两枚硬币都是反面向上 √ 解析：抛掷两枚硬币，其结果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四种情况，至少一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 2.(多选)下列命题正确的有 (　　) A.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是 C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为76% D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析：次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误；做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，只能说出现正面的频率是，而概率是，B错误；对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，可以说有明显疗效的可能性为76%，C正确；抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 3.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：由题意得，n=4 500-200-2 100-1 000=1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 4.某射击选手积极备战某运动会，在一次训练中共射了72支箭，下表是命中环数的部分统计信息： √ 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 a b 22 已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为 (　　) A.0.31 B.0.65 C.0.86 D.1 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：由题易知 化简得解得 所以训练中命中黄圈的频率为≈0.86. 故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为0.86. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 5.(多选)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出频率分布直方图如图所示.观察图形的信息，则 (　　) A.成绩在区间[90，100]上的人数为5 B.抽查学生的平均成绩是71分 C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75% D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：依题意得，成绩在区间[90，100]上的人数为60×0.005×10=3，故A错误；平均成绩为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25 +95×0.05=71(分)，故B正确；60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，所以这次考试的及格率约为75%，故C正确；成绩在[70，100]的人数是(0.03+0.025+0.005) 10×60=36，所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，选到第一名学生的概率为P=，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 6.(5分)抛掷一枚图钉300次，出现216次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是_________.  解析：出现“钉尖朝上”的频率为=0.72. 0.72 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 7.(5分)管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______条鱼.  解析：由题意可得，从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为=.又因为池塘内有标记的鱼一共有30条，所以可以估计该池塘内共有=30×50=1 500条鱼. 1 500 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 8.(5分)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)内的为一等品，在区间[15，20)或[25，30)内的为二等品，在区间[10，15)或[30，35]内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为______.  0.45 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：设区间[25，30)对应矩形的高度为x，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02+0.04+0.06+0.03+x)×5=1，解得x=0.05.所以该件产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 9.(10分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(5分) 解：设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P(A)==0.15，P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，故所求概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.(5分) 解：设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”.由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24.由频率估计概率，得P(C)=0.24. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 10.(10分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100件进行测试，结果统计如图所示： 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(4分) 解：由题图，得甲品牌产品寿命小于200 h的频率为=.用频率估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.(6分) 解：根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75+70=145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是=.用频率估计概率，所以估计已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率约为. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 11.(15分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下： 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 到会人数/人 (8 000，9 000] (9 000，10 000] (10 000，11 000] (11 000，12 000] (12 000，13 000] 需求量/箱 400 450 500 550 600   到会人数/人 (8 000，9 000] (9 000，10 000] (10 000，11 000] (11 000，12 000] (12 000，13 000] 天数 5 6 8 7 4 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率. (1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(6分) 解：由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5+6+8=19， 所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.(9分) 解：当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，则Y=400×100×(1-0.6)+150×100×(0.3-0.6) =11 500元，若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，则Y=450×100 ×(1-0.6)+100×100×(0.3-0.6)=15 000元， 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，则Y=500×100×(1-0.6)+50 ×100×(0.3-0.6)=18 500元，若到会人数超过11 000，则Y=550×100 ×(1-0.6)=22 000元，即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500， 22 000，Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为=，所以Y不超过15 000元的概率的估计值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $