5.3.1 样本空间与事件-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

5.3　概　率 5.3.1　样本空间与事件 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 结合具体实例，理解样本点和样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 逐点清(一)　样本点和样本空间 [多维理解] 1.随机现象与必然现象 (1)一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象). (2)发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象). 2.样本点和样本空间 (1)随机试验 把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验). (2)样本点和样本空间 把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).例如：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则Ω={ω1，ω2，…，ωn}为样本空间. |微|点|助|解| 　　写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法： 列举法 适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏 列表法 适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏 树形图法 适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果，可以用树形图进行列举 [微点练明] 1.一个家庭有两个小孩，则样本空间为 (　　) A.{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B.{(男，女)，(女，男)} C.{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D.{(男，男)，(女，女)} 解析：选C　两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，则样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}. 2.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验的样本点是 (　　) A.第一枚是3点，第二枚是1点 B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 解析：选B　依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”. 3.将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间Ω=　　　　.  解析：将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间Ω=. 答案：{110，101，011} 4.口袋中有编号不同的2个白球和2个黑球，这4个球除颜色、编号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求这个试验的样本空间和样本点的总数. 解：把两个白球和两个黑球分别编号为1，2，3，4，于是4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图直观表示如图所示. 这个试验的样本空间Ω={(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，4，1)，(2，3，1，4)，(2，4，3，1)，(2，4，1，3)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，2，1)，(3，4，1，2)，(4，1，3，2)，(4，1，2，3)，(4，2，3，1)，(4，2，1，3)，(4，3，2，1)，(4，3，1，2)}，样本点的总数为24. 逐点清(二)　随机事件及随机事件发生的概率　　 [多维理解] 1.随机事件 如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等). 2.必然事件与不可能事件 (1)任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件. (2)因为空集∅不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件. 3.事件的表示与基本事件 (1)一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件.因为事件一定是样本空间的子集，所以可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件. (2)基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件. 4.随机事件发生的概率 (1)规定：不可能事件∅发生的概率为0，必然事件Ω发生的概率为1，即P(∅)=0，P(Ω)=1. (2)对任意事件A，满足0≤P(A)≤1. (3)日常生活与应用中，概率值也经常用百分数表示. |微|点|助|解| 理解随机事件的两个关键点 ①条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变，如“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，而“100 ℃常压下，水沸腾”是必然事件. ②结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解. [微点练明] 1.(多选)有下列事件，其中是随机事件的有 (　　) A.连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上 B.异性电荷相互吸引 C.在标准大气压下，水在1 ℃结冰 D.买了一注彩票就得了特等奖 解析：选AD　A、D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件. 2.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B.“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件 C.“明天兰州要下雨”是必然事件 D.“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件 解析：选ABD　“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，A正确；“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，B正确；“明天兰州要下雨”是随机事件，故C错误；“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故D正确. 3.下列结论正确的是 (　　) A.事件A发生的概率P(A)的值满足0<P(A)<1 B.若P(A)=0.999，则A为必然事件 C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是99% D.若P(A)=0.001，则A为不可能事件 解析：选C　不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，事件A发生的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1. 4.抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为 (　　) A. B. C. D. 答案：D 逐点清(三)　随机事件的样本点数的确定 [典例]　试验E：在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，观察球的标号. (1)写出试验的样本空间； (2)用样本点表示下列事件： ①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”； ②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”； ③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”. 解：(1)分别用x1，x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号，则x1，x2∈{1，2，3，4}，那么试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}. (2)①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3，所以事件A={(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}. ②事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1，x2为相邻整数，所以事件B={(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}. ③因为2≤x1+x2≤8，所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3或6，所以事件C={(1，2)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(4，2)}. |思|维|建|模| 随机事件与样本空间的两种题型与求解策略 (1)随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可. (2)说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义. 　　[针对训练] 从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，观察取出的卡片上的数字. (1)写出这个试验的样本空间； (2)用集合表示事件A：数字之和为5； (3)用集合表示事件B：数字之和不大于5，并从直观上判断P(A)与P(B)的大小. 解：(1)这个试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}(说明：(1，2)表示抽出标有1，2的2张卡片). (2)A={(1，4)，(2，3)}. (3)B={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)}， 因为事件A发生时事件B一定发生，所以事件B发生的可能性不可能比事件A发生的可能性小，故P(A)≤P(B).　　　 学科网（北京）股份有限公司 $